Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://hbar.phys.msu.ru/hbar/optmicro/lec09.pdf Дата изменения: Tue Apr 15 00:00:00 2008 Дата индексирования: Mon Oct 1 20:44:18 2012 Кодировка: Windows-1251

Спецкурс Оптические микрорезонаторы. Лекция 9. Резонатор Фабри-Перо. Укороченное уравнение. Брэгговские зеркала.
М.Л.Городецкий 15 апреля 2008 г.

1

Резонатор Фабри-Перо

В 1899 году два французских ученых Шарль Фабри и Альфред Перо (France) описали многолучевой интерферометр, состоящий из двух плоскопараллельных частично посеребренных стеклянных пластин, который позволил существенно повысить разрешение спектральных измерений. Однако триумфальные шествие этого устройства, уже в форме резонатора, способного запасать оптическую энергию, начинается после того, как почти одновременно в 1958 году Прохоров [1] и Шавлов с Таунсом [2] предложили его для использовать для создания лазера. Правда современные патентные тяжбы свидетельствуют, что приоритет следует отдать малоизвестному изобретателю Гордону Гоулду [3], предложившему схему на год раньше. Рассмотрим, как введенная ранее матрица рассеяния может быть использована для нахождения характеристик интерферометра Фабри-Перо, образованного двумя зеркалами с коэффициентами отражения RI и RP и, соответственно, пропускания TI и TP , расположенными на расстоянии d, заполненный средой с показателем преломления n. Если потерь в зеркаp p P P P лах нет, то TI a I RI и TP a I RI , в противном случае Ri C TiP a i C i a I vi , где vi потери на зеркале. Обозначим амплитуду волны, падающей на первое входное зеркало, через aI , а отраженной через bI . Соответственно, амплитуда выходящей из второго зеркала bP . За один проход внутри резонатора волна приобретает фазовый сдвиг ? a PnkH d; Обычно для нахождения поля внутри резонатора aH используется геометрическая прогрессия (см., например, [4], именно так впервые в 1830 году Эйри получил свою известную формулу для амплитуды отраженной от стеклянной пластини волны. Волна ищется как сумма прошедшей через входное зеркало волны aT a iTI aI и затем частичных многократно отраженных от обоих зеркал волн:

aH a iTI aI

I X

iTI a; @RI RP ei? Aj a I RI RP ei? I j aH
1

(1)


Но можно тот же ответ и даже в еще более интересной и более общей дифференциальной форме получить и сразу, рассмотрев условия на входном зеркале, на которое слева падает входная волна, а справа внутренняя волна, но та, которая отошла от входного зеркала некоторое время ?t a Pnd=c назад, потребовавшееся волне, чтобы пройти путь Pd, отразится от второго зеркала и получить за это время набег фаз: В стационарном режиме, когда aH @tA a aH @t ?tA получается, естественно, тот же ответ, что и прежде. Рассмотрим сначала именно этот режим. Аналогично предыдущему, записывая условия для отраженной волны:

aH @tA a iTI aI C RI RP aH @t ?tA ei? :

(2)

bI a

RI aI R a I I

P IP A i? iTI RP ei? aH a RI IRP @RIRCeT? e aI RI P i RP @I vI Aei? RI RP ei? aI

(3)

и для прошедшей через резонатор волны:

T T ei?=P bP a iTP ei?=P aH a I P a I RI RP ei? I
Sa

(4)

I R I ei ? I RP




RP ei? @I

v I A RI TI TP ei?=P

TI TP ei?=P RI ei? @I vP A RP


(5)

Наибольший интерес представляют резонаторы Фабри-Перо с одинакоq p Pp выми зеркалами без потерь: RI;P a I TI;P a a I , vI a vP a H. В этом случае выражения для мощностей отраженной, прошедшей и циркулирующей внутри волны имеют вид:

R sinP @?= jbI jP a @I AP C R sinPPA =PA jaI jP @? P A jbP jP a @I AP @I sinP @?=PA jaI jP CR I jaH jP a @I AP C R P @?=PA jaI jP sin
Максимумы пропускания наблюдаются когда

