Некоторые задачи Антона А. Клячко

для школьников, первокурсников и второкурсников

(совместно с Е.В.Френкель)   Третьим будешь?   LXXIX Московская математическая олимпиада, 2016	Сорок студентов скинулись и купили десять литров кваса. Выпивать они решили только собираясь по трое, причем во время каждого распития все три участника должны пить поровну. А суммарно i-й студент желает выпить ровно ai литров. Верно ли, что это возможно тогда и только тогда, когда ∑ai=10 и никакое ai не превосходит 10/3 ?
Простые элементы групп   X студенческая олимпиада по алгебре в МГУ, 2015	Назовем элемент группы простым, если его нельзя разложить в произведение двух неединичных коммутирующих элементов. Покажите, что если в конечной группе есть простые элементы, то а) ее порядок есть удвоенное нечетное число; б) каждый элемент раскладывается в произведение нескольких простых.
Полюшко-поле   X студенческая олимпиада по алгебре в МГУ, 2015	Назовем необязательно ассоциативное и необязательно коммутативное кольцо с единицей полюшком, если в нем все ненулевые элементы обратимы. Покажите, что число элементов в конечном полюшке обязательно является степенью простого числа, а полюшко из двадцати пяти элементов - это поле.
Представители прямых   X студенческая олимпиада по алгебре в МГУ, 2015	Над какими конечными полями можно выбрать в аффинной плоскости подмножество, пересекающее каждую прямую ровно а) по одной точке? б) по двум точкам?
Корни из перестановок   X студенческая олимпиада по алгебре в МГУ, 2015	Верно ли, что если перестановка является квадратом некоторой перестановки и кубом некоторой перестановки, то она является шестой степенью некоторой перестановки?
Следы степеней   X студенческая олимпиада по алгебре в МГУ, 2015	Покажите, что если у комплексной матрицы A все натуральные степени (то есть A, A2, A3,...) имеют одинаковый след, то этот след является целым числом.
Диагонализация взаимно обратных матриц   IX студенческая олимпиада по алгебре в МГУ, 2014	Докажите, что вещественные взаимно обратные матрицы A и A-1 можно одновременно привести к диагональному виду элементарными преобразованиями строк и столбцов, если A4=E. Покажите, что для ортогональных матриц A верно и обратное утверждение. (Одновременно означает, что к данным двум матрицам применяются одни и те же преобразования.)
Антиподгруппы   IX студенческая олимпиада по алгебре в МГУ, 2014	Подмножество A некоторой группы назовем антиподгруппой, если произведение двух элементов из A никогда не лежит в A. Покажите, что антиподгруппа не может содержать больше половины элементов группы; причем в любой абелевой группе четного порядка обязательно найдется антиподгруппа, содержащая половину элементов группы, а в простой неабелевой группе такой большой антиподгруппы быть не может.
Открытие Вандермонда   VIII студенческая олимпиада по алгебре в МГУ, 2014	Ваня Дермондин написал на бумажках сто выражений: 1, x0, (x0)2, ..., (x0)9, ..., 1, x9, (x9)2, ..., (x9)9 и пытается разложить их так, чтобы получить квадратную матрицу D(x0,...,x9), обладающую приятным свойством: D(c0,...,c9) невырождена тогда и только тогда, когда комплексные числа ck попарно различны. Сколькими способами это можно сделать?
Вырожденность и некоммутативность   VII студенческая олимпиада по алгебре в МГУ, 2012	Покажите, что квадратная матрица над полем вырождена тогда и только тогда, когда ее можно разложить в произведение нескольких квадратных матриц, произведение которых в некотором другом порядке равно нулевой матрице.
Обмен шпаргалками   VII студенческая олимпиада по алгебре в МГУ, 2012	Несколько студентов менялись шпаргалками. Произошло сто обменов 'одну на одну' и в итоге все шпаргалки вернулись к своим первоначальным хозяевам. В скольких максимум руках могла побывать отдельно взятая шпаргалка?
Общее прошлое и общее будущее   VII студенческая олимпиада по алгебре в МГУ, 2012	Из двух многочленов со старшим коэффициентом один можно получить один и тот же путем возведения в степени (fk=gl) тогда и только тогда, когда их можно получить из одного и того же путем возведения в степени (f=hi, g=hj). При каких n в Zn[x] это так для любых многочленов?
