Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://en.cs.msu.ru/sites/cmc/files/docs/opred.pdf Дата изменения: Wed Oct 7 12:46:33 2015 Дата индексирования: Sat Apr 9 23:51:58 2016 Кодировка:

oPREDELENIQ. pLAN ISSLEDOWANIQ SWOJSTW FUNKCII
oPREDELENIQ I ISPOLXZUEMYE OBOZNA^ENIQ

y = f (x)

p q 2 N ; Q = q ; GDE p 2 Z ; q 2 N , a0 ; a1a2 : : : an : : : , 0 ; a1a2a3 : : : an : : : ; 2 N0 ; ak 6 9 I 9ak0 = 0; k0 2 N0 g. 6 = b; a b | ILI a + b, ILI a b. w DALXNEJ EM DWOETO^IE : W KONTEKSTE BUDET ZAMENQTX SLOWA TIPA "TAKOJ, ^TO". a = a0 ; a1a2a3 : : : an : : : ; 9ak0 6= 0 | NE RAWNAQ NUL@ DESQTI^NAQ DROBX, ESLI PERED ^ISLOM a STOIT ZNAK " + " ILI NE STOIT ZNAK, TO a | POLOVITELXNOE ^ISLO (a > 0), A ESLI PERED a STOIT ZNAK " ", TO a | OTRICATELXNOE ^ISLO (a < 0), 4

p Q+ = q ; GDE p 2 Z + ; R = f0 = 0; 00 : : : 0 : : : ; +a GDE a0 2 N0; 8k 2 N ) ak a = b | ILI a = b, ILI a

w PRIWODIMYH OPREDELENIQH I POSLEDU@]IH PUNKTAH ISPOLXZU@TSQ OB]EPRINQTYE OBOZNA^ENIQ DLQ OTNO ENIJ, MNOVESTW ^ISEL, ^ISLOWYH PROMEVUTKOW I T.P.: 2 | "PRINADLEVIT", 2 | "NE PRINADLEVIT", = _ | SRAWNENIE ^ISEL I WYRAVENIJ, | ZNAK STROGOGO WKL@^ENIQ ODNOGO MNOVESTWA W DRUGOE, | ZNAK NESTROGOGO WKL@^ENIQ ODNOGO MNOVESTWA W DRUGOE, ) | "SLEDUET", , | "IMEET MESTO TOGDA I TOLXKO TOGDA", def | "RAWNO PO OPREDELENI@", def | "ESTX PO OPREDELENI@" I T.P.; = | | OB_EDINENIE MNOVESTW, \ | PERESE^ENIE MNOVESTW, A n B | RAZNOSTX MNOVESTW A I B , | ZNAK PODOBIQ FIGUR; KWANTORY: 8 | "L@BOJ" ILI "DLQ L@BOGO", 9 | "SU]ESTWUET", @ | "NE SU]ESTWUET", 9! | "SU]ESTWUET EDINSTWENNYJ"; N | MNOVESTWO WSEH NATURALXNYH ^ISEL (NATURALXNYJ RQD), N0 | RAS IRENNYJ NATURALXNYJ RQD, Z | MNOVESTWO WSEH CELYH ^ISEL, Q | MNOVESTWO WSEH RACIONALXNYH ^ISEL, R | MNOVESTWO WSEH DEJSTWITELXNYH ^ISEL (N N0 Z Q R), N = f1 ; 2 ; : : : ; n ; : : : g; N0 = f0g N = f0 ; 1 ; 2 ; 3 ; : : : ; n ; : : : g, Z = f : : : ; m ; : : : ; 3 ; 2 ; 1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; : : : ; n ; : : : g, Z + = N ; Z = f: : : ; m ; : : : ; 3 ; 2 ; 1g; Z = Z N0 , .. . | "DELITSQ NACELO" ILI DELITSQ, . | PUSTX m; n 2 Z; n = 0; m .. n def ESLI 9p 2 Z : m = p n, 6 nod (m; n) | NAIBOLX IJ OB]IJ DELITELX ^ISEL m I n, m 2 N0 ; n 2 N (NAIBOLX EE NATURALXNOE ^ISLO, NA KOTOROE DELQTSQ ^ISLA m I n), nok (m; n) | NAIMENX EE OB]EE KRATNOE ^ISEL m I n, GDE m; n 2 N (NAIMENX EE NATURALXNOE ^ISLO, KOTOROE DELITSQ NA ^ISLA m I n), p Q = q = p : q = p=q; GDE p 2 Z; q 2 Z (q = 0) ; Q = Q f0g Q+ , 6


