Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://higeom.math.msu.su/teaching/students/difgeom/zach_0.pdf Дата изменения: Wed May 30 10:50:00 2012 Дата индексирования: Sun Apr 10 01:01:47 2016 Кодировка: Windows-1251

Вариант 0 1. Найти кривизну и кручение кривой

r(t) = (2et , t, e2t ).
2. Пусть кривая



параметризована натуральным параметром

s, b

ее бинормаль, а

k

и



ее кривизна и кручение. Выразите отношение

d ds

b,

d2 ds2 d ds

b,
k

d3 ds3

b

через кривизну и кручение кривой



.

3. Проверить, что на плоскости с координатами

(x, y )

матрично-значная функция

(x, y )

1 2 + y2) (x

4

4x2 + (x2 + y 2 )4 4xy 4xy 4y 2 + (x2 + y 2 )4 x2 + y 2 =

задает некоторую метрику в единичном круге. В этой метрике найти длину кривой



при постоянном и положительном



.

4. Найдите главные радиусы кривизны поверхности

y = x tg

z a

.

5. В геометрии Лобачевского (модель в верхней полуплоскости) найти площадь треугольни-

ка, ограниченного кривыми

x = 0,

(x - 1)2 + y 2 = 4,

x2 + y 2 = 9.
на гиперболоиде

6. Найти геодезическую кривизну параллели

z = z0 , z0 > 1

x2 + y 2 - z 2 = -1.

7. На какой угол повернется вектор при параллельном переносе на плоскости с метрикой

ds2 = d2 + sh2 d

2

вдоль кривой

= const

?


Решения 1. Найти кривизну и кручение кривой

r(t) = (2et , t, e2t ).
Решение. Кривизна

k (t)

и кручение

(t)

кривой, заданной параметрически в виде

r(t),

могут быть найдены по формулам

r |[r, Е]| , k (t) = |r|3
В нашем случае

r (r, Е, r ) (t) = . r |[r, Е]|2 r = (2et , 8e2 t). Для нахождения ,0 4e2t + 1 + 4e4t = 2e2t + 1 кривой |r| =
и ... кривизи длина

...

r = (2et , 1, 2e2t ), Е = (2et , 0, 4e2t ) r

ны нам необходимы длина вектора скорости произведение имеет вид

векторного произведения вектора скорости и вектора ускорения кривой. Само векторное

r [r, Е] =
а его длина равна

1 2e2 0 4e2

t t

,

2e 4e

2t 2t

2et 2et 1 , 2et 2et 0

= (4e2t , -4e3t , -2et ),

16e4t + 16e6t + 4e2t = 2et (e2t + 1).

вычисления кручения нам еще необходимо

4e2t ћ 2et + (-4e3t ) ћ 0 + (-2et ) ћ 8e2t = -8e3 2et (e2t + 1)

t

.

2et . Для (e2t + 1)2 ... ... r r смешанное произведение (r, Е, r ) = ([r, Е], r ) = 2et И тогда кручение имеет вид (t) = - . (e2t + 1)2
Следовательно,

k (t) =

Ответ.

k (t) =

2

,

(t) = -

2et (e2t + 1)

2

.

2. Пусть кривая

параметризована натуральным параметром

s, b

ее бинормаль, а

k

и



ее кривизна и кручение. Выразите отношение

d ds

b,

d2 ds2 d ds

b,
k

d3 ds3

b

через кривизну и кручение кривой
Решение. Пусть



.

v

и

n

обозначают вектор скорости и вектор нормали кривой



. Тогда верны

формулы Френе для производных по натуральному параметру:

v = kn n = -k v + b . b = - n
Тогда числитель дроби из условия принимает вид

(b , b , b ) = - n, (- n) , (- n) .

(1)

С помощью второго равенства из формул Френе вычислим производную (- n) = - n - n = k v - n - 2 b; тогда последняя компонента из смешанного произведения (1) равна

(k v - n - 2 b) = (k ) v + k v - n - n - ( 2 ) b - 2 b = = k + 2k v + k 2 - + 3 n - 3 b,
2


где в последнем равенстве опять же использовались формулы Френе. Подставляя эти выражения в формулу (1), получаем

(b , b , b ) = - n, k v - n - 2 b, k + 2k v + k 2 - + 3 n - 3 b = 0 k = (v, n, b) ћ det k + 2k - - 2 k - + 0 - 2 -3 =

3

= k (-3 ) - (- 2 )(k + 2k )
Кроме того, векторы

ћ (v, n, b) = (k 4 - k 3 ) ћ (v, n, b).

v, n и b

образуют положительно ориентированный ортонормированный

базис, а значит последнее выражение равно

k 4 - k3 = 5 ћ
и ответом в данной задаче будет
Ответ.

k - k d = 5 ћ 2 ds

k



5

.



