Теория симметрии кристаллов

Решение многих кристаллографических задач связано с переходом от одной установки кристаллического многогранника или кристаллической структуры к другой, т.е. с преобразованием их координатных систем. С одной стороны, полное отсутствие или недостаточное количество особых направлений в группах триклинной и моноклинной сингоний и некоторых группах сингоний средней категории допускает неоднозначность выбора ячейки Браве, с другой - многие исследователи , отдавая дань традициям, либо из кристаллохимических соображений иногда приводят описания кристаллических структур в нестандартном аспекте, пренебрегая, таким образом, требованиями минимального объема ячейки. Например, описание кристаллов или их структур гексагональной сингонии часто приводится в миллеровском, а не в гексагональном - R-аспекте и т.п. А так как каждая координатная система определяется направлением и величиной координатных трансляций (параметров ячейки), выбранных в соответствии с симметрией решетки, переход от одного координатного репера к другому подразумевает вычисление как параметров новой ячейки, а следовательно, и новых координат атомов, так и символов атомных плоскостей и направлений [28, 29, 32].

Рис. 208

Рассмотрим общий случай перехода от "старого" - исходного - координатного репера, характеризующегося единичными трансляционными векторами , и вдоль соответствующих координатных направлений X, Y и Z, к "новому" реперу с единичными векторами , и вдоль новых координатах осей X' , Y' и Z' (при условии их общего начала) (рис. 208).

Выразив параметры , и вдоль новых координатных осей как векторные суммы старых , и , получим систему уравнений, общая форма которых всегда одинакова для любого преобразования осей:

(1)

Поскольку индивидуальный характер каждого частного преобразования определяется только коэффициентами (u, v, w) при векторах (, , ) "старого" координатного репера, то систему рассматриваемых уравнений можно записать сокращенно в виде составленной из этих коэффициентов таблицы, называемой матрицей преобразования:

(M)_{ст --> нов} = = u_A v_A w_A / u_B v_B w_B / u_C v_C w_C. (2)

Переход от нового координатного репера (X' , Y' , Z' ) к старому (X, Y, Z) также можно выразить системой уравнений, связывающей единичные векторы новой (, , ) и старой (, , ) систем:

(3)

и соответствующей матрицей:

(М^-1)_{нов--> ст} = = u_a v_a w_a / u_b v_b w_b / u_c v_c w_c .

Обратим внимание на то, что каждая строка полученных матриц прямого и обратного переходов выражает миллеровский символ соответствующей координатной оси: в первом случае [ u_Av_Aw_A ] - символ новой оси X' , [ u_B v_B w_B ] - оси Y' , [ u_C v_C w_C ] - оси Z' в старой координатной системе, и во втором случае - [ u_a v_a w_a ] - символ старой оси X, [u_b v_b w_b ] - оси Y и [u_c v_c w_c ] - оси Z в новой координатной системе, так как коэффициенты u, v и w не что иное, как координаты точки, расположенной на соответствующей координатной оси, выраженные в долях параметров исходной ячейки. Отметим, что взаимнообратные матрицы (М) и (М^-1) при перемножении (см. с. 27) дают единичную матрицу - матрицу идентичного преобразования:

(М) ^.  (M^-1) = .

B общем случае (М₁) ^. (М₂) (М₂) ^. (М₁).

Для того чтобы получить единичные векторы новой координатной системы (, , ), т.е. параметры новой ячейки, следует на матрицу соответствующего преобразования (М)_{ст--> нов} умножить одностолбцовую матрицу, составленную из параметров старой ячейки - векторных единиц старой координатной системы:

^.   (4)

Таким же образом можно рассчитать параметры , и по матрице обратного преобразования (М^-1):

^. (5)

Закон, по которому преобразуются параметры элементарной ячейки, носит название ковариантного.

Абсолютное значение параметров , , или , , получают извлечением квадратного корня из скалярного произведения каждого вектора на самого себя:

где - углы между осями X, Y, Z старой координатной системы. Аналогично вычисляются значения параметров и .

где - углы между осями X' , Y' , Z' новой координатной системы.

Воспользовавшись зависимостью

и т.д., можно вычислить и углы между осями:

и т.д.

Рис. 209

Если (М₁) - матрица преобразования параметров от первой координатной системы ко второй, а (М₂) - от второй к третьей, то матрица преобразования от первой системы к третьей (М₃) выразится произведением исходных матриц: (М₁)^. (М₂) = (М₃).

В качестве примера (рис. 209) рассмотрим преобразование старой координатной системы (X,Y,Z) в новую (X' , Y' , Z' ) с единичными векторами , , и , , соответственно при условии единого их начала и совпадения векторных единиц вдоль координатных направлений Z и Z' , т.е. . Выразив единичные векторы как векторные суммы старых параметров, получим систему уравнений

и запишем ее в матричной форме:

Нетрудно убедиться в том, что каждая строка полученной матрицы представляет собой координаты первого узла (1-й точки) на соответствующей новой оси в единицах исходной (старой) координатной системы, отношения которых (координат) дают миллеровские символы новых координатных осей X' , Y' , Z' в старой системе: [320], [140] и [001] соответственно.

Матрицу обратного преобразования (М^-1) от новой координатной системы к старой в данном случае удобно получить графически ¹ (см. рис. 209). Для этого из построенных треугольников OPR и OST, стороны которых выражены целочисленными значениями как старых, так и новых параметров, получим:

для D OPR - , откуда ,

для D OST - , откуда ,

при этом .

Таким образом, матрица обратного преобразования

(М^-1)_{нов--> ст} будет иметь вид:

Перемножение полученных взаимно обратных матриц (М) и (М^-1), как и следовало ожидать, приведет к единичной матрице

Далее, подставив значения исходных единичных векторов в выражения (4) и (5), получим единичные векторы той или иной искомой координатной системы.