Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://higeom.math.msu.su/~asmish/Lichnaja-2010/Version2010-11-20/UchProcess-2012/5.pdf Дата изменения: Mon Oct 1 11:37:16 2012 Дата индексирования: Sun Apr 10 01:31:20 2016 Кодировка: Windows-1251

Задачи 5
1 октября 2012 г.

1 Метрики 118. Пространство lp с метрикой

1 p

p (x, y ) =
i=1

|xi - yi |

p

является полным метрическим пространством. 119. Существует ли изометрия эвклидова пространства на свою собственную часть? 120. Существует ли изометрия конечного метрического пространства в некоторое эвклидово пространство?
Сжимающие отображения

f: X Y сжимающим (f (x), f (y )) (x, y )

Отображение метрического пространства X в себя называется , если существует вещественная постоянная < l, такая, что для любых двух точек x, y X . 121. Доказать, что любое сжимающее отображение метрического пространства непрерывно. (Взято из [ ], стр. 91, задача 13.9). 122. Доказать, что любое сжимающее отображения полного метрического пространства в себя всегда имеет неподвижную точку, причем эта точка единственна.(Взято из [ ], стр. 91, задача 13.10). 123. Привести пример, показывающий, что от условия полноты метрического пространства в предыдущей задаче отказаться нельзя.(Взято из [ ], стр. 91, задача 13.11).
? ? ?

2 Расстояния между подмножествами 124. Верно ли, что расстояние между двумя непересекающимися, замкнутыми подмножествами на плоскости (на прямой) всегда больше 0? (Взято из [?], стр. 91, задача 13.7).

1


Расстояние от точки до подмножества

125. Показать, что (x, A) = 0 тогда и только тогда, когда x A. 126. Докажите, что для любого множества A и точек x, y выполнено неравенство |(x, A) - (y, A)| (x, y).
Расстояние Хаусдорфа

127. Доказать, что метрика Хаусдорфа определяет метрику в пространстве всех ограниченных замкнутых подмножеств некоторого метрического пространства.
3 Аксиомы отделимости 128. Доказать, что метрическое топологическое пространство удовлетворяет аксиоме отделимости Хаусдорфа (T2 ). 129. Пусть X метрическое пространство. Доказать, что каждое одноточечное множество замкнуто. (Взято из [?], стр. 91, задача 13.5). 130. Является ли отрезок [0; 1] с индуцированной из R топологией хаусдорфовым? Обладают ли в н?м непересекающимися окрестностями точки 0 и 1? Какими? 131. Пространство X является хаусдорфовым, тогда и только тогда, когда для каждой точки x X имеет место равенство {x} = U .
Ux

132. Показать, что в хаусдорфовом пространстве сходящаяся последовательность имеет единственный предел. 133. Показать, что множество совпадения двух непрерывных отображений произвольного пространства в хаусдорфово пространство замкнуто. 134. Показать, что множество неподвижных точек непрерывного отображения хаусдорфова пространства в себя является замкнутым. 135. Показать, что любое подпространство хаусдорфова пространства тоже хаусдорфово. 136. Показать, что аксиома отделимости T1 выполняется тогда и только тогда, когда любое одноточечное подмножество замкнуто. 137. Пространство удовлетворяет первой аксиоме отделимости T1 , тогда и только тогда, когда любая его точка совпадает с пересечением всех своих окрестностей. 138. Показать, что из хаусдорфовости следует T1 . Приведите пример, когда из T1 не следует хаусдорфовость. 2


139. Показать, что первая аксиома отделимости наследственна. 140. В каждом множестве существует самая слабая топология, удовлетворяющая первой аксиоме отделимости. Какова она? 141. Всякое нормальное пространство регулярно (и, значит, хаусдорфово). 142. Пространство нормально, тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет второй и четв?ртой аксиомам отделимости. 143. Докажите, что всякое замкнутое подпространство нормального пространства нормально. 144. Постройте два замкнутых непересекающихся подмножества некоторого метрического пространства, расстояние между которыми равно нулю. 145. Пусть X пространство, удовлетворяющее аксиоме T4 , пусть F1 , F2 и F3 его замкнутые подмножества с пустым пересечением, т.е. F1 F2 F3 = . Доказать, что найдутся такие окрестности Ui Fi , i = 1, 2, 3, что U1 U2 U3 = .
Лемма Урысона, теорема Титце, разбиение единицы

146. Доказать, что для любого компакта K Rn существует гладкая вещественнозначная функция f , такая, что K = f -1 (0). (Взято из [ ], стр. 91, задача 13.12). 147. Выведите лемму Урысона из теоремы Титце.
? 3.0.1 Вторая аксиома счетности

148. Постройте метрическое пространство, не удовлетворяющее второй аксиоме сч?тности. 149. Докажите, что в сепарабельном пространстве всякая совокупность попарно непересекающихся открытых множеств сч?тна. 150. Докажите, что непрерывный образ сепарабельного пространства сепарабелен. 151. Докажите теорему Линдел?фа: если пространство удовлетворяет второй аксиоме сч?тности, то из всякого его покрытия открытыми множествами можно выделить сч?тный набор множеств, также являющийся покрытием. 152. Показать, что у метрического пространства следующие условия эквивалентны: (a) Пространство сепарабельно; (b) Пространство имеет счетную базу; (c) Пространство финально компактно 3


Первая аксиома счетности.

153. Доказать, что всякое метрическое пространство удовлетворяет первой аксиоме сч?тности. 154. Доказать, что из второй аксиомы сч?тности следует первая.

4