Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://higeom.math.msu.su/~asmish/Lichnaja-2010/Version2010-11-20/Courses/LinAlgProgram.ps Дата изменения: Sun Oct 31 00:35:16 2004 Дата индексирования: Sun Apr 10 01:32:40 2016 Кодировка: Windows-1251

Программа
курса "Линейная алгебра"
для студентов 1-го курса весенний семестр
составитель  А.С.Мищенко
31 октября 2004 г.
1. Понятие вкторного пространства, примеры. Арифметическое про-
странство, пространство полиномов, пространства финкций.
2. Линейные подпрострнства, линейные оболочки, конечномерные про-
странства.
3. Линейная зависимость векторов, линейно независимые системы век-
торов.
4. Разложение векторов в линейную комбинацию линейно незвисимых
векторов.
5. Базис векторного пространства. Теорема существования базиса в ко-
нечномерном пространстве.
6. Теорема о дополении линейно независимой системы векторов до ба-
зиса.
7. Теорема об инвариантности мощности конечных базисов.
8. Теорема о конечности базиса в конечномерном пространстве.
9. Размерность векторного пространства. Теорема об инвариантности
размернсти.
10. Классификация конечномерных векторных протсранств.
1

11. Координаты вектора, закон изменения координат вектора при изме-
нении базиса
12. Сумма и пересечение линейных подпространств, прямая сумма. Фак-
тор пространство.
13. Размерность суммы подпространств. Размерность фактор простран-
ства.
14. Прямая сумма нескольких подпространств.
15. Линейные отображения, ядро и образ. Связь размерностей ядра и
образа.
16. Матричная и аналитическая запись линйного отображния при нали-
чии базиса.
17. Изоморфизм, свойства матрицы изоморфизма, матрица обратного
изоморфизма.
18. Ранг линейного отображения, совпадение его с рангом матрицы ото-
бражения.
19. Векторное пространство линейных отображеий, его размерность.
20. Векторная интерпретация системы линейных уравнений.
21. Линейные операторы, матрица линейного оператора, закон измене-
ния матрицы линейного оператора при изменении базиса. Тензорная
запись.
22. Кольцо линейных операторов, полиномы от операторов.
23. Инвариантные подпространства, собственные значения и собствен-
ные вектора.
24. Проекторы и их свойства.
25. Различные условия обратимости оператора. Связь с эпиморфностью
и мономорфностью на инвариантных подпространствах.
26. Характеристический многочлен линейного оператора.
2

27. Детерминант и след линейного оператора
28. Условие существования собственных значений линейного оператора.
29. Вид матрицы оператора, имеющего базис из собственных векторов.
30. Корневые подпространства.
31. Разложение векторного пространства в прямую сумму корневых под-
пространств.
32. Жорданова клетка и жорданова форма матрицы.
33. Приведение матрицы оператора к жордановой форме.
34. Единственность приведения к жордановой форме.
35. Полиномы от оператора, аннулирующие полиномы. Теорема Гамильтона-
Кэли.
36. Функции от оператора, ее вид для жордановой формы.
37. Вещественные и комплексные векторные пространства. Комплекси-
фикация и овеществление, канонические базисы.
38. Сравнение матриц операторов при комплексификации и овеществле-
нии.
39. Детерминант комплексификации и овеществления.
40. Приведение матрицы вещественного оператора к нормальной форме.
41. Линейные и полулиненые функции. Пространства линейных функ-
ций.
42. Автоморфизмы поля комплексных чисел.
43. Сопряженное пространство, сопряженное линейное отображение.
44. Размерность сопряженного пространства, сопряженный базис.
45. Матричная и аналитическая запись линейной функции.
46. Аннуляторы и их свойства.
3

47. Билинейные функции, матричная и аналитическая запись.
48. Симметрические и кососимметрические билинейные функции.
49. Теорема о приведении матрицы симметрической функции к диаго-
нальному ыиду.
50. Инварианты комплексных симметрических функций.
51. Инварианты вещественных симметрических функций.
52. Евклидовы пространства. Примеры. Координатная и матричная за-
пись скалярного произведения.
53. Ортогональные векторы. Ортонормированный базис. Вид скалиро-
ного произведения в ортонормированном базисе.
54. Теорема о существованиии ортонормированного базиса.
55. Процесс ортогонализации базиса в евклидовом пространстве.
56. Норма вектора и расстояние между точками. Неравенство треуголь-
ника.
57. Неравенство КошиБуняковского. Примеры.
58. Угол между векторами и прямыми в евклидовом пространстве.
59. Линейные операторы в евклидовом пространстве. Сопряженные опе-
раторы.
60. Самосопряженные и кососопряженнве операторы.
61. Выражение линейной функции в евклидовом пространстве через ска-
лярное произведение.
62. Выражение билинейной функции в евклидовом пространстве через
скалярное произведение.
63. Самосопряженные и кососопряженные операторы в евклидовом про-
странстве.
4