R+ = fa 2 R : a > 0g; R = fa 2 R : a < 0g; R = R f0g R+ . a = a0 ; a1a2 : : : ak ak+1ak+2 : : : ak+l ak+1 ak+2 : : : ak+l : : : = = a0 ; a1a2 : : : ak (ak+1 ak+2 : : : ak+l ) def PERIODI^ESKAQ DESQTI^NAQ DROBX, | T.E. 9k 2 N0 ; l 2 N : 8i > k ) ai = ai+l , DALEE, a0 ; (9) = (a0 + 1); (0) I ESLI 9ak 6 8; k 2 N , TO a0 ; a1a2 : : : ak (9) = a0 ; a1a2 : : : (ak + 1)(0) = = a0 ; a1a2 : : : (ak + 1) | KONE^NAQ DESQTI^NAQ DROBX, ESLI 8k 2 N0 ; l 2 N 9i0 > k : ai0 +l 6= ai0 , TO a = a0 ; a1a2 : : : an : : : def | NEPERIODI^ESKAQ DESQTI^NAQ DROBX, ONA NAZYWAETSQ IRRACIONALXNYM ^ISLOM (a 2 R n Q). fx 2 X : P (x)g | SOWOKUPNOSTX WSEH (TEH I TOLXKO TEH) \LEMENTOW x IZ MNOVESTWA X , DLQ KOTORYH WYPOLNENO SWOJSTWO P (x); (ILI) | ZNAK SOWOKUPNOSTI USLOWIJ, f (I) | ZNAK SISTEMY. pRIWEDEM OPREDELENIQ SRAWNENIQ DWUH DEJSTWITELXNYH ^ISEL (BESKONE^NYH DESQTI^NYH DROBEJ). pUSTX a = a0 ; a1a2:::an::: | BESKONE^NAQ DESQTI^NAQ DROBX: def 0, ESLI 8j 2 N ) a = 0, T.E. a = 0; 000:::0::: = 0; (0); 0 = +0 = 0; a= 0 j def a 6= 0, ESLI 9j0 2 N0 : aj0 6= 0 , TO ESTX aj0 2 N , ESLI a 6= 0, TO a | ^ISLO ILI POLOVITELXNOE, ILI OTRICATELXNOE. mOVNO ISKL@^ITX IZ RASSMOTRENIQ DROBI S PERIODOM 9, TO ESTX DROBI WIDA a0 ; a1a2 :::ak(9), POSKOLXKU KAVDU@ TAKU@ DROBX MOVNO ZAMENITX NA RAWNU@ EJ DROBX S PERIODOM 0. tAKIM OBRAZOM, 8j 2 N0 9k 2 N ; k > j : ak 6 8. pUSTX a = a0; a1a2 :::an::: I b = b0 ; b1b2:::bn::: | POLOVITELXNYE ^ISLA, PO OPREDELENI@ S^ITA@T: a = b, ESLI 8 j 2 N0 ) aj = bj , a > b (a < b), ESLI LIBO a0 > b0 (a0 < b0), LIBO 9 j0 2 N0 : 8 j 2 N0 ; j 6 j0 aj = bj ; aj0+1 > bj0 +1 (aj0 +1 < bj0 +1 ). eSLI c | POLOVITELXNOE ^ISLO, d | OTRICATELXNOE ^ISLO, TO PO OPREDELENI@ S^ITA@T c > d; d < c; c > 0; 0 < c; d < 0; 0 > d. AB jaj def a; ESLI a > 0;; | MODULX () SOL@TNAQ WELI^INA) ^ISLAa 2 R = a; ESLI a < 0 8a 2 R jaj > 0: eSLI c I d OTRICATELXNYE ^ISLA, TO PO OPREDELENI@ S^ITA@T c = d , jcj = jdj ; c > d (c < d) , jcj < jdj (jcj > jdj). 8a; b 2 R : a > 0 ) jaj = a ; a 6 0 ) jaj = a ; j aj = jaj ; jaj 6 a 6 jaj; ja bj = jb aj ; ja bj 6 jaj + jbj ; jjaj jbjj 6 ja bj ; ja bj = jaj jbj ; a = jaj ; b 6= 0 ; jf (x)j = f (x); 8x 2 D f ] : f (x) > 0 ; f (x); 8x 2 D f ] : f (x) 6 0 : b jbj a = b ; () a > b ; a = b ; () b 6 a ; a > b ; () a 6= b ; def def a>b b b () b < a ; a > b () b 6 a. 5


