Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://higeom.math.msu.su/people/chernavski/2014-15chernav_lectures.pdf Дата изменения: Thu Jun 11 00:41:14 2015 Дата индексирования: Sun Apr 10 00:52:05 2016 Кодировка: Windows-1251

ЛЕКЦИИ ПО ОСНОВАМ ТОПОЛОГИИ
2 курс, 2014, осень
проф А.В. Чернавский

ЧАСТЬ 1. ОБЩАЯ ТОПОЛОГИЯ

EaE

означаетX E означаетX X означает Знаки FFF ! пустое м

Определение Сообщение нужного @для экзаменаA материала Пример заключают доказательство предыдущего утверждения ножествоY C A ! дополнение X \ A к подмножеству A X F

1. ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА

EaEaEaE
Топология на множестве. Аксиомы топологии

Топологическая структура на множестве X ! это система T = {U } выдеE ленных подмножеств в X D удовлетворяющая аксиомам топологии @или аксиомам открытых множеств AX IF любые объединения этих подмножеств U принадлежат T Y PF конечные пересечения этих подмножеств k=1 Ui принадлежат T Y i QF само X и пустое подмножество принадлежат T F Подмножества U X D входящие в систему T D называются открытыми множествами F Дополнения открытых множеств F = X \ U = C U называются замкнутыми множествами F Их система удовлетворяет двойственным аксиомам @замена переE сечений на объединения и обратноAX конечные объединения и любые пересечения замкнутых множествD а также X и D являются замкнутыми множествамиF Множество X с топологической структурой T на нем обозначается (X, T )F Множество X D наделенное топологической структурой называется топологическим пространством D его элементы ! точкамиF Открытое множество называE ется окрестностью своих точекD а также каждого лежащего в нем подмножестваF Топологическая структура T1 больше структуры T2 @T1 T2 AD если в T1 больше открытых множествF Но две топологии на множестве X могут быть не сравнимыX в том случаеD если каждая имеет открытые множестваD не входящие в другую струкE туруF Таким образом множество структур {T } частично упорядоченоF E Две топологические структуры T1 , T2 на множестве X совпадают @открытые множества одной являются открытыми и в другойA для каждой точки каждая окрестность из одной структуры содержит окрестность из другой структурыF

I


В этом случае открытое множество одной структуры есть объединение открыE тых множеств другойF Полезно иметь в виду крайние случаи топологических структур на X X дискретную @все подмножества X открытыA и ?слипшуюся ? @открыты только X и AF Основным примером топологического пространства является евклидово пространE ство Rn X подмножество X Rn открытоD если для каждой точки x X имеется > 0 такD что X содержит Eокрестность xD тFеF открытый шар радиуса с центром в xF @Проверьте выполнение аксиом3A EaEaEaE

Аксиомы отделимости
E Имеется несколько типов топологических структурD выделяемых аксиомами отделимостиF Первые три говорят об отделимости точек окрестностями @остальные рассмотрим позжеAX T0 @аксиома Колмогорова AX В каждой паре точек хотя бы одна имеет
окрестности, не содержащие другой.

В T0 Eпространстве X возникает частичная упорядоченностьX x y D если каждая окрестность x содержит y @тFеF каждая окрестность x есть окрестность y AF Если в множестве есть иерархия @отношение ?начальник ! подчиненный?AD коE торая транзитивна @начальник моего начальника есть тоже мой начальникAD то в этом множестве возникает T0 EтопологияD если открытым считать множествоD в котоE ром каждая точка лежит вместе со всеми ее подчиненнымиF @Проверьте выполнение аксиом3A T1 : В каждой паре точек каждая имеет окрестности, не содержащие
другой.

E В T1 -пространстве каждая точка является замкнутым подмножеством. @Простейший пример не T1 ED но T0 Eпространства дает связное двоеточие X оно состоит из двух точекD одна из которых замкнутаD но не открытаD другая открытаD но не замккнутаFA

@аксиома Хаусдорфа AX Для каждой пары точек имеются не пересекающиеся окрестности этих точек. T2 Eпространства называются хаусдорфовыми и также отделимымиF @Пример T1 ED но не T2 Eпространства построен в разделе о комE пактностиFA ОчевидноD T2 T1 T0 . {Если в пространстве имеются неотделимые пары точек (у такой пары все окрестно-



T2

сти общие), то возникает отношение эквивалентности: точки в одном классе эквивалентности попарно неотделимы друг от друга, и каждое открытое множество состоит из целых классов. Если в

множестве классов

открытым считать множество классов, объединение которых

является открытым подмножеством в

X , то возникает топологическое T0 -пространство клас-

P


сов, и видно, что рассмотрение топологий без аксиом отделимости не представляет интереса с топологической точки зрения
.}

EaEaEaE

Непрерывные отображения. Топологическая категория. Гомеоморфизм
Отображение f : X Y одного топологического пространства в другое назыE вается непрерывным D если полный прообраз каждого открытого подмножества Y является открытым в X F @Отображения в прямую R @обычно непрерывныеA называются функциями FA Отображение f называется непрерывным в точке x X D если для каждой окрестности U (f x) существует окрестность V (x)D такD что f (V ) U F Отображение f непрерывно оно непрерывно в каждой точке. X Пусть f : X Y непрерывноD x X и U f (x) ! данная окрестность точки y = f (x) Y F Тогда V = f -1 U открыто в X D содержит x и f (V ) = f (f -1 (U )) = U F ЗначитD имеется окрестность V (x)D образ которой лежит в U F X Пусть f : X Y отображениеD непрерывное в каждой точке x X D и U Y ! открытое подмножество Y F Множество V = f -1 (U ) X содержит окрестность каждой своей точки @образ которойD по условиюD лежит в U AF Но V есть объединение этих окрестностейD значитD открыто и f (V ) U F Отображение называется открытымD соотвF замкнутымD если оно переводит каждое открытое подмножество в открытоеD соотвF замкнутое в замкнутоеF E Множество F X точек, на котором совпадают значения двух отображений f и g пространства X в хаусдорфово пространство Y , замкнуто. ДокажемD что дополнительное множество U = X \ F открыто в X F Пусть x U ! произвольная точка из X D p = f (x), q = g (x) и p = q F Так как Y хаусдорфовоD имеются непересекающиеся окрестности P (p) и Q(q )F Их прообразы f -1 (P ), g -1 (Q) открытыD как и их пересечение V = f -1 (P ) g -1 (Q)F V есть окрестность точки xD причем образы f (x ), g (x ) каждой точки x V лежат в непересекающихся множествахD тFеF V U и U открытоF a {Класс всех топологических пространств вместе с множествами C (X Y ) непрерывных отображений для каждой пары пространств X, Y является топологической категорией он удовлетворяет аксиомам теории категорий : композиция непрерывных
отображений непрерывна и обладает свойством ассоциативности, каждому простран-

X отвечает тождественное (непрерывное) отображение 1|X со свойствами f = 1|X f для f : Z X и g 1|X = g для g : X Y . Отображения в произвольной категории называются

ству

морфизмами

, они не обязательно являются отображениями множеств, как и

объекты не обязательно рассматриваются как множества. (Например,

род?

категория ?го-

: объекты дома, морфизмы пути от дома А к дому B.) В каждой категории

X и Y изоморфны, если имеются взаимно обратные морфизмы f : X Y и g : Y X , для которых f g = 1|Y и g f = 1|X . В топологической категории изоморфизм называется гомеоморфизмом.}

рассматриваются изоморфизмы объектов категории: Объекты

Гомеоморфизм или топологическая эквивалентность между двумя пространE ствами X и Y есть взаимно однозначное соответствиеD определяющее взаимно обратE ные непрерывные отображенияX f : X Y и g : Y X D для которых f g = 1|Y и g f = 1|X Y X и Y называются гомеоморфными F Это значитD что X и Y изоморфны в топологической категорииF

Q


@Так как f = g -1 D то f (U ) = g -1 (U )D так что f отображает открытые множеE ства в открытые @и аналогично g AF ОчевидноD гомеоморфизм устанавливает взаимно однозначное соответствие между системами открытых множеств в X и Y D с сохранеE нием отношения принадлежностиF Поэтому всеD что можно сказать об одном из этих прстранств на языке открытых множествD можно сказать и о другомFA Топологическим свойством топологических пространств называется свойE ствоD которое одновременно выполнено или не выполнено у гомеоморфных проE странствF Примерами топологических свойств служат аксиомы отделимостиD дисE кретность структурыF Много важных свойств будет рассмотрено дальшеF EaEaEaE

Индуцированная топология
Каждое подмножество A пространства X наделяется индуцированной топологической структурой X открытыми подмножествами в A относительно этой структуE ры считаются пересечения U A открытых подмножеств U X F @ГоворитсяD что U A открыто относительно AFA Подмножество с индуцированной структурой называется подпространством пространства X F Первыми примерами служат произвольные подмножества при любом натуральE ном n евклидова пространства Rn D в котором открытыми подмножествами считаются всевозможные объединения открытых шаровF Пусть дано подпространство A в X и непрерывное отображение f : X Y F Оно определяет @поточечноA отображение f |A : A Y D которое называется ограничением f на AX @f |A (x) = f (x)D если x AAF E Если f непрерывноD то и f |A непрерывноX Если U открыто в Y D то f -1 (U ) отE крыто в X и f -1 (U ) A открыто относительно AD но f -1 (U ) A = (f |A )-1 (U )F АналогичноD если Y есть подпространство B и дано непрерывное отображение g : X Y D то поточечно определено непрерывное отображение g : X B , g (x) = g (x)D ~ ~ где g (x) рассматривается как точка Y D а g (x) ! та же самая точка ! рассматривается ~ как точка B F @По аналогии с f |A отображение g можно было бы обозначить g |B D но общеприE ~ нятых названия и обозначения для g нетD хотя такой переход в образе от Y к B Y ~ приходится часто делатьAF EaEaEaE

Виды точек подпространства
Внутренностью snt A подпространства A в X называется максимальное отE крытое подмножество X D лежащее в A ! это множество @мFбF пустоеA всех точекD лежащих в X со своей окрестностьюF Внешностью ixt A подпространства A называется максимальное открытое мноE жествоD не пересекающееся с A @ixt A = snt C AA ! это множество всех точекD имеюE щих окрестностиD не пересекающие AF ОчевидноD snt A ixt A = F Дополнение к snt A ixtA называется границей pr A подпространства A @пишут также fd AD иногда AA ! это множество всех точекD каждая окрестность которых пересекается и с snt A и с ixt AF Иногда пишут sntX A и тFдFD чтобы подчеркнутьD что A считается подпространE ством X F ТочкиD лежащие в этих множествах соответственно называются внутренними, внешними и граничнымиF
R


? Замыканием A @иногда пишут AA подпространства A X называется A pr A ! это множество всех точек прикосновения X D точекD каждая окрестность которых пересекается с AF ? Замыкание A подпространства дополнительно к его внешности (в котором каждая точка имеет окрестность, не пересекающуюся с A); значит, ? A замкнуто. ? E Подпространство A открыто A = sntAY A замкнуто в X A = AF ? ? В частностиD замыкание замыкания замкнуто @A = AAF ? Точки A в T1 Eпространстве делятся на изолированные @они принадлежат AA и предельные @могут принадлежать и не принадлежать AAF Из T1 Eаксиомы следуетD что E Точка x является предельной для множества A В любой окрестности x имеются отличные от x точки множества A и притом бесконечно много точекF В связном двоеточии замкнутая точка служит предельной для открытой точкиF E Непрерывное отображение f : X Y переводит точки прикосновения множеE ства A X в точки прикосновения f (A)F Прообраз V окрестности U (f (x)) в Y есть окрестность x в X D и если V содержит точки AD то U содержит точки f (A)F @Предельная точка может перейти в изолированную ! какc3A Имеются два важных класса непрерывных отображений ! замкнутые и открытые отбраженияD это отображенияD переводящие соответственно замкнутые мноE жества в замкнутые и открытые множества в открытыеF E Непрерывное отображение f : X Y замкнуто В каждой окрестности U (Fy ) полного прообраза Fy = f -1 y каждой точки y Y имеется окрестность V (Fy ), являющаяся полным прообразом некоторой окрестности точки y . X Для окрестности U (Fy ) множество f (X \ U ) замкнутоD тFкF замкнуто отобраE жение f D причем y f (X \ U )F / Тогда W (y ) = Y \ f (X \ U ) открыто в Y D V = f -1 W открыто в X и не пересекается с X \ U D тFеF лежит в U F От обратногоX Пусть Q замкнутое подмножество X и y предельная точка для f (Q)D причем y f (Q)F / Тогда полный прообраз F точки y лежит в открытом множестве X \ Q иD по условиюD имеется окрестность W (y )D полный прообраз которой лежит в X \ QF Но тогда f Q W = и y не может быть предельной точкой для f QF E Из этого следуетD что для замкнутого отображения в каждой окрестности полE ного прообраза точки имеется окрестностьD состоящая из полных прообразов точекF Разбиения пространства на замкнутые подмножества с таким свойством назыE ваются непрерывными в русской литературе и полунепрерывными сверху в английE ской @upper semiontinuousAF E Непрерывное отображение f : X Y открыто Для каждой окрестности U X множество точек x Y , прообразы которых пересекают U , открыто в Y . X Пусть U X открытоF Тогда f U открыто в Y и состоит из всех точекD прообразы которых пересекают U F X Пусть U X открытоF Образ U состоит из точекD прообразы которых переE секают U F По условиюD это множество открытоF
S


РазбиенияD порождаемые отображениями одновременно открытыми и замкнуE тыми называются вполне непрерывными @непрерывными в английскойAX
В дальнейшем рассматриваются только непрерывные отображения, непрерывность отображения, как правило, не оговаривается!

EaEaEaE

ма открытых подмножествD которая порождает топологию в X в том смыслеD что каждое открытое множество есть объединениеD возможноD бесконечного числаD подE множеств из этой системыF Предбазой топологии называется система открытых множествD конечные пересеE чения элементов которой образуют базуF E Для непрерывности отображения f : X Y достаточно @и необходимоAD чтобы прообразы элементов базы были открытыF Для каждой точки x X и окрестности V (f (x)) имеетсяD по условиюD окрестE ность U (f (x)) из базыD такаяD что U V D f -1 (U ) открыто и x f -1 (U ) f -1 (V )D значитD f -1 (V ) открыто и f непрерывноF E Топология в множестве X может быть задана указанием некоторой системы подмножеств в качестве базы топологииF Открытые шары в евклидовом пространстве образуют базу обычной топологииD которая обычно таким образом и определяется @множество открытоD если оно есть объединение открытых шаровAF Система множеств определяет топологиюD для которой она служит базойD если для нее выполнен сдедующий

Базы и предбазы. Локальные базы. Аксиомы счетности Базой топологии пространства X или просто базой в X называется систеE

Критерий базы
имеется элемент

:

Система подмножеств Для каждой точки

B

множества

X

служит

базой топологии

в

x каждого пересечения B1 B2 двух элементов B B так, что x B B1 B2 . X Пересечение двух открытых множеств должно бытьD по определению тополоE гииD открытымF Но если для двух элементов базы B1 и B2 имеется точка x B1 B2 D для которой нет элемента B базы такогоD что x B B1 B2 D то не найдется открыE того помножестваD содержащего x и лежащего в B1 B2 D иD значитD B1 B2 не окажется открытым множествомF @Топология не определяется одними объединениямиFA X Пусть даны три элемента B1 , B2 , B3 из системы B F Возьмем точку x B1 B2 B3 F Пусть x B12 B1 B2 и x B23 B2 B3 D где B12 и B23 ! элементы B F Тогда имеется B123 B такойD что x B123 B12 B23 B1 B2 B3 F Таким образомD все конечные пересечения элементов B оказываются объединениями элементов B F По условиюD система T должна состоять из всех объединений элементов базы B F Проверим аксиомыF Объединения таких объединений входят в систему T F Конечные пересечения таких объединений являются объединениями конечных пересечений элементов B F ТFкF конечные пересечения элементов B являются объедиE нениями элементов B они входят в систему T F Итак T есть топология на X F @НужноD конечноD в доказательстве принять ?по умолчанию?D что X и входят в систему B F Это получится само собойD если каждая точка X лежит в одном из элементов B и имеются непересекающиеся элементыFA E Пересечения всех элементов базы пространства X с подпространством A обраE зуют базу индуцированной топологииF @Проверьте3A
T

X из B


P подмножеств множества X служит предбазой некоторой топологии T в X D тFеF система всех конечных пересечений элементов из P и всех объединений таких пересечений удовлетворяет аксиомам открытых множествF Нужно показатьD что множество M D являющееся конечным пересечением объE единений конечных пересечений элементов P D есть объединение конечных пересечеE ний элементов P F Но конечное пересечение оъединений множеств есть объединение конечных пересечений этих множествD тFеF в нашем случае ! конечных пересечений элементов P F ЗначитD M есть объединение конечных пересечений конечных пересеE ний элементов P D тFеF принадлежит порожденной системе T F
Любая система

Аксиомы счетности
Базой в точке x X называется система окрестностей x такаяD что каждая окрестность этой точки содержит ее окрестность из этой системыF
В

X

выполнена

(Из второй аксиомы счетности следует первая.) E В пространстве с первой аксиомой счетности дизъюнктные системы открытых множеств счетныF @Аксиома СуслинаFA Подмножества евклидовых пространств удовлетворяют обеим этим аксиомамF Несчетное дискретное пространство удовлетворяет первой аксиомеD но не второйF EaEaEaE
точка имеет счетную базу.

Пространство удовлетворяет

вторая аксиома счетности , если X имеет первой аксиоме счетности ,

счетную базу. если каждая

ется произведение множеств X и Y @тFеF совокупность упорядоченных пар (x, y ), x X, y Y AD в котором топология задается указанием базыX за базисные открытые подE множества принимаются произведения U Ч V D где U произвольный базисный элемент в XD а V ! в Y F Для плоскости @произведения двух прямыхA за базу можно взять произведения пар открытых интерваловF Для квадрата к этому нужно добавить еще произведения полуинтервалов на интервалы и полуинтервалов на полуинтервалыF Прямое произведение имеет две канонические проекции X p1 : X ЧY X, p1 (x, y ) = x и p2 : X Ч Y Y , p2 (x, y ) = y D при этом удовлетворено условиеX a ) Если имеется другое пространство D с непрерывными отображениями q1 : D X и q2 : D Y , то имеется единственное непрерывное отображение r : D X Ч Y так, что q1 = p1 r и q2 = p2 r . При этом b ) Любое пространство D, удовлетворяющее этому определению, автоматически гомеоморфно X Ч Y : В силу a A имеется отображение s : X D с тем же свойствомD что и rD причем композиции rs и sr тождественныD так как отображения X и D на себя со свойством a ) единственныD тFеF тождественныF a {Данное определение общекатегорно. Объект с двумя морфизмами-проекциями и свойствами a) и b) есть прямое произведение в категории. Он может существовать
или не существовать в данной категоории. Например, прямое произведение определяется аналогично в категории множеств и отображений, в категории групп, в категории коммутативных групп с заменой непрерывности проекций на гомоморфизмы, в категории топологических групп с непрерывными гомоморфизмами и т.д. В категории

Прямое произведение. График отображения Прямым произведением X Ч Y двух топологических пространств называE

U


упорядоченных множеств с монотонными отображениями прямого произведения не

} Определено прямое произведение и для конечного числа пространствX 1ik Xi D причем эта операция ассоциативна @(X1 Ч X2 ) Ч X3 = X1 Ч (X2 Ч X3 )AD но не коммуE тативнаX если X1 = X2 D то X1 Ч X2 = X2 Ч X1 F ОднакоD X1 Ч X2 гомеоморфно X2 Ч X1 при гомеоморфизме (x, y ) = (y , x)F @ПроверьтеD что это гомеоморфизм3A Произведение бесконечного числа пространств тоже определеноD но требует отE дельного обсужденияF Мы к этому вернемсяF
существует.

Графиком отображения @не обязательно непрерывногоA f : X Y называется подмножество прямого произведения f = {(x, f (x))} X Ч Y F E Отображение f непрерывно проекция p1 |f гомеоморфизм f и X . ЗаметимD что f = p2 (p1 |f )-1 F Обозначим (p1 |f )-1 через sF X Из условия следуетD что s : U f D где U ! область определения f D непреE рывноF Но f = p2 sF X Так как p1 непрерывно и взаимно однозначно на f D нужно только показатьD что s непрерывноF Любая окрестность точки s(x) на графике есть пересечение с графиком окрестE ности s(x) относительно X Ч Y D которую можно взять из базыD тFеF в виде U Ч V D где U (x) !окрестность в X D а V (f (x)) ! в Y F По условию непрерывности f D для данной окрестности V (f (x)) Y можно найти такую окрестность U (x)D что f (U ) V F Тогда s(U U ) лежит во взятой окрестности U Ч V иD значитD в данной окрестности s(x) в графике f F EaEaEaE

Плотность и сепарабельность
Подпространство A X называется всюду плотным в пространстве X D если ? A = X D тF еF каждая точка X есть точка прикосновения для AF @В частностиD A содержит все изолированные точки X FA Подпространство A называется нигде не плотным в X D если в каждом открыE том множестве в X содержится открытое подмножествоD не пересекающее AD иначе говоряD snt A = @или A = pr AAF E Открытое подмножество всюду плотно тогда и только тогда, когда
дополнительное замкнутое подмножество

нигде не плотно.

? Открытое множествоD не пересекающееся с A не пересекается и с AF Пространство называется сепарабельнымD если пространство имеет счетное всюду плотное подмножествоF @?Сепарабельное? означает отделимоеD но это слово здесь не употребляютD изEза путаницы с T2 EпространствамиD которые также иногда называют отделимымиFA E Пространство со второй аксиомой счетности сепарабельноF Все подмножества евклидова пространства сепарабельны. Множество точек со всеми рациональными координатами четно и плотноF E В сепарабельном пространстве дизъюнктная система открытых множеств не болееD чем счетнаF В каждом множестве возьмем по точке из счетного плотного множестваF Эти точки попарно различныF {Дизъюнктная система это система множеств, которые попарно не пересекаются.} Две аксиомы счетности и сепарабельность ! примеры топологических свойствF
V

Замыкание нигде не плотного множества также нигде не плотно.


E Непрерывное отображение f : X Y , Y = f (X )D сохраняет плотность подмноE жества и сепарабельность пространстваF ? ? Пусть X = AF Тогда f (X ) f (A) f (A) = f (X )F EaEaEaE

Покрытия. Локально конечные и фундаментальные покрытия
Система U = {U } подмножеств множества X есть его покрытие @или покрывает X AD если X = U X объединение этих подмножеств совпадает с X F Если число элементов покрытия конечно или счетноD говорятD что покрытие соотвF конечно или счетноF Если элементы покрытия открытые или соотвF замкнутые подE пространства пространства X D покрытие называется открытым или замкнутымF Покрытие V вписано в покрытие U D если каждый элемент V лежит в некотором элементе из U F E Во всякое открытое покрытие можно вписать покрытие элементами базыF Покрытие пространства X называется локально конечнымD если каждая точка X имеет окрестностьD пересекающуюся только с конечным числом элементов покрыE тияF Покрытие пространства X называется фундаментальнымD если подмножество X тогда и только тогда открытоD когда его пересечение с каждым элементом покрыE тия открыто @в индуцированной топологииAF ЯсноD что любое открытое покрытие фундаментальноF E Локально конечное (в частности, конечное) покрытие замкнутыми
множествами фундаментально.

Пусть {F } замкнутые подмножества X D образующие локально конечное поE крытие X D и пусть H X такое подмножествоD что каждое пересечение H F открыто относительно F F ПокажемD что H открытоF Пусть x H F Допустим для простотыD что некоторая окрестность V (x) пересекается только с двумя множествами F1 и F2 D причем x F1 F2 F Пусть U1 и U2 ! окрестности x в X такиеD что U1 F1 = H F1 и U2 F2 = H F2 F Множество W = U1 U2 V есть окрестность xD лежащая в V F1 F2 F W Fi Ui Fi = H Fi H D для i = 1 и 2F Но V F1 F2 D и x W = W V W (F1 F2 ) = (W F1 ) (W F2 ) H F Покрытие множества рациональных точек в R точками не фундаментальноD хотя E Покрытие отрезка всеми счетными подмножествами фундаментально. E Если покрытие U пространства X фундаментальноD то отображение f : X Y непрерывно непрерывно ограничение f на каждый элемент этого покрытияF EaEaEaEaEaE
2. МЕТРИКА

EaEaEaE Топология на множестве может порождаться различными структурамиF НаприE мер порядковойD когда за базу принимаются интервалыF Но особенно важна метриE ческая структураD к которой мы переходимF

RD удовлетворяющая аксиомам метрики X a) x : d(x, x) = 0;

Метрика на множестве. Топология, порождаемая метрикой Расстоянием или метрикой в множестве X называется функция d : X Ч X

W


b) (x, y ) : d(x, y ) = d(y , x); c) (x, y , z ) : d(x, y ) d(x, z ) + d(z , y ) @аксиома треугольника AF Множество X с метрикой d называется метрическим пространством D которое обозначается (X, d) @или просто X AF Метрическое пространство X ограниченоD если для некоторого a d(x, y ) < aF Любое подмножество метрического пространства X наследует метрику из X и называется @метрическимA подпространством в X F В метрическом пространстве (X, d) шаром радиуса r с центром в точке x0 называется подмножество точек x X D для которых d(x, x0 ) rF Открытым шаром или r-окрестностью точки x0 называется множество {y ; d(x0 , y ) < r}F Метрическое пространство (X, d) порождает топологическую структуру (X, Td ) посредством псевдобазиса открытых шаровF Проверьте3 E Открытые шары базис получившейся топологии Td в X F Проверьте3 E Если на множестве X заданы топологическая структура T и метрика d, то Структура T совпадает со структурой Td , порожденной метрикой
Каждая топологическая окрестность каждой точки содержит метрическую окрестность (шар с центром в этой точке), и наоборот, каждый шар содержит топологическую окрестность каждой своей точки.

X называется метризуемымD если на X есть метрика d такаяD что T = Td F E ТопологииD порожденные на X двумя метрикамиD совпадают Каждая точка открытого шара B1 одной метрики имеет в B1 окрестность B2 другой метрикиF В этом случае они называются (топологически) эквивалентнымиF n i i2 Стандартная @?пифагорова?A метрика в Rn ! d(x, y ) = i=1 (x - y ) ! задает n i i стандартную топологиюD которую можно задать и метрикой i=1 |x - y |F E Функция метрики d(x, y) непрерывна по совокупности переменных. d(x , y ) < 2 + d(x, y )D если d(x, x ) < и d(y , y ) < F Значит |d(x y ) - d(x , y )| < 2. Расстояние D(x0 , A) точки x0 до подмножества A X определяется как inf (d(x0 , x)), x AY расстояние D(A, B ) между множествами A и B ! как inf (x,y) (d(x, y )), x A, y B F D(x, A) > 0D если x A и A замкнуто. Если x предельнаяD то D(x, A) = 0D но если A замкнутоD то x AF E Функция DA (x) = D(x, A) непрерывна по x. a D(A, B ) не является метрикой на множестве всех подмножеств и даже на мноE жестве всех замкнутых подмножествX не выполнена аксиома треугольникаF E Метрические пространства имеют важные топологические свойстваX B они хаусдорфовы @точки разделены шарамиD радиусы которых меньше половиE ны расстояния между нимиAD B в них выполнена первая аксиома счетности @шары радиуса IGnAD B метрические сепарабельные пространства имеют счетную базуD состоE ящую из объединения счетных локальных баз точек счетного плотного множестваF E В метрическом пространстве множество точек, в которых значения
двух непрерывных функций равны, замкнуто.

Дополнение распадается на два непересекающихся открытых подмножестваD в каждом из которых одна функция больше другойF
В частности, для каждого из двух замкнутых непересекающихся подмножеств метрического пространства множество точек, расстояние которых до него меньше, чем до другого, открыто.

Таким образомD

IH


замкнутые непересекающиеся подмножества отделимы непересекающимися окрестностями.

Это свойство называется нормальностью пространстваD мы к нему вернемся дальше с общей точки зренияF EaEaEaE

Сходимость последовательностей. Полнота
Благодаря первой аксиоме счетностиD в метрическом пространстве M можE но определить понятие предела последовательности и пользоваться понятием E окрестностиD как в курсе анализаF E Для каждой предельной точки x0 подпространства A M имеются нетривиE альные последовательности ai = a0 точек AD пределом которых она являетсяF E Отображение f одного метрического пространства в другое непрерывно @в смысE ле топологииA f переводит сходящиеся последовательности в сходящиесяF Сохраняет свое значение и известное из курса анализа определение понятия фундаментальной последовательности (последовательности Коши)F Метрическое пространствоD в котором каждая фундаментальная последоваE тельность имеет пределD называется полным F E ОчевидноD замкнутое подмножество полного пространства полноF E Теорема 1F В полном пространстве пересечение убывающей последовательности замкнутых подмножеств Ai Ai+1 , диаметры которых стремятся
к нулю, состоит из одной точки.

Возьмем ai Ai D получим фундаментальную последовательность {ai }F E Теорема 2F Пересечение счетного числа открытых всюду плотных подмножеств полного метрического пространства X всюду плотно в X . Занумеруем данную систему открытых множествX Un D и пусть дано еще одно открытое подмножество W F Строим счетную последовательность окрестностей Vn такD что Vn ( Ui ) W D каждая Vn с замыканием лежит в Vn-1 и диаметры Vn стремятся к нулюF По теореме ID Vi состоит из одной точкиD и она лежит в ( Ui ) W F
1in

МножествоD являющееся пересечением счетного числа открытых множеств наE зывается множеством типа G D а объединение счетного числа замкнутых множеств ! множеством типа F F ИзвестноD что всюду плотное G Eмножество в полном пространE стве само имеет полную метрику @напримерD множество иррациональных чиселFA E Переходя к дополнениямD из теоремы P получаемX Теорема 3F Полное метрическое пространство X не может быть покрыто
счетной системой замкнутых нигде не плотных множеств.

1i<

1i<

Множество рациональных чисел не полно ни в какой метрикеD тFкF оно ! счетное объединение своих точекD но оно плотно на отрезкеF А G Eмножество иррациональных чисел полно @но не в своей стандартной метрике3A и оно не есть сумма счетного числа нигде не плотных замкнутых подмножествF МетрикаD в которой это пространство полноD представлена у Александрова @глава RD TD стрF ISRESAF С этой метрикой оно называется пространством БэраF EaEaEaE

Прямое произведение метрических пространств

.

Дадим сначала общее определение прямого произведения M X тополоE гических пространствD принадлежащее АFНF ТихоновуF Множество M D которым инE
II


дексированы пространстваEсомножителиD может иметь любую мощностьF Точками пространстваEпроизведения являются системыD состоящие из наборов {x } ! по одE ной точке x из каждого множества X F {Здесь возникает логическая трудность: существование таких наборов приходтся оправдывать специальной аксиомой теории множеств ?аксиомой выбора? (существование множества, которое с каждым X пересекается по одной точке), для нее доказана независимость от других аксиом она не противоречит, но и не выводится из других аксиом..}

Псевдобазисом

топологии в

M

щиеся заменой в произведении тым подмножеством.

X M X

служат подмножества, получаюодного сомножителя его откры-

Здесь множество индексов M может иметь любую мощностьF Но мы дальше расE сматриваем только счетные произведенияF В метрическом случае имеется два определения топологии произведения @заданE ной непосредственно указанием базы и индуцированной метрикойAD и нужно провеE рить их согласованностьX Прямым произведением T = i Xi (счетной последовательности) топологических пространств называется прямое произведение множеств Xi @тFеF множество последовательностей {xi }, xi Xi AD в котором топология вводится с поE мощью предбазыD состоящей из подмножеств TD получающихся заменой в T одного из сомножителей Xi открытым подмножеством в этом сомножителеF Базой служат подмножестваD получающиеся заменой конечного числа сомножиE телей их открытыми подмножествамиD которые можно брать из базы в сомножителеF @ЗаметимD что это определение удовлетворяет категорному требованиюX проекции на сомножители будут автоматически непрерывнымиFA НапримерD в прямом произведении n отрезков базой будет система произведений интерваловD тFеF открытых параллелепипедовF Прямым произведением M метрических пространств (Xi , di ) назыdm (xm , ym ) 1 F вается прямое произведение множеств Xi с метрикой: d(x, y ) = m2 1+dm (xm ,ym ) x E ЗаметимD что функция 1+x монотонно возрастаетD что позволяет проверить акE сиому треугольникаX обозначим координатные расстояния a = dm (xm , ym )D b = dm (ym , zm ), c = dm (zm , xm )D тогда

a b a + b + 2ab a + b + ab a+b c + = > > > . 1+a 1+b 1 + (a + b) + ab 1 + (a + b) + ab 1 + ( a + b) 1+c
Неравенство выполнено покоординатноD отсюда следует его выполнение для M F E Остается проверитьD что в каждой топологической окрестности точки произвеE дения лежит метрическая окрестностьD и в каждой метрической топологическаяF 2 2 Нам удобно использовать разложение 6 в рядX 6 = k12 @ФихтенгольцD IWTTD 1 том sssD пFTWHD стрF RSIAF @Из сходимости этого ряда следуетD что введенная нами метрика прямого произведения ограниченаFA Для данного > 0 возьмем n такD чтобы k12 < 2 F Возьмем метрические n+1 3 окрестности Uk = U (xk , k ) в пространствахEсомножителях Xk F 2 Пусть V (x) топологическая окрестность точки {xk } с условием xk Uk , k nD для x V (x) @в сомножителях метрика согласована с топологиейAF 2 3 3 Тогда d(x, x ) = n + n k12 + 2 < ћ 6 + 2 = D тFеF V (x) U (x, )F 2 2 1 n+1 1 IP


ОбратноF Пусть топологическая окрестность V (x) определена условиемD что коорE динатные проекции xki , 1 i sD ее точек x лежат в окрестностях Uki = U (xki , ki )F Положим = min
1 d(xki ,xki ) 2 ki 1+d(xki ,xk )
i

, 1 i sF Если точка x лежит в метрической окрестности U (x, )D то d(x, x ) < D тFеF <<
1 ki 2 ki 1+ki

1 ki 2 ki 1+ki

D и x V (x)F EaEaEaE

Гильбертово пространство H и гильбертов куб I
Гильбертово пространство H есть важнейший пример полного метричеE ского пространстваF В анализе это одно из основных бесконечномерных линейных @a векторныхA пространствD но нам важны его топологические свойстваF Одно из определений H следующееF Точками H являются последовательности вещественных чисел со сходящейся суммой квадратовF Метрика определяется по Пифагору как квадратный корень из @бесконечнойA суммы квадратов разностей координатF @H с этим определением называется в анализе пространством l2 AF Аксиома треугольника доказывается известным из курса анализа способом с поE мощью формулы Коши ! Буняковского и предельного переходаF Полнота следует из тогоD что проекция фундаментальной последовательности точек на каждую ось будет фундаментальнойD полученная точка принадлежит H @благодаря неравенству Коши ! БуняковскогоA иD очевидноD будет пределом данной последовательностиF E Гильбертово пространство сепарабельно, значит, имеет счетную базу. Гильбертов куб (параллелепипед, кирпич) I F Множество точек в гильбертовом пространствеD в котором координата с номером k лежит в отрезке [0, 21k ] называется гильбертовым кубом I @чаще кирпичем или реже параллелепипедомD поскольку каждая следующая по номеру сторона вдвое меньше предыдущейD как у кирпичаAF ЗаметимD что точкиD у которых все координаты нулевыеD начиная с (n + 1)EойD образуют nEмерный параллелепипедD причем его 21 Eокрестность содержит весь I F n Позже мы увидимD что гильбертов куб компактен и имеет другие важные свойстваF
Топология в I была задана гильбертовой метрикой dh D отличной от метрики dp прямого произведенияD согласованнойD как показано на предыдущей страницеD с топологией Tp прямого произведенияX Tdp = Tp F ОказываетсяD dh тоже согласована с Tp D тFеF Tdh = Tp D значитD метрики эквивалентны @Tdh = Tdp AX 1 E I есть произведение счетного числа отрезков X I = [0, 2i ] = Ii F i=1 1 Представим I для данного n как In Ч I-n D где In = I1 Ч ћ ћ ћ Ч In , Ii = [0, 2i ] и -n I ! произведение остальных отрезковF Соответственно точка x = {xi } I предE ставляется как (xn , x-n ), xn = (x1 , . . . , xn ) In , x-n = (xn+1 , xn+2 , . . . ) I-n F ЗаметимD что limn dim I-n = 0F Возьмем топологическую окрестность U точки x I , x = {xi }D из базы Tp @прямого произведенияAD тFеF для некоторого n, U = U1 Ч ћ ћ ћ Ч Un Ч I-n D где Ui ! интервалы в Ii @если xi = H или ID то берем полуинтервалAY возможноD Ui = Ii F Пусть = min i D где i Eокрестность xi лежит в Ui F Можно допуститьD что dim I-n < /2F В таком случае /2Eокрестность точки x @взятая в метрике dh A лежит в U F @Если сумма квадратов разностей меньше a2 D то модуль каждой разности меньше aAF Пусть V ! Eокрестность точки x = {xi } I в метрике dh F Возьмем n столь большимD что диаметр I-n меньше /2F Для каждого Ii возьмем интервал Ui с центром в xi @если xi = H или ID то берем полуинтервалA столь малыйD что диаметр IQ


параллеллепипеда U1 Ч ћ ћ ћ Ч Un меньше /2F Тогда U1 Ч ћ ћ ћ Ч Un Ч I-n есть окрестность из базиса Tp D которая лежит в V F a @Гильбертово пространство топологически гомеоморфно произведению счетноE го числа прямыхD но это трудная теоремаD высказанная как гипотеза одним из осноE вателей общей топологии Фреше в начале Eго векаD и доказанная американским топологом РF АндерсономX FhF endersonF fulletin ewD UPD IWTTD pFSISESIWA EaEaEaEaEaE
3. СВЯЗНОСТЬ

EaEaEaE

Определение связности
Пространство связноD если его нельзя разбить на два открытых подмножестваF @@Разбиением множества X на подмножества A называется представление X в виде объединения A , где A попарно не пересекаются и не пусты.AA E Связность является топологическим свойствомF Более тогоX
Непрерывный образ связного пространства связен.

Если образ разбит на два открытых множестваD то прообраз разбит на их прообразыD которые открытыF EaEaEaE

Компоненты. Вполне несвязные пространства. Интервалы в R
E Добавление предельных точек к связному множеству не нарушает связностиF E Если множество связно, то его замыкание также связно. Докажите3 E Если пересечение двух связных множеств содержит общую предельную точку, то их объединение связно.

E Если два связных множества имеют общую предельную точку, которая принадлежит хотя бы одному из них, то объединение связно.

Пусть точка x0 предельная для каждого из множеств A1 , A2 и x0 A1 F Пусть M = A1 A2 = U1 U2 D где Ui открыты в M и не пересекаютсяF Каждое из множеств Ai лежит целиком в одном из множеств Uj F ДопустимD x0 U1 D тогда также A1 U1 D значитD A2 U2 F Но тогда x0 не есть предельная точка для A2 F В пространстве X рассмотрим все связные замкнутые подмножестваD содерE жащие данную точку x0 F Их объединение связно и замкнутоF Принадлежность двух точек к одному связному подмножеству оказывается отношением эквивалентностиF X распадается в дизъюнктное объединение замкнутых связных подмножествF Их называют компонентами связности или просто компонентами пространства X F

Компонентами дискретного пространстваD очевидноD являются точкиF КомпоE нентами множества рациональных чисел на прямой или иррациональных чисел такE же являются точкиF ПространстваD компоненты которых ! точкиD называются вполне несвязнымиF В Rn D напримерD таковы счетные множества или множество точекD у которых все координаты иррациональныF Более интересные примеры рассмотрены дальшеF E Компоненты открытых подмножеств евклидовых пространств открыты @смF слеE дущий разделAY тFеF они являются связными открытыми подмножествамиF @Такие подмножества иногда называют областями AF

IR


На числовой прямой R связные подмножества интервалы F Интервал X в R это множество всех чисел между двумя даннымиD a и bD ?концами? X D с возможным включением в X одного или обоих концовD причем возE можноD что a = - иGили b = +F Возможно такжеD что a = bD тFеF точки считаются интерваламиF @Это определение переносится на любое упорядоченное множествоD с транзитивE ным и несимметричным отношением порядкаFA На прямой вместе с @пустым интерваломA всего получается II типовX конечные @замкнутые ! отрезкиD точкиD открытыеD полуоткрытые вправо и влевоA и бесконечE ные @вся прямая и лучиD замкнутые и открытыеD вправо и влевоAF Утверждение доказывается с помощью дедекиндова сечения в RF Дедекиндово сечение в упорядоченном множестве M ! это разбиение M на два непустых подмножества A и B такD что все элементы A меньше всех элементов B F По ДедекиндуD сечение в R задает число cD равное или max xD или min xF
@Дедекинд определяет вещественные числа как сечения в области Q рациональных чиселF Иррациональное число ! это сечение в QD в котором нет максимального элемента у нижнего класса и минимального у верхнегоF НапримерD B : {x}, x > 0 и x2 > 2D A ! остальные числаF Пусть X интервал в RD и X = U1 U2 D где Ui открыты в X и не пересекаютсяD a U1 , b U2 , a < bD отрезок [a, b] X F Рассмотрим сечениеD в котором к нижнему классу @AA отнесем числа меньшие b и отделенные от b какойEлибо точкой U1 D а к верхнему @B A остальныеF Оба класса не пустыD числа нижнего меньше чисел верхнегоF Согласно дедекиндову определению вещественных чиселD имеется число D котоE рое не меньше всех чисел A и не больше всех чисел B F ЯсноD что a c b, c X D причем (c, b) B F Но такое число не может принадлежать ни к U1 D ни к U2 X c U1 D тFкF иначе / имеются точки A большие cD и c U2 D тFкF тогда вблизи от c нет точек AF / Обратно. Если X связное подмножество RD оно содержит с каждой парой своих точек a, b весь отрезок [a, b]D иначе точка c [a, b]D не лежащая в X D разобъет X на два открытых множества точек больше и точек меньше cF Если X ограничено снизуD построим дедекиндово сечениеD отнеся к нижнему класE су A точкиD для которых все меньшие не лежат в X F Точка aD определенная сечениемD служит нижней граничной точкой для X X как угодно близко от нее есть точки X F Аналогично найдем верхнюю граничную точку bD если X ограничено сверхуF Сами точки a и b могут не принадлежать X D но весь интервал между ними принадлежит X D тFкF как угодно близко к a и к b есть точки X D а вне отрезка [a, b] точек X нетF В зависимости от ограниченности X и принадлежности к X граничных точекD получим все типы интерваловF E Для непрерывной функции, определенной на связном множестве, например, интервале, интервал между двумя точками в ее образе весь лежит в образе.
xA x B

@Докажите3 Это ! теорема Больцано о промежуточном значенииFA EaEaEaE
sin x
1

метризованной кривой AF Пространство X называется линейно связнымD если любые две его точки соединимы путем в X @тFеF служат образами концов отрезкаAF
IS

. Локальная связность Непрерывное отображение отрезка в X называется путем в X @иногда параПути. Линейная связность.


E Открытое подмножество U Rn связно U линейно связно. X Подмножество V точек открытого связного множества U Rn D достижимых путем из точки a U D открыто @если b достижимаD то и все точки из малой E окрестности достижимыA и замкнуто @если в Eокрестности точки b U имеются достижимые точкиD то и b достижимаAF ТFкF U связноD U = V F X Если X = U1 U2 D где Ui открыты и не пересекаютсяD а f : [0, 1] X ! путь в X D причем f (0) U1 , f (1) U2 D то отрезок [0, 1] разбит на два открытых не пересекающижся и непустых подмножества f -1 (U1 ) и f -1 (U2 )F E Последнее рассуждение показываетD чтоD вообщеD из линейной связности пространства вытекает его связностьF Обратное неверно. Стандартным примером связного, но не линейно связного пространства является синусоида SD точнееX График функции sin 1/x, к которому добавлен отрезок [-1, +1] оси ординат. связноD тFкF точки вертикального отрезка являются предельными для двух половин графикаD а каждая половина гомеоморфна лучу @области определенияAF

IFpng не линейно связно: Пусть в имеется путь lD соединяющий точку l(0) центральE ного отрезка с точкой l(1) на правой части графикаF Построим дедекиндово сечение на отрезке HD ID отнеся к верхнему классу точки t отрезкаD для которых отрезки [t, 1] целиком отображаются в правую часть графикаF Точка t0 D определенная сечениемD отображается в точку a на центральном отрезкеF Рассматривая отображение l только на отрезке [t0 , 1]D возьмем малую окрестность U точки aF Она состоит из интервала s на центральном отрезке и еще бесконечной последовательности непересекающихся дугD стремящихся к интервалу sF Прообраз U открыт в [t0 , 1] и содержит малый полуинтервал [t0 , t1 ) со связным образомF U можно разбить на два непересекающихся открытых множества @одно ! дугаD содержащая l(t1 )D другое множество ! все остальное ! содержит aAF Но образ [t0 , t1 ] в этом случае есть путь соединяющий точки из непересекающихся открытых подмноE жеств U D что невозможноF Локально связным называется пространствоD каждая точка которого имеет сколь угодно малую связную окрестность @тFеF в каждой окрестности точки есть меньшая с требуемым свойствомAF Локально линейно связным называется пространствоD в каждой окрестности каждой точки которого найдется меньшая окрестностьD любые две точки которой соединимы путем в данной большей окрестностиF ?Синусоида? S не имеет этих двух свойств в точках вертикального отрезкаF С другой стороны их имеет любой непрерывный образ отрезка @смF дальшеD стрFPTAF EaEaEaEaEaE

IT


4. КОМПАКТНОСТЬ

EaEaEaE

Определения компактности
I. Пространство

X

называется

покрытие имеет конечное

E Две эквивалентные формулировкиX
крытие;

компактным подпокрытие.

, если каждое его открытое

I I. каждое открытое покрытие имеет

вписанное

конечное открытое по-

элементами базы.

I I I. каждое открытое покрытие имеет вписанное конечное покрытие

E Переходя к дополнениямD получаем характеризацию компактности в терминах замкнутых подмножеств @основываясь на томD что непустота пересечения системы множеств означает покрытие X системой дополнительных множествAF Введем понятие центрированной системы подмножествX Система подмножеств пространства X называется центрированнойD если кажE дая ее конечная подсистема имеет непустое пересечениеF E I. Пространство X компактно IV. Каждая центрированная система
замкнутых подмножеств имеет непустое пересечение.

От противногоX если конечные подсистемы системы открытых множеств не поE крывают X D то пересечения конечных подсистем системы дополнительных подмноE жеств не пустыD тогда система центрирована и имеет непустое пересечениеD значитD данная система не покрывает X F X Если данная система замкнутых множеств имеет пустое пересечениеD то сиE стема дополнительных открытых множеств образует покрытиеD и если некоторые ее конечные подсистемы покрывают X D значитD данная система не центрированаF E Компактность являетсяD очевидноD топологическим свойствомF Более тогоX E Образ непрерывного отображения компактного пространства компактен. Пусть f : X Y непрерывное отображение компактного пространства X, f (X ) = Y и {U } открытое покрытие Y F Тогда V = f -1 (U ) открытое покрытие X D из которого по условию можно выделить конечное покрытие {V1 , . . . , Vk F Тогда Ui = f (Vi ) образуют конечное подпокрытие данного покрытия Y F EaEaEaE

Свойства компактности. Произведение компактных пространств
E Замкнутые подмножества компактного пространства компактны. К данному покрытию замкнутого подмножества A X достаточно присоедиE нить дополнение C A = X \ AF EВ хаусдорфовом компактном пространстве непересекающиеся замкнутые подмножества отделимы непересекающимися окрестностями.

Для a A и b B найдем Uab a и Uba b, Uab Uba = Y для фиксированной bD выделяя конечное покрытие AD возьмем UA b = ai Uai b и Ub A = ai Ub ai F Выделяя конечное покрытие B D получимX UA UB = D где UA = bj UA bj и UB = bj Ubj A F E Компактное подпространство A хаусдорфова пространства замкнуто. Пусть b X предельная точка компактного A и b AF Для каждой точки a A / возьмем непересекающиеся окрестности U (a) и V (b)F Выделим конечное покрытие Ui (ai )F Пересечение соответствующих окрестностей i Vi (b) ! открытое множествоD содержащее b и не содержащее AF ЗначитD b не предельная точка для AF IU


В T1 Eпространстве это может быть невернымX

Пример компактного нехаусдорфова T1 -пространства. Преобразуем отрезок [0, 1] в новое пространство X D заменив точку 0 двумя точE ками a и bF Окрестности a такиеD как у 0 в [0, 1]D но с заменой 0 на aD аналогично для bF Остальные окрестностиD как в (0, 1]F ОчевидноD X \ b и X \ a гомеоморфны [0, 1] и компактныD но замыкание того и другого есть все X F Любые окрестности a и b пересекаютсяD и X есть T1 ED но не T2 EпространствоF E Непрерывное отображение f : X Y компактного пространства X в хаусдорфово Y замкнуто. Замкнутое множество A X компактноD f A компактно в Y и потому замкнутоF
E Взаимнооднозначное непрерывное отображение компактного пространства в хаусдорфово пространство является гомеоморфизмом на свой образ.

@ТFеF уплотнение компактного пространства является вложениемFA

E Произведение X Ч Y компактных пространств X и Y компактно. Пусть U открытое покрытие произведенияF В него вписано покрытие базисE ными элементами V Ч W F Для каждой точки x X имеется конечное множество элементов Vi (x) Ч Wj (x) покрытияD которые покрывают компактный слой x Ч Y F Их объединение содержит окрестность вида Vx Ч Y этого слоя @Vx = i Vi (x)AF Из окрестностей Vx выберем конечное покрытие Vxi для X F Тогда i (Vxi Ч Y ) = X Ч Y D и отобранные для каждой точки xi элементы Vxi Ч Wj (xi ) образуют конечное покрытие X Ч Y D вписанное в U F a По теореме Тихонова произведение любого множества компактных проЭта теорема требует для доказательства аксиомы выбора и леммы Цорна и остается за пределами нашего курса @смF Александров глава TD 4A Мы рассмотрим только счетное произведение метрических компактных пространствF EaEaEaE
странств компактно.

Локальная компактность. Компактификации
Свойство компактности локализуетсяX Локально компактным называется пространствоD каждая точка которого имеE ет окрестность с компактным замыканиемF Такая окрестность @по желаниюD открыE тая или замкнутаяA называется компактной окрестностью. ОчевидноD открытые подмножества компактных пространств локально компактныF НаоборотD E Локально компактное хаусдорфово пространство гомеоморфно от-

крытому плотному
ства.

подмножеству хаусдорфова компактного простран-

Среди всех таких компактных расширений или компактификаций локально компактного пространства имеется единственное минимальноеD получаемое добавлеE нием всего одной точкиX Пусть X локально компактное хаусдорфово пространство и Y = X рассматE ривается с топологиейD в которой открытые подмножества в X остаются старыеD а окрестностями точки служат объединения с дополнениями к компактным подпространствам в X F Это ! одноточечная компактификация АлександроваF Y = X компактноD X открыто и плотно в Y F ! Очевидно Y хаусдорфово. ! Для пар точек в X это даноF Пусть x X и V (x) окрестность с компактным замыканиемF Тогда V и дополнение к V в Y разделяют x и F
IV


Примером является представление сферы как одноточечной компактификации евклидова пространстваD получаемогоD напримерD стереографической проекцией @из северного полюса сферы на плоскостьD которой она касается южным полюсомAF Для T1 Eпространств имеется конструкция одноточечного расширенияD отличаюE щаяся от александровской темD что берутся дополнения к конечным подмножествамF Для бесконечного и не дискретного X эта компактификация не хаусдорфоваF a @Упомянем ещеD что имеется конструкция Стоуна ! Чеха максимального @в естественном смыслеA компактного расширенияD применимого к вполне регулярным пространствам @смF стрF QHAD в частностиD к нормальным пространствамD смF книгу АлександроваD стрF PUIFA EaEaEaE

Компактность в Rn . Теоремы Вейерштрасса
В курсе анализа доказывалась характеристика компактных подмножеств Rn X EПодмножество A Rn компактно A замкнуто и ограничено. X Компактное подмножество A в Rn лежит в конечном объединении шаров иD значитD в достаточно большом кубеD тFеF ограниченоF Компактное A замкнутоD тFкF Rn хаусдорфовоF X Ограниченное подмножество A Rn лежит в кубеD который компактенD и тогда замкнутое A компактноF E Непрерывная функция на компактном пространстве ограничена и принимает экстремальные (максимальное и минимальное) значенияF Образ компактенD он лежит на прямойD ограничен и замкнутD экстремальные значения являются предельными точками иD значитD принадлежат образуF E Для функций на @компактномA отрезке получается в качестве частного случая
Теорема Вейерштрасса: непрерывная функция на отрезке ограничена и принимает экстремальные значения.

EaEaEaEaEaE
5. КОМПАКТНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА

(КОМПАКТЫ)

EaEaEaE

Компактное метрическое пространство называется компактом . Для компактовD разумеетсяD верны приведенные ранее четыре эквивалентных определения компактностиF В метрическом случае из них следуетD что E Каждый компакт F имеет счетную базу. Счетную базу образуют элементы конечных 1/nEпокрытийX если U окрестность x F и d расстояние от x до C U D возьмем n такD чтобы 1/n < d/2F E Каждый компакт F сепарабелен. Достаточно взять по точке в каждом элементе счетной базыF @НаоборотD дальше будет видноD что компактные пространства со счетной базой метризуемыD тFеF являются компактамиF@стрF QIA
E В метрическом случае общее определение компактности можно еще дополнить несколькими эквивалентными формулировкамиF Две формулировки из анализаX IW

Определения компактов


V. Всякая убывающая последовательность замкнутых подмножеств в метрическом пространстве

X @это частный случай центрированной системы A

имеет непустое пересечение.

ssX ВоEпервыхD при каждом n из любого покрытия X 1/nEшарами можно выE делить конечноеF Иначе можно найти последовательность точек xi D попарные расстоE яния которых d(xi , xj ) > 1/nF Тогда последовательность подмножеств Ak = i>k xi имеет пустое пересечениеF В любое открытое покрытие можно вписать покрытие 1/nEшарамиD из которогоD как показаноD выделяется конечное покрытиеF
VI. Из всякой последовательности точек можно выделить подпоследовательность, имеющую предел.

s C sX Рассмотрим последовательность конечных 1/nEпокрытий и из них отберем убывающую @к нулюA последовательность окрестностейD содержащих кажE дая бесконечное множество элементов последовательностиF ОкрестностиD как и их замыканияD сходятся к единственной точкеD служащей пределом некоторой подпоE следовательности данной последовательности точекF s sX Данное покрытие заменим вписанным счетным покрытием {Ui } базисныE ми элементамиF Пусть точка ak не принадлежит ik Ui F Последовательность ak не имеет предельных точекF В частностиD
фундаментальная последовательность в компакте имеет предел.

EaEaEaE
Компактность и полнота

В метрическом пространстве X Eсетью называется конечное множество тоE чек такоеD что Eшары с центрами в этих точках образуют покрытие X F ОчевидноD подмножествоD имеющее Eсеть при какомEлибо > 0D ограниченоF Множество называется вполне ограниченнымD если имеет Eсеть при любом F Компакты вполне ограниченыF Более тогоD мы имеемD на самом делеD еще одно определение компактовX
EТеорема. Метрическое пространство X есть компакт VI I. X полно и вполне ограничено. X Сходимость последовательностей Коши следует из sF Полная ограниченность ! из существования конечных покрытий 1/nEокрестностямиF s ssX Пусть дана бесконечная последовательность xi F Построим последоваE тельность i Eсетей при i 0 и отберем убывающую последовательность i EшаровD каждый из которых содержит бесконечно много точек последовательности xi F Из полноты X и теоремы I раздела ?Метрика? следуетD что имеется точка в пересечении этих шаровD предельная для отобранной подпоследовательностиF НапримерD гильбертов кирпич I компактенF Он полон как замкнутое подмножество полного пространстваF Мы виделиD что для произвольно малого > 0 он является Eокрестностью лежаE щего в нем евклидова параллелепипеда достаточно большой размерностиF Тогда Eсеть этого параллелепипеда является 2Eсетью в I F Это же рассуждение годится и для общей теоремыX E Произведение счетного числа компактов есть компактF PH


Произведение полных пространств полноF Произведение конечного числа комE пактных сомножителей компактноD имеет Eсети и EплотноD если взять для него достаточно много сомножителей в данном счетном произведении компактовFA E Мы виделиD что I гомеоморфен счетному произведению отрезковF Это дает другое доказательство компактности I F EaEaEaE

Лемма Лебега
E К компактам применимы теоремы из анализа о непрерывных отображениях отрезка и их доказательстваD напримерX равномерная непрерывность непрерывного отображения компакта в метрическое пространствоY равномерная сходимость моноE тонной последовательности функций к непрерывному пределу и дрF E Топологической формой теоремы о равномерной непрерывности является слеE дующее утверждениеX Пусть f : X Y отображение компакта в топологическое пространство. Для любого открытого покрытия {U } пространства Y найдется такое > 0, что для любого подмножества в X диаметра меньше его образ лежит в некотором элементе данного покрытия Y . В силу непрерывности f D для каждой точки x X найдется шар V (x) радиуса r(x)D образ которого лежит в элементе U (x) покрытияD содержащем f (x)F Рассмотрим покрытие {W (x)} шарами радиусов r(x)/2D W (x) V (x) и отберем из него конечное подпокрытие W (xi )F Пусть минимум радиусов отобранных шаровF Множество F диаметра пересекается с некоторым W (xi ) и лежит на расстоянии меньшем ri /2 от xi D значитD в V (xi )F Тогда f (F ) лежит в некотором U (xi ) {U }F Взяв в качестве f тождественное отображение X получим лемму Лебега X E Для любого открытого покрытия компакта имеется такое > 0, что любое подмножество X диаметра меньше лежит в некотором элементе
этого покрытия.

EaEaEaE

Строение компакта. Канторово множество K и дисконтинуумы
Компакт без изолированных точек называется совершеннымF @Совершенным называют и вообще всякое замкнутое подмножество без изолированных точекFA E Каждый компакт X есть дизъюнктное объединение совершенного компактного подмножества P и открытого счетного множества Q, состоящего из точек, имеющих окрестность с не более чем счетным множеством

X . Каждая из этих частей может быть пустойF Если точка компакта X имеет окрестностьD в которой лежит счетное множеE ство точек X D то такую окрестность можно взять из счетной базыF Объединение Q отобранных окрестностей содержит счетное множество точек X F Тогда каждая окрестность каждой точки из дополнения P к этому объединению @если оно не пуE стоA имеет нечетно много точек X F P компактноD тFкF замкнуто в X D и P не имеет изолированных точекF E Ниже показаноD что множество точек в каждой окрестности совершенного комE пакта имеет мощность континуумаF Поэтому если в окрестности точки множество точек из X счетноD то в ней есть изолированные точкиF Дисконтинуумом называется совершенный вполне несвязный компактD тFеF компактD компоненты которого точкиF
точек

PI


Канторов дисконтинуум K ! нигде не плотный компакт на прямой без изолированных точекD который строится следующим образомX Из отрезка HD I последовательно выбрасывают непересекающиеся открытые инE тервалыF На первом шаге выбрасывается интервал @IGQD PGQAD на следующем шаге выбрасыE вается средняя треть в каждом из двух оставшихся отрезков и процесс итерируетсяF В результате оказывается выброшенной счетная всюду плотная дизъюнктная сиE стема интерваловD дополнение к объединению которых есть замкнутое нигде не плотE ное множество ! канторов дисконтинуум K. K не имеет изолированных точекD тFкF среди выброшенных интервалов нет соседнихF E Если аналогично выбросить из какогоEлибо отрезка a, b дизъюнктную и всюду плотную систему интервалов li D длины которых стремятся к нулюD то получится компакт L гомеоморфный канторову компакту KF Гомеоморфизм K и L нетрудно получить с помощью монотонного гомеоморфE ного отображения отрезка a, b на HD IF Сначала строится гомеоморфизм отрезка [0, 1] на [a, b]D переводящий [1/3, 2/3] на l1 D линейно на каждом из трех отрезков [0, 1/3], [1/3, 2/3], [2/3, 1]D затем этот процесс итерируетсяF В результате получается гомеоморфизмX на каждом шаге строится кусочно линейный гомеоморфизмD сохраE няющий порядокD и длины отрезков обоих подразделений равномерно стремятся к нулюF a gумма длин выброшенных интервалов для K равна ID но в общем случае можно потребоватьD чтобы длина равнялась любому d, 0 < d 1F Тогда дисконтинуум будет иметь меру 1- dF E Точки K делятся на точки IEго рода ! концы выброшенных интерваловD и точки PEго рода ! остальныеF Однако их различие относится к расположению K на прямойX E Для любых двух точек существует гомеоморфизм K на себя, переводящий каждую из них в другую ! однородность KF Докажите3 @стрF PSA E K имеет мощность континуума. ВоEпервыхD он лежит в отрезке и потому его мощность не больше континуальE нойF ВоEвторыхD его можно @непрерывноA отобразить на отрезок HDID иD значитD его мощность не меньше мощности отрезкаF Для построения этого отображения нужно оба конца каждого выброшенного инE тервала отобразить в двоично рациональную точку очевидным образом соответствуE ющую этому интервалуF Это отображение нестрого монотонно и переводит всюду плотное подмножество K @точки первого родаA во всюду плотное множество двоично рациональных точек в [0, 1]F Отсюда следует непрерывностьF Этот результат можно обобщитьX Теорема 1. Каждый компакт X есть непрерывный образ KF Возьмем последовательность чисел i > 0, limi i = 0F Представим компакт X в виде конечного объединения 1 EшаровF Каждый из полученных компактных шаров представим конечным объединением компактов диаметра меньше 2 и тFдF Возьмем в a, b дизъюнктный набор отрезков равной длины в числе равном числу элементов первого 1 Eпокрытия X F Сопоставим произвольно и взаимно однозначно каждому отрезку элемент первого покрытия X F Затем каждым из этих отрезков проведем ту же операциюX возьмем в нем непеE ресекающиеся равные отрезки в числе равным числу элементов второго 2 EпокрытияD покрывающих соответствующий компакт первого рангаF Установим взаимно одноE значное соответствие между отрезками и компактами второго рангаX отрезкуD леE
PP


жащему в отрезке a первого рангаD ставим в соответствие компакт второго рангаD пересекающийся с компактом первого рангаD отвечающим отрезку aF Итерируем этот процессF В результате получим с одной стороны измельчающуюся последовательность покрытий компакта X компактамиD с другой измельчающуюся последовательность дизъюнктных систем отрезковF Вторая система приводит к некоE торому дисконтинууму D на отрезкеF Каждой цепочке вложенных отрезков второй системы однозначно отвечает цепочка вложенных компактов первойF Полученное отображение f : D X непрерывноX пусть y = f (x)Y для каждого n y имеет 2n EокрестностьD покрытую компактами nEого шагаD а x имеет сколь угодно малые открытоEзамкнутые окрестностиD образы которых лежат в этих компактахF a {Последовательность покрытий {Un } измельчающаяся, если для любого открытого покрытия V найдется n так, что Un вписано в V (в метрическом случае: n 0).} E Заменяя покрытия X компактами на дизъюнктные системы компактов в X D получимX Теорема 2. Компакт X без изолированных точек содержит компакт гомеоморфный KF E СледствиеX непустой совершенный компакт имеет мощность континуумаF EaEaEaE

Сцепленность. Континуумы. Нульмерные компакты = дисконтинуумы
Конечная последовательность точек xi , 1 i k , в компакте X называется EцепьюD соединяющей x1 xk D > 0D если расстояние от каждой точки xi , i k - 1, до точки xi+1 меньше F Для каждого > 0 компакт X распадается на свои EкомпонентыD тFеF компоE ненты EсцепленностиF @Точки в одной Eкомпоненте соединены EцепьюAF E -Компоненты образуют дизъюнктное открыто-замкнутое покрытие X . Если точка b достижима от a с помощью EцепиD то и все точки Eокрестности b достижимы @компоненты открытыAF Если в Eокрестности b имеются точкиD достиE жимые от a с помощью EцепейD то и b достижима @компоненты замкнутыAF Множество A X называется -сцепленнымD если каждые две точки в нем соединены EцепьюD и сцепленнымD если оно Eсцепленное для каждого > 0F E Замкнутое подмножество A компакта связно A сцеплено. Если A @не обязательно замкнутоеA связноD то для любого > 0 компонента Eсцепленности в X каждой точки открытоEзамкнута относительно A для каждого > 0 и потому совпадает с AF ЗначитD A сцепленноеF Если замкнутое A не связноD то имеется разложение A на два открытоEзамкнутых подмножестваD расстояние между которыми в компакте больше некоторого > 0F ЗначитD A не EсцепленноеF Связный компакт называется континуумом и нетривиальным или собственным континуумомD если он имеет более одной точкиF E Теорема. Пусть i убывающая последовательность i -сцепленных компактов и i 0. Тогда A = i i континуум. Пересечение A замкнуто в каждом i и потому компактноF Надо доказать сцепленность AF Пусть даны точки a, b в A и > 0F Найдется номер n такойD что расстояние каждой точки в n до A меньше /3 и i < /3F Точки a и b соединим /3Eцепью aj , 1 j k D в n F
PQ


Для каждой точки aj возьмем /3Eблизкую точку bj AD и мы получим Eцепь от a до b в A для произвольно взятого > 0F Пересечение убывающей последовательности континуумов ! континуумF E Пересечение n -компонент точки a компакта при n 0 есть континуум, совпадающий с компонентой связности этой точки в компакте.

Пересечение связно и лежит в компоненте точки aD а компонента лежит в каждой Eкомпоненте этой точкиF ОтсюдаX E Для всякой окрестности U () компоненты связности компакта X можно найти открыто-замкнутую окрестность V (), содержащуюся в U . E В частностиD каждая точка дисконтинуума X имеет сколь угодно малую
окрестность с пустой границей.

Это значитD по определениюD что равна нулю индуктивная размерность X, ind X = 0F @Размерность ind X D введенная ПуанкареD определяется по индукцииX ind X nD если ind pr X n - 1 и ind = -1FA a О размерности речь пойдет позжеD но с акцентом на другую лебегову размерE ностьD dim X D определяемую с помощью покрытийF @Для компактов ind X = dim X FA Лебегова размерность dim X n D если постранство X имеет сколь угодно мелкое покрытие кратности не больше n + 1 @тFеF каждая точка принадлежит не более чем n + 1 элементам покрытияAF В частностиD dim X = 0D если X имеет сколь угодно мелкое дизъюнктное покрытие открытоEзамкнутыми множествамиF E Лебегова размерность дисконтинуума X равна нулю. Занумеруем конечное Eпокрытие X открытоEзамкнутыми множествами Gi D и из каждого элемента покрытия выбросим его пересечение с предыдущимиF МножеE ства Gi \ j 0 имеет конечное открытоEзамкнутое EпокрытиеD элементы которого являются дисконтинуE умами без изолированных точекD и доказательство теоремы о вложении K в X нетрудно модифицироватьD чтобы получить гомеоморфизм X KF ИтакD нульмерный компакт X либо счетен, либо состоит из дисконтинуума, гомеоморфного канторову дисконтинууму K и, возможно, пустого,
счетного множества.

С другой стороны
Канторов дисконтинуум

K

есть единственный (с точностью до гомео-

морфизма) дисконтинуум без изолированных точек

@тFеF он характеризуется этим свойствомAF Одновременно он единственный нульE мерный компакт без изолированных точек @все равноD в смысле ind или dimAF Еще одно важное свойство KX E Канторов дисконтинуум K есть произведение счетного числа дискрет-

ных двоеточий.

Это произведение компактноD нульмерно и не имеет изолированных точекF a Отсюда вытекаетD что канторово множество имеет естественную структуру комE мутативной группы ! как прямое произведение групп Z2 @натуральных чисел по моE дулю PAF При этом сдвиги группы ! умножения всех элементов на один элемент ! в K непрерывныF Это значитD что K есть топологическая группаD тFеF множествоD в

PR


котором даны согласованные структуры группы и топологического пространстваF В свою очередь это показываетD что дисконтинуум K однороден ! как всякая группаF @С помощью сдвига группы на элемент ba-1 элемент a переводится в bFA

Компакт Антуана A Для нульмерного компакта без изолированных точек на прямой мы строили гоE меоморфизм прямойD который переводит этот компакт в KF На плоскости аналогичE ный факт также веренD хотя доказательство сложнееF Но в R3 можно расположить нульмерный совершенный компакт @гомеоморфный KA такD что дополнение к нему не будет гомеоморфно дополнению к стандартно расположенному K @скажемD как обычноD на оси абсциссAD иD следовательноD гомеоморфизма пространстваD переводяE щего этот компакт в стандартно расположенный K не существуетF Такое расположение нульмерного совершенного компакта A в R3 впервые было построено в IWPI гF французским математиком ЛFАнтуаном и называется компакт АнтуанаF @Более сложные примеры были построены немного позже ПFСF УрысономFA

Для построения берется полный тор @бубликA @стрF VUA диаметра IF Внутри него располагается цепочка полных торов диаметра IGP каждыйF Внутри каждого их них берется цепочка полных торов диаметра меньше IGR и тFдF Через Ai обознаE чим объединение полных торов iEого шагаF Тогда A = Ai ! нужный компактF @На рисунках @взятых из книги FtF hvermnD qFeF enemF imeddings in mnidoldsF qrdFtFxthFEIHTF ewF PHHW A показаны вторая и третья стадии построенияAF

A нульмерен и совершененX пересечение A с каждым из построенных полных торов есть открытоEзамкнутое подмножество в AF Оно эквивалентно самому AD тFеF переводится в A гомеоморфизмом пространства R3 @переводящим большой тор в малыйAF Дополнение к A отличается от дополнения к стандартно расположенному K на прямой в R3 темD что оно неодносвязно @стрF VPAF Это значитD что имеется отображение окружности в R3 \AD которое не гомотопно нулю в этом множестве @не деформируется по нему в отображение точкуAF В качестве такого отображения надо взять вложение окружностиD зацепленной с первым полноториемF
PS


Строгое доказательство требует знания специальной техники @смF ЛFВF КелдышF Топологические вложения в евклидово пространствоF Труды МИАН тFVID IWTT гFAF EaEaEaE

Локальная связность и жордановы континуумы
a Мы виделиD что каждый компакт является образом KF Естественно спроситьD какие компакты могут быть образами отрезкаF Отрезок континуумD и его образы ! континуумыF ОднакоD как мы виделиD напримерD синусоида образом отрезка быть не можетF Тем не менее класс континуумовD являющихся образами непрерывных отобраE жений отрезка @так сказатьD имеющих путь, обходящий все его точки AD достаточно широкF НапримерD им может быть квадрат и вообще куб любой размерностиD вклюE чая гильбертов кирпичF Построение Пеано непрерывного отображения отрезка на квадрат @смF ПархоменкоD стрFIRA было в свое время @в конце s векаA второйD после теоремы Кантора о мощности отрезкаD сенсациейD тFкF подвергало сомнению имевшеE еся представление о размерности @объект имеет размерность nD если ?описывается? n параметрамиAF Это представление о размерности получило правильную тополоE гическую основу после доказательства Брауэром ряда теоремD которым посвящена вторая часть этих лекцийF Представление о кривой как непрерывном образе отрезка было введено КF Жорданом и поэтому образы отрезка называют иногда жордановыми континуумамиF Их называют также пеановскими континуумамиF ОказываетсяD как мы сейчас увидимD жордановы @пеановскиеA континуумы это в точности локальE но связные континуумыF

Рассмотрим три свойства континуума X X IX Локальная связность @во всякой окрестности U (x) точки x X имеется связE ная ее окрестностьAY I IX Жордановость @X есть непрерывный образ отрезка I = HD IAY I I IX Свойство S X @для всякого > 0 X есть конечное объединение континуумов диаметра меньше AF E Эти свойства эквивалентны: I I I I I I IF I I IX Дано непрерывное отображение f : I X D причем f (I) = X F Пусть U = U (x0 ) окрестность точки x0 X и U = X F Пусть Cx ! компонента U D содержащая точку xF Замыкание каждой компоненты имеет точки на границе pr U F ПокажемD что Cx0 открытаD тFеF есть требуемая связная окрестность точки x0 F ДопустимD что некоторая точка x1 Cx0 предельная для последовательности точек из других компонент Cx F Пусть d(x1 , pr U ) > r > 0D тогда диаметр каждой
PT


компоненты Cx D для которой d(Cx , x1 ) > r/2 больше r/2F Имеется @в силу равномерной непрерывности f A такое > 0D что для отрезков в I длиной меньше диаметры образов меньше r/2F Разобъем I на m отрезков ei равной 1 длины m < F Пусть xk X последовательность точекD не принадлежащих Cx0 D сходящаяся к x0 F Начиная с некоторого номера все точки последовательности отстоят от границы на расстояние > r/2D и тогда диаметры их компонент Cxi > r/2F Прообраз каждой Cxk состоит из интерваловD граничные точки которых отобE ражаются в pr U D и образ хотя бы одного из них @содержащий xk A имеет диаметр > r/2F Но такие интервалы содержат отрезки ei D не пересекаются и их может быть не большеD чем mD тFеF конечное числоF Это показываетD что Cx0 ! открытая связная окрестность x0 F I I I IX Если каждая точка континуума лежит в сколь угодно малой связной окрестностиD то она лежит и в малом континууме ! замыкании такой окрестностиF Выбирая конечное открытое покрытие этих окрестностейD мы одновременно получаE ем и конечное покрытие X малыми континуумамиF I I I I IX Возьмем убывающую последовательность положительных чисел k 0 и существующееD по условиюD конечное 1 Eмелкое покрытие X континуумамиF РаспоE ложим их в цепь Ci без пропускаD но возможноD с повторениямиD такD чтобы пересеE чение Ci Ci+1 было непустоF Возможность такого построения очевидно следует из связности X F Пусть число элементов в цепи m1 F Разделим отрезок I на m1 равных отрезков и сопоставим iEому отрезку ei iEый элемент цепиF В каждом Ci отметим начальную точку xi Ci Ci-1 и конечную xi Ci Ci+1 , xi = xi+1 @точки x1 C1 и xm1 Cm1 берем произвольноAF Возьмем далее 2 Eпокрытие компакта X континуумами и для каждого Ci распоE ложим в цепь @с соблюдением аналогичных условийA те континуумы второго порядка Cij D которые его пересекаютF При этом в качестве начального должен служить конE тинуум Ci1 D который содержит xi D последним ! Cimi D который содержит xi F Вместе эти цепи дают цепь из всех @без пропусковD но с повторениямиA элементов второго покрытияF Разобъем каждый из отрезков ei первого покрытия на m1i равных отрезков eij и сопоставим каждому из eij соответствующий @по номеру в цепиA континуум второго покрытияF Далее этот процесс итерируетсяF Если сумма i i конечнаD тоD последовательность континуумовD отвечающая убыE вающей последовательности отрезковD будет фундаментальной ! будет иметь единE ственную предельную точку @и каждая точка X будет таким пределомAF Сопоставим ее единственной точкеD лежащей в пересечении соответствующей убывающей послеE довательности отрезков в ID мы получим неперывное отображение отрезка на X F EaEaEaEaEaE
6. НОРМАЛЬНОСТЬ. ЛЕММА УРЫСОНА МЕТРИЗУЕМОСТЬ

EaEaEaE

Регулярные и нормальные пространства
Пространство X D в котором замкнутое множество A и не лежащая в нем точE ка x имеют непересекающиеся окрестности UA и Ux D называется T3 EпространствомF Применяя эту аксиому второй раз ! к x и дополнению к Ux D получимD что
PU


E В регулярном X для x X и замкнутого A X имеются окрестности с
непересекающимися замыканиями.

ПространствоD в котором два непересекающиеся замкнутые множества имеют непересекающиеся окрестностиD принадлежит классу T4 F Пространство, являющееся одновременно T1 - и T3 -пространством, называется регулярным ; пространство, которое есть T1 - и T4 -пространство,
называется

E Из T3 не следует T1 D но из нормальностиD очевидноD следует регулярностьD и из регулярности хаусдорфовостьF Имеются примеры регулярныхD но не нормальных пространствD смF ниже раздел плоскость НемыцкогоF E Свойство регулярности наследственно X подпространства регулярного пространE ства регулярныF Пусть x F A X D F замкнуто в AF Имеются непересекающиеся окрестE ности U (x), V (F ) открытые в X F Их пересечения U , V с A открыты в A и служат окрестностями в A соответственно x и F F @F A = F D тFкF F замкнуто в AFA E Свойство нормальности наследственно по замкнутым множествам X замкнутое подмножество нормального пространства нормально Y не замкнутые множества нормального пространства могут не быть нормальнымиF
Теорема Тихонова. Регулярное пространство со счетной базой нормально

нормальным

.

Даны замкнутые подмножества A1 и A2 регулярного постранства X F Каждая точка одного имеет окрестностьD замыкание которой не пересекает другогоF Пусть Ui и Vi окрестности с этим свойствомD взятые из счетной базы и занумерованныеF Положим Un = Un \ n-1 V i , Vn = Vn \ n U i F i i Множества U = Un , V = Vn открытыD U V = D и U A1 , V A2 F EaEaEaE
Плоскость Немыцкого

Следующий примерD построенный в IWQS гF Виктором Владимировичем НемыцE ким называется плоскостью Немыцкого NF Этот пример служит для тестирования различных топологических свойствF В частностиD это пример @вполнеA регулярногоD но не нормального пространстваF N как множество состоит из точек замкнутой полуплоскости y 0 @в декартовых координатах @xD yAAF Топология в открытой полуплоскости P @ybHA обычнаяD так что P есть подпространство NF Локальный базис для точки a = @xDHA граничной прямой L @yaHA состоит из открытых кругов U (a) в P D касающихся L в точке aD к котоE рым добавляется точка aF Тогда L оказывается дискретным подпространством в ND замкнутымD но не открытымF Любое подмножество L также замкнутоF N = P L сепарабельно @точки с обеими рациональными координатами в P обE разуют всюду плотное множество C AF Регулярность N надо доказывать для точек LF Если в каждой базисной окрестноE сти U (a) a точки a L имеются точки замкнутого множества AD то a ! предельная для A иD значитD a AF ИначеD возьмем круг V (a) U (a) меньшего радиусаD касаюE ? щийся LF Тогда V (a) a и N \ U (a) ! окрестностиD разделяющие a и AF Докажем ненормальность N от обратногоF Предполагая нормальностьD мы для каждого A L @все подмножества L замкнуты в NA найдем открытые множества UA A и VA L \ A такD что UA VA = F Пусть CA = C UA @C введено вышеAF ПокажемD что если A = B D то CA = CB F ? ? ? ? Пусть A \ B = F Тогда U A VB = @A \ B L \ B VB AD а UB VB = D тFеF U A = UB D ? ? значитD CA = CB @CA = UA D в силу всюду плотности C AF Но тогда и CA = CB F PV


Между темD мощность множества всех подмножеств LD согласно КанторуD больше континуальнойD а мощность множества счетных CA C не больше континуальнойD иD значитD взаимнооднознчного соответствия A CA быть не можетF EaEaEaE

Компактность и аксиомы отделимости
Для тогоD чтобы компактное пространство @без PEй аксиомы счетностиA было норE мальнымD недостаточноD чтобы оно было T1 EпространствомF Нужна хаусдорфовостьF E Компактное T2 -пространство нормально. Доказательство несложноD оно следует уже знакомой техникеF @Александров называет компактные T2 Eпространства бикомпактами.A EaEaEaE

Лемма Урысона
E В нормальном пространстве замкнутые непересекающиеся подмножества функционально отделимы. Это значит, что для двух непересекающихся замкнутых подмножеств

A0 и A1 X R,

в нормальном пространстве для которой значения на

A0

и

X A

имеется вещественная функция

f:

1 постоянны и различны, например:

f |A0 = 0, f |A1 = 1,

0 f (x) 1.

a Эта лемма служит фундаментом современной (гомотопической) топологии. E Доказательство. СкажемD что замкнутое множество A X разделяет замкнуE тые A0 и A1 D если дополнение распадается на два открытых подмножестваD U0 A0 и U1 A1 F Такое множество A существует в силу нормальностиF ПоложимX f |A0 = 0, f |A1 = 1F На первом шаге построения обозначим множествоD 1 разделяющее данные A0 и A1 через A 1 и положим f |A 1 = 2 F На втором построим
2

множества A 1 D разделяющее A0 и A 1 D и A 3 D разделяющее A 1 и A1 и положим f | 1 = 1 4 4 2 4 2 4 и f | 3 = 3 F Итерируем этот процессF 4 4 В пределе мы получим дизъюнктную систему замкнутых множеств A p D индексиE q рованных двоичноEрациональными числамиD причем определеноX f (A p ) = p F q q Рассмотрим в пространстве X замкнутые подмножестваD являющиеся пересечеE +1 +1 нием убывающих последовательностей множеств вида U ( 2ik , i2k )D где U ( 2ik , i2k ) есть открытое подмножество между множествами A ik и A i+1 @A ik A i+1 его границаAF Если рациональные числаD определяющие границы множеств U (p, q ) не стабилизируE ютсяD то две их последовательности с двух сторон стремятся к двоично иррациональE ному числуD которое возьмем в качестве значения функции f в точках пересечения этих множествF Если же эти числа стабилизируются на числе p/q D скажемD со стороны A0 D мы приE соединяем множествоEпересечение к A p и полагаем значение f в его точках равным q p F К этому множеству будет еще присоединено множествоD полученное при стабилиE q зации чисел на p/q со стороны A1 F В результате функция f определена на всем X D принимает постоянные значения H и I на A0 и A1 соотвFD причем 0 f (x) 1D и f непрерывнаF Последнее проверяется PW
2 2k 2 2k

2


автоматическиX прообраз открытого интервала с рациональными концами p , r лежит qs между множествами A p и A r иD очевидноD открытF s q a О построенной функции Урысона можно сказатьD что она функционально разделяет непересекающиеся замкнутые множества или что они функционально отделимыF Между регулярностью и нормальностью лежит еще одно условие @T3,5 AX ! полная регулярность F T1 Eпространство называется вполне регулярным или тихоновскимD если его замкнутые множества функционально отделимы от нележащих в них точекF Нормальные пространства вполне регулярныD а вполне регулярные пространства регулярныF Для пространств со второй аксиомой счетности эти три класса совпадаютF EaEaEaE

Теорема продолжения непрерывного отображения
E Следующая теорема @которая будет для нас основной во второй части лекцийA была доказана в метрическом случае Титце и выведена Урысоном из его леммы в общем видеX Теорема о продолжении. Непрерывная функция f : A R, определенная на замкнутом подмножестве A X нормального пространства, может быть продолжена до функции F : X R, F |A = f . Доказательство. Пусть сначала f ограничена по модулюD не теряя общностиD положим |f | 1F Функция F будет построена как предел равномерно сходящегося i-1 ряда функций gi D которые строятся по индукции такD чтобы |gi | 2 3i D и для функции k = f - k gi |A на A было бы |k | ( 2 )k F 0 3 Пусть g0 = 0F Функцию gn+1 построим как функцию Урысона для замкнутых подмножеств An+1 , An+1 в AD определенных условиями An+1 : n - 1 ( 2 )n и An+1 : 33 2 2 1 n 1 ( 3 )n D полагая gn+1 = - 1 ( 3 )n на первомD 1 ( 2 )n на втором и |gn+1 | 3 ( 2 )n F 3 3 33 3 Тогда ряд gn сходится равномерно и притом на A сходится к f F n=0 В случаеD если f принимает значения в RD возьмем гомеоморфизм h : R (0, 1) и применим приведенное рассуждение к композиции hf F Пусть G : X [0, 1] проE должение hf и B = G-1 (0 1)F B замкнуто в X и не пересекает AF Пусть функция УрысонаD равная H на B и I на AF Тогда функция G продолжает hf и не принимает значений H и IF Поэтому h-1 G : X R ! функция на X D продолжающая f F @Множества A1 и A1 пустыD но это не нарушает доказательстваFA E Теорема о продолжении характеризует нормальные пространстваX Возьмем значения H и I на замкнутых непересекающихся подмножествах A0 и A1 в X D если это отображение продолжается до непрерывной функции f : X HDID то множества A0 и A1 разделены непересекающимися окрестностями f -1 HD IGPA и f -1 @IGPD IF Если это справедливо для любой пары непересекающихся замкнутых множествD то X нормальноF EaEaEaE E С помощью техникиD основанной на функциях УрысонаD полностью решается вопрос о метризации пространств в естественном классе регулярных пространств со счетной базой = нормальных пространств со счетной базойF ИменноD оказываетE сяD что этот класс совпадает с классомD состоящим из подпространств гильбертова QH

Теорема Урысона о вложении в гильбертов кирпич и метризация


пространстваD и дажеD более точноD подпространств компактного гильбертова кирE пичаD которые наследуют гильбертову метрикуF ЯсноD что основное значение имеет следующая теорема о вложенииF НапримерD компактификации такого пространства @регулярного со счетной базойA можно строить как замыкания его образа при разE личных вложениях в гильбертов кирпичF E Теорема о вложении. Всякое регулярное пространство со счетной базой
гомеоморфно подпространству гильбертова кирпича.

E ДоказательствоF Построим отображение f регулярного пространства X со счетE ной базой в I и покажем сначалаD что оно взаимно однозначноF Воспользуемся темD что пространство X нормальноF Рассмотрим все пары (U, V ) открытых множеств из счетной базыD где U V F Для каждой точки x X найдется такая пара с условием x U F Занумеруем множество всех таких пар @это множество счетноAF Построим функцию Урысона i , 0 i 1D для iEой пары ! для множеств U i , X \ Vi , (U ) = 0, (X \ V ) = 1F Для точки x X рассмотрим последовательE ( ность { n nx) }D которая определяет точку в гильбертовом кубеD поскольку функции n 2 ограничены по модулю единицейF Это задает требуемое отображение f F Оно взаимно однозначноD тFкF для двух точек можно найти пару (Ui , Vi )D в которой U i содержит одну точкуD а другая лежит вне Vi D и они различаются своей iEой координатойF ДокажемD что f непрерывноF Пусть x X и y = f (x) = {yi } I F Возьмем окрестность Wi (y ) из псевдобазы топологии Tp @прямого произведенияAD заданную условиемX если y Wi D то |yi - yi | < @напомнюD что остальные координаты произE вольныAF В силу непрерывности i множество U = -1 Wi открытоF Но в этом случае i и f (U ) W i F Докажем непрерывность обратного отображения g = f -1 |f (X ) : f (X ) X F Пусть y = {yi } I и дано открытое множество G X, g (y ) U F Найдем пару (Un , Vn )D где g (y ) Un , Vn GD тогда yn = 0F Возьмем окрестность W (y ) из псевдобазыD y где |yn - yn | < 21 D если y W F Так как n (g (y )) = 2n = 0D yn < 21 иD значитD n n n g (y ) Vn GD тFеF g (W ) GF EaEaEaE

В частности, эти пространства метризуемы.

Локальная компактность и паракомпактность
Пространство X D во всякое открытое покрытие которого можно вписать лоE кально конечное открытое покрытиеD называется паракомпактным. a @ИзвестноD напримерD что всякое метрическое пространство паракомпактоF Это ! трудная теорема СтоунаD смF АлександровD глFTD IID пFQD стрFQHPFA E Теорема. Локально компактное пространство со счетной базой параIF Локально компактное пространство X со счетной базой регулярноF Тогда X метризуемоD и у точек есть окрестностиD замыкания которых компактыF Пусть в X даны точка p и замкнутое множество F, p F F Пусть U (p) ! окрестE / ность p с компактным замыканиемF U компактно и потому в U имеется окрестность V (p)D не пересекающая U F D и значитD V F = F PF X есть возрастающее объединение счетного числа компактов Fi F Пусть B = {Bj } ! нумерация элементов счетной базыD имеющих компактные замыканияF Положим Fi = j i B j F QF X есть такое возрастающее объединение компактов i D что i snt i+1 F Положим 1 = F1 и пусть i Fi уже построеноF Пусть Kis ! конечное число окрестностей с компактным замыканиемD покрывающих pr i F QI
компактно.


? Положим i+1 = Fi+1 i s Kis F Тогда i snt i+1 D тFкF pr i s Kis AF RF Обозначим pr i через i и через ri замкнутую область между i и i+1 D тF еF ri = i+1 \ i F Покажем теперьD что во всякое открытое покрытие U = {Uk }, X = Uk D можно вписать локально конечное покрытиеF Пусть i = min(i /2, i )D где i ! расстояние от ri до i-1 (X \ i+2 )D а i ! число Лебега конечного покрытия ri элементами покрытия U F Пусть Vi конечное покрытие ri какимиEлибо i Eокрестностями @вписанное в U AF Элементы покрытий Vi пересекаются только с элементами покрытий Vi-1 и Vi+1 D поэтому объединение элементов всех этих покрытий локально конечноF EaEaE Разбиение единицы Для локально конечных открытых покрытий метрических пространств имеется конструкция разбиения единицы D являющаяся очень полезным техническим средE ствомF Она заключается в томD что для каждого элемента покрытия Ui строится функция i D равная нулю вне Ui D положительная внутри и принимающая значения в отрезке 0, 1D при этом i i (x) 1F В метрическом пространстве достаточно взять () функцию расстояния di (x) точки x до дополнения к Ui и положить i = didx(x) F ЛоE jj кальная конечность нужнаD чтобы в каждлй точке было конечное число ненулевых слагаемых и суммирование было конечнымF @В нормальном пространстве нужно сначала показатьD что локально конечное открытое покрытие может быть ужатоD тFеF для каждого элемента покрытия U можно взять лежащее в нем с замыканием открытое множество V такD что новые элементы тоже образуют покрытие @очевидноD локально конечноеAF После этого для каждой пары надо взять функцию Урысона , |V = 1, |X \U = 0D и замеE
0 нить ее на 0 (x) = (x) F Однако не всякое нормальное пространство имеет сколь угодно мелкие локально конечные покрытияD тFеF нормальное пространство не обяE зательно паракомпактноD хотя обратное верноX всякое паракомпактное пространство нормально @АлександровD глава TD IID стрF QHIFA EaEaEaEaEaEaEaE



(x)

QP


В заключение первой части курса @?Общая топология?A привожу диаграмму из книги hugundji tF opologyF IWTTF В этой диаграмме указаны связи между основными классами топологических пространствD большинство из которых было выше введеноF

Диаграмма Дугунджи

Все пространства на схемеD в частностиD компактныеD предполагаются хаусдорE фовымиF Из компактности тривиально следует EкомпактностьD которая состоит из двух условийX локальная компактность и представимость пространства счетным объE единением компактных подпространствF Свойства регулярности и финальной комE пактности легко вытекают из двух свойств EкомпактностиF @Требование локальной компактности существенноD как показывает пример множества рациональных точек на прямойFA Из локальной компактностиD как и из полноты метрического пространства выE текает свойство Бэра ! непустота пересечения счетной системы плотных открытых подмножеств @илиD эквивалентноD невозможность представить пространство счетным объединением нигде не плотных замкнутых подмножествAF Свойство Бэра важно темD что оно эквивалентно возможности ввести в пространстве X полную метрикуD его можно назвать свойством топологической полноты @Эта теорема принадлежит АлександровуD но в своей книге он отсылает за ее доказательством к книге КуратовE ский КF ТопологияD том ID IWTTF A НаконецD из локальной компактности вытекает функциональная отделимость точки от не содержащего ее замкнутого подмножестваF Нужно взять окрестность точE ки с компактным @иD значитD нормальнымA замыканиемD положить значение функции I на данном замкнутом множестве и в точках вне выбранной окрестности и нуль в точкеF Затем продолжить функцию ?по Урысону? на внутренние точки окрестностиD используя нормальность ее замыканияF EaEaEaEaEaEaEaEaEaEaEaEaE

QQ


ЧАСТЬ 2. ГОМОТОПИИ. ТЕОРЕМЫ БРАУЭРА. КОМПЛЕКСЫ И ПОЛИЭДРЫ В

EaE
7. ГОМОТОПИИ. РЕТРАКТЫ

R

n

EaEaEaE

Понятие гомотопии

Два отображения называются

F : X Ч HD I Y D совпадающее с f при t = H и с g при t = I : F (x, H) = f (x), F (x, I) = g (x)F В этом случае пишут f g @и g f AF F называется гомотопией между f и g или деформацией f в g F F рассматривают также как непрерывное семейство отобE раженийX F (x, t) = Ft (x)D которое тоже называется гомотопией @но непрерывность берется по совокупности параметровD это не просто непрерывное семейство отобраE жений3A Отображение f : X Y постоянноD если f (X ) = y0 D тFеF образ f ! точка в Y F Если f гомотопно постоянному отображениюD то f называется гомотопным нулюD и пишут f 0F Отображение в сферуD не гомотопное постоянному отображениюD иногда называE ется существеннымF Важный пример гомотопии ! линейная гомотопия для отображений в выпуклое подмножество линейного пространстваX F (x, t) = tg (x) + (1 - t)f (x)D напримерD в Rn или In F Беря в качестве g постоянное отображениеD получаемX E Всякое отображение в выпуклое подмножество линейного пространства гомоE топно нулюF В частностиD тождественное отображение выпуклого множества в себя гомоE топно нулюX 1 0F ПространствоD тождественное отображение которого гомотопно нулюD называE ется стягиваемымF НапримерD гильбертов кирпич стягиваем @как выпуклое подмножество в HAF E Отображение f : X Y стягиваемого пространства X @в частностиD выпуклого множестваD в частностиD куба или шараA в любое пространство Y гомотопно нулюF @Если gt : X X ! стягивание X @g0 = 1, g1 = 0AD то f gt ! требуемая гомотопияFA E Гомотопия между двумя постоянными отображениями есть путьD соединяющий точкиEобразы этих отображенийF Y линейно связно любые два постоянных отображения X в Y гомотопныF НапримерD для синусоиды имеются негомотопные постоянные отображенияF EaEaEaE

гомотопными

f, g : X Y

пространства

X

в пространство

Y

, если существует непрерывное отображение

Гомотопии отображений сферы и в сферу
E Любые два отображения в Rn соединяются линейной гомотопиейб при этом расстояние между соответствующими точками не увеличиваются @d(ft1 (x), ft2 (x)) d(f (x), g (x)), x X AD в частностиD гомотопия между близкими отображениями X в Rn проходит через отображения близкие к даннымF Пусть теперь даны два отображения в единичную сферу Sn Rn+1 F Если эти отображения близкиD то почти очевидноD что они гомотопныD но линейную гомотоE пию @идущую не по сфереA приходится видоизменитьD разделив каждый вектор на QR


tg () его модульX F (x, t) = |tg((x)+1-tff xx)| F Теперь каждая точка движется по дуге больE x)+(1-t) ( шого круга @в плоскости векторов f (x) и g (x)AD при условии, что знаменатель не обращается в нульF Для этого только требуетсяD чтобы при каждом x точки f (x) и g (x) не были антиподальнымиD тFеF диаметрально противоположнымиF Таким образомD между f (x) и g (x) имеется гомотопияD идущая по дуге большого кругаD если расстояние между этими отображениями меньше диаметраF E Укажем один простойD но важный случайD когда отображение в Sn гомотопно нулюX Если для f : X Sn найдется точка a Sn D не принадлежащая f (X )D то f 0F @Каждая точка f (x) движется по дуге большого круга в направлении от a к диаметрально противоположной точке -aFA E Отображение сферы f : Sn Y гомотопно нулю существует продолжение : Bn+1 Y отображения f на ограниченный сферой шар Bn+1 . @Если F (x, t) гомотопия между f (x) = F (x, 0) и постоянным отображением F (x, 1) = g (x) = a Y , x Sn D то (tx) = F (x, t) ! требуемое продолжениеD где tx ! точка диска на радиусе точки x Sn на расстоянии t от центра O шараF ЕслиD обратноD (tx) Y ! какоеEлибо продолжение отображения f D то F (x, t) = (tx) гомотопия f в постоянное отображение g (x) = (O)AF При определении гомотопии нулю вместо X Ч I удобнее взять конус над X X Пространство gX D полученное отождествлением между собой всех точек (x, I) в X Ч ID называется конусом над X F @Когда X многогранникD говорят ?пирамида над X ?FA Окрестностями вершины v конуса ! точкиD полученной отождествлением точек (x, I) ! служат множестваD получающиеся из окрестностей X Ч I в X Ч HDIF НапримерD шар Bn+1 является конусом над сферой Sn F E Отображение f : X Y гомотопно нулю f может быть продолжено до отображения : gX Y F @Доказательство то жеD что выше для сферыFA EaEaEaE

Гомотопические классы отображений и гомотопические типы пространств
E Гомотопия двух отображений устанавливает между непрерывными отображениE ями пространства X в пространство Y отношение эквивалентностиF Доказательства требует транзитивность этого отношенияX Пусть F1 : X Ч I Y ! гомотопия отображения f (x) = F1 (x, H) в g (x) = F1 (x, I)D а F2 : X Ч I Y D гомотопия отображения g (x) = F2 (x, H) в h(x) = F2 (x, I)F Рассмотрим произведение X Ч HD P и отображение F : X Ч HD P Y D где F (x, t) = F1 (x, t) при H t ID и F (x, t) = F2 (x, t - 1) при I t PF @F (x, 0) = f (x), F (x, 1) = g (x), F (x, 2) = h(x)FA Определим отображение : X Ч I X Ч HD P равенством (x, t) = (x, 2t)F ОчевидноD F (x, H) = F1 (x, H) = f (x), F (x, I) = F2 (x, I) = h(x)F ЗначитD композиция F : X Ч I Y есть гомотопия между f и hF В результате множество непрерывных отображений X в Y распадается на классы эквивалентностиF Они называются гомотопическими классамиD их множеE ство обозначается X, Y D и гомотопический класс отображения f обозначается f F Гомотопия F : X Ч I Y взаимно однозначно определяет отображение F : X Ч I Y Ч I : F (x, t) = (F (x, t), t)F

QS


Это позволяет определить композицию GF : X Ч I Z гомотопи F : X Ч I Y и G : Y Ч I Z X GF (x, t) = (GF (x, t), t)F Вместе с тем определяется операция композиции гомотопических классовX для f g отображений X Y Z : g f = g f F @Если f f , g g D то g f g f FA E Композиция гомотопий ассоциативнаX для гомотопий ft : X Y , gt : Y Z, ht : Z U композиции (ht gt )ft и ht (gt ft ) совпадают и дают гомотопию ht gt ft : X Z или (hg )f = h(g f ) = hg f = hg f F Каждому пространству X отвечает единичный гомотопический класс 1X отобраE жений в себяD гомотопных тождественному отображению 1X @1X = 1X AF ОчевидноD он удовлетворяет соотношениямX 1X f = f = f 1X a {Эти законы ассоциативности и единицы дают нам казалось бы право говорить
о новой (упрощенной) гомотопической категории: объекты старые топологические пространства, а в качестве морфизмов нужно взять гомотопические классы отображений [f ]. Однако мы сделаем еще один шаг в сторону огрубления топологической

} Гомотопия отображений позволяет нам ввести отношение гомотопической эквивалентности между топологическими пространствамиD обозначаемое X Y X X Y имеются отображения f : X Y и g : Y X такие, что g f 1X и f g 1Y ; f и g называются @взаимно обратнымиA гомотопическими эквивалентностямиF ТоD что это отношение является эквивалентностьюD очевидно вытекает из предыE дущих рассмотренийF Классы эквивалентности называются гомотопическими классами и гомотопический класс пространства X обозначается X F Если два пространства X и Y гомотопически эквивалентныD то для любого проE странства Z гомотопические классы отображений X в Z совпадают с таковыми для Y D тFеF X, Z = Y , Z @если : X Y гомотопическая эквивалентностьD то сопоставE ляя отображению g : Y Z отображение f = g : X Z D мы получим указанное равенство множеств гомотопических классов отображенийD смF нижеFA a {Мы построили новую гомотопическую категорию, ее объекты гомотопичекатегории. ские классы пространств, морфизмы гомотопические классы отображений. При этом категорная эквивалентность [ объектов: [X ]

X ] и [Y ] в нашей категории означает просто совпадение

= [Y ].}

Отметим очевидные свойства гомотопических классов пространств и отображеE нийX E Для отображения : X Y и произвольного пространства Z возникают отобE ражения # : Y , Z X, Z (# (f ) = f ) и # : Z, X Z, Y (# (g ) = g )F При этом ( )# = # # иD аналогичноD ( )# = # # F E Для подпространства A X гомотопия отображения f : X Y однозначно определяет гомотопию ограничения f : (f |A )t = (ft )|A F E Гомотопия отображения f : X Y в прямое произведение пространств взаимно однозначно определяет гомотопию координатных отображений {f : X Y } : (f )t = p ft F В частностиD произведение стягиваемых пространств стягиваемоF EaEaEaE

QT


Ретракты и деформации
Отображение p пространства X на свое подпространство A называется ретракциейD если точки A неподвижныD тFеF p(x) = xD для x AF ЗаписьX p : X AF Подпространство A называется ретрактом X D если существует ретракция X на AF Если X хаусдорфовоD то его ретракты ! замкнутые подмножестваF E Пусть даны два пространства B и X D и два встречных отображения i : B X и r : X B с условием ri = 1|B F Тогда композиция p = ir : X X удовлетвоE ряет тождеству p2 = pF Эти условия выполнены в ситуацииD когда B X и r есть ретракцияF В общем случае отображение i оказывается вложением на замкнутое подмножеE ство A X D и p ! ретракцией X на AF @ОчевидноD i взаимно однозначно отображает B на A @для хаусдорфова X AF Если x0 X лежит в замыкании i(B )D то r переводит точки из малой окрестности x0 в малую окрестность r(x0 ) = b0 F Образы как угодно близких к b0 точек лежат в окрестности x0 и тогда i(b0 ) = x0 F ЗначитD i(B ) = A замкнутоF Обратное отображение r|A : A B непрерывноD тFкF ограничение непрерывного отображения непрерывноF ЗначитD A гомеоморфно B и ir|A есть тождественное влоE жение A в X D и p = ir : X X есть отображение X в себя тождественное на AD тFеF ретракция X на AFA E Описанная ситуация имеет местоD напримерD для проекций прямого произведеE ния на сомножителиD скажемD для проекций Rn на координатные плоскостиF Поэтому часто вообще ретракции называют проекциямиF E Если r : X A ретракция, то любое отображение f : A Z продолжа? ется на X (до отображения f = f r ). E Если A B X D и A ретракт X D то A есть ретракт также и B F E Если X ретрагируется на A при всех AD то X ретрагируется на A F В частностиD прямая R ретрагируется на каждый отрезок 0, 21 F Поэтому счетE n ное произведение прямых R = i Ri ретрагируется на гильбертов кирпичD а так как гильбертово пространство H топологически есть подпространство этого прямого произведенияD то и оно ретрагируется на гильбертов кирпичF E Пространство Rn или шар Bn с удаленным началом O ретрагируется @по радиE усамAна граничную сферу шара Sn-1 F a Если начало не выкидыватьD то ретракция невозможна3 Это один из основных фактов топологииD и мы им основательно займемся дальшеF Для начала заметимD что отрезокD очевидноD не ретрагируется на свои две граничные точкиF ДоказательствоD что круг не ретрагируется на граничную окружность уже не так простоF ДоказаE тельств многоD приведем тоD которое не требует серьезной техникиD хотя указывает путь для индуктивного доказательства неретрагируемости шара любой размерности на свой крайF EaEaEaE

Двумерный диск не ретрагируется на граничную окружность
Доказательство от противного. Пусть r : B2 S1 ретракцияF Возьмем точку x0 S1 D и положим K = r-1 (x0 )F K B2 ! компактD пересекающий край только в точке x0 F Возьмем конечное множество треугольников Ti такихD чтоX IF K покрыт внутренностями треугольников Ti D PF Ti лежит в Eокрестности U (K ) D

QU


QF Только один из этих треугольниковD пусть T1 пересекает S1 D притом только одной своей круглой сторонойD которая является окрестностью точки x0 в S1 D концы a, b этой стороны лежат по разные стороны от x0 в малой окрестности этой точкиD RF Стороны треугольников пересекаются между собой только внутренними точE ками @в частностиD треугольники не имеют общих вершинAF SF Число возьмем столь малымD что r(U ) лежит в содержащей x0 половине окружности S1 F Выполнения свойства RF можно добться сколь угодно малым сдвигом вершин треE угольниковD не нарушая при этом других свойствF Граница U состоит из стороны треугольникаD содержащей x0 D и остальной частиD лежащей внутри B2 D кроме точек a, bD которые разделяют эти две частиF ЗаметимD что внутренняя часть состоит из конечного числа связных ломаных без самопересеченийF Некоторые из них возможноD замкнутыD во всяком случае эти ломаные не могут иметь конечных точек внутри B2 D и если ломаная не замкнутаD то она имеет два концаF Концы не могут лежать внутри дискаD и ими могут быть только точки a и bY значитD имеется связная ломаная lD часть границы U концами a, bF Образ r(l) есть связный путьD соединяющий точки a и b и лежащий в полуокружности @гомеморфной отрезкуAF СледовательноD этот образ проходит через разделяющую a и b точку x0 D что невозможноD так как ломаная l лежит вне прообраза K точки x0 F @ЗаметимD что если мы попробуем пойти дальше и применить этот метод к доказаE тельству неретрагируемости шара B3 на граничную сферуD то нам придется рассматE ривать пересечения границ малых тетраэдровD что заметно сложнееD чем пересечение сторон треугольниковF Мы получим поверхность ! компоненту границы окрестноE сти прообраза точкиD и чтобы завершить доказательствоD надо будет доказатьD что эта компонента не ретрагируется на свою границу @окружность вокруг выбранной точкиAF Последнее обобщает теорему о B2 F Эти трудности еще преодолимы на элеE ментарной основеD но дальнейшее повышение размерности требует серьезной теорииF Мы докажем ниже теорему для всех размерностей на другом путиFA EaEaEaE

Z есть абсолютный ретракт (принадлежит классу Z AR), если его гомеоморфный образ в любом нормальном пространстве W есть ретракт этого пространства. E Абсолютные ретракты обладают эквивалентным двойственным свойствомX I I. непрерывное отображение в такое пространство Z замкнутого подмножества A нормального пространства X имеет распространение на все X. Для отрезка и для R это есть утверждение Титце - Урысона. E Пространство Z есть AR Z обладает свойством I I. X Если нормальное пространство Z с указанным свойством лежит как замкнутое подмножество в какомEлибо нормальном W D то тождественное отображение Z в себя продолжается до ретракции r : W Z F Это и значитD по определениюD что Z " абсолютный ретрактF X Пусть Z абсолютный ретракт и A замкнутое подмножество в нормальном X D причем дано отображение f : A Z F Построим пространство Y = Z x=f x X @которое называется приклейкой X к Z по f AD отождествив в X Z каждую точку x A с f (x) Z F I.
Пространство AR, пишут

Абсолютные ретракты

QV


@Топология в X \ A и в Z \ f (A) сохраняется старойF Окрестность точки z f (A) состоит из объединения ее окрестности U в Z и пересечения с X \ A окрестности W (f -1 (U f (A)))F Скажем подробнееF Пусть x0 f (A) и U ! окрестность x0 в Z F К этой окрестности мы должны присоединить точки из X \ AD ставшие ей близкими после приклейки X к Z F Эти точки лежат в окрестности множества f -1 (x0 ) в X D но вне A @точки A отождествлены с точками в Z и уже учтены окрестностью U AF Поэтому мы берем окрестность W (f -1 (x0 )) в X и пересекаем ее с X \ AF Можно считатьD что W A есть f -1 (U f (A))FA Z оказывается подпространством в Y @открытые подмножества Z остались отE крытыми и новых не прибавилосьAD притом Z замкнуто в Y @X \ A открыто в Y AF Имеется естественное отбражение g : X Z Y иD по условиюD ретракция r : Y ZF Композиция rg дает требуемое продолжение F отображения f на все X F
E Произведение абсолютных ретрактов есть абсолютный ретрактF В частностиD евклидовы пространства и кубы ! абсолютные ретрактыF E Ретракты абсолютных ретрактов также являются eF @Пусть A замкнуто в нормальном X и r ретракция абсолютного ретракта Z на B F Если F : X Z продолжение отображения f : A B Z D то rF : X B ! продолжение f до отображения X в B FA НапримерD таковы прямые сомножители абсолютных ретрактов @евклидовы проE странства и кубы достаточно большой размерности могут быть разложены в прямые произведения различными нетривиальными способамиAF E Абсолютные ретракты стягиваемыX пространство X лежит в своем конусе CX D и если X есть eD то X есть ретракт конусаD значитD 1X 0F Если A подпространство e Z D и f : A Y можно продолжить на Z D то f 0F EaEaEaE

Абсолютные окрестностные ретракты лютных окрестностных ретрактов,

I Пространство

C

принадлежит классу ANR (C



ANR)

абсо-

(absolute neighb orho o d retract), ес-

ли любой гомеоморфный его образ в любом (нормальном) пространстве является ретрактом некоторой своей окрестности в этом пространстве.

Это верно для сфер и для более широкого класса пространствD в частностиD полиэдровF Имеется эквивалентное двойственное свойствоD которое формулируется и докаE зывается по аналогии со свойством пространств типа eX I I Любое отображение замкнутого подмножества A нормального пространства X в C может быть продолжено на окрестность A в X . E Сочетание этих двух свойств показываетX iсли B C замкнутое подмножествоD C ex @или eAD и B является ретрактом своей окрестности N в C D r : N B D то B есть exF @Для пары @D eA данное отображение f : A B сначала продолжается @свойство IA до отображения F в C окрестности U (A) X D и композиция rF есть продолжение f на U (A) (rF )-1 N ! на окрестность A в X F Тогда B ! ex по свойству I IFA В частностиD стандартная сфера Sn D очевидноD является ретрактом своей окрестE ности в евклидовом пространстве Rn+1 @Rn+1 \ O)D где O началоD ретрагируется на Sn по радиусамAF Таким образомD сфера есть ANRF
QW


В то же время вложенияD напримерD окружности в R3 могут быть очень сложныE миD скажемD содержать в себе компакт АнтуанаF Кроме сфер к классу AN R принадлежит каждое подмножество евклидова проE странстваD имеющее окрестностьD которая на него ретрагируетсяF В частностиD такиE ми подмножествами являются полиэдрыF EaEaEaE

Лемма Борсука (о продолжении гомотопии)
Следующая лемма Борсука очень важна в гомотопической техникеX Лемма о продолжении гомотопииF Пусть дано пространство X D для которого нормально произведение X Ч [0, 1] @напримерD X метризуемоAF Пусть A X замкнуE тое подмножество и пусть дано непрерывное отображение f : X C D где C ex @напримерD отображение в Sn AF ДалееD пусть h(x, t) : A Ч [0, 1] C гомотопия этого отображения на AX для x A h(x, 0) = f (x)F Существует гомотопия H (x, t) : X Ч[0, 1] C отображения f на всем X D H (x, 0) = f D которая продолжает гомотопию hX H (x, t) = h(x, t), если x AF @Эта лемма называется также леммой о стакане.A ? ДоказательствоF Мы имеем непрерывное отображение h : X Ч 0 A Ч [0, 1] Y замкнутого подмножества пространства X Ч [0, 1] @стакана на столеA равное f (x) на X Ч 0 и h(x, t) на A Ч [0, 1]F Нам надо продолжить это отображение на все X Ч [0, 1]F Продолжим его сначала на окрестность W (A) X Ч [0, 1] стакана A Ч [0, 1]D используя тоD что C exF ПокажемD что в W лежит окрестность множества A Ч [0, 1] вида U Ч [0, 1]D где U окрестность A в X F Покроем A Ч [0, 1] базисными окрестностями вида Ua Ч V (t), a A, t [0, 1]D лежащими в W F Для каждой точки a A отберем конечное покрытие @компактногоA слоя a Ч [0, 1]X U1 (a) Ч V (t1 ), . . . , Uk Ч V (tk ) @k зависит от aA и возьмем окрестность слоя U (a) Ч [0, 1]D где U (a) = ik(a) Ui (a)F Эти окрестности лежат в W F Положим a Ua = U F Тогда A Ч [0, 1] U Ч [0, 1] W F Пусть (x) функция Урысона на X D равная H вне U и I на AF Построим отобраE жение : X Ч [0, 1] X Ч [0, 1]D тождественное на A Ч [0, 1] X Ч 0 и переводящее отрезок x Ч [0, 1] линейно в отрезок x Ч [0, (x)]F ? Композиция h : X Ч [0, 1] Sn совпадает с f на X Ч 0 и с h на A Ч [0, 1]F Для построения продолжения h на U Ч [0, 1] мы потребовали нормальности проE изведения X Ч [0, 1]F Она не следует из нормальности X D хотя это такD напримерD для метризуемых пространствD тFкF произведение метризуемых пространств метризуемоF Существенным в доказательстве является компактность слояF ПокажемD что любой гомеоморфизм сферы h : Sn Sn существененF Пусть ht : Sn Sn гомотопия от h0 = h к h1 (Sn ) = aF Полагая H (Bn+1 ) = aD имеемD по леммеD гомотопию Ht : Bn+1 Sn D продолжающую ht D H1 = H = h1 D H0 = h0 = hF Но H0 |Sn = h и = h-1 H0 есть ретракция шара на его крайD что невозможноF EaEaEaEaEaE
8. СИМПЛЕКСЫ. КОМПЛЕКСЫ. ПОЛИЭДРЫ

EaEaEaE

Выпуклые множества и симплексы
В дальнейшем нам постоянно будут нужны средства кусочно линейной категорииD которая со своими объектами @комплексами и полиэдрамиA и морфизмами @симплициальными и кусочно линейными отображениямиA образует особый мирD где RH


доступны методы линейной геометрииD и которая является мощным аппаратом для решения топологических проблемF Начнем с понятия выпуклостиF В пространстве Rn выпуклым называется множествоD которое вместе с каждой парой своих точек содержит соединяющий их отрезокF E Пересечение выпуклых множеств @конечное или бесконечноеA выпуклоF Выпуклой оболочкой CA произвольного множества A называется пересечеE ние всех содержащих его выпуклых множествF ОчевидноD это пересечение является @единственнымA минимальным выпуклым множествомD содержащим AF Множество P = {xi } из r + 1 n + 1 точек xi (линейно) независимо @или в общем положении AD если оно не содержится в плоскости размерности меньше rF Упорядочив эти точки какEлибоD скажемD x0 , x1 , . . . xk D мы определим k EреперF ТочE ка x0 служит началомD а векторы vi = xi - x0 ! принимаются за векторы репера @точки xi отождествляются со своими радиусEвекторамиAF В случае r = n этот репер можно принять за базисный в пространствеF В частностиD он задает ориентацию проE странстваF В зависимости от тогоD совпадает она или нет с ориентацией принятой в пространстве заранееD систему P можно считать положительной или отрицательнойF Симплексом размерности p @или pEсимплексомA p называется выпуклая обоE лочка независимой системы P из p + 1 точекF Точки системы называются вершинами симплексаF Если вершины упорядоченыD они задают ориентацию пространстваD коE торая принимается за ориентацию симплексаF Число p называется размерностью dim p симплексаF ТочкаD отрезокD треугольник и тетраэдр ! примеры симплексов малых размерE ностейF Конус над симплексом есть симплекс на единицу большей размерностиF Каждое подмножество Q P из q + 1 вершин также является независисмым и его выпуклая оболочка есть q EсимплексD который называется q Eмерной гранью симE q плекса p F Всего имеется Cp q Eмерных граней в p и 2p всех граней @если включить в это число пустое множество и сам симплекс в качестве несобственных гранейFA a @Выпуклая оболочка компактного подмножества в Rn есть объединение симE плексов с вершинами в точках данного множестваF Поэтому выпуклая оболочка поE лучается применением конечное число раз операции объединения всех отрезков с концами в точках полученного на предыдущем шаге множестваF A Линейная структура симплекса Каждый k Eсимплекс определяет его несущую плоскость D это ! линейная обоE лочка его вершин @минимальная плоскостьD содержащая все вершиныAF Для любых двух симплексов 1 и 2 любое отображение множества вершин 1 в множество верE шин 2 определяет аффинное отображение 1 в 2 @линейное в соответствующих реперахD если начальная точка переходит в начальнуюAF Это отображение определеE но не вполне однозначноD но оно определяется однозначноD если взаимно однозначно вершинное соответствиеF Отображение симплекса в симплекс называется линейнымD если оно есть ограничение аффинного отображения несущих плоскостейF Собственные грани @тFеF все граниD кроме самого и пустой граниA образуют край @границуA k EсимплексаD которая гомеоморфна (k - 1)EсфереF Внутренность симплекса \ называется открытым симплексом и обозначается F E Край и внутренность совпадают с топологическими pr и snt D если разE мерности симплекса и объемлющего пространства совпадают @напримерD в несущей плоскостиAF RI



Разобьем множество вершин k Eсимплекса на два непересекающихся подмножеE ства из l + 1 и m + 1 точекF Эти подмножества определяют lEгрань 1 и mEгрань 2 D причем k = l + m + 1F В этом случае грани называются скрещивающимисяF E Полезное свойство скрещивающихся гранейF ОтрезкиD соединяющие точки 1 с точками 2 D могут пересекаться только в общем концеF Середины этих отрезков образуют подмножество симплекса D которое отождествляется с прямым произвеE дением 1 Ч 2 D а открытый симплекс представляется прямым произведением


1 Ч 2 Ч (0, 1)F





EaEaEaE

Комплексы (геометрические).
КомплексыF Множество замкнутых симплексов в Rn называется комплексом @геометрическим или прямолинейнымAD если пересечение любых двух симплексов есть их общая грань @может бытьD пустаяAF @Имеются и другие типы комплексовD поэтому иногда надо оговариватьD что имеE ется в виду именно данное определениеFA Совокупность всех симплексов размерности r в комплексе K образует подE комплекс K r K D называемый rEмерным остовом K @или rEостовомA комплекса KF Максимальная размерность симплексовD входящих в комплекс K D называется его размерностью dim K F Комплекс размерности I называется графомF Множество симплексовD для которых данный симплекс K является общей граньюD называется звездой и обозначается st( ) @от английского star ! звездаAF
E Открытая звезда st( ) состоит из всех тех открытых симплексов звезды st( )D замыкания которых содержат F Открытые звезды вершин образуют открытое поE крытие тела комплексаF E Если симплекс в комплексе не является гранью других симплексов @тFеF совпаE дает со своей звездойAD то он есть пересечение звезд своих вершинF Проверьте3 @ВообщеD пересечение звезд вершин симплекса есть его звездаX S t (v ) =


S t( )FA Комплексы и топологияF Комплекс есть множество симплексовD а не их объединениеF Объединение симплексов комплекса K называется телом комплекса и обозначается |K |F Чтобы это подпространство в Rn имело хорошие топологические свойстваD требуE ется дополнительное условиеX Комплекс локально конечен D если каждая точка его тела имеет в нем окрестE ностьD пересекающуюся с конечным числом симплексовF В этом случае тело комплекE са локально компактноF E |K | оказывается локально компактным пространствомD если открытые звезды конечны и приняты за открытые подмножества в |K | с их естественной топологиейF @ЗаметьтеD что синусоида есть тело одномерного бесконечного комплекса с коE нечными звездами ! и топологией индуцированной из ее вложения в плоскостьF Эта топология не совпадает с введенной выше комбинаторной топологиейD порожденной открытыми звездами вершинF В этой последней синусоида несвязна ! распадается на отрезок и две бесконечные дугиFA

v K

RP


E Если каждая точка пространства имеет окрестностьD пересекающуюся только с конечным множеством симплексов комплекса @возможноD пустымAD то тело |K | будет локально компактным и замкнутым подмножеством @тFкF симплексы замкнутыAF Разумеется эти свойства выполненыD если комплекс конеченF Тело |K | комплекса K является полиэдромX

Полиэдры и триангуляции
Прямолинейным (или геометрическим) полиэдром P в Rn называется подE пространствоD которое может быть представлено телом некоторого комплексаF Если P = |K |D то комплекс K называется триангуляцией полиэдра P F Тело у комплекса одноF Триангуляций у полиэдра @бесконечноA много @если это не дискретное множество точекAF Между триангуляциями полиэдра имеется отношение частичного порядкаX Одна триангуляция T1 полиэдра P называется подразделением другой T2 D если каждый симплекс первой триангуляции лежит в некотором симплексе второйF @При этомD очевидноD каждый симплекс T2 оказывается триангулированным симплексаE ми T1 FA a Объединение и пересечение двух @конечного числаA полиэдров есть полиэдрD две триангуляции одного и того же полиэдра имеют изоморфные подразделенияF Для доказательства этих и других утвержденийD составляющих технику обращения с полиэдрамиD полезноD в частностиD ввести понятие выпуклых многогранников и их комплексовF Мы ограничимся здесь необходимыми сведениями и вернемся к обшей теории дальшеF EaEaEaE

Барицентрические координаты
Барицентрические координаты симплекса

Пусть дан симплекс k в k Eмерной плоскости P k в (k + 1)Eмерном пространстве Rk+1 с вершинами a0 , a1 , . . . , ak @иначе говоряD дано k + 1 точек в общем положении в P k ! не содержащихся в (k - 1)EплоскостиAF Пусть b ! точка в Rk+1 \ P F Примем b - за начало в Rk+1 D обозначим векторы bai через ei и примем их за базисные в Rk+1 F Плоскость P k имеет уравнение i i = 1 в этом базисеD (0 , 1 , . . . , k ) ! коордиE наты точки xF @Базисные векторы удовлетворяют этому уравнениюFA Мы будем рассматривать числа i независимо от внешнего пространства как коE ординаты точки в плоскости P k D связанные указанным соотношениемD поскольку их набор точку плоскости определяет однозначноF Неотрицательные наборы определяE ют точки симплекса k с вершинами ai D тFеF их выпуклую оболочкуF @Условие i0 0 задает в P k полупространствоD содержащее ai0 и ограниченное плоскостью остальных точек ai D во втором полупространстве координата i0 < 0F Таким образомD неотрицаE тельные наборы определяют пересечение полупространствD тFеF выпуклое множествоD содержащее все ai D и притом минимальное ! докажте3A Наборы i называются барицентрическими координатами симплекса k F Условие i = 0 выделяет грань симплексаD противолежащую его iEой вершинеF Система таких условий выделяет грань меньшей размерностиD на которой остальные i служат барицентрическими кооординатамиF E Название барицентрические связано с темD что точка x = (0 , . . . , n ) оказыE вается центром тяжести @барицентромAD если вершина ai несет груз величиной i F

RQ


Примем одну из точек ai D скажемD a0 D за начальную в P k F Векторы ai - a0 = vi @линейноA независимыF Примем их за базисные в плоскости P k F Координаты точки x = (0 , 1 , . . . , k ) в этом базисе будут (1 , . . . , k )X

x-b=
i0



i

ei

=
i1 i



i

ei

+

0

e0

=
i1

i (ei -

e0

)+(
i0

i )

e0

=
i 1



i

vi

+ a0 - b,

тFеF x - a0 =
i 1



vi

D что и значитD что координаты x в базисе vi суть i , 1 i k F

Линейное отображение симплекса в симплекс

Пусть теперь f ! ставит в соответствие точкам a0 , . . . , ak P k точки c0 , c1 , . . . , ck ci = f (ai ) @некоторые ci могут совпадатьA некоторой плоскости Q l D лежащей в проE странстве Rl+1 F Возьмем в Rl+1 \ Q l точку dF Возьмем независимые векторы gj , 0 j lD с общим началом в d и с концами на плоскости Q l Y они образуют базис в Rl+1 F Как и вышеD координаты точки y Q l в этом базисе являются барицентрическими координатами этой точки в плоскости Q l F Примем за начало в Q l точку c0 = f (a0 )F Векторы wj = gj - g0 образуют базис в Q l F Поставив в соответствие векторам vi = ai - a0 векторы ui = ci - c0 и продолжив это соответствие по линейностиD мы получим линейное отображение f : P k Q l F Оно продолжается до линейного отображения F : Rk+1 Rl+1 @F (b) = dAF Пусть (hj ), i 0, j 0D ! матрица F в базисах (ei ) и gj : F (ei ) = hj gj D тогда i i hj = 1 и для i 1 ji

f (ui ) = F (ei - =
j 1

e0

)=
i0

hj ( i

gj

-

g0

)=
j 1

hj (gj ) + h0 i i
g0

g0

-

g0

= )+
g0

hj (gj ) - i
j 1

hj (g0 ) + i
j 0

hj (g0 ) - i

=
j 1

hj (gj - i

g0

-

g0

=
j 1

hj i

wj

.

ТFеF (hj ), i 1, j 1 ! матрица линейного отображения f плоскости P k в Q l F i Пусть (i ) ! барицентрические координаты точки xX x =
0ik

i ai =
1ik



i

vi

F

Тогда f (x) = i f (vi ) = i hj wj F Таким образомD отображение f переводит точку с i барицентрическими координатами i в точку с барицентрическими координатами i hj D которые зависят от выбора базисаF i В частностиD если f взаимно однозначно и точки f (ai ) = ci независимыD а векторы j vi = ci - c0 выбраны в качестве базисныхD то матрица (hi ) единичная и барицентриE ческие координаты при отображении сохраняютсяF Если f переводит симплекс k в симплекс l и вершины переходят в вершиныD то барицентрические координаты прообразов одной вершины складываютсяF
Барицентрические координаты и барицентрические отображения комплекса.

Пусть даны pEсимплекс p с вершинами a0 , a1 , . . . , ap D его грань q Eгрань q с верE шинами ai0 , ai1 , . . . , aiq и точка x q F Барицентрические координаты точки x отноE сительно грани q сохраняются при переходе к системе координат симплексаD нужно только добавить нули в качестве координатD отвечающих тем вершинам p D которые не являются вершинами граниF Из этого видноD что мы можем ввести систему баE рицентрических координат сразу для целого комплекса K @для простоты пусть он будет конечнымAF Упорядочим вершины K X v1 , v2 , . . . , vN и для точки xD лежащей в RR


симплексе K положимD что ее барицентрическая координата (xi ) = 0D если vi не вершина симплекса D а если vi D то xi есть барицентрическая координата x в D отвечающая v F Сохраняется свойствоD что сумма барицентрических координат точки равна IF Пусть теперь дан комплекс K и каждой вершине v K поставлена в соответствие точка v в аффинном прстранстве Rn F Это вершинное отображение @заданное на верE ~ шинахA продолжается с помощью барицентрических координат до симплициального отображения K в Rn F ИменноD если точка x p K имеет в p барицентрические координаты xi0 , . . . , xip D то ей отвечает точка x = (xi0 vi0 + ћ ћ ћ + xip vip ) Rn F @Мы ~ ~ ~ будем называть это барицентрическим продолжением вершинного отображенияFA E Любой конечный комплекс K с N вершинами изоморфен подкомплексу симE плекса N -1 D вершины которого находятся во взаимно однозначном соответствии с вершинами комплексаF Симплексам K отвечают грани той же размерности и с соответствующими верE шинами в F Барицентрические координаты точек комплекса K совпадают с их баE рицентрическими координатами в F EaEaEaE

Барицентрическое подразделение симплекса.
Симплекс n имеет особую триангуляцию TD в которой для каждого nEсимплекса T порядок барицентрических координат по величине @i0 (x) i1 (x) ћ ћ ћ in (x)A у всех точек n один и тот жеF ОчевидноD число этих симплексов (n + 1)!F Это подразделение получается проведением для каждой пары вершин (n - 1)E мерной плоскости @в несущей плоскостиAD на которой равны значения соответствуE ющей пары барицентрических координатF Построение этого подразделения можно описать индуктивноX на k Eом шаге строятся конуса с вершинами в барицентрах k E граней симплекса n над симплексами триангуляций (k - 1)EгранейD построенных на предыдущем шагеF Эта триангуляция симплекса называется барицентрическойF Барицентрическая триангуляция T треугольника получается проведением трех медианD тетраэдра ! шести плоскостейD проходящих каждая через ребро и середину противолежащего ребра @или ! через медианы двух граней с общим ребромAF E Имеет место важный фактD который нам потребуется в следующей главе WX Диаметры симплексов барицентрического подразделения T не превыn шают диаметр симплекса n , умноженный на n+1 . Пусть в nEсимплексе i подразделения T координата k больше остальныхF В каждой точке отрезка LD соединяющего вершину ak с барицентром противолежащей (n - 1)Eграни n-1 все координатыD кроме k D имеют равное значениеX в барицентре k 1 1 грани n-1 значение n D в барицентре n ! n+1 D в вершине ak ! нульF Поэтому отноE k шение длины L к расстоянию от ak до барицентра n равно n+1 D и следовательноD n n диаметр симплексаD отсекаемого плоскостьюD параллельной k -1 и проходящей чеE рез барицентр в n+1 раз меньше диаметра n F Но симплекс i лежит в n F Самое n n важное тут тоD что n+1 < 1F ПоэтомуD итерируя операцию барицентрического подразE деленияD применяя ее ко всем получающимся на предыдущем шаге симплексамD мы будем получать измельчения исходного симплексаD тFеF триангуляции с диаметрами симплексов меньше любого заданного > 0F EaEaEaE
n

RS


Кусочно линейная аппроксимация отображений в Rn (и в сферу Sn )
gимплициальное отображение однозначно определяется отображением вершин ? @вершинным соответствием AF При этом возникает @непрерывноеA отображение f тела |K1 | комплекса K1 в K2 которое также называется симплициальнымF Отображение полиэдра P1 в полиэдр P2 можно было бы назвать симплиE циальнымD если оно симплициально для некоторых их триангуляцийF Но поскольку априори триангуляции не фиксируютсяD отображение называется кусочно линейнымD если комплексы могут быть триангулированы такD что станет симплициальным отображением K1 в K2 F Но для нас важен еще один случай ! отображения полиэдра в евклидово пространство @или сферуAF В этом случае отображение : P Rn называется кусочно линейнымD если P может быть триангулирован такD что каждый симплекс отобраE жается линейноF Отображение комплекса в евклидово пространство называется симплициальнымD если оно линейно на каждом симплексеF Для отображения комплекса в пространство размерности более высокойD чем разE мерность самого комплексаD обычно будем предполагатьD что образ симплекса есть симплексF Это так для оотображений в общее положение X СкажемD что отображение @конечногоA комплекса R в аффинное прстранство Rn есть отображение в общее положениеD если в общем положении находятся образы каждой системы из p n + 2 точек @тFеF выпуклая оболочка такой системы есть (p - 1)-симплексAF Сколь угодно малым сдвигом образов вершин можно получить симплициальное отображение в общее положениеF Эта операция называется приведением в общее положение малым сдвигомF

Теорема о кусочно линейной аппроксимации.
отображение ство. Для всякого

Пусть дано непрерывное

:P R >0

n

(компактного) полиэдра в евклидово пространсуществуют такая триангуляция

симплициальное отображение

:T R ?

n

, что

T полиэдра и d(, ) = max d((x), (x)) < . ? ?
x P

Аналогичная теорема верна и для отображений в сферуF Возьмем какуюEнибудь триангуляцию T полиэдра и подразделим ее бариценE трически достаточное число разF Положим (v ) = (v ) для каждой вершины полуE ? ченной триангуляции и продолжим барицентрически на симплексыF В силу равноE ? мерной непрерывности D если диаметры симплексов достаточно малыD расстояние между образами точек одного симплекса меньше /2D тогда и диаметры ( ), T D ? меньше /2D и расстояние d((x), (x)) d((x), (v )) + d((v ), (x)) < D где v ? ? ? какаяEлибо вершина симплексаD содержащего точку xFA E Отображение f : P Sn k Eмерного полиэдра в сферуD где k < nD несущественноF Мы доказывалиD что два равномерно близких отображения f и g в сферу одE ного пространства X всегда гомотопны @с помощью линейной гомотопии по дугам больших круговAF Аппроксимируем данное f (x) Eблизким кусочно линейным отображением g (x)F По предыдущемуD f (x) и g (x) гомотопныF Но тFкF размерности симплексов в P и их линейных образов в Sn меньше nD не все точки сферы покрыты образом отображения g D а тогдаD как было показано выше @стрF ??AD оно несущественноF ЗначитD таково и f F EaEaEaEaEaE

RT


9. НЕСТЯГИВАЕМОСТЬ СФЕРЫ И НЕПОДВИЖНЫЕ ТОЧКИ.

РАЗМЕРНОСТЬ R
EaEaEaE

n

Мы докажем сейчас классическую леммуD из которой затем выведем теоремы о неретрагируемости шара на граничную сферу и о нестягиваемости сферыD эквиваE лентные знамиенитой теореме Брауэра о неподвижной точкеF Лемма принадлежит немецкому математику Эмануэлю ШпернеруD а вывод теоремы о неретрагируемости я заимствую из Александровской части статьи ПFСF Александрова и БFАF Пасынкова @УМН тFssD выпFSD IWSU гFAF Мы обозначаем стандартный nEмерный симплекс через n D его вершины через n ai , 0 i nD граньD противолежащую вершине ai D обозначим i -1 F

Лемма Шпернера и неретрагируемость шара
E Лемма Шпернера. Пусть дана триангуляция T = {k } n-мерного симvq триангуляции T поставлена в соответствие одна из вершин ai симплекса n с условием, что если vq лежит на какойлибо грани симплекса n , то ей поставлена в соответствие одна из вершин
плекса, и каждой вершине этой грани.
n -симплекс k0 триангуляции, вершины которого поставлены в соответствие попарно различным вершинам n .

Тогда найдется

n

Назовем nEсимплекс T нормальнымD если его вершины поставлены в соотE ветствие взаимно однозначно вершинам n F Мы покажем индукцией по nD что число таких симплексов нечетно иD значитD отлично от нуляD что докажет леммуF При n = 0 утверждение тривиальноD допустимD оно доказано для n - 1F Фиксируем n (n - 1)Eгрань смплекса n D скажемD 0 -1 D противолежащую a0 D и назовем (n - 1)Eгрань n симплекса k T отмеченнойD если ее вершины поставлены в соответствие взаимно n однозначно вершинам n-1 F У nEсимплекса k может быть HD I или P отмеченных 0 граниD причем у нормальных и только у них это число равно I @если симплекс не нормаленD но имеет отмеченную граньD то его двум вершинам поставлена в соответE n ствие одна и та же вершина грани 0 -1 D и число его отмеченных граней на самом деле равно PAF Пусть m ! сумма чисел отмеченных граней для всех nEсимплексов триангуляцииF Из предыдущего вытекаетD что надо доказатьD что m нечетноF Рассмотрим какойEлибо n (n - 1)Eсимплекс r -1 триангуляцииF Если он лежит внутри n D то к нему примыкает два nEсимплексаD он считается два раза и его можно не учитыватьF Если он лежит на границеD то нужно рассмотреть только случайD когда симплекс лежит на грани n-1 D 0 при этом только те симплексыD вершины которых поставлены во взаимно однозначE ное соответствие с вершинами n-1 @иначе симплекс не отмеченныйAF Он служит 0 отмеченной гранью ровно одного nEсимплексаD и в результате четность числа отмеE ченных граней равна четности числа тех гранейD которые лежат на n-1 и вершины 0 n которых поставлены во взаимно однозначное соответствие вершинам 0 -1 F Но это число нечетно по индуктивному предположениюF
Неретрагируемость симплекса на его край. Мы заменили в формулировкке шар на симплексD так удобнее применять лемму ШпернераF ТеоремаF Не существует ретракции n на его край n-1 . Пусть ретракция n на его край n-1 F

RU


Грани n-1 образуют триангуляцию n-1 F Открытая звезда вершины ai есть отE i n крытое множество Oi = n-1 \ i -1 F Эти множества образуют открытое покрытие края с пустым пересечением i Oi = F В силу равномерной непрерывности имеE ется такое > 0D что при ретракции образ каждого множества диаметра меньше лежит в одном из множеств Oi @лемма ЛебегаD смF ??AF Будем последовательно строить барицентрические подразделения триангуляций симплекса @начав с самого n AF Через конечное число шагов @согласно свойству этой операцииD смF вышеAD получится триангуляцияD диаметры звезд симплексов которой меньше F Каждой вершине такой триангуляции поставим в соответствие вершину ai D в звезде которой лежит образ звезды этой вершиныF ТоD что точки n-1 при ретракции переходят в себяD влечет выполнение условия леммы ШпернераF Имеется симплекс триангуляцииD вершины которого взаимно одE нозначно сопоставлены всем вершинам ai F Но это невозможноD тFкF тогда образ самого симплекса @который есть пересечение звезд своих вершинA содержался бы в каждой из звезд Oi и лежал бы в их пересеченииD которое пустоF EaEaEaE

Следствия: теоремы о неподвижной точке и о нестягиваемости Sn-
точку, совпадающую со своим образом

1

.

Теорема о неподвижной точке. Всякое отображение шара в себя имеет

Эта знаменитая теорема Брауэра является простым следствием теоремы о нереE трагируемости шара на крайX Пусть f : Bn Bn непрерывно и не имеет неподвижных точекD тFеF для всех n x B f (x) = xF Рассмотрим для каждой точки x Bn лучD идущий из точки f (x) через x до пересечения с краем шара в точке (x)F ИзEза отсутствия неподвижных точекD воEпервыхD такой луч существуетD причем точка (x) непрерывно зависит от xD и (x) = xD если X ! точка краяF Мы получили ретракцию шара на крайF Теорема о неподвижной точке эквивалентна теореме о неретрагируемости шара на крайX если бы имелась такая ретракцияD то взяв ее композицию с центральной симметрией сферыD мы получили бы отображение шара без неподвижных точекF Еще одно важное следствие теоремы о неретрагируемости шара @также эквиваE лентное ей иD собственноD являющееся ее простой переформулировкойA ! нестягиваемость сферы Sn : 1Sn 0|Sn F @НапомнюD что шар есть конус над своей граничной сферойD смF вышеFA
В результате мы получили

! существование неподвижной точки для отображения шара в себя, ! нестягиваемость граничной сферыD ! неретрагируемость шара на край
(и доказали последнее).

эквивалентность трех утверждений:

E Не только тождественныйD но любой гомеоморфизм сферы не гомотопен нулюX гомеоморфизм h имеет обратный q = h-1 D q h = 1 и если 1 существенD то оба отображения h и q не гомотопны нулюF Топологическая инвариантность линейной размерности Rn ТоD что прямая R не гомеоморфна плоскости или вообще пространству Rn , n > 1 доказывается простоX любая окрестность каждой точки разбивается этой точкойD тFеF дополнение к точке несвязноF А шаровая окрестность точки в б? ольших размерностях остается связной после выкидывания этой точкиD что очевидноF Но не очевидноD как обобщить это доказательство на высшие размерностиF RV


Это можно сделатьD если иначе представить доказательствоF ИменноD если в окрестности точки x0 R взять по точке с каждой ее стороныD скажемD a слеваD b справаD то эту пару точек нельзя прогомотопировать в дополнении к x0 в одну точкуD скажемD в c @одну из них нельзя соединить с c путемD минуя x0 AF Но на пару точек можно смотреть как на сферу размерности нуль 3 И мы получаем такую формулировкуD обобщающую приведенное доказательствоX Теорема. Для каждой окрестности U точки x0 Rn существует отображение f : Sn-1 U \ x0 негомотопное нулю в Rn \ x0 . С другой стороны отображение сферы меньшей размерности в U \ x0 гомотопно нулю в Rn \ x0 . Возьмем в качестве точки x0 начало OF Пусть U данная окрестность началаF В U возьмем шаровую окрестность B с центром OF В качестве отображения f : Sn-1 U \ O возьмем тождественное отображение граничной сферы S = BF ДопустимD что f 0 и ft : S Rn \ O ! гомотопияD для которой f0 = f = 1|S , f1 (S) = a = OF Пусть r : Rn \ O S ретракцияD переводящая каждый луч из начала в точку его пересечения с SF Тогда композиция rft есть стягивание сферы в точку по себеD что невозможноF Если g : Sk Rn \ O отображение сферы размерности k < n - 1D то g гомотопно g ( x) с помощью радиальной гомотопии rt (g (x)) = (1 - t)g (x) + t |g(x)| отображению r1 g : Sk Sn-1 D гомотопному нулюD согласно доказанному в конце главы V @RTAF Это доказательство сохраняет силу и для следующего утвержденияX E Шары (или кубы), сферы разных размерностей не гомеоморфныF ВообщеD если окрестности точек пространств X и Y гомеоморфны открытым шарам разных размерностейD то эти пространства не гомеоморфныF E Для большей строгости сформулируем два свойстваD которые вместе топологиE чески инвариантныD тFеF гомеоморфные пространства одновременно имеют оба эти свойства или не имеют хотя бы одно из нихX IF Каждая точка x пространства X имеет окрестность U (x) и отображение сферы n-1 S в U \ x не гомотопное нулюF PF Для каждой окрестности U (x) каждой точки x X имеется окрестность V (x) U такD что любое отображение Sk при k < n - 1 в V \ x гомотопно нулю в U \ xF ПространстваD все точки которых имеют окрестности гомеоморфные открытым шарам размерности nD называются многообразиями размерности nF Таким образомD многообразия разных размерностей не гомеоморфныF Связные многообразия разE мерности I это интервалы прямой и окружностиF Многообразия размерности два называются поверхностямиF Мы ими займемся в последнем разделеF EaEaEaEaEaE
Дополнение к главе 9. Лемма Шпернера и теорема Хелли

В этом дополнении мы приведем основанное на лемме Шпернера доказательствоD данное МFАF КрасносельскимD известной теоремы Хелли о пересечении выпуклых множествF Из леммы Шпернера следует теоремаD имеющая несколько переформулировокF Одну из них называют теоремой Кнастера ! Куратовского ! Мазуркевича илиD для краткостиD ККМF Она была доказана сразу после появления статьи Шпернера и использована авторами для вывода из нее теоремы Брауэра о неподвижной точкеF Красносельский использовал эту теорему в некоторой переформулировке @назыE ваемой им теоремой ЛебегаA для вывода теоремы ХеллиF RW


Мы начнем с теоремы ККМD выведем из нееD следуя БFАF ПасынковуD теорему о неретрагируемости симплекса на крайD докажем эквивалентность этих теорем и в заключение приведем доказательство Красносельского теоремы ХеллиF

Пусть дано покрытие i Ai = n , 0 i n, n-симплекса замкнутыми множествами. Каждому множеству Ai сопоставлена вершина ai симплекса. Пусть каждая грань k симплекса с набором вершин = (ai0 , ai1 , . . . , aik ) ле жит в пересечении соответствующих ее вершинам множеств Ai : k A ij .
Лемма 1 (Теорема ККМ).

Тогда

A i = .

ij

Рассмотрим произвольную триангуляцию T симплекса n F Для каждой вешиE ны v T возьмем открытую грань v D на которой она лежитD и сопоставим вершине v одно из множеств Ai(v) D содержащих эту граньF Тем самым вершине v T будет сопоставлена вершина ai(v) D причем соблюдено условие леммы ШпернераF ТогдаD по леммеD имеется nEсимплекс n T D вершины которого оказываются во взаимно однозначном соответствии с вершинами n D то есть принадлежат попарно различным множествам Ai F Измельчая триангуляциюD мы получим последовательность таких симплексовD диаметры которых стремятся к нулюF Предельная точка этой последовательности будет одновременно предельной точкой для каждого из множеств Ai F В силу заE мкнутости этих множествD она принадлежит им всемD тFеF их пересечение не пустоF Сохраним введенные обозначения в следующей леммеF Лемма 2 (Лебега, согласно Красносельскому). Пусть дано замкнутое покрытие i Ai = n , 0 i n, и Ai i = . Тогда Ai = . ПроверимD что из условия этой леммы вытекает условие предыдущей леммыF Пусть дана грань k , = (ai0 , ai1 , . . . , aik )D и скрещивающаяся с ней грань n-k-1 D где дополняет в множестве вершин n F Множество Aij D отвечающее вершине aij D не пересекает грани k D тFкF k n-1 ij F ЗначитD k s As D где s F Условие леммы I выполненоF Замечание. В лемме P вместо замкнутых множеств можно взять открытые @коE торые могут быть ?ужаты? до замкнутых с сохранением условияAF Следующая лемма выведена из леммы I Пасынковым и использована в работеD которая цитировалась выше @стрF RUAD для доказательства неретрагируемости симE плекса на его крайF Лемма 3. Пусть снова Ai = n замкнутое покрытие, и пусть Ai n-1 i

для каждого i. Тогда Ai = . ПокажемD что лемма Q вытекает из леммы PF Дополнительное множество Bi = n \ Ai для каждого i не содержит i и открытоF Если Ai = D то Bi = n
! открытое покрытиеD и по лемме P тогда Bi = @смF Замечание к леммеAF Но это значитD что Ai не образуют покрытияF Аналогично из леммы Q следует лемма PF Кроме тогоD из условия лемы ID очевидE ноD вытекает условие леммы QF Таким образом все три леммы эквивалентныF Выведем
0in

0in

SH


далее теорему о неретрагируемости симплекса на крайD следуя ПасынковуD из лемE мы Q и покажемD что лемма Шпернера есть следствие теоремы о неретрагируемостиF Таким образомD все эти утверждения эквивалентныF

= = . ДопустимD что имеется ретракция r : n n-1 F Рассмотрим множества Ai = n-1 -1 r (i )F Для них выполнено условие леммы QD поскольку r ретракцияF В таком случае имеется точка xD принадлежащая Ai для каждого iF Но образ этой точки принадлежит каждой грани n-1 D что невозможноD тFкF их пересечение пустоF i
n n-1 i i

Теорема о неретрагируемости.

Не существует ретракции n на

n-1

НаконецD покажемD что лемма Шпернера есть следствие теоремы о неретрагируE емостиF Лемма Шпернера. Пусть T триангуляция n и каждой вершине v T поставE лена в соответствие вершина n такD что вершинеD лежащей на грани n-1 отвечает i одна из вершин этой граниF Тогда для некоторого nEсимплекса триангуляции T верE шины поставлены в соответствие попарно различным вершинам симплексаF ДопустимD что не найдется симплекса из T D вершины которого окажутся поE ставленными в соответсвие попарно различным вершинам n F Тогда все вершины k каждого симплекса j лежат в одной @открытойA iEграниD где i nF Отображение вершин однозначно продолжается до линейного отображения симплекса в эту грань @смF RTAD причем отображения согласованы на общих гранях симплексовD так что возникает непрерывное @симплициальноеA отображение симплекса n на его крайF Ограничение этого отображения на крайD очевидноD гомотопно с помощью линейE ной гомотопии тождественному гомеоморфизмуF Эта гомотопия по лемме Борсука @в данном случае тривиальноA продолжается на симплексF В результате получаем ретракцию симплекса на крайF ИтакD лемма ШпернераD леммы типа теоремы ККМD теорема о неретрагируемости симплекса и вместе с ней теорема Брауэра о неподвижной точкеD теорема о нестягиE ваемости сферы ! все эквивалентны друг другуF Перейдем к теореме ХеллиF Мы выведем ееD следуя КрасносельскомуD из леммы PF Сначала очевидное утверждениеX Лемма 4. Аффинный образ m-мерного симплекса в пространстве размерности меньше m совпадает с образом границы симплекса. Рассмотрим данное отображение симплекса как ограничение линейного отобраE жения его несущей плоскости в пространство меньшей размерностиF Прообраз кажE дой точки есть плоскость положительной размерностиD и ее пересечение с симплекE сомD если не пустоD то пересекает границу симплексаF Теорема Хелли. Пусть в пространстве Rn даны выпуклые множества Vi , 0 i m, для которых каждый набор Vij из n + 1 множеств имеет непустое перессечение: Vij = .

Тогда пересечение всех множеств Vi не пусто. Пусть сначала число всех множеств m = n + 2F Возьмем по точке в каждом пересечении по n + 1 множеств Vi D пусть bi j Vij D где ij = iF Обозначим через выпуклую облочку этих точекF ! выпуклый многогранник и является образом линейного отображения q симплекса n+1 D причем bi = q (ai )D где

0j n

SI


ai , 0 i n + 1D ! вершины n+1 F Согласно лемме RD = i q (n )D где n ! грань i i противолежащая вершине ai F Пусть Si = q (n ), = i Si F i Множество Vi содержитD по условиюD все точки bij , ij = i @bij берется в пересечении всех множествD кроме Vij D и если ij = iD то в этом пересечении должно участвовать Vi AF ЗначитD Vi содержит Si ! выпуклую оболочку этих точекF n q -1 (Si )D и эти прообразы образуют покрытие n+1 @тFкF q (n+1 ) = = i q (n ) = i Si AD тFеF выполнены условия леммы PF По этой лемме пересечение мноE i i жеств q -1 (Si ) не пустоD но тогда не пусто и i Si D а значит и i Vi F В случаеD когда число множеств m n + 2D мы сначала получаем по доказанномуD что наборы из n + 2 множеств данной системы имеют непустые пересеченияF ЗатемD повторяя приведенное доказательство со сдвигом размерностиD получимD что непусты пересечения по n + 3 множествD и тFдF EaEaEaEaEaE
10. ОТОБРАЖЕНИЕ БОРСУКА

ТЕОРЕМА ЖОРДАНА БРАУЭРА. ИНВАРИАНТНОСТЬ ОБЛАСТИ

EaEaEaE

Свойство компакта разбивать Rn .
Мы не доказали еше две знаменитые теоремы Брауэра ! обобщение теоремы Жордана @сфера размерности n - 1 разбивает пространство Rn при любом вложеE нии в негоD и дополнение имеет две компонентыD общей границей которых служит образ вложенияA и теорему об инвариантности области @гомеоморфный образ отE крытого множества в Rn открытAF Мы докажем здесьD опираясь на теорему Борсука о гомотопиях отображений в сферу компактовD лежащих в Rn D половину теоремы Жордана ! БрауэраX тоD что гомеоморфный образ сферы разбивает пространство и является полной границей своих компонентF Мы наметим доказательство обратного утвержденияD котороеD однакоD требует понятия степениD к которому мы обратимся в следующей главеF Там мы докажем полное обобщение теоремы Жордана ! Брауэра ! инвариантность числа компонент дополнения для вложений данного компакта в Rn F Разбиение пространства Rn компактным подмножеством X . X замкнутоD значитD дополнение C X открыто и распадается на открытые линейно связные компонентыF X разбивает Rn D если имеется более одной компоненты дополE ненияF X не разбивает Rn D если дополнение связноF Во всех случаях имеется ровно одна неограниченная компонента @тFкF X ограниE ченноAF E граница каждой компоненты лежит в X Y E если ни одно замкнутое подмножество X D отличное от X D не разбивает Rn D то X служит полной границей каждой компоненты дополненияF Если граница некоторой компоненты U меньше X D то она разбивает Rn на U и дополнение к замыканию U F Этим свойствомD как увидим в следующем пунктеD обладает (n - 1)EсфераF Если никакое замкнутое собственное подмножество X не разбивает Rn D то и любое собственное подмножество X не разбивает Rn F Если A X разбивает Rn D то A всюду плотно в X D тFкF граница каждой комE поненты B дополнения к A ! замкнутое подмножество X D и она разбивала бы проE странство на внутренность B и дополнение к замыканию B F Предельная точка к AD не принадлежащая к AD является в таком случае предельной для каждой компоненты дополнения иD значитD принадлежит им всемD тFеF A не разбивает пространствоF SP


Замыкание открытого ограниченного подмножества U Rn компактно и наE зывается компактной областьюF E X разбивает пространствоD если и только если его дополнение имеет компактную компонентуF @Компактное подмножество в Rn имеет ровно одну некомпактную компоненту дополнения @неограниченнуюAF Остальные компонентыD если имеютсяD компактныFA
Усиление теоремы неретрагируемости.

E Не существует отображения g : Bn Rn D тождественного на границе шараD при котором образ шара не содержит некоторой точки x0 snt Bn F Композиция rg D где r : Rn \ x0 Sn ! радиальное отображениеD была бы ретракцией шара на его границуF E Компактная область не может быть ретрагирована на свою границуF Более тоE гоD не существует ретракции пространства на замыкание дополнения к компактной областиF ? Для шараD содержащего U D возникает ретракция на границуF E АналогичноX Если замыкание открытого подмножества U сферы Sn ретрагируE ется на границуD то это замыкание совпадает со всей сферой @тFеF U всюду плотноAF E Если X Rn @или X Sn A компактный e @напримерD гомеоморфный образ куба любой размерностиAD то дополнение связно @тFеF e не разбивает Rn @соотвF Sn AAF Имеется ретракция пространства на X D и если была бы компактная компонентаD то возникла бы ретракция пространства на замыкание дополнения к компактной областиF E Топологический образ сферы Sn-1 в Rn (или в Sn ) является полной границей каждой компоненты дополнения. Если граница A компоненты B не совпадает с образом сферыD она разбиваE ет пространство и лежит в топологическом образе шараF Тогда и этот образ шара разбивает пространствоF Но шар есть eF @Это утверждение обычно считают частью полной теоремы ЖорданаFA EaEaEaE

Отображение Борсука.
Пусть p Rn D отображение p : Rn \ p Sn-1 D определяется формулойX x
x-p |x-p|

F

Мы докажем теперь один общий фактD в котором устанавливаетсяD что свойство компакта в Rn разбивать пространство эквивалентно свойству его нестягиваемостиD тFеF свойствуD не связанному с вложением в Rn и топологически инвариантному ! если пространство не стягиваемоD то и любое гомеоморфное ему не стягиваемоF Тем самым будет инвариантным и свойство разбивать при любом вложении Rn F В частности топологический образ сферы Sn-1 в пространстве Rn разбивает это пространствоD так как стандартно расположенная сфера разбивает пространство на точки с радиусом меньше I и точки с радиусом больше IF Доказательство основано на рассмотрении введенного отображения Борсука ! радиальной проекции Rn \ p на сферу с центром в pF Нам понадобится следующая Лемма о продолжении отображения полиэдра в Sn на больший полиэдр. Пусть полиэдр P представлен объединением двух полиэдров: P = P1 P2 . Пусть дано отображение f : P1 Sn и пусть размерность P2 меньше n + 1. Существует продолжение F : P Sn отображения f . ВоEпервыхD продолжим отображение f на окрестность U подполиэдра P1 в P D пользуясь темD что сфера есть exF SQ


Рассмотрим для некоторой триангуляции K полиэдра P вершиныD не попавшие в U D и поставим в соответствие каждой из них произвольную точку сферыF Этим отображение F определено на 0Eмерном остове K F Рассуждая по индукцииD допустимD что F уже определено на всех (i-1)Eсимплексах полиэдра P1 , i nD и при этом кусочно линейноF Пусть iEсимплекс K D на котором отображение еще не определеноF Оно определено на границе этого симплексаF Если i - 1 < nD то это отображение гомотопно постоянномуD так как есть точки сферыD не покрытые образомD и тогда оно может быть продолжено на F EaEaEaE

Пусть X компактное подмножество Rn F X разбивает Rn Имеется существенное ( 0) отображение X в Sn-1 . ДоказательствоF Пусть точка p Rn принадлежит компактной компоненте V дополнения к X F Поместим начало в точку pD можно считатьD что X лежит внутри шара B радиуса 1F Пусть p |X : X Sn-1 гомотопно постоянному отображению (X ) = a0 Sn-1 D тогда по лемме о стакане p |X можно продолжить до отображения : Rn Sn-1 F @Применим эту лемму к обратной гомотопии от (X ) к p |X X при t = 0 все Rn отображается в a0 D при t = 1 возникает продолжение : Rn Sn-1 отображения p AF В частностиD имеется продолжение этого отображения на компактную компоненE ту V D содержащую pF Отображение p продолжает это продолжение вне X D тFеF возE никает отображение r : B S = B, r = на V и r = p вне V D отображения и p совпадают на pr V F При этом p |Sn-1 = 1|Sn-1 Y получается ретракция шара радиуса I на его границуD что невозможноF ИтакD если X разбивает пространствоD то отображение p |X существенноF ДопустимD X не разбивает Rn F Тогда имеется только одна компонента дополE ненияD неограниченнаяF Пусть дано отображение f : X Sn-1 F Построим продолжение f до отображения куба QD F : Q Sn-1 D где X sntQD Q \ X связноF IF Имеется продолжение f1 : U Sn-1 до отображения f1 на некоторую окрестE ность U QD так как Sn-1 есть exF PF Имеется ретракция r : Q P1 P2 D где P1 и P2 полиэдрыD причем X P1 U D а размерность P2 не больше n - 1F Берем мелкое решетчатое подразделение Q на nE кубики @как в тетради в клеточкуAD достаточно мелкоеD чтобы кубикиD пересекающие X D лежали в U F Так как Q \ X связноD для каждого кубикаD не пересекающего X D имеется цепочка кубиковD соединяющая его с границей такD что два соседних в цеE почке кубика имеют общую граньF Используя эти цепочкиD можноD последовательно ретрагируя очередные кубики на свои границы без одной граниD получить ретракцию Q на объединение nEкубиковD пересекающих X @полиэдр P1 A вместе с объединением некоторого числа n - 1EгранейD оставшихся после сжатия nEкубиков @полиэдр P2 AF QF Согласно предыдущей лемме имеющееся отображение f1 : P1 Sn-1 продолE жимо до отображения f2 : P1 P2 Sn-1 F Композиция f2 r есть отображение куба Q в сферу Sn-1 D продолжающее отобраE жение f : X Sn-1 F Но отображение куба в любое пространство гомотопно нулюD а вместе с тем гомотопно нулю ограничение этого отображения на любое подмножество QD в том числе на X F ИтакD если X Rn не разбивает Rn D то все отображения X в Sn-1 несущественныF
Теорема Борсука.

SR


Следствие теоремы Борсука: Теорема.

Доказательство X Тождественное отображение сферы S в себя существенноF @Это доказывает теорему Жордана E Брауэра в одну сторонуX сферический образ разбивает пространствоF Остается вопросX на сколько компонентcA E Теорема. Число компонент дополнения к гомеоморфному образу C сферы Sn-1 в Rn конечноF Рассмотрим компактную окрестность N (C ) в Rn D которая ретрагируется на C F Такая окрестность существуетD тFкF сфера ! exF Только конечное число компонент дополнения к C может пересекать дополнение к N X беря в Rn \ N по точке в каждой компоненте дополнения к C D мы получим множествоD предельная точка которого лежит в Rn \ N и не может принадлежать C D значитD должна лежать в одной из компонент дополненияD которыеD однакоD открытыF Но ни одна компонента дополнения не может лежать целиком в N D тFкF ретракция N на C дала бы ретракцию Rn на ее дополнение @смFвышеAF Число компонент равно двумD но доказательство требует дополнительной техники и дано в главе IPF EaEaEaE
n-1

Теорема Жордана - Брауэра в одну сторону. Топологический образ Sn-1 в Rn разбивает пространство Rn

.

Уточнение теоремы Борсука о радиальной проекции:
Теорема 1. Отображение

p

на

X Sn

существенно, если и только если

X. В одну сторону доказательство дано в доказательстве теоремы БорсукаF Пусть p принадлежит неограниченной компоненте дополненияF Пусть (t) путьD не пересеE кающий множества X и соединяющий точку p с удаленной точкой q F Отображения p |X и q |X гомотопны посредством H (x, t) = (t) |X (x)F Но q (X ) при достаточно удаленной точке q @отделенной от X (n - 1)EплоскостьюA занимает меньше половины поверхности сферы и поэтому гомотопен постоянному отображениюF Теорема 2. Точки p и q принадлежат одной компоненте Sn \ X тогда и только тогдаD когда отображения p |X и q |X гомотопныF Пусть (t) путьD соединяющий точки p и q и не пересекающий множества X F Гомотопия H (x, t) = (t) |X (x) дает требуемоеF Пусть p и q лежат в разных компонентахY однаD скажемD pD принадлежит комE пактной компоненте U F Отображение q определеноD в частностиD на замыкании U F По лемме о стаканеD если q |X и p |X гомотопныD то и p |X продолжается на U F ПриE нимая p за начало и считаяD что X лежит в шаре радиуса ID мы получимD как вышеD ретракцию единичного шара на граничную сферуD что невозможноF Попутно мы получили эквивалентность трех утвержденийX ПредложениеF Пусть X Rn компактное подмножествоD p ! точка в C X = Rn \ X и Up ! компонента C X D содержащая pF Следующие утверждения эквивалентныX p |X 0D p |X продолжается на Up D Up ! неограниченная компонентаF EaEaEaEaEaE p

принадлежит компактной компоненте дополнения к

SS


К теореме Жордана Брауэра
Мы сделаем здесь попытку сведения оставшейся части теоремы @число компоE нент не больше двухA к технике теоремы БорсукаF Обсуждение отложим до конца изложения этой попыткиF Напомним еще раз формулировкуX

Дополнение к топологическому образу (n - 1)-мерной сферы в пространстве Rn имеет две компоненты и является полной границы каждой из этих компонент.
Теорема Жордана Брауэра.

Выше уже доказано как следствие теоремы БорсукаD что топологический образ (n - 1)Eсферы разбивает Rn F Любое замкнутое подмножество (n - 1)EсферыD не совE падающее со сферойD лежит в ней в (n - 1)Eшаре и потомуD как и шарD не разбивает пространствоF Отсюда вытекаетD что сфера служит общей границей каждой дополE нительной области @смF начало этого разделаD стрF SPAF Осталось доказатьX

Дополнение в Rn к топологическому образу C сферы S может иметь более двух компонент связности.
Теорема.

n-1

не

Доказательство (?). Пусть Ui D 0 i k < D ! компоненты связности Rn \ S n-1 F @Мы знаемD что число компонент дополнения конечноF ВпрочемD это не будет испольE зоватьсяAF Пусть U1 ! неограниченная компонентаF Возьмем в каждом Ui , i = 1D по малому шару Bi D и пусть B1 ! замыкание дополнения к большому шаруD содержащему внутри себя C и все Ui , i = 1F Пусть Si = Bi F IF Так как сфера является exD в Rn имеется замкнутая окрестность N (C ) @тFеF замыкание окрестности C AD для которой существует ретракция r : N C D ее можно считать сколь угодно малым сдвигомD так что для заданного > 0 имеется линейная Eдеформация rt : N Rn , r0 = 1, r1 = r, и rt (x) = xD если x C при всех tF Возьмем > 0 столь малымD что rt (N ) не пересекает никакого Bi ни для какого tF Пусть K = prN F PF Имеется стандартная @радиальнаяA ретракция p0 : (Rn \ sntB0 ) S0 F N = Ni D 0 i k D где Ni = N Ui @C = i Ni AA и K = Ki D где Ki = K Ui F При этом Ki служит общей границей между Ni и Ui \ Ni в Ui F QF Отображение p0 |K1 : K1 S0 не гомотопно нулюD тFкF точка p0 лежит в комE пактной компоненте дополнения к K1 F RF Отображения p0 |Ki : Ki S0 , i > 1, гомотопны нулюD так как каждое Ki , i > 1D ограничивает компактную областьD лежащую вне B0 F SF Но для каждого i > 0 мы имеем гомотопию p0 rt |Ki : Ki S0 D в силу которой p0 |Ki = p0 r0 |Ki p0 |C r1 |Ki , i > 0 @r1 |Ki : Ki C, p0 |C : C S0 AF SaF Так как p0 |K1 не гомотопно нулюD отображение p0 |C r1 |K1 также не гомотопно нулюD и тогда оба отображения r1 |K1 : K1 C и p0 |C : C S0 не гомотопны нулюF SbF Но так как гомотопно нулю p0 |Ki , i > 1D иD значитD p0 r1 |Ki D а p0 |C не нульD получаетсяD что r1 |Ki : Ki C, i > 1D гомотопно нулюF ИтакD отображение r1 |K1 не гомотопноD а r1 |Ki для i > 1 гомотопно нулюF Но эти отображения определены независимо от p0 и мы можем поменять ролями K1 и Ki , i > 1D @добавив точку в бесконечности для U1 и выкинув одну точку из Ui AD не меняя отображения r1 F ЗначитD либо они оба гомотопны нулюD либо оба не гомотопныF Это противоречиеFFF Стоп3 Пункт 5b строго говоряD неверенF Вообще говоряD из тогоD что композиция двух отображений гомотопна нулюD не следуетD что одно из них гомотопно нулю @примеры привести нетрудно @3AAD в отличие от утверждения 5aF
ST


В нашем случае утверждение все же верноD но доказательство требует испольE зования дополнительной техникиD прежде всегоD понятия степени отображения ! целого числаD сопоставляемого отображениюD взятому с точностью до гомотопииD и удовлетворяющее правилуX степень композиции равна произведению составляющихF ОднакоD чтобы применить эту теорию здесьD нужно позаботитьсяD чтобы границы Ki были полиэдрами @что нетрудноA специального вида ! многообразиями @смFстрF ??AD что требует специальной техникиF В двумерном случае нетрудно превратить Ki в гомеоморфные образы окружноE стиD и тогда можно использовать более простую техникуD которая изложена здесь в третьей частиF Но в главе IP мы дадим изложение теории степени в ограниченном объеме @для отображений областей Rn A достаточном для завершения доказательства теоремы Жордана ! БрауэраD что и будет там сделаноF EaEaEaE

Теорема об инвариантности области
Это еще одна знаменитая теорема БрауэраF Теорема. Пусть U открытое подмножество Rn и h : U X гомеоморфное отображение U на подмножество X Rn . Тогда X открытое подмножество в Rn . Пусть a произвольная точка в U и Bn U шар с центром в aD = Bn D и C a a обозначает образ сферыX hSn-1 = C F a Пусть W ! компонента дополнения к C D содержащая точку p = h(a)D тогда W содержит целиком образ V = snt Bn D тFкF V связноF Если h(V ) совпадает с W D h(a) ! a внутренняя точка h(U )F Если нетD то имеется ретракция r : W \ p C = pr W F Тогда h-1 |C rh|Bn : Bn Sn-1 есть ретракция диска на его крайD что невозможноF a a a Это противоречие доказывает теоремуF Из этой теоремы снова вытекает негомеоморфность евклидовых пространств разE ных размерностейF В следующем разделе будет дано еще одно доказательство негомеоморфности евE клидовых пространств разных размерностейD но основной задачей будет ! ввести поE нятие размерности пространства @и показатьD что евклидовы пространстваD имеющие разную линейную размерностьD имеют также разную топологическую размерностьAF EaEaEaE
11. ХАРАКТЕРИЗАЦИЯ РАЗМЕРНОСТИ dim X ПО П.С. АЛЕКСАНДРОВУ

НЕРВ ПОКРЫТИЯ И

-СДВИГИ В ПОЛИЭДР. EaEaEaE

Нерв покрытия и -сдвиг компакта в полиэдр.
Две категории симплициальных комплексов. Геометрический комплекс можно описать абстрактно как множество @вершинAD в котором выделены конечные подмножества @симплексы A с единственным условиемD что подмножества выделенных подмножеств также выделены @что отвечает услоE вию замкнутости симплексовAF Множества с так выделенной системой подмножеств называются абстрактными комплексамиF Абстрактный комплексD отвечающий геоE метрическомуD называется его схемой.
SU


НаоборотD если дан абстрактный комплексD то можно разными способами построE ить геометрические комплексыD для которых он служит схемойF Они называются реализациями абстрактного комплексаF Геометрические комплексыD имеющие одинакоE вую схемуD называются изоморфными @это значитD что имеется взаимно однозначное соответствие междуих вершинамиD при котором симплексы отвечают симплексамAF Реализацию произвольного абстрактного комплекса проще всего построить такF Нужно взять в пространстве большой размерности столько точек в общем пололженииD сколько вершин в схемеD и для каждого выделенного подмножества @абстрактE ного симплекса схемыA построить геометрический симплекс с соответственными верE шинами @тFеF взять их выпуклую оболочкуAF Для двух комплексов K1 и K2 @все равноD геометрических или абстрактныхA симплициальным отображением K1 в K2 называется такое отображение множества верE шин K1 в множество вершин K2 D при котором симплексам K1 отвечают симплекE сы K2 F ЯсноD что этим определяются две категории геометрических и абстрактных комплексов с симплициальными отображениями в качестве морфизмов @определение композиции и проверка аксиом очевидныAF Пусть имеется локально конечное покрытие пространства X подмножествами A F ПFСF Александров сопоставил такому покрытию комплексD названный им нервом покрытияD который служит схемой пересечений элементов покрытияX каждому элеE менту отвечает вершина комплексаD и каждому непустому пересечению из k элеменE тов отвечает (k - 1)Eсимплекс комплекса с вершинамиD соответствующими элементамD в которых лежит это пересечениеF НапримерX Нульмерный компакт имеет сколь угодно мелкое покрытиеD нерв которого дисE кретен @состоит только из конечного числа вершинAF Симплекс есть нерв своего покрытия открытыми звездами вершинF

-сдвига компакта X Rn в полиэдр |K |. Пусть дано конечное покрытие X его открытыми подмножествами Ui , 1 i k F Если диаметры всех Ui меньше > 0D мы скажемD что дано EпокрытиеF Реализуем нерв покрытия в виде прямолинейного комплекса K D построенного рядом с X F ИменноD возьмем сначала в каждом множестве Ui точку vi F ЗатемD расширив Rn до пространства RN D где N большеD чем число k элементов покрытияD переведем точки vi малым сдвигом в точки vi в общем положении в RN @тFеF в вершины (k - 1)E симплексаAF Теперь воспользуемся разбиением единицы i D подчиненным покрытию Ui @смF стрFQPA для построения отображения f : X |K |F Точке x X отвечает набор неотE рицательных чисел i (x) с суммой IF Эти числа можно принять за барицентрические координаты точки y = f (x) в комплексе K F Эта точка будет лежать в точности в том симплексеD который отвечает набору элементов покрытияD содержащих xF Если Ui образуют EпокрытиеD расстояние между точками vi D для которых x Ui D не больше 2Y если и сдвиг vi в vi не превосходит D то диаметры симплексов K не больше 4D и тогда очевидноD расстояние между x и y не превосходит 6F Иными