Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://higeom.math.msu.su/~asmish/Lichnaja-2010/Version2010-11-20/UchProcess-2006/Program.pdf Дата изменения: Fri Sep 15 12:18:51 2006 Дата индексирования: Sun Apr 10 01:33:33 2016 Кодировка: Windows-1251

ПРОГРАММА курса "Дифференциальная геометрия и топология
(математики, 3-й курс, лектор - А.С.Мищенко) Осенний семестр 2006/07 уч. года 31 августа 2006 г.

1 Теория многообразий
1. Топологические пространства. Хаусдорфовость. Метрические пространства. Непрерывные отображения. Гомеоморфизм. Связность. Компактность. 2. Общее определение многообразия. Атлас, карты, координатные отображения. Функции перехода (склейки). Топологические и гладкие многообразия. 3. Диффеоморфизм многообразий. Подмногообразия. Многообразия с краем и без края. 4. Гладкие отображения многообразий. Дифференциал гладкого отображения. Погружения и вложения. Ориентируемость и неориентируемость. 5. Область в евклидовом пространстве, график гладкой функции, неособая поверхность уровня гладкой -функции, - как гладкие многообразия. Связь теоремы о неявной функции с гладкими подмногообразиями. 6. Касательный вектор. Три его определения. Касательное пространство к гладкому многообразию. 7. Слабая теорема Уитни и вложении многообразий в конечномерное евклидово пространство (с доказательством).

2 Тензорная алгебра
1. Тензоры, валентность тензоров, сумма, свертка. 1


2. Альтернирование и симметрирование тензоров. 3. Классические примеры тензоров: касательный вектор, градиент функции, функционал на касательном пространстве, скалярное произведение, линейный оператор. 4. Тензорный вид коэффициентов линейной зависимости между тензорами. 5. Тензорное произведение, тензорная интерпретация следа и детерминанта матрицы. 6. Поднятие и опускание индексов у тензора. 7. Теорема о представлении тензора в виде суммы тензорных произведений простейших тензоров.

3 Тензорный анализ
1. Ковариантный градиент векторного поля. Закон изменения коэффициентов связности при замене координат. 2. Ковариантный градиент тензорных полей произвольной валентности. 3. Формулы ковариантной производной по направлению и вдоль кривой. 4. Формула закона преобразования коэффициентов связности при замене координат. 5. Операция параллельного перенесения. Геометрическая интерпретация ковариатной производной. 6. Связность, индуцированная на поверхности в евклидовом пространстве.

4 Геодезические
1. Симметрическая связность, ассоциированная с римановой метрикой. 2. Сохранение длины угла между векторами при параллельном перенесении. 3. Геодезические линии, уравнение геодезической. 4. Изометрия. Теорема о сохранении геодезических при изометрии. 5. Геодезические на плоскости и сфере. Группы движений прямой, плоскости и сферы. 6. Псевдосфера. Геодезические на псевдосфере. 2


7. Теорема о том, что достаточно близкие точки соединяются единственной геодезической.

5 Риманова геометрия
1. Тензор кривизны риманового многообразия, формулы тензора кривизны. 2. Свойства симметрии и косой симметрии тензора кривизны. 3. Тензор Риччи и скалярная кривизна. Связь с Гауссовой кривизной поверхности. 4. Теорема о независимости параллельного перенесения от кривой при нулевом тензоре кривизны. 5. Теорема о приведении метрического тензора к единичной матрице в случае нулевого тензора кривизны поверхности.

6 Дифференциальные формы и когомологии де Рама
1. Дифференциальный формы и алгебраические операции над ними. 2. Внешний дифференциал и его свойства. 3. Представление дифференциальных форм в локальных координатах. 4. Прообраз дифференциальной формы при гладком отображении. 5. Понятие когомологий гладкого многообразия. Связь с решениями уравнения dT = S . 6. Вычисление когомологий окружности. 7. Независимость прообраза класса когомологий от деформации отображения. 8. Лемма Пуанкаре. 9. Группы когомологий евклидового пространства.

7 Интегрирование дифференциальных форм
1. Понятие интеграла дифференциальной формы по ориентированному многообразию. Независимость интеграла от выбора локальной системы координат.

3


2. Общая формула Стокса. 3. Формулы Грина, Стокса и Гаусса-Остроградского. 4. Интегралы первого и второго рода в векторном анализе. 5. Объем риманового ориентированного компактного многообразия.

8 Степень отображения
1. Регулярные точки отображений. Лемма Сарда. 2. Теорема Уитни о вложении компактного многообразия в евклидово пространство. 3. Степень отображения и ее свойства. 4. Основная теорема алгебры. 5. Группа гомеоморфизмов, порожденная векторным полем 6. Выражение интеграла дифференциальной формы через степень отображения. 7. Гауссово сферическое отображение. 8. Теорема Гаусса-Боне.

9 Вариационные задачи в геометрии
1. Уравнение Эйлера для вариационной задачи. 2. Уравнение экстремалей для функционала действия на римановом многообразии. 3. Уравнение экстремалей для функционала длины. Всего 56 вопросов на 16 лекций === по 34 вопроса на лекцию

4