Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://higeom.math.msu.su/olympiads/2010/olymp.pdf Дата изменения: Mon Nov 8 12:46:47 2010 Дата индексирования: Sun Apr 10 00:25:51 2016 Кодировка: Windows-1251

Олимпиада по геометрии для студентов 1-2 курсов.
Уважаемые студенты 1-2 курсов! Кафедра высшей геометрии и топологии приглашает вас принять участие в олимпиаде по геометрии. Чтобы сделать это, оформите решения всех или некоторых приведенных ниже задач и принесите на кафедру (комната 16-20 ГЗ) до 23 ноября включительно. Также мы приглашаем принять участие в олимпиаде студентов 1-2 курсов других ВУЗов России и СНГ. Студенты других ВУЗов могут оформить свои решения и отправить их отсканированный вариант в формате p df на электронную почту

garber@higeom.math.msu.su

с темой Решения задач олимпиады и указанием

своих имени, фамилии, курса и ВУЗа. Студенты старших курсов могут принять участие в олимпиаде вне конкурса. Условия задач также доступны на сайте кафедры в разделе Олимпиады: http://higeom.mech.math.msu.su Победителей ждут призы!

1. Назовем эллипсоидом вращения поверхность, получающуюся вращением эллипса относительно его большой оси. Фокусами эллипсоида вращения называются фокусы исходного эллипса. Докажите, что пересечение двух эллипсоидов вращения с общим фокусом лежит в одной плоскости. 2. Дана замкнутая кривая на плоскости. Известно, что для любых 7 точек этой кривой существует центрально-симметричный выпуклый многоугольник, на границе которого лежат эти 7 точек. Докажите, что кривая имеет центр симметрии. 3. Дано конечное множество точек A = {A1, A2, . . . , An} на плоскости и положительное число > 0. Для произвольной точки X плоскости построим последовательность точек {Xk } k=1 по следующему правилу: X1 = X, Xk+1 это центр тяжести точек из A, содержащихся в круге радиуса с центром в точке Xk , если такие точки существуют, и Xk+1 = Xk иначе. Докажите, что данная последовательность является постоянной, начиная с некоторого места, при любой начальной точке X . 4. Выпуклый трехмерный многогранник P называется двойственным выпуклому трехмерному многограннику Q если существует такая биекция между множеством вершин P и множествам граней Q, что две вершины P соединены ребром если и только если соответствующие им грани Q имеют общее ребро и набор вершин P лежит в одной грани P в том и только том случае, когда соответствующие грани Q имеют общую вершину многогранника Q. Например, куб и октаэдр являются двойственными друг другу. Назовем выпуклый многогранник P самодвойственным если он является двойственным к самому себе. Например, любая n-угольная пирамида является самодвойственной. a) Докажите, что существует самодвойственный трехмерный многогранник, не являющийся пирамидой. b) Докажите, что существует бесконечное множество отличных от пирамиды самодвойственных трехмерных многогранников с попарно различным количество вершин.


5. В координатной кубической решетке рассмотрим куб составленный из 27 точек с целыми координатами вида {(i, j, k), 0 i, j, k 2}. В 14 целых точках куба с координатами (i, 0, 0), (i, 0, 1), (0, j, 0), (0, j, 1), (0, 0, 2), (1, 0, 2), (1, 1, 0), (1, 1, 1) при 0 i, j 2, заданы произвольные действительные числа начальные данные; известно, что если во всех вершинах единичного квадрата стоят числа начальных данных, то соответствующий определитель 2 Ч 2 не равен нулю. Можно ли для любых начальных данных расставить числа в остальных 13 узлах решетки так, чтобы определитель любой 3 Ч 3-матрицы из чисел на гранях, на срединных сечениях куба и определитель любой 3 Ч 3-матрицы, изогнутой под прямым углом по средней строке или среднему столбцу, был равен нулю?
garber@higeom.math.msu.su
Вопросы по условиям задач можно задавать А.И.Гарберу по электронной почте