Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://foroff.phys.msu.ru/phys/programs/nm2.htm
Дата изменения: Sun Jul 6 05:18:28 2008
Дата индексирования: Mon Oct 1 20:13:41 2012
Кодировка: koi8-r
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ВЫСШАЯ АЛГЕБРА

Государственный комитет Российской Федерации
по высшему образованию
Нижегородский государственный университет
им. Н.И. Лобачевского

УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА
по общему курсу

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ВЫСШАЯ АЛГЕБРА

Курс: 1.
Семестр: 1, 2.
Лекции: 64 час.
Практикум: 48 час.
Экзамен: 2 семестр.
Зачет: 1 семестр.

 Программа составлена заведующим кафедрой математики радиофизического факультета Нижегородского государственного университета профессором д.ф.-м.н. Г.А.Уткиным, ассистентом кафедры математики О.Н.Репиным.

 Н.Новгород 1995

ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ КУРСА

"АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ВЫСШАЯ АЛГЕБРА"

 

1. Учебные цели курса.

Курс аналитической геометрии и высшей алгебры является одним из основных математических курсов,лежащих в основе математического образования студентов.

Цель курса - познакомить студентов с кругом задач,рассматриваемых в аналитической геометрии и линейной алгебре и дать необходимый математический аппарат для изучения дальнейших математических и физических курсов.

2. Учебные задачи курса.

В процессе изучения курса студенты должны освоить:

3. Дисциплины, изучения которых необходимо для усвоения курса.

Курс базируется на знаниях студентов.полученных при изучении математики в средней школе.

СОДЕРЖАНИЕ КУРСА

"АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ВЫСШАЯ АЛГЕБРА"

(наименование тем и их содержание)

1. Векторная алгебра(10 часов).

Понятие вектора.Линейные операции над векторами.Линейная зависимость системы векторов.Геометрический смысл линейной зависимости.Базисы на плоскости и в пространстве, разложение вектора по базису.Проекция вектора на ось.Ортонормироанные базисы,их особенность.Направляющие косинусы вектора.

Скалярное,векторное,смешанное и двойное векторное произведения,их свойства,выражение через координаты сомножителей.Условие ортогональности,коллинеарности,компланарности векторов.

Система координат,координаты точки,преобразование системы координат.

2. Прямая и плоскость (12 часов)

Способы задания линий на плоскости,линий и поверхностей в пространстве.Алгебраические линии и поверхности.

Прямая на плоскости,Различные формы уравнения прямой: общее,параметрическое, каноническое,с угловым коэффициентом,в отрезках,нормальное. Пучок прямых.

Плоскость в пространстве.Различные формы уравнения плоскости: общее, в отрезках, нормальное.Пучок и связка плоскостей.

Прямая в пространстве. Различные формы уравнения прямой:общее,параметрическое, каноническое. Переход от одного задания к другому. Взаимное расположение двух плоскостей,прямой и плоскости,двух прямых в пространстве.

Основные задачи на тему "Прямая и плоскость": расстояние от точки до плоскости и прямой,расстояние между прямыми,углы между прямыми и плоскостями,условие пересечения двух прямых и т.д.

3. Кривые второго порядка (6 часов).

Эллипс,гипербола,парабола,Определение,вывод канонического уравнения каждой из этих кривых,их свойства.Эксцентриситет и директрисы эллипса,гиперболы,параболы.

Полярная система координат. Полярное уравнение эллипса,гиперболы,параболы.

Общее уравнение кривой второго порядка. Приведение общего уравнения к каноническому виду с помощью поворота осей и переноса начала координат.Классификация кривых второго порядка.

4.Матрицы и определители ( 6 часов )

Прямоугольные матрицы. Сумма матриц, произведение матрицы на число, умножение матриц. Свойства этих операций.

Перестановки,инверсии,транспозиции,подстановки.Определитель квадратной матрицы,свойства определителя. Разложение определителя по элементам строки или столбца соответствующей матрицы.Теорема Лапласа. Определитель произведения матриц.

Обратная матрица, критерий обратимости,вычисление обратной матрицы.

