|
Гиперболическую плоскость $ \hat H$ положительной кривизны рассматриваем в проективной интерпретации Кэли-Клейна как внешнюю относительно овальной линии $ \gamma$,
называемой абсолютом, область проективной плоскости $ P_2$, на которой в качестве прямых приняты эллиптические прямые, пересекающие абсолют в двух мнимо
сопряженных точках, расположенные вне линии ? части гиперболических прямых, пересекающих $ \gamma$ в двух действительных точках, и касающиеся абсолюта
параболические, изотропные на $ \hat H$, прямые с выколотой несобственной точкой. На внутренней области относительно овальной линии плоскости $ P_2$ реализуется
полная плоскость Лобачевского. Подгруппа $ G$ группы проективных преобразований плоскости $ P_2$, группа автоморфизмов овальной линии $ \gamma$, является общей для $ \hat H$
и плоскости Лобачевского фундаментальной группой преобразований.
Простым 4-контуром плоскости $ \hat H$ названа не имеющая точек самопересечения совокупность четырех отрезков параболических прямых, циклически соединяющих
четыре данные точки. В работе [1] простой 4-контур использован в качестве ячейки моноэдральных изотропных разбиений плоскости $ \hat H$. Интересными оказываются
объекты плоскости $ \hat H$, полученные в результате особых разбиений простого 4-контура на простые 4-контуры. В докладе предполагаем доказать геометрические факты,
составляющие основу построения некоторых из этих объектов. Опишем процесс (диссекториальное разбиение), позволяющий на простых 4-контурах построить ковры и
простые ковры, приведем примеры ковров. Покажем, что диссекториальное разбиение позволяет с каждым простым 4-контуром однозначно связать взвешенный граф,
двоичное ориентированное дерево $ \Gamma$. Докажем, что ветви дерева $ \Gamma$ «не переплетаются».
[1] Л. Н. Ромакина, Простые разбиения гиперболической плоскости положительной кривизны, Матем. сб., 203:9 (2012), 83-116
|