5

.

3. Проверить, что на плоскости с координатами

(x, y )

матрично-значная функция

(x, y )

1 2 + y2) (x

4

4x2 + (x2 + y 2 )4 4xy 2 4xy 4y + (x2 + y 2 )4 x2 + y 2 =
.

задает некоторую метрику в единичном круге. В этой метрике найти длину кривой



при постоянном и положительном

Решение. Обозначим данную матрично-значную функцию через

G(x, y ).

Данная симмет-

ричная функция

G

задает метрику тогда и только тогда, когда ее матрица положительна

определена во всех точках, кроме нескольких изолированных особых точек; положительная определенность во всех точках, кроме точки Сильвестра. В случае, если кривая задана в параметрическом виде ее длина равна

(0, 0),

легко проверяется с помощью критерия

(t) = (x(t), y (t)))

при

t [a, b]

, то

b

( ) =
a
где

(x(t) y (t))G(t)

x(t) dt, y (t) x= cos t, y = sin t

G(t) = G(x(t), y (y ))
тогда

матрица, задающая метрику.

В нашем случае кривую можно параметризовать в виде

при

t [0, 2 ],

G(t) =
а

1 4

4 cos2 t + 4 4 cos t sin t 4 cos t sin t 4 sin2 t + 4

=

1 3

4 cos2 t + 3 4 cos t sin t 4 cos t sin t 4 sin2 t + 3

,

(x(t), y (t)) = (- sin t, cos t).
После подстановки указанных выше значений в выражение для длины кривой получаем

2

( ) =
0

(- sin t cos t) ћ

1 3 =

4 cos2 t + 3 4 cos t sin t 4 cos t sin t 4 sin2 t + 3
2

ћ

- sin t dt = cos t
2

1 (- sin t
0

-3 sin t cos t) ћ dt = 3 cos t
0

dt = 2 .

3


Ответ.

2

.

4. Найдите главные радиусы кривизны поверхности

y = x tg

z a

.

Решение. Вначале заметим, что если мы рассмотрим цилиндрическую систему координат,

то

x = u cos v , y = u sin v

y = av , то есть наша поверхность является геликоидом. x Для нахождения главных кривизн найдем первую и вторую квадратичные формы по,а

z = a arctg

верхности (главные радиусы кривизны это числа обратные к главным кривизнам). Параметрическое уравнение поверхности имеет вид

r(u, v ) = (u cos v , u sin v , av ).

Имеем,

ru =

(cos v , sin v , 0)

и

rv = (-u sin v , u cos v , a)

. Первая квадратичная форма составлена из скаляр-

ных произведений этих векторов:

G(u, v ) =

(ru , ru ) (ru , rv ) (ru , rv ) (rv , rv )

=

1 0 0 a2 + u

2

.

Вторая квадратичная форма составлена из скалярных произведений вектора нормали к поверхности с векторами вторых производных по координатам. Вектор нормали может быть найден как нормированное векторное произведение векторов

ru

и

r

v , то есть

n=

a sin v , -a cos v , u [ru , rv ] (a sin v , -a cos v , u) = = . [ru , rv ] a2 + u2 a2 sin2 v + a2 cos2 v + u2 ruu =
Вторая квадратичная форма при-

Векторы вторых производных параметрического уравнения поверхности имеют вид:

(0, 0, 0), ruv = (- sin v , cos v , 0), rvv = (-u cos v , -u sin v , 0).
нимает вид:

B (u, v ) =

(ruu , n) (ruv , n) (ruv , n) (rvv , n)

=

0 -
a a2 +u2

-

a a2 +u2

0

.
. Левая часть имеет

Главные кривизны поверхности это корни уравнения вид

det(B - G) = 0

det

- -
a a2 +u2

- a2a+u2 -(a2 + u2 )
1,2

= 2 (a2 + u2 ) -

a2 . a2 + u 2 R1
,2

Следовательно главные кривизны это

+

a2

+u2 a

a , а главные радиусы кривизны a2 +u2 a2 +x2 +y 2 , или в начальных координатах в пространстве R1,2 = + . a

=+

=

Замечание. Можно производить вычисления и в начальных координатах, выбрав, напри-

мер, в качестве переменных параметризации

x

и

z (y

уже через них выражена). В этом

случае решение будет отличаться только более громоздкими вычислениями.

Ответ.

R1,2 = +

a2 + x 2 + y a

2
.