x] def | fxg = 1) 3) 5) 7)

pREDLAGAEMYE NIVE DLQ POWTORENIQ \LEMENTARNYE FUNKCII KOLXNOGO KURSA MATEMATIKI PREDLAGAETSQ ISSLEDOWATX PO SLEDU@]EMU PLANU, POKA NE PREDPOLAGA@]EMU PRIMENENIE PROIZWODNOJ FUNKCII. I. oBLASTX OPREDELENIQ FUNKCII. II. oBLASTX IZMENENIQ FUNKCII. III. oGRANI^ENNOSTX I NEOGRANI^ENNOSTX FUNKCII. IV. nAIBOLX EE I NAIMENX EE ZNA^ENIQ FUNKCII, ESLI ONI SU]ESTWU@T. V. ~ETNOSTX I NE^ETNOSTX FUNKCII. VI. pERIODI^NOSTX FUNKCII. VII. nULI FUNKCII, PROMEVUTKI ZNAKOPOSTOQNSTWA FUNKCII. VIII. mONOTONNOSTX FUNKCII. IX. wYPUKLOSTX FUNKCII. X. gRAFIK FUNKCII. oB]IE TO^KI GRAFIKA FUNKCII S OSQMI KOORDINAT, ESLI ONI ESTX. dLQ NEKOTORYH FUNKCIJ NUVNO ISSLEDOWATX I POWEDENIE FUNKCII NA GRANICAH OBLASTI OPREDELENIQ. pRIWEDEM SOOTWETSTWU@]IE OPREDELENIQ. pUSTX ZADANY DWA NEPUSTYH ^ISLOWYH MNOVESTWA X I Y . eSLI KAVDOMU ^ISLU x 2 X STAWITSQ W SOOTWETSTWIE (PO NEKOTOROMU ZAKONU f ) EDINSTWENf NOE ^ISLO y 2 Y (SIMWOLI^ESKOE OBOZNA^ENIE x ! y), TO GOWORQT, ^TO NA MNOVESTWE X ZADANA FUNKCIQ y = f (x).
6

x 2 R, ESLI x] 2 Z I x] 6 x < x] + 1, ^ASTX ^ISLA x 2 R; 0 6 fxg < 1. a 6 x 6 bg ; 2) (a; b] def fx 2 R : a < x 6 bg ; = def fx 2 R : a < x < bg ; a 6 x < bg ; 4) (a; b) = : x > ag ; 6) (a; +1) def fx 2 R : x > ag ; = def fx 2 R : x < ag ; : x 6 ag ; 8) ( 1; a) = 9) ( 1; +1) def R : = 1) def OTREZOK ILI SEGMENT ; 2) , 3) def POLUOTREZKI, | | ILI POLUSEGMENTY, ILI POLUINTERWALY ; 4) def INTERWAL ; | def 5) , 7) | ZAMKNUTYE LU^I ILI ZAMKNUTYE POLUPRQMYE ; 6) , 8) def OTKRYTYE LU^I ILI OTKRYTYE POLUPRQMYE ; | 9) | ^ISLOWAQ PRQMAQ (MNOVESTWO WSEH DEJSTWITELXNYH ^ISEL). 1) | 4) def KONE^NYE ILI OGRANI^ENNYE ^ISLOWYE PROMEVUTKI ; | def 5) | 9) | BESKONE^NYE ILI NEOGRANI^ENNYE ^ISLOWYE PROMEVUTKI.