(6)

?=P a

!m nd a m; c mc fm a ; Pnd

(7)

Если в среде, заполняющей резонатор, и в зеркалах нет потерь то на этих частотах знаменатель во всех выражениях минимален, отражения нет (bI a 2


H

), а амплитуда прошедщей волны по модулю равна входной амплитуде. При этом циркулирующая мощность внутри резонатора

при хороших зеркалах на много порядков больше, чем входная. Расстояние между соседними максимумами определяется соотношением:

I jaH jP a I jaI jP I ( I может быть

(8)

c fmCI fm a ?f a ; Pnd

(9)

Как следует из этого соотношения, расстояния между максимумами пропускания резонатора не зависит от частоты, то есть спектр собственных частот идеального резонатора Фабри-Перо является эквидистантным. Полоса пропускания резонатора Фабри-Перо это частотное расстояние между максимумами пропускания, выраженная в длиннах волн ?:

? a

P ?f a ; f Pnd
I=P

(10) определяется

Полная ширина максимумов пропускания по уровню из условия:

sin ?=P a

I P

p ;
?=P

(11)

что при условии узких пиков пропускания соотношению:

m ( I

приводит к

@I fI=P a P ?f fI=P

p Ac ; nd p ;

(12)

Величина, определяемая отношением

p

a I

(13)

называется резкостью интерферометра. А добротность резонатора по определению является отношением частоты резонанса к его полуширине:

Qa

f Pnd ap ; fI=P

(14)

3


1.1

Резонатор с потерями. Согласование связи

Рассмотрим теперь резонатор Фабри-Перо с потерями в среде и с неидеальными зеркалами. Потери в среде можно описать, вводя мнимую часть показателя преломления на данной частоте sm@nA a =@PkH A (см. Лекцию 2). Где коэффициент затухания мощности распространяющейся волны: P @dA a jeik0 nd jP P @HA a e d P @HA. Удобно ввести коэффициент внутренних потерь на один проход vH a Pd. Если потери малы, на резонансной частоте ei? a e d 9 @I dA a I vH =P. Оказывается, что и в этом неидеальном случае можно добиться того, чтобы вся входная мощность попадала в резонатор на резонансной частоте. Для того чтобы вся входная мощность попадала в резонатор необходимо выполнение условия bI a H на резонансной частоте. Считая, что зеркала достаточно хорошие, и пропускание с поглощением много меньше единицы, p разложим коэффициенты отражения Ri a I i vi 9 I i =P vi =P. Из выражения (3) следует, что для обращения в нуль bI достаточно потребовать при резонансе равенства нулю числителя дроби:

P P RI RP @RI C TI I a P C vI C v

Ae d 9 P C vH :

I =P vI =P C P =P C vI C vH =P a H

(15)

Мы пренебрегли здесь членами второго порядка малости. Полученное выражение имеет очень простой физический смысл: I определяет связь резонатора с волной накачки и потери связи, а все отсальные члены описывают другие виды потерь. Так, P можно интерпретировать как потери рассеяния резонатора на втором зеркале, vI , vP поглощение в зеркалах, vH внутренние (собственные) потери резонатора. Таким образом, оптимальная связь с резонатором обеспечивается условием равенства потерь связи сумме всех остальных видов потерь. Легко показать, что именно при таком пропускании входного зеркала, амплитуда и мощность, циркулирующая внутри резонатора максимальна. Ищем, при каком значении I достигается максимум aH на резонансной частоте (1):

самое равенство, что и ранее. При этом

iTI iP I aH a i? aI 9 I C P C vI C vP C vH aI I RI RP e Дифференцируя по I и приравнивая производную нулю получаем

p

(16) то же (17)

jaHmax jP a I jaI jP I
1.2 Укороченное уравнение для поля в резонаторе

Вернемся к выведенному ранее разностному уравнению (2). Используя приближение a@t Pnd A 9 a@tA Pnd a@tA, получим дифференциальное уравнение: c c

c Tc aH C aH @I RI RP ei? A a i I aI ; Pnd Pnd
4

(18)


