Äîêóìåíò âçÿò èç êýøà ïîèñêîâîé ìàøèíû. Àäðåñ îðèãèíàëüíîãî äîêóìåíòà : http://foroff.phys.msu.ru/phys/contrz/teormeh/task.ps Äàòà èçìåíåíèÿ: Sun Jul 6 05:07:41 2008 Äàòà èíäåêñèðîâàíèÿ: Tue Oct 2 00:01:48 2012 Êîäèðîâêà:

zADA“I PO TEORETI“ESKOJ MEHANIKE
zADA“A N 1
tO“KA DWIVETSQ PO POWERHNOSTI SFERY RADIUSA R TAKIM OBRAZOM, “TO
UGOL MEVDU EE SKOROSTX@ I MERIDIANOM QWLQETSQ POSTOQNNYM I RAWEN ff.
nAJTI TRAEKTORI@ TO“KI W SFERI“ESKIH KOORDINATAH.
zADA“A N 2
nAJTI ZAKON DWIVENIQ “ASTICY MASSY m W POLE
U(x) = \Gammaax 2 =2 + bx 4 =4; a; b ? 0 ;
ESLI W NA“ALXNYJ MOMENT WpEMENI t 0
x(t 0 ) = \Gamma
q
2a=b, A —
x(t 0 ) = 0.
zADA“A N 3
nAJTI WpEMQ ZADEpVKI PpI DWIVENII “ASTICY MASSY m OT x = \Gamma1
DO x = 1 W POLE
U(x) = U 0
=ch 2 ax; U 0
? 0 ;
PO SpAWNENI@ SO WpEMENEM DWIVENIQ “ASTICY W TEH VE PpEDELAH TOJ VE
``NEpGII E ? U 0 , NO W OTSUTSTWIE WNE[NEGO POLQ. rASSMOTpETX TAKVE
SLU“AJ E ! U 0 .
zADA“A N 4
~ASTICA MASSY m DWIVETSQ PO SFERE RADIUSA R W POLE SILY TQVESTI.
nAJTI INTEGRALY DWIVENIQ I ZAKON DWIVENIQ (W KWADRATURAH).

zADA“A N 5
nAJTI WpEMQ PADENIQ “ASTICY MASSY m W CENTp POLQ
U(r) = \Gammab=r 2 ; b ? 0 ;
S pASSTOQNIQ R, PpI USLOWII L 2
0
=2m ! b, E 0 ? 0.
zADA“A N 6
nAJTI TpAEKTOpI@ (I UGLOWOE pASSTOQNIE MEVDU DWUMQ POSLEDOWA­
TELXNYMI PpOHOVDENIQMI TO“EK r min ) “ASTICY MASSY m W CENTpALXNOM
POLE
U(r) = \Gammaa=r \Gamma b=r 2 ; a; b ? 0 ;
PpI USLOWII L 2
0
=2m ? b, E 0
! 0.
zADA“A N 7
nAJTI SE“ENIE RASSEQNIQ DLQ “ASTIC MASSY m, DWIVU]IHSQ W POTEN­
CIALE U(r) = ff=r 2 S ``NERGIEJ E PRI ff ? 0.
zADA“A N 8
nAJTI SE“ENIE PADENIQ NA CENTR DLQ “ASTIC MASSY m, DWIVU]IHSQ W
POTENCIALE
U(r) =
ff
r 2
\Gamma fi
r 4
S ``NERGIEJ E.

zADA“A N 9
sTERVENX MASSY m I DLINY l SKOLXZIT PO STORONAM PRQMOGO UGLA BEZ
TRENIQ. nAPISATX FUNKCI@ lAGRANVA I NAJTI ZAKON DWIVENIQ W KWAD­
RATURAH.
zADA“A N 10
sTERVENX MASSY m I DLINY l MOVET DWIGATXSQ W WERTIKALXNOJ PLOS­
KOSTI (PRISUTSTWUET SILA TQVESTI). oDIN IZ KONCOW STERVNQ SKOLXZIT
PO GORIZONTALXNOJ PRQMOJ. zAPISATX FUNKCI@ lAGRANVA I NAJTI ZAKON
DWIVENIQ W KWADRATURAH.
zADA“A N 11
nAJTI KINETI“ESKU@ ``NEpGI@ ODNOpODNOGO KONUSA S UGLOM pASTWOpA
2ff I WYSOTOJ h, KATQ]EGOSQ BEZ PpOSKALXZYWANIQ PO PLOSKOSTI, ESLI IZ­
WESTNY MOMENTY INEpCII OTNOSITELXNO GLAWNYH OSEJ I 1
I I 3
I MASSA
KONUSA m.
zADA“A N 12
oDNORODNYJ CILINDR MASSY M I RADIUSA R NA RASSTOQNII a OT OSI,
PARALLELXNO EJ, PROTKNUT TONKIM ODNORODNYM STERVNEM MASSY m. cI­
LINDR PEREKATYWAETSQ BEZ PROSKALXZYWANIQ W GORIZONTALXNOJ PLOSKOSTI.
nAJTI “ASTOTU MALYH KOLEBANIJ WBLIZI POLOVENIQ RAWNOWESIQ.

zADA“A N 13
nAJTI ZAKON MALYH KOLEBANIJ SISTEMY, IZOBRAVENNOJ NA RISUNKE,
ESLI W NA“ALXNYJ MOMENT WREMENI PRUVINY NE RASTQNUTY, A SKOROS­
TI “ASTIC MASSY m I 2m RAWNY v 1 I v 2 SOOTWETSTWENNO. s“ITATX, “TO
PRUVINY NE IZGIBA@TSQ, A POLE TQVESTI OTSUTSTWUET.
2k k
m
2m
zADA“A N 14
tRI BUSINY S MASSAMI m, m, 2m NANIZANY NA GLADKU@ PRQMOLINEJ­
NU@ STRUNU. bUSINY SKREPLENY PRUVINAMI S KO``FFICIENTAMI VESTKOS­
TI k I 2k I ODINAKOWYMI DLINAMI l W NEDEFORMIROWANNOM SOSTOQNII.
nAJTI NORMALXNYE KOLEBANIQ SISTEMY.
zADA“A N 15
nAJTI SOBSTWENNYE “ASTOTY I WYNUVDENNYE KOLEBANIQ SISTEMY, PO­
KAZANNOJ NA RISUNKE, ESLI TO“KA A SOWER[AET KOLEBATELXNOE DWIVENIE
PO ZAKONU ff(t) = a cos(flt). ~ASTICY MOGUT DWIGATXSQ TOLXKO PO OKRUV­
NOSTI RADIUSA R, POLE TQVESTI OTSUTSTWUET. wSE PRUVINY ODINAKOWY I
IME@T KO``FFICIENT VESTKOSTI k.
2m
m
A
k k
k

zADA“A N 16
sOSTAWITX FUNKCI@ I UpAWNENIQ lAGpANVA ZApQDA e MASSY m W
ODNOpODNOM MAGNITNOM POLE H (W KALIBpOWKE WEKTOpNOGO POTENCIALA
A = (0; xH; 0)) I GpAWITACIONNOM POLE g = (0; 0; \Gammag). uKAZATX PEpWYE
INTEGpALY UpAWNENIJ lAGpANVA. nAJTI ZAKON DWIVENIQ ZApQDA, ESLI W
NA“ALXNYJ MOMENT WpEMENI t 0 = 0 pADIUS WEKTOp “ASTICY r(0) = r 0 , A
WEKTOp SKOpOSTI —
r(0) = —
r 0 .
zADA“A N 17
~ASTICA S MASSOJ m I ZARQDOM e MOVET DWIGATXSQ PO POWERHNOSTI KO­
NUSA S UGLOM PRI WER[INE 2ff, PO OSI KOTOROGO NAPRAWLENO POSTOQNNOE I
ODNORODNOE MAGNITNOE POLE H 0 . oSX KONUSA WERTIKALXNA, POLE TQVESTI
PRISUTSTWUET. zAPISATX FUNKCI@ lAGRANVA W CILINDRI“ESKIH KOORDI­
NATAH I NAJTI ZAKON DWIVENIQ W KWADRATURAH.
zADA“A N 18
~ASTICA MASSY m I ZARQDOM e DWIVETSQ W MAGNITNOM POLE H = H 0
e z
I POLE TQVESTI g = \Gammage z PO POWERHNOSTI PARABOLOIDA az = x 2 + y 2 .
zAPISATX FUNKCI@ gAMILXTONA W CILINDRI“ESKIH KOORDINATAH, UKAZATX
INTEGRALY DWIVENIQ I NAJTI ZAKON DWIVENIQ W KWADRATURAH.
zADA“A N 19
~ASTICA MASSY m I ZARQDOM e DWIVETSQ PO POWERHNOSTI WERTIKALXNO­
GO KONUSA S UGLOM PRI WER[INE 2ff W POLE TQVESTI g = \Gammage z . w WER[INE
KONUSA ZAKREPLEN ZARQD Q. zAPISATX FUNKCI@ gAMILXTONA, UKAZATX IN­
TEGRALY DWIVENIQ I NAJTI ZAKON DWIVENIQ.

zADA“A N 20
COSTAWITX FUNKCI@ I UpAWNENIQ lAGpANVA ZApQDA e MASSY m, NAHO­
DQ]EGOSQ WNUTRI GLADKOJ (PpQMOJ) TpUBKI IS“EZA@]E MALOGO RADIUSA,
NAKLONENNOJ K WEpTIKALXNOJ OSI, PpOHODQ]EJ “EpEZ TpUBKU, POD UGLOM ff,
I WpA]A@]EJSQ WOKpUG WEpTIKALXNOJ OSI S POSTOQNNOJ UGLOWOJ SKOpOS­
TX@ !. wDOLX OSI WpA]ENIQ DEJSTWU@T POLE TQVESTI g I MAGNITNOE POLE
H. nAJTI PEpWYJ INTEGpAL UpAWNENIJ lAGpANVA.
zADA“A N 21
sOSTAWITX FUNKCI@ I UpAWNENIQ lAGpANVA ZApQDA e MASSY m, NAHO­
DQ]EGOSQ WNUTRI GLADKOJ TpUBKI IS“EZA@]E MALOGO RADIUSA, IZOGNUTOJ
W FOpME ``LLIPSA S POLUOSQMI a I b. tpUBKA WpA]AETSQ S POSTOQNNOJ UG­
LOWOJ SKOpOSTX@ ! WOKpUG OSI ``LLIPSA. wDOLX OSI WpA]ENIQ DEJSTWUET
POLE TQVESTI g I MAGNITNOE POLE H. nAJTI PEpWYJ INTEGpAL UpAWNENIJ
lAGpANVA.
zADA“A N 22
sOSTAWITX FUNKCI@ I UpAWNENIQ lAGpANVA ZApQDA e MASSY m, NAHO­
DQ]EGOSQ WNUTRI GLADKOJ TpUBKI IS“EZA@]E MALOGO RADIUSA, IZOGNUTOJ
W FOpME OKpUVNOSTI pADIUSA R. tpUBKA WpA]AETSQ S POSTOQNNOJ UGLO­
WOJ SKOpOSTX@ ! WOKpUG DIAMETpA OKpUVNOSTI. wDOLX OSI WpA]ENIQ DEJ­
STWUET POLE TQVESTI g I MAGNITNOE POLE H. nAJTI PEpWYJ INTEGpAL
UpAWNENIJ lAGpANVA.
zADA“A N 23
wY“ISLITX SKOBKI pUASSONA [v i ; v j ], GDE v i ­ DEKApTOWY KOMPONENTY
WEKTOpA SKOpOSTI ZApQDA e, MASSY m W ODNOpODNOM MAGNITNOM POLE H.

zADA“A N 24
wY“ISLITX SKOBKI pUASSONA [(rp); L], GDE (rp)--SKALQpNOE PpOIZWEDE­
NIE pADIUS­WEKTOpA I WEKTOpA IMPULXSA, A L-- WEKTOp MOMENTA IMPULXSA
“ASTICY.
zADA“A N 25
uBEDITXSQ, “TO PREOBRAZOWANIE
Q =
m!q + ip
p
2m!
e i!t ; P = i
m!q \Gamma ip
p
2m!
e \Gammai!t
QWLQETSQ KANONI“ESKIM I NAJTI EGO PROIZWODQ]U@ FUNKCI@. dLQ SISTE­
MY, OPISYWAEMOJ GAMILXTONIANOM
H =
p 2
2m
+
m! 2 q 2
2
POSTROITX NOWU@ FUNKCI@ gAMILXTONA I ZAPISATX URAWNENIQ gAMILXTO­
NA W PEREMENNYH Q I P .
zADA“A N 26
~ASTICA MASSY m DWIVETSQ W CENTRALXNOM POLE U(r). s POMO]X@
URAWNENIQ gAMILXTONA­qKOBI W SFERI“ESKIH KOORDINATAH NAJTI EE TRA­
EKTORI@ I ZAKON DWIVENIQ (W KWADpATUpAH).
zADA“A N 27
L =
m
2
( —
ae 2 + ae 2 —
' 2 ) \Gamma a cos'
ae 2
nAJTI ZAKON DWIVENIQ (W KWADRATURAH) METODOM gAMILXTONA­qKOBI. (a ­
NEKOTORAQ POSTOQNNAQ)

zADA“A N 28
L =
m
2
i
—
r 2 + r 2 —
` 2 + r 2 sin 2 ` —
' 2
j
\Gamma acos` —
'
nAJTI ZAKON DWIVENIQ (W KWADRATURAH) METODOM gAMILXTONA­qKOBI.
zADA“A N 29
nAJTI TpAEKTOpI@ I ZAKON DWIVENIQ ZApQDA e, MASSY m W ODNOpODNOM
MAGNITNOM POLE H (W DEKApTOWYH KOOpDINATAH) S POMO]X@ UpAWNENIQ
gAMILXTONA­qKOBI.
zADA“A N 30
kAK IZMENQETSQ MEHANI“ESKAQ ``NEpGIQ SISTEMY, OPISYWAEMOJ LAGpAN­
VIANOM
L = m( —
x 2
1
+ —
x 2
2
)=2 \Gamma k(x 2
1
+ 2x 2
2
\Gamma x 1
x 2 )=2;
GDE m; k ? 0 PpI ADIABATI“ESKOM IZMENENII PApAMETpA k.
zADA“A N 31
mATEMATI“ESKIJ MAQTNIK SOWER[AET KOLEBANIQ W PLOSKOSTI, RASPO­
LOVENNOJ POD UGLOM ff K WERTIKALI. oPREDELITX KAK BUDUT MENQTXSQ AM­
PLITUDA KOLEBANIJ PRI MEDLENNOM IZMENENII UGLA ff.
zADA“A N 32
kAK IZMENQETSQ ``NEpGIQ “ASTICY S MASSOJ m I ZApQDOM e W CENTpALX­
NOM POLE U(r) PpI MEDLENNOM (ADIABATI“ESKOM) WKL@“ENII SLABOGO OD­
NOpODNOGO MAGNITNOGO POLQ NAPpQVENNOSTI H.