5. В геометрии Лобачевского (модель в верхней полуплоскости) найти площадь треугольни-

ка, ограниченного кривыми

x = 0,

(x - 1)2 + y 2 = 4,

x2 + y 2 = 9.
минус сумма углов,

Решение 1. Площадь треугольника на плоскости Лобачевского равна

поэтому нам достаточно найти углы этого треугольника. Вначале найдем координаты его вершин. Первые две кривые пересекаются в точке

A(0, 3)

, первая и третья в точке

B (0, 3)

, вторая и третья в точке

C (3, 0)

(нас интересуют общие точки только в верхней

полуплоскости).

4


Углы на плоскости Лобачевского в модели в верхней полуплоскости совпадают с углами между соответствующими окружностями (прямыми и окружностями) на обычной евклидовой плоскости. Окружно2 2 2 2 сти (x - 1) + y = 4 и x + y = 9 касаются в точке C ,

B A

C = 0. Прямая x = 0 проходит через центр 2 2 окружности x + y = 9, а значит в точке пересече . Следовательно B = . ния образует с ней угол 2 2 Угол A это угол между прямой x = 0 и касатель2 2 ной к окружности (x - 1) + y = 4 в точке A. Этот угол между радиусом P A этой угол дополняет до 2 окружности и прямой x = 0 (см. рис. 1). Последний
а значит угол легко находится из прямоугольного треугольника Итого площадь треугольника
Решение 2.

K P
Рис. 1: Треугольник

C

AB C

AB C

равна

KP A и - A - B - C =

, а значит равен 6 . 6

A =

. 3

Площадь

области

на

поверхно-

сти может быть найдена с помощью интеграла от корня из определителя первой квадратичной формы по этой области, то есть

3 3

9 - x2

S (D) =
D

det G(u, v )dudv .

4 - (x - 1)2

Для плоскости Лобачевского в модели в верхней полуплоскости (x, y ), y > 0 метрика имеет 2 вид ds = y12 (dx2 + dy 2 ) и det G(x, y ) = y12 . Следовательно площадь нашего треугольника D 1 dxdy , что после перехода к равна S (D ) = D y2 повторному интегралу (см. рис. 2) дает выражение

0 3
Рис. 2: Переход к повторному интегралу

3



9-x

2

3

S (D) =
0



1 dy dx = y2
4-(x-1)
2

0

1 - 9-x 4 - (x - 1)2

1

2

dx =
3

x-1 x = arcsin - arcsin 2 3
Ответ.

=0- -
0

6

=

. 6

. 6

6. Найти геодезическую кривизну параллели

z = z0 , z0 > 1

на гиперболоиде

x2 + y 2 - z 2 = -1.

Решение. Геодезическая кривизна кривой на поверхности равна длине проекции вектора ее

главной нормали (с учетом длины, так как обычно нормаль единичной длины) на касательную плоскость к поверхности. В нашем случае кривая является окружностью в плоскости 2 z = z0 c центром (0, 0, z0 ) и радиусом R = z0 - 1. Все точки окружности равнозначны и имеют одинаковую геодезическую кривизну, так как и сам гиперболоид, и окружность переходят в себя при вращении относительно оси z . Поэтому мы найдем геодезическую кривизну 2 только для точки A = ( z0 - 1, 0, z0 ) нашей окружности. Главная нормаль окружности направлена по ее радиусу и имеет длину, равную 1/R, то есть

n =



1 2 z0 -1

, 0, 0

. Вместо того, чтобы искать длину проекции на касательную

5


плоскость, мы найдем длину проекции на нормаль к поверхности; тогда длина проекции на касательную плоскость получится из теоремы Пифагора. Единичная нормаль к поверхности 1 2 в точке A имеет вид n = ( z0 - 1, 0, -z0 ) и длина проекции вектора n на нее равна 2 2z0 -1 1 модулю скалярного произведения |(n , n)| = . Тогда геодезическая кривизна равна 2 2z0 -1

kg =

n2 - (n , n)2 =

2 z0

1 1 -2 = - 1 2z0 - 1

z0 (
2 z0 2 - 1)(2z0 - 1)

.

Ответ.



z0 . 2 2 (z0 -1)(2z0 -1)

7. На какой угол повернется вектор при параллельном переносе на плоскости с метрикой

ds2 = d2 + sh2 d

2

вдоль кривой

= const, [0, 2 ]

?

Решение 1. Уравнение параллельного переноса вектора

(x1 , x2 )

вдоль кривой

= ( 1 , 2 )

записывается в виде

x +

i

i jk jk x

= 0.

Найдем символы Кристоффеля

1 i k = g j 2
для нашей метрики, где мы будем считать

im

gmj gmk gj k + -m xk xj x g
pq
обратная к ней матрица; первой переменной

g

pq метрика, а



, а второй

.

быть равно 1 (так как

Нас интересуют только ненулевые символы Кристоффеля. Если i = 1, то m тоже должно g 12 = 0) и первые два слагаемых в скобках нулевые. Последнее 11 слагаемое ненулевое только если j = k = 2. Тогда g = 1, g22 = sh2 и 1 = - sh ch . 22 Если i = 2, то m опять же 2 и третье слагаемое в скобках точно нулевое, так как gpq не зависит от один должен быть равен 1, а второй 2, так как иначе 22 выражение в скобках нулевое. Итого g = sh1 и 2 = 2 = ch . 2 21 12 sh Данную кривую можно параметризовать как (t) = (0 , t), тогда = 0 и = 1. Урав1 2

.

Из параметров

j

и

k

нения параллельного переноса по этой кривой принимают вид

x1 - sh 0 ch 0 x2 = 0 . 0 x2 + ch 0 x1 = 0 sh
. Решением является следующее семейство векторов

x1 (t) = C1 sin(t ch 0 ) + C2 cos(t ch 0 ),
можем взять тогда

x2 (t) =

C2 C1 cos(t ch 0 ) - sin(t ch 0 ). В качестве начального вектора мы sh 0 sh 0 любой вектор (с любыми константами C1 и C2 ); мы возьмем C1 = 1, C2 = 0, ch x1 (0), x2 (0) = 0, sh10 и x(2 ) = x1 (2 ), x2 (2 ) = sin(2 ch 0 ), cos(20 0 ) . sh

x(0) =

Косинус угла поворота это косинус угла между начальным и итоговым вектором, который может быть найден из отношения скалярного произведения этих векторов к произведению их длин в метрике нашей поверхности. В нашем случае длина начального (а значит и конечного!) очевидно равна 1, а значит достаточно просто посчитать скалярное произведение.

cos = (x(0), x(2 )) =
Значит

0

1 sh 0 0 = 0

1 0 0 sh2 0

sin(2 ch 0 )
cos(2 ch 0 ) sh 0

= cos(2 ch 0 ).

= 2 k + 2 ch 0

. При и

(вообще так говорить не совсем корректно, так При этом знак будет зависеть от того, в

как в точке (0,0) метрика не положительно определена) кривой нет, а значит и вектор не поворачивается, то есть

k=1

= +2 (1 - ch 0 ).

какую сторону мы направим нормаль к поверхности.

6


Замечание. В обычном случае, когда мы смотрим на плоскость сверху так, что угол



возрастает при движении против часовой стрелки, координата

x2 (t)

переносимого векто-

ра убывает, так как при переменной

t=0

она равна максимальна. Вторая координата соответствует

,

а значит вектор поворачивается по часовой стрелке и в итоге поворот осу-

ществляется на отрицательный угол, то есть

= 2 (1 - ch 0 ).

Решение 2. Угол поворота при параллельном переносе вектора по кривой может быть

найден с помощью интеграла от Гауссовой кривизны по области, которую эта кривая ограничивает. Хотя Гауссова кривизна и выражается только лишь через метрику, но это сделать не так и просто, поэтому мы найдем известную поверхность на которой реализуется такая метрика. В качестве такой поверхности нам подойдет верхняя половина двуполостного гипербо2 2 2 лоида x + y - z = -1, параметризованного переменными такими u и v , что x = sh cos ,

y = sh sin и z = ch . Однако, если мы рассмотрим обычную индуцированную мет2 рику ds = dx2 + dy 2 + dz 2 , то мы не получим нужной метрики, так как в этом слу2 2 2 2 2 2 чае ds = (ch + sh )d + sh d . Но метрика, индуцированная квадратичной формой 2 2 2 dx + dy - dz , даст нужную нам метрику ds2 = d2 + sh2 d2 . Верхняя половина двупо2 2 2 2 лостного гиперболоида с метрикой, индуцированной ds = dx + dy - dz , является одной
из реализаций плоскости Лобачевского. Значит наша поверхность изометрична плоскости Лобачевского и нам нужно узнать угол поворота при переносе по ней. Гауссова кривизна плоскости Лобачевского равна

= 0

, на плоскости

(, )

является кругом

D

радиусом

-1. 0

Область, ограниченная кривой с центром в начале координат.

Следовательно

2

0

=
D

K ds = -
D

ds = -
0 0

sh dd = 2 (1 - ch 0 ).

Ответ.

= 2 (1 - ch 0 )

.

7