Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://higeom.math.msu.su/~asmish/Lichnaja-2010/Version2010-11-20/UchProcess-2012/4.pdf Дата изменения: Mon Sep 17 23:01:48 2012 Дата индексирования: Sun Apr 10 01:31:16 2016 Кодировка: Windows-1251

Задачи 4
17 сентября 2012 г.

1

Определение Примеры гомеоморфных и негомеоморфных пространств
92. Привести пример двух гомеоморфных пространств X и Y и биекции f : X -Y , которая не является гомеоморфизмом.
Решение.

Гомеоморфизмы

Несвязное объединение полуинтервалов, скажем [0, 1) [2, 3) допускает биекцию на один полуинтервал [0, 1) . Значит нужно добавить счетное несвязное объединение полуинтервалов к обеим пространствам, чтобы они стали гомеоморфными. 93. Пусть K канторово совершенное множество. Доказать, что пространство K Ч K гомеоморфно K . 94. Привести пример двух метрических пространств X и Y и таких отображений f : X Y и g : Y X , что f и g взаимно однозначны и непрерывны, и, тем не менее, пространства X и Y не гомеоморфны. (Взято из [?], стр. 91, задача 13.14).
Решение.

95. Докажите, что [0; 1), [a; b), (0; 1] (a; b] гомеоморфны для любых a < b. 96. Докажите, что [0; 1), [a; +), (-; a] гомеоморфны для любых a. 97. Докажите, что (0; 1) и (a; b) гомеоморфны для любых - a < b . 98. Показать, что всякая изометрия есть гомеоморфизм. 99. Показать, что всякая сюръективная строго монотонная функция f : [a; b]-[c; d] является гомеоморфизмом.

1


100. Показать, что всякое невырожденное аффинное преобразование пространства Rn есть гомеоморфизм. 101. Докажите, что инверсия

f (x) =
есть гомеоморфизм.

x , |x|2

f : Rn -Rn ,

102. Пусть C+ = {z C : Im z > 0} верхняя полуплоскость комплексных чисел. Показать, что отображение f : C+ -C+ ,

f (z ) =

az + b , cz + d a c

a, b, c, d R, b d > 0.

является гомеоморфизмом, если

103. Докажите, что если биекция f : R-R является монотонной функцией, то она есть гомеоморфизм. 104. Пусть S1 окружность и s0 S1 точка на окружности. Доказать, что пространство S1 \ {s0 } гомеоморфно R. 105. Показать, что график непрерывной функции, заданной на некотором промежутке, гомеоморфен этому промежутку. 106. Пусть Sn nмерная сфера и s0 Sn точка на сфере. Доказать, что пространство Sn \ {s0 } гомеоморфно Rn . 107. Докажите, что следующие плоские фигуры гомеоморфны друг другу. (a) вся плоскость R2 ; (b) открытый квадрат; (c) открытая полуплоскость C+ ; (d) открытый круг; (e) открытый прямоугольник; (f ) открытый квадрант; (g) открытый угол; (h) открытый полукруг; (i) открытый сектор; (j) плоскость с вырезанным лучом {y = 0, x 0}; 108. Докажите, что окружность S1 гомеоморфна границе квадрата I2 . 109. Докажите, что замкнутый круг D2 гомеоморфен квадрату I2 . 2


110. Докажите, что открытый круг рату Int I2 .

Int

D2 гомеоморфен открытому квад-

111. Докажите, что всякая замкнутая ломаная в R2 без самопересечений гомеоморфна окружности S1 . 112. 113. Докажите, что всякая незамкнутая ломаная в R2 без самопересечений гомеоморфна отрезку [0, 1]. 114. Докажите, что подпространство R2 \ {(x, y ) R2 : |x| > 1, |y | > 1} гомеоморфно квадрату без вершин, I2 \{(+1, +1), (+1, -1), (-1, +1), (-1, -1), }. 115. Докажите, что следующие плоские фигуры гомеоморфны друг другу. (a) (b) (c) (d) (e) (f ) (g) (h) (i) (j) (k) (a) (b) (c) (d) (e) (f ) (g) Полуплоскость {x 0}; квадрант {x, y 0}; угол {x y 0}; полуоткрытая полоса {(x, y ) : y [0, 1)}; квадрат без тр?х сторон (и всех вершин) {(x, y ) : 0 < x < 1, y < 1}; квадрат без двух смежных сторон (и трех вершин) {(x, y ) : x < 1, 0 y < 1}; квадрат без стороны (и двух вершин) {(x, y ) : 0 x 1, 0 1}; квадрат без одной вершины {(x, y ) : 0 x 1, 0 y 1 xy < круг без одной граничной точки {(x, y ) : x2 + y 2 1, y < 1}; полукруг без диаметра {(x, y ) : x2 + y 2 1, y > 0} круг без радиуса;

0 0 y< 1};

116. Докажите, что следующие плоские фигуры гомеоморфны друг другу. плоскость без точки R2 \ {x0 }; открытый круг без точки {(x, y ) : 0 < x2 + y 2 < 1}; кольцо {(x, y ) : a < x2 + y 2 < b}; плоскость без круга {(x, y ) : x2 + y 2 > 1}; плоскость без квадрата R2 \ I2 плоскость без отрезка R2 \ [0, 1] дополнение R2 \ X , где X есть объединение нескольких отрезков с общим концом; (h) дополнение R2 \ X , где X есть незамкнутая конечнозвенная ломаная без самопересечений;

117. Докажите, что если K и L конечные множества точек плоскости, состоящие из одинакового числа точек, то их дополнения гомеоморфны. 3