5.Системы линейных уравнений ( 6 часов )

Ранг матрицы.Теорема о базисном миноре.Ранг произведения матриц.Элементарные преобразования строк матрицы и их применение к вычислению ранга матрицы.

Системы линейных уравнений.Основные определения:частное и общее решения,совместные и несовместные системы, эквивалентность систем.

Квадратные системы уравнений.Теорема Крамера.

Критерий совместности систем линейных уравнений (теорема Кронекера-Капелли).

Метод Гаусса решения систем лиейных уравнений.

Линейные однородные системы (ЛОС).Свойства решений.Фундаментальная система решений (ФСР).Теорема о числе векторов в ФСР.Структура общего решения ЛОС.

Неоднородные системы (ЛНС).Структура общего решения совместной ЛНС.

6.Линейные пространства ( 6 часов )

Аксиоматика линейного векторного пространства (ЛВП), примеры, свойства ЛВП.

Линейная зависимость системы векторов в ЛВП.Базис и размерность ЛВП. Координаты вектора в данном базисе. Матрица перехода от одного базиса к другому,преобразование координат вектора при переходе к новому базису.

Подпространство. Сумма и пересечение подпространств.Линейные оболочки и теоремы о размерности. Изоморфизм ЛВП.

Евклидово пространство,определение и примеры.Неравенства Коши-Буняковского и треугольника.Общий вид скалярного произведения в конечномерном евклидовом пространстве.Ортогональность и ортонормированность системы векторов.Процесс ортогонализации системы векторов.

7.Линейные операторы в конечномерном линейном векторном пространстве (8 часов)

Определение линейного оператора. Примеры.Образ и ядро линейного оператора.

Матрица линейного оператора в данном базисе. Преобразование матрицы оператора при ереходе от одного базиса к другому.

Действия с линейными операторами.Обратный оператор, его свойства. Критерий обратимости.

Подпространства,инвариантные относительно оператора.Собственные векторы и собственные значения линейного оператора, их свойства.Характеристическое уравнение.

Унитарный и самосопряженный операторы.Свойства собственных значений и векторов самосопряженного оператора.Существование ортонормированного базиса из собственных векторов самосопряженного оператора,нахождение его.

8.Квадратичные формы (8 часов )

Линейная, билинейная и квадратичная формы в ЛВП.Матрица квадратичной формы (КФ) и ее преобразование при переходе к новому базису.Ранг и индекс КФ.Теорема Лагранжа о приведении КФ к диагональному виду. Теорема Якоби. Закон инерции КФ.

Критерий Сильвестра положительной определенности КФ.

Поверхности второго порядка:эллипсоид,гиперболоиды,параболоиды,конусы и цилиндры,их канонические уравнения,свойства.Приведение уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду.

ТЕМЫ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ

Векторная алгебра - 8 часов
Прямая в плоскости - 6 часов
Плоскость и прямая в пространстве - 8 часов
Кривые второго порядка - 6 часов
Вычисление определителей - 4 часа
Действия с матрицами - 2 часа
Ранг матрицы - 2 часа
Решение систем линейных уравнений - 6 часов
Нахождение собственных векторов и собственных значений матрицы - 2 часа
Приведение квадратичной формы к каноническому виду - 4 часа

 

ЛИТЕРАТУРА ПО КУРСУ

"АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ВЫСШАЯ АЛГЕБРА"

Основная литература

  1. В.А.Ильин,Э.Г.Позняк " Аналитическая геометрия ",1988
  2. В.А.Ильин,Э.Г.Позняк " Линейная алгебра ",1988
  3. Д.В.Беклемишев " Курс аналитической геометрии и линейной алгебры ",1985
  4. А.Г.Курош " Курс высшей алгебры ",1975
  5. О.Н.Цубербиллер " Задачи и упражнения по аналитической геометрии ",1970
  6. Д.К.Фаддев,И.С.Соминский " Сборник задач по высшей алгебре ",1977

Дополнительная литература.

  1. 1.А.Н.Рублев "Курс линейной алгебры и аналитической геометрии",1972
  2. 2.Р.И.Тышкевич,А.С.Феденко "Линейная алгебра и аналитическая геометрия "
  3. 3.Л.А.Беклемишева,А.Ю.Петрович,И.А.Чубаров "Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре ",1987