CELAQ ^ASTX ^ISLA x x] def DROBNAQ | def fx 2 R : a; b] = a; b) def fx 2 R : = a; +1) def fx 2 R = def fx 2 R ( 1; a] =


oPREDELENIE mNOVESTWO X NAZYWAETSQ OBLASTX@ OPREDELENIQ FUNKCII y = f (x). oNA OBOZNA^AETSQ D f ] ; x | ARGUMENT FUNKCII. oPREDELENIE mNOVESTWO Y WSEH ^ISEL y, DLQ KOTORYH SU]ESTWUET x 2 X TAKOE, ^TO y = f (x), NAZYWAETSQ OBLASTX@ IZMENENIQ ILI OBLASTX@ ZNA^ENIJ FUNKCII y = f (x). oNA OBOZNA^AETSQ E f ], y0 = f (x0 ) | ^ASTNOE ZNA^ENIE FUNKCII, OTWE^A@]EE ^ASTNOMU ZNA^ENI@ ARGUMENTA x0. oPREDELENIE fUNKCIQ f (x) NAZYWAETSQ OGRANI^ENNOJ SWERHU (SNIZU) NA MNOVESTWE X D f ], ESLI SU]ESTWUET TAKOE ^ISLO m2 (^ISLO m1 ), ^TO DLQ L@BOGO x 2 X WYPOLNQETSQ USLOWIE f (x) 6 m2 (f (x) > m1 ). fUNKCIQ f (x) NAZYWAETSQ OGRANI^ENNOJ NA MNOVESTWE X D f ], ESLI ONA OGRANI^ENA NA X I SWERHU, I SNIZU, TO ESTX ESLI NAJDUTSQ TAKIE ^ISLA m1 I m2 , ^TO DLQ L@BOGO x 2 X WYPOLNQ@TSQ USLOWIQ m1 6 f (x) 6 m2 , ILI ESLI SU]ESTWUET ^ISLO M > 0, ^TO DLQ L@BOGO x 2 X WYPOLNQETSQ USLOWIE jf (x)j 6 M . oPREDELENIE 30 fUNKCIQ f (x) NAZYWAETSQ NEOGRANI^ENNOJ SWERHU (SNIZU) NA MNOVESTWE X D f ], ESLI L@BOGO m2 (m1 ) SU]ESTWUET ZNA^ENIE ARGUMENTA x2 (x1) 2 X TAKOE, ^TO f (x2 ) < m2 (f (x1 ) > m1 ). fUNKCIQ f (x) NAZYWAETSQ NEOGRANI^ENNOJ NA MNOVESTWE X D f ], ESLI ONA ILI NE OGRANI^ENA SNIZU, ILI NE OGRANI^ENA SWERHU NA \TOM MNOVESTWE, ILI ESLI DLQ L@BOGO ^ISLA M > 0, NAJDETSQ TAKOE x0 2 X , DLQ KOTOROGO WYPOLNQETSQ USLOWIE jf (x0)j > M . oPREDELENIE ~ISLO M0 (m0 ) NAZYWAETSQ NAIBOLX IM (NAIMENXIM) ZNA^ENIEM FUNKCII y = f (x) NA MNOVESTWE X (X D f ]), ESLI 1) 8x 2 X ) f (x) 6 M0 (f (x) > m0 ) ; 2) 9x0 2 X : f (x0 ) = M0 (f (x0 ) = m0 ) : oBOZNA^AETSQ M0 = max f (x); m0 = x2X f (x). min x2X oPREDELENIE pUSTX OBLASTX OPREDELENIQ D f ] = X FUNKCII y = f (x) SIMMETRI^NA OTNOSITELXNO TO^KI x0 = 0, TO ESTX 8x 2 X ) x 2 X . fUNKCIQ y = f (x) NAZYWAETSQ ^ETNOJ (NE^ETNOJ), ESLI DLQ L@BOGO x 2 D f ] ) f ( x) = f (x) (f ( x) = f (x)). oPREDELENIE fUNKCIQ y = f (x) NAZYWAETSQ PERIODI^ESKOJ, ESLI SU]ESTWUET T 6= 0, UDOWLETWORQ@]EE USLOWIQM 1) 8x 2 D(f ) ) x T 2 D(f ) , 2) 8x 2 D(f ) ) f (x + T ) = f (x) . ~ISLO T NAZYWAETSQ PERIODOM FUNKCII y = f (x). iZ \TOGO OPREDELENIQ LEGKO WYWESTI: ESLI T | PERIOD FUNKCII y = f (x), TO I T TAKVE PERIOD \TOJ FUNKCII, TAK KAK W SILU PERIODI^NOSTI f (x T ) = f (x T ) + T ] = f (x); TO ESTX f (x T ) = f (x) (ESLI STROGO, TO PO INDUKCII) DLQ L@BOGO m 2 Z , m 6= 0 USTANAWLIWAETSQ, ^TO mT | TAKVE PERIOD \TOJ FUNKCII.
1. 2. 3. . 4. 5. 6.