полагая, как и ранее Ri 9 I i =P vi =P, ei? 9 I C iPn?kH d d, и пренебрегая членами второго порядка малости, получить дифференциальное уравнение

Tc aH C aH @Ѓ i?!A a i I ; Pnd Ѓ a H C Is C Ps C Ia C Pa c H a Pn c is a i Rnd vc ia a i Rnd

(19)

Мы получили укороченное уравнение, аналогичное тому, которое было выведено в первой лекции для модели связи колебательного контура с длинной линией. Первый декремент H описывает внутренние потери в резонаторе. Ему сообтветствует собственная добротность:

В случае согласованного потерь, и тогда:

! P n QH a a P H резонатора Is равна

(20) сумме всех остальных видов

! Pdn QH a a RIs I
1.3

9 p Pdn ;

(21)

что согласуется с выражением, полученным ранее.
Сканирование длины резонатора

Собственные частоты и соответствующие им длины волн соответствуют простому условию резонанса:

m m a nd; P

(22)

то есть на оптической длине резонатора укладывается целое число полуволн. При этом в резонаторе образуется стоячая волна и на поверхности зеркал приходятся узлы этой волны. При медленном (по сравнению со временем звона) изменении длины Фабри-Перо резонатора, например, посредством продольного перемещения одного зеркала, приклеенного к пьезоэлектрическому пакету изменяется и резонансная длинна волны в пропорции ? a ?d и, соответственно сме d щается (свипируется) его частота. Изменяя таким образом резонансную длину волны резонатора лазера, можно тем самым менять длину волны одночастотного лазерного излучения. Такой способ сканирования широко применяется, когда требуется прецизионная перестройка длины волны в 5


не слишком больших пределах. Перестройка волны одночастотного лазера имеет смысл лишь в пределах свободного спектрального диапазона, в противном случае излучение лазера будет перескакивать на моды другого порядка, соответствующие другим номерам m.

m@ C ?A a @m C IA P ; ? Pnd
что с использованием полученной пропорции дает:

(23)

?d

d a; m Pn

(24)

то есть максимальная допустимая перестройка длины лазера достигается при изменении его длины на половину длины волны в среде доли микрона. Такой порядок перемещения легко обеспечивают пьезопакеты. Чем короче резонатор, тем большую перестройку длины волны лазера обеспечивает такое изменение длины резонатора.
1.4 Гауссовы пучки

Поскольку резонатор Фабри-Перо является открытым резонатором, не ограниченным боковыми стенками, поле распространяющихся в нем мод должно каким-то образом спадать в поперечном направлении, чтобы утечка энергии в этом направлении была мала. В декартовой или цилиндрической системе координат можно выбрать скалярный потенциал, соответствующий z компоненте поля. Этот потенциал будет удовлетворять скалярному уравнению Гельмгольца.

rP C kP a H

(25)

Будем искать решение в параксиальном приближении a u@x; y; z Aeikz , где u@x; y ; z A медленно в масштабе длины волны изменяющаяся функция. Подставляя это решение в уравнение Гельмгольца и пренебрегая членом @ 2 u , как в методе медленно меняющихся амплитуд, получим уравнение @ z2

@Pu @Pu @u C C iPk a H @ xP @ yP @z

(26)

Решением уравнения Гельмгольца является сферическая волна e ikr =r. В параксиальном приближении для точек прилижащих к оси z можно разложить

p r a xP C yP C z P

eikr r

I 9 eikz z e

2 i k(x 2+y z

2)

a e ikz u@x; y; z A

PC P 9 z C x Pz y

(27)

6


Можно проверить, что u@x; y ; z A в параксиальном приближении удовлетворяет выведенному укороченному уравнению, а также любая другая функция вида u@x; y ; z C zH A. Для мнимого zH a ib получается функция, описывающая распространение Гауссового пучка.

