|
ауд. 16-24 в 18:30 http://mms.math-net.ru/meetings.php
Одним из прорывов в современной теории узлов стало развитие теории
гомологий зацеплений - диаграмме зацепления ставится в соответствие цепной
комплекс, гомологии которого оказываются неизменными при движениях
Рейдемейстера. Начало этой теории было положено М.Г.Ховановым, и, как
выяснилось вскоре, гомологии Хованова имеют применения к многочисленным
задачам маломерной топологии. Недавно П.Кронхаймер и Т.Мровка доказали,
что гомологии Хованова распознают тривиальный узел. И цепи, и
дифференциалы комплекса Хованова строятся комбинаторно исходя из состояний
диаграммы. Каждое состояние представляет собой набор окружностей,
получающихся в результате разведений перекрестков. Каждый перекресток
разводится двумя способами, и диаграмма c n перекрестками имеет 2^n
состояний. Каждой окружности в состоянии сопоставляется двумерное
градуированное пространство (алгебра Фробениуса), а самому состоянию -
тензорное произведение пространств соответствующих окружностей.
Пространство цепей устроено таким образом, что градуированная эйлерова
характеристика гомологий Хованова совпадает с полиномом Джонса. На
комплексе вводится гомологическая градуировка, а дифференциалы (с
коэффициентами над полем из двух элементов) соответствуют очевидным
операциям в алгебре Фробениуса. Структура алгебры Фробениуса мгновенно
гарантирует корректную определенность комплекса и инвариантность гомологий
при движениях Рейдемейстера. Из нее следует и проективная функториальность
гомологий Хованова при кобордизмах. В докладе речь пойдет о комбинаторике гомологий Хованова и приложениях
гомологий Хованова к оценкам различных характеристик узлов.
|