64. Пары квадратичных форм. Теорема о приведении пары квадратич-
ных форм к диагональному виду.
65. Изометрия евклидового пространства. Общий вид изометрии.
66. Положительно определенные самосопряженные операторы. Крите-
рий Сильвестра.
67. Теорема Якоби о приведении билинейной функции к диагональному
виду.
68. Эрмитовы полуторалинейные функции.
69. Гильбертовы пространства, эрмитово скалярное произведение.
70. Неравенство КошиБуняковского в гильбертовом пространстве.
71. Сравнение эрмитова скалярного произведения с внщнсьвенным ска-
лярным произведением.
72. Выражение линейной (полулинейной) функции с помощью эрмитова
скалярного произведения.
73. Унитарные операторы и унитарные матрицы.
74. Приведение унитарного оператора к диагональной форме.
75. Детерминант унитарной матрицы.
76. Нормальный оператор, критерий нормальности оператора.
77. Полярное разложение оператора в гильбертовом пространстве.
78. Теорема шура о приведении матрицы оператора к треугольной фор-
ме.
79. Вещественная форма унитарного оператора.
80. Косоэрмитовы операторы. Приведение косоэрмитовых матриц к диа-
гональному виду.
81. Приведение кососимметрических операторов к каноноческому виду.
5

82. Тензоры, тензорный закон преобразования компонент тензора.
83. Векторы, операторы, линейные и билинейные функции как тензоры.
84. Алгебраические операции с тензорами: сумма, умножение на число.
Векторное пространство тензоров, его размерность.
85. Тензорное произведение.
86. Свертка. Линейная функция как результат тензорных операций.
87. Билинейная функция как результат тензорных операций.
88. Перестановка индексов, симметрические и кососимметрические тен-
зоры.
89. Операция альтернирования. Детерминант как результат тензорных
операций.
90. Линейное отображение пространства тензоров как тензор.
91. Тензоры как полилинейные функции.
92. Тензорное произведение векторных пространств. Построение базиса.
93. Представление билинейной функции как линейного отображения тен-
зорного произведения.
94. Универсальное билинейное отображение.
95. Разложение тензора в линейную комбинацию простых тензоров.
96. Алгебра кососимметрических тензоров. Операция внешнего умноже-
ния.
97. Базис в пространстве косимметрических тензоров.
98. Деление кососиметрического тензора на вектор.
99. Простые кососимметрические тензоры (поливекторы).
100. Теорема о том, что в трехмерном пространстве любой кососиммет-
рический тензор является простым.
6

101. Оперция поднятия и опускания индекса.
102. Гиперплоскость в векторном и евклидовом пространстве. Векторная
запись уравнения гиперплоскости. Нормальный вектор, расстояние
до гиперплоскости.
103. Метод наименьших квадратов решения системы линейных уравне-
ний.
104. Квадратичные гиперповерхности в векторном пространстве и их клас-
сификация.
105. Квадратичные гиперповерхности в евклидовом пространстве и их
классификация.
106. Понятие объема параллелепипеда, детерминант Грама.
Список литературы
[1] Л.А. Алания, С.М. Гусейн-Заде, И.А. Дынников, В.М. Мануйлов, Д.В.
Миллионщиков, А.С. Мищенко, Е.А. Морозова, Т.Е. Панов, М.М.
Постников, Е.Г. Скляренко, Ю.М. Смирнов (ред.), и Е.В. Троицкий.
Задачник по аналитической геометрии и линейной алгебре. Наука-
Физматлит, Москва, 2001.
[2] Д.В. Беклемишев. Курс аналитической геометрии и линейной алге-
бры. Наука, М., 1971.
[3] И.М. Гельфанд. Лекции по линейной алгебре. Наука, М., 1971.
[4] А.И. Кострикин и Ю.И. Манин. Линейная алгебра и геометрия. Наука,
М., 1986.
[5] М.М. Постников. Линейная алгебра. Наука, М., 1986.
[6] В.В. Федорчук. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры.
Изд-во Моск. ун-та, М., 1990.
[7] И.В. Проскуряков. Сборник задач по линейной алгебре. Наука, М.,
1984.
7