uHH a i
a

wP @z A a K @z A a
tn a

Здесь нормировочная константа выбрана так, чтобы juHH jP dx dy a I. Величина K @z A описывает радиус кривизны фронта пучка, распространяющегося вдоль оси z , величина w@z Ap азывает радиус пучка, минимальный пок радиус при z a H, равный wH a Pb=k называется радиусом перетяжки, P P величина b a k wH =P a wH = называется конфокальным параметром. Параметры пучка удобно переписать через радиус перетяжки wH :

kb p z pP e i w Pb zP @I C P k b z P C bP z z b

r



ib
A

I



x2 +y2 eik 2(z+ib)
2)

x2 +y2 ik(x2 +y e w2 e 2K

(28)

RR

" P # P @z A a wP I C z w H P wH P z P C @wH =AP K @z A a z z tn a P wH Гауссов пучок с радиусом перетяжки wH асимптотически виде конуса с углом раскрыва ? 9 w 9 w0 . z
1.5

(29) расширяется в

Условия устойчивости резонаторов Фабри-Перо

Рассмотрим резонатор Фабри-Перо, образованный двумя сферическими зеркалами. Пусть в нем образовалась стоячая волна, имеющая вид гауссового пучка с перетяжкой при z a H, а отражающие поверхности зеркал с радиусами кривизны KI и KP пересекают ось z в точках z a zI и z a zP . Понятно, что такая мода будет устойчива, если фаза волны на поверхности зеркал одинакова, что достигается в случае если радиус кривизны фазовых фронтов на поверхности зеркал совпадает с радиусом кривизны самих зеркал. Запишем соответствующую систему уравнений:

P zP C bP a KP zP
7


Рис. 1: Параметры гауссового пучка

PC P zI z b a KI I zP zI a d
Решая первые два уравнения относительно решения в последнее условие получаем:

(30)

zP и zI

и подставляя найденный

P zP C b P a KP zP PC P zI z b a KI I zP zI a d
r P KP zP a Ѓ KP bP P rR P KI P K zI a I Ѓ b P rR r P P KP KI KP P C Ѓ R b Ѓ KI P P R

(31)

bP a d
bP
:

(32)

Полученное уравнение можно разрешить относительно

P wR d@d KI A@d KP A@KI C KP dA bP a P H a @KI C KP PdAP
r

(33)

d d если ввести обозначения, g I a I K1 и gP a I K2 , то радиусы пятен на поверхности зеркал определятся следующими выражениями:

wI a

I=R d gI I gP I gI gP
8


Рис. 2: Диаграмма устойчивости резонаторов типа Фабри-Перо

wP a

r

I=R d gP I gI I gI gP

(34)

Эти величины действительны только если выполняются условия:

H

gI gP

I;

(35)

Эти условия графически изображаются в виде классической диаграммы Колельника-Бойда [5]. Устойчивые моды возможны только в незаштрихованных областях. Можно, однако, указать и более простое эквивалентное правило определения устойчивости, не требующее обращения к диаграмме. Если каждое из двух зеркал представить в виде отрезка, соединяющего центр кривизны с поверхностью и лежащего на оси z , то устойчивыми являются лишь те конфигурации, для которых два получающихся отрезка пересекаются, но при этом ни один из отрезков не лежит внутри другого.
1.6 Моды высших порядков

Рассмотренная основная мода резонатора Фабри-Перо, представляющая собой осесимметричный гауссов пучок является не единственным возможным 9


типом колебаний. Кроме этого возможны поперечные моды, описываемые либо функциями Гаусс-Эрмитта:

u@x; y; HA

G

m

@ Px=wH A n @ Px=wH A 2 =P ; @ A a H @ Ae

p

p

(36)

если снято вырождение по какой-либо из осей (H полиномы Эрмитта), либо функциями Лагерра-Гаусса:

u@; ; HA
1.7

G



2 ` ` P nsin ` o 2 =w0 vp P P os ` e wH wH

(37)