7


OSNOWNYM PERIODOM.
7.

nAIMENX IJ POLOVITELXNYJ PERIOD FUNKCII y = f (x) NAZYWAETSQ EE

oPREDELENIE ~ISLO x0 2 D f ] NAZYWAETSQ NULEM FUNKCII y = f (x), ESLI f (x0 ) = 0. pROMEVUTOK X 0 D f ] NAZYWAETSQ PROMEVUTKOM ZNAKOPOSTOQNSTWA FUNKCII y = f (x), ESLI LIBO 8x 2 X 0 ) f (x) > 0, LIBO 8x 2 X 0 ) ) f (x) < 0. oPREDELENIE fUNKCIQ y = f (x) NAZYWAETSQ WOZRASTA@]EJ (UBYWA@]EJ) NA MNOVESTWE X (X D f ]), ESLI DLQ L@BYH x1 ; x2 2 X TAKIH, ^TO x1 < x2 ) f (x1 ) < f (x2 ) (f (x1 ) > f (x2 )); ESLI WYPOLNQ@TSQ NERAWENSTWA f (x1 ) 6 f (x2 ) (f (x1 ) > f (x2 )), TO FUNKCIQ NAZYWAETSQ NEUBYWA@]EJ (NEWOZRASTA@]EJ). nEUBYWA@]IE I NEWOZRASTA@]IE FUNKCII NAZYWA@T MONOTONNYMI. wOZRASTA@]IE I UBYWA@]IE FUNKCII NAZYWA@T STROGO MONOTONNYMI. oPREDELENIE fUNKCIQ y = f (x) NAZYWAETSQ WYPUKLOJ WNIZ (WWERH) NA MNOVESTWE X 0 D f ], ESLI WYPOLNQ@TSQ SLEDU@]IE USLOWIQ: 1) 8 x1 I x2 2 X 0 ) x1 + x2 2 X 0 ; 2) 8 x1 I x2 2 X 0 ) 2 (1) f x1 + x2 6 f (x1 ) + f (x2 ) ; f x1 + x2 > f (x1 ) + f (x2 ) : (2) 2 2 2 2 eSLI PRI WYPOLNENII USLOWIQ 1) WMESTO USLOWIQ 2) WYPOLNQETSQ USLOWIE 20 ) : 8 x1 I x2 2 X 0 ; x1 6= x2 ) (10 ) f x1 + x2 < f (x1 ) + f (x2 ) ; f x1 + x2 > f (x1 ) + f (x2 ) ; (20 ) 2 2 2 2 TO FUNKCIQ f (x) NAZYWAETSQ STROGO WYPUKLOJ WNIZ (WWERH).
8. 9.

