Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://halgebra.math.msu.su/courses/exams/APA/Exam_Latyshev_9_2010.pdf Дата изменения: Wed Feb 13 11:26:44 2013 Дата индексирования: Sun Apr 10 00:06:45 2016 Кодировка: Windows-1251

Экзаменационные вопросы по курсу ?Прикладные проблемы алгебры? 5-й курс (ЕНС), 2010/11 учебный год Лектор проф. В. Н. Латышев
1. Исчисления, символьные среды, алгоритмы, тезис Ч?рча, массовые проблемы, существование алгоритмически неразрешимых массовых проблем, проблема остановки алгоритма. 2. Алгоритмическая неразрешимость проблемы Туэ об ассоциативных исчислениях и 10-й проблемы Гильберта. 3. Алгоритмическая неразрешимость проблемы равенства слов для конечно определенных групп, пример Цейтина. 4. Схемы симплификации; эквивалентность различных свойств: наличие канонизации, условие Ч?рча-Россера, локальное условие слияния, единственность минимальной вершины в связной компоненте графа Ньюмана, совпадение отношений Ч?рча-Россера и связности. Линейная версия. 5. Базис Гребнера идеала свободной алгебры и алгебры полиномов. Эквивалентность

условий, наложенных на порождающее множество идеала: базис Гребнера, редуцируемость элемента идеала к нулю,

H

-представимость элемента идеала, представимость

S

-

полиномов, имеющая ?малый параметр?; свойство канонизации соответствующей линейной схемы симплификации. 6. Существование и единственность редуцированного базиса Гребнера, его конечность в полиномиальном идеале, алгоритм Бухбергера. Теорема Ж. Левина о конечной порожденности идеала свободной алгебры конечной коразмерности. 7. Базис Гребнера одностороннего идеала свободной ассоциативной алгебры, его конечность для конечно порожденного идеала, теорема П. Кона о том, что односторонние идеалы являются свободными модулями над алгеброй. 8. Построение алгебр с универсальными свойствами с помощью базиса Гребнера, в том числе универсальная обертывающая алгебры Ли. 9. Поднятие собственных идеалов и роста на целые расширения конечно порожденных коммутативных алгебр. 10. Индуктивные утверждения ?о промежуточных линейных заменах переменных? и ?достраивании нулей идеалов?. 11. Алгоритм решения СНАУ, использующий базис Гребнера полиномиального идеала, теорема Гильберта о нулях, нахождение параметров алгебры, заданной копредставлением. 12. Размерность Крулля полоиномиального идеала и рост фактор-алгебры по нему. 13. Алгоритмы распознавания принадлежности полинома радикалу полиномиального идеала. 14. Вид приведенной СНАУ в ?общем случае?, оценки сложности построения редуцированного базиса Гребнера полиномиального идеала. 15. Решение СНАУ с помощью

u-результанта

Безу, кратность решения, связь с локализацией

собственных значений матрицы. 16. Алгоритм распознавания алгебраической зависимости системы элементов коммутативной алгебры, заданной коммутативным копредставлением. 17. Модуль сизигий системы полиномов, отыскание его порождающих с использованием стандартного базиса, алгоритм распознавания делителей нуля по модулю полиномиального идеала, построение системы порождающих пересечения идеалов в алгебре полиномов.

Список литературы
[1] Латышев В.Н. [2] Д. Кокс, Д. Литтл, Д. О'Ши. [3] T. Becker, V.

Комбинаторная теория колецD стандартные базисыF М., издательство МГУ, 1988 ИдеалыD многообразия и алгоритмыF М., ?Мир?, 2000. Weispfenning. qr? oner sesF Springer-Verlag, New York - Berlin - Neidelberg, 1993.

г.