Еще один критерий вырожденности   VI студенческая олимпиада по алгебре в МГУ, 2011	Покажите, что вещественная матрица A размера 2011х2011 вырождена тогда и только тогда, когда ее можно превратить в -A элементарными преобразованиями вида прибавление к одной строке другой, умноженной на число.
Змей Горыныч за шахматной доской   VI студенческая олимпиада по алгебре в МГУ, 2011	Какие бы вещественные числа Змей Горыныч ни написал на черных клетках шахматной доски, Иванушка-дурачок может заполнить белые клетки так, что получится матрица ранга r. Для каких r это возможно?
Многочлены, сохраняющий корни из единицы   VI студенческая олимпиада по алгебре в МГУ, 2011	Покажите, что каждый многочлен от одной переменной с комплексными коэффициентами, отображающий все корни из единицы в корни из единицы, является одночленом.
(совместно с Б.Ф.Мельниковым)   Идеальные компании   XXXII Турнир городов (устный тур), 2011	Подмножество студенческой группы назовем идеальной компанией, если 1) в этом подмножестве все девушки нравятся всем юношам; 2) в это подмножество нельзя никого добавить, не нарушив условие 1). В 105 группе учатся 9 студенток и 15 студентов. Кто кому нравится, мы не знаем. Найдите наибольшее возможное число идеальных компаний в этой ситуации.
(совместно с А.А.Нечаевым)   Автоморфизмы, сохраняющие модуль   V студенческая олимпиада по алгебре в МГУ, 2010	Может ли подкольцо поля комплексных чисел (не обязательно содержащее единицу) иметь больше двух автоморфизмов, сохраняющих модуль?
Стойкие элементы   V студенческая олимпиада по алгебре в МГУ, 2010	Назовем элемент группы стойким, если он остается на месте под действием всех автоморфизмов. Опишите все конечные группы, в которых стойких элементов не меньше половины.
Антитела   V студенческая олимпиада по алгебре в МГУ, 2010	Назовeм ассоциативное кольцо с единицей антителом, если оно не содержит неединичных обратимых элементов. Докажите следующую 'антитеорему Веддерберна': все конечные антитела коммутативны.
(совместно с Е.В.Френкель)   Богатыри на дороге   LXXIII Московская математическая олимпиада и XXXI Турнир городов, 2010	Тридцать три богатыря едут верхом по кольцевой дороге против часовой стрелки. Могут ли они ехать неограниченно долго с различными постоянными скоростями, если на дороге есть только одна точка, в которой богатыри имеют возможность обгонять друг друга?
О, алгебра!   IV студенческая олимпиада по алгебре в МГУ, 2009	Найдите ранг матрицы, зависящей от комплексного параметра X:
Нежные матрицы   IV студенческая олимпиада по алгебре в МГУ, 2009	Назовем матрицу нежной, если ее ранг изменяется при любом изменении любого из ее элементов. Каких рангов бывают нежные матрицы 2009х2009 а) над полем комплексных чисел? б) над полем из двух элементов?
Волшебные кольца   IV студенческая олимпиада по алгебре в МГУ, 2009	Конечное ненулевое ассоциативное коммутативное кольцо (возможно, без единицы) назовем волшебным, если произведение всех его ненулевых элементов не равно ни нулю, ни минус единице. Отыщите все волшебные кольца!
Тараканы в общежитии   IV студенческая олимпиада по алгебре в МГУ, 2009	Число тараканов, живущих в каждой комнате стокомнатного общежития, равно среднему арифметическому количеств тараканов, живущих в соседних комнатах. Из этого фундаментального закона есть только два исключения: комната студента Д., в которой живет (100!)! тараканов, и комната студентки О., где тараканов совсем нет. Докажите, что, какой бы ни была архитектура общежития, эта система уравнений имеет целочисленное решение. (Теоретически, у комнаты может быть от одной до шести соседних.)
Угрюмые элементы   IV студенческая олимпиада по алгебре в МГУ, 2009	Назовем элемент группы угрюмым, если он не коммутирует ни с кем, кроме самого себя и единицы. Покажите, что в неединичной группе угрюмых элементов либо ровно половина, либо вовсе нет.
Влюбленные элементы   Студенческая олимпиады по алгебре на мехмате МГУ, МЦНМО, 2012   (Упражнение к решению предыдущей задачи)	Назовем элемент группы влюбленным, если, кроме самого себя, он коммутирует лишь с одним неединичным элементом. Покажите, что в группе порядка большего чем два влюбленных элементов либо ровно одна треть, либо ровно две трети, либо вовсе нет, причем все три возможности реализуются. Докажите, что неединичный элемент, коммутирующий с влюбленным, сам влюблен; другими словами, любовь всегда взаимна (в этой задаче).
Тараканы в комнате   III студенческая олимпиада по алгебре в МГУ, 2008	По комнате, имеющей форму параллелепипеда, ползают тараканы. В полночь каждый таракан переползает на одну из четырех граней, соседних с той, на которой он находился (например, все тараканы, находившиеся на полу, заползают на стены); причем в результате число тараканов на каждой грани остается постоянным. В этой задаче 24 неизвестных: количество тараканов, переползших с каждой грани на каждую из соседних с ней граней. А сколько у этой задачи линейно независимых решений? Найдите фундаментальную систему решений.
Мех-мат и ВМК   III студенческая олимпиада по алгебре в МГУ, 2008	Покажите, что неравенство rk(MEX-MAT)>rk(BMK), где A,B,E,K,M,T,X - неизвестные матрицы 3x3 над полем из 101 элемента, имеет больше решений, чем противоположное строгое неравенство.
Уравновешенные группы   III студенческая олимпиада по алгебре в МГУ, 2008	Назовем конечную абелеву группу уравновешенной, если сумма всех ее элементов равна нулю. Каких абелевых групп порядка, не превосходящего 2008, больше: уравновешенных или неуравновешенных?
Ненормальные подгруппы   III студенческая олимпиада по алгебре в МГУ, 2008	Помогите доценту Н. Е. Нормальному доказать следующий важный результат: Теорема 3. Если группа содержит ровно 3 ненормальные подгруппы, то ее порядок делится на 3. Можно ли здесь тройки заменить на двойки? А на четверки?
Транспонирование и возведение в степень   III студенческая олимпиада по алгебре в МГУ, 2008	Покажите, что для вещественных матриц A справедлива импликация: если A2008=AT, то A2010=A.
Компьютерная алгебра   II студенческая олимпиада по алгебре в МГУ, 2007	Студент Д. решил возвести все матрицы 17х17 над полем из семнадцати элементов в сотую степень, сложить результаты и посмотреть, что получится. Но в этот момент у студента сломался компьютер. Помогите ему.
Плохие оценки   II студенческая олимпиада по алгебре в МГУ, 2007	Проверив сто контрольных по алгебре, Иван Владимирович обнаружил, что из полученных оценок нельзя составить невырожденную матрицу. Иван Владимирович очень расстроился, исправил одну из единиц на двойку, составил из оценок матрицу с определителем сто шестьдесят два, успокоился и лег спать. Какие оценки получили студенты? (Теоретически, оценки бывают такие: 1, 2, 3, 4 и 5.)
Дюжинные кольца   II студенческая олимпиада по алгебре в МГУ, 2007	Назовем коммутативное ассоциативное кольцо с единицей дюжинным, если каждое отображение из этого кольца в себя задается многочленом 12-й степени над этим кольцом. Опишите все дюжинные кольца.
Большое задание   I студенческая олимпиада по алгебре в МГУ, 2006	Студенту Д. задали на дом решить все системы из пяти линейных уравнений с пятью неизвестными над полем из пяти элементов (всего 530 систем). Сколько из этих систем является совместными? Сколько является определенными?
Практически обратимые матрицы   I студенческая олимпиада по алгебре в МГУ, 2006	Студент Д. называет квадратную вещественную матрицу A практически обратимой, если найдется такая матрица B, что элементы матрицы C=AB отличаются от соответствующих элементов единичной матрицы не более чем на 10-10. Существуют ли практически обратимые необратимые матрицы?
Практически алгебраически замкнутые поля   I студенческая олимпиада по алгебре в МГУ, 2006	Студент Д. называет поле практически алгебраически замкнутым, если в этом поле каждый многочлен положительной степени, не превосходящей 10000000000, имеет корень. Может ли практически алгебраически замкнутое поле a) быть конечным? б) не быть алгебраически замкнутым?

Здесь вы видите только задачи, автором которых считает себя Клячко. Другие задачи по алгебре (в том числе, очень красивые) можно найти на странице олимпиад.