Многослойные покрытия

Для создания высокодобротных резонаторов серебряные зеркала, применявшиеся в ранних интерферометрах и резонаторах Фабри-Перо не годятся, поскольку металлические пленки имеют большие оптические потери ( IHT см I , а коэффициент отражения H:WS недостаточен для большинства применений. Современная технология позволяет получать диэлектрические многослойные зеркала с очень малыми потерями и большими коэффициентами отражения. Такие же многослойные зеркала, часто называемые Брэгговскими, применяются и в монолитных микрорезонаторах типа Фабри-Перо. Электрическое и магнитное поле в плоской бегущей волне (для определенности выберем поляризацию вдоль оси x) можно представить в виде:

Ex a EHC e ikz C EH eikz a EC @z A C E @z A (38) I I Hy a HHC e ikz C HH eikz a EHx e ikz EHx eikz a EC @z A C E @z A r H a (39) H
В такой записи прямая и обратная электромагнитные волны эквивалентны прямой и обратной волне в длинной линии, описываемой телеграфными уравнениями [6]. При этом электрическое поле соответствует напряжению волны в длинной линни, а магнитное поле току. Параметр при этом соответствует волновому сопротивлению длинной линии. Как и в длинных линиях удобно ввести понятия коэффициента отражения поля и импеданса:

E @z A EH Pikz a e EC @z A EHC E @z A E @z A C Z @z A a a C H @z A EC @z A E H Z @z A @z A a a E C H Z @z A C
@z A a

E @z A IC I H ePikz a a E @z A I I C H ePikz Z @HA Pikz a @HAePikz a e Z @HA C
10

(40)


Введенные параметры и Z позволяют легко рассчитывать параметры любой многослойной системы, пользуясь тем, что на границе сред импеданс не меняется, поскольку тангенциальные компоненты E и H непрерывны, а в процессе распространения между границами коэффициент отражения преобразуется по простой формуле iCI a i ePik?z . Пусть многослойное покрытие нанесено между средами a и b с показателями преломления na и nb (например, на границе воздуха и стеклянного зеркала). Рассматривать слои следует с самой последней границы слоя со средой b, где нет отражения и поэтому Zb a . Так, на границе всего двух сред:

Раскручивая слои в обратном порядке, чередуя условия для и Z , можно рассчитать произвольное многослойное покрытие. Рассмотрим простейшую систему слоев, наиболее часто применяемую для создания диэлектрических зеркал систему состоящую из чередующихся четвертьволновых слоев (слоев оптическая толщина равна четверти длины волны плюс возможно целое число полуволн, eiPk0 ni d a I) с большим nh и меньшим nl показателями преломления. Для четвертьволнового слоя

n n ZP a ZI a P IP a P I a I P P C I n I C n P

(41)

iCI a eiPk0 ni d i a i I C iCI I i P ZiCI a a a I @ziCI I C @zi Z @zi A

(42)

Это свойство четверьволнового слоя преобразовывать импеданс (в теории длинных линий четвертьволновые отрезки называются трансформатором) позволяет построить простые рекурентные соотношения между импедансами слоев.

P ZI a h ZP PN PN lP lP lR l a P Z a R Z a ::: a ZPN a l b ZP a ZQ h R h T h h

(43)

Окончательно получаем коэффициент отражения на входной поверхности:

Как 3 I коэффициент отражения покрытия стремится к единице, что и требуется. По 11

PN 2 PN h na nb nl h I nh a b ZI a I l n2 a I a PN 2 a PN h ZI C a I C h nl na nb h I C nh l a b n2 h следует из полученного выражения, при nl =nh < I и N

(44)


модулю к единице стремится это выражение и в случае nl =nh > I, поэтому начинаться структура может и со слоя с меньшим показателем преломления.

Список литературы
[1] А.М.Прохоров , ЖЭТФ 34, 1658 (1958). [2] A.L.Schawlow, C.H.Townes, Phys. Rev. 112, 1940 (1958). [3] A.E.Siegman, IEEE J. of Special Topics in Quantum Electr. 20, 100 (1999). [4] Х. Хаус,

Волны и поля в оптоэлектронике

, М., Мир, 1988.

[5] H.Kogelnik and T.Li,, Appl. Opt. 5, 1550 (1966). [6] И.С.Гоноровский, связь., 1986.

Радиотехнические цепи и сигналы,

М.: Радио и

12