WYPUKLOSTX WWERH S U^ASTKAMI STROGOJ WYPUKLOSTI

RIS. A

NEWYPUKLAQ FUNKCIQ

RIS. B

nA RIS. A I W UKAZAN GEOMETRI^ESKIJ SMYSL WYPUKLOSTEJ I STROGIH WYPUKLOSTEJ WWERH I WNIZ FUNKCIJ. nA RIS. B POKAZAN GRAFIK FUNKCII, NE
8

WYPUKLOSTX WNIZ S U^ASTKAMI STROGOJ WYPUKLOSTI

RIS. W


OBLADA@]EJ SWOJSTWAMI WYPUKLOSTI WNIZ NA WSEJ SWOEJ OBLASTI OPREDELENIQ. w TO VE WREMQ ONA OBLADAET MNOGIMI DRUGIMI SWOJSTWAMI, KOTORYMI OBLADAET FUNKCIQ y = x2, QWLQ@]AQSQ WYPUKLOJ WNIZ NA WSEJ SWOEJ OBLASTI OPREDELENIQ (SM. NIVE P. 1:3). oPREDELENIE gRAFIKOM FUNKCII y = f (x) NAZYWAETSQ MNOVESTWO WSEH TO^EK NA KOORDINATNOJ PLOSKOSTI S KOORDINATAMI (x; f (x)), GDE x | PROIZWOLXNOE IZ OBLASTI OPREDELENIQ D f ] (^ASTO GOWORQT x "PROBEGAET" WS@ OBLASTX OPREDELENIQ D f ]). oBOZNA^ENIE GRAFIKA FUNKCII y = f (x) : gf = f(x; y) : x 2 D f ]; y = f (x)g. eSLI f (x0 ) = 0, GDE x0 2 D f ], TO TO^KA S KOORDINATAMI (x0 ; 0) | OB]AQ TO^KA GRAFIKA FUNKCII y = f (x) S OSX@ Ox; ESLI 0 2 D f ], TO TO^KA (0; f (0)) | OB]AQ TO^KA GRAFIKA FUNKCII y = f (x) S OSX@ Oy. sLEDUET RASSMATRIWATX WOPROS O POWEDENII FUNKCII NA GRANICAH OBLASTI OPREDELENIQ, NAPRIMER, PRI x ! 1 ILI W SLU^AE NEOGRANI^ENNOSTI FUNKCII W OKRESTNOSTI TO^KI x = a PRI x ! a 0, OBOZNA^ENIQ TIPA ! a + 0 ; ! a 0 OZNA^A@T SOOTWETSTWENNO "STREMITSQ K a SPRAWA" I "STREMITSQ K a SLEWA". sTROGIE OPREDELENIQ \TIH "STREMLENIJ" PRIWODQTSQ W KURSE MATEMATI^ESKOGO ANALIZA. w DALXNEJ EM BUDUT PRIMENQTXSQ SSYLKI NA TU ILI INU@ KNIGU IZ PRIWEDENNOGO NIVE SPISKA LITERATURY (NAPRIMER, SM. W KNIGE 1]). |TO BUDET OZNA^ATX, ^TO UKAZANNYJ MATERIAL MOVNO NAJTI W KNIGE, UKAZANNOJ W \TOM SPISKE, POD NOMEROM 1.
10.

literatura 1. bUDAK a.b., }EDRIN b.m. "|LEMENTARNAQ MATEMATIKA. mETODI^ESKIE UKAZANIQ K OTWETAM NA TEORETI^ESKIE WOPROSY BILETOW USTNOGO \KZAMENA PO MATEMATIKE." | m.: maks press, 2007 2. pOGORELOW a.w. "|LEMENTARNAQ GEOMETRIQ." | m.: "nAUKA", 1977. 3. bUDAK a.b. "|LEMENTARNAQ MATEMATIKA. pODGOTOWITELXNYJ KURS DLQ WYS EJ KOLY." | m.: IZDATELXSTWO mgu, "rOTAPRINT", 1992. 4. qKU EWA e.w., pOPOW a.w., qKU EW a.g. "mATEMATIKA. wSE DLQ \KZAMENA." | m.: unc do, 2004, 2008.

9