Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://higeom.math.msu.su/olympiads/2014/olymp_2014.pdf Дата изменения: Sat Dec 27 18:05:07 2014 Дата индексирования: Sun Apr 10 00:39:12 2016 Кодировка: Windows-1251

Кафедра высшей геометрии и топологии и лаборатория геометрических методов в математической физике. 1 декабря 2014г. Точка C лежит на параболе с вершиной A. H проекция C на ось параболы. Докажите, что касательная к параболе в точке C параллельна медиане AM треугольника AC H . Матрица P называется матрицей перестановки если в каждой ее строке и в каждом столбце есть ровно один ненулевой элемент, причем он равен 1. Две матрицы A и A называются перестановочно сопряженными, если существует такая матрица перестановки P , что A = P AP -1. Докажите, что любая матрица, все главные (то есть симметричные относительно главной диагонали) миноры которой равны 1, перестановочно сопряжена либо верхнетругольной матрице с единицами на главной диагонали, либо матрице вида
Задача 1. Задача 2.

Олимпиада по геометрии

1 b1 0 . . . 0 0 1 b2 . . . 0 . . .. .. . . . . ... . . 0 0 . . . 1 bn- bn 0 . . . 0 1

1

.

В каждой точке плоскости с целыми координатами стоит по флагу. Можно ли сдвинуть каждый из флагов на расстояние не большее 1/100 так, чтобы точная нижняя грань расстояний между парами флагов стало бы строго больше 1? Пусть прямые AB и C D пересекаются в точке P , B C и AD в точке Q и некоторая кривая третьего порядка проходит через эти 6 точек. Докажите, что касательные к в точках P и Q пересекаются в точке, лежащей на , или параллельны. Две вершины жесткого треугольника двигаются по паре фиксированных пересекающихся прямых. Докажите, что третья вершина треугольника двигается по некоторому эллипсу или отрезку прямой.
Задача 3. Задача 4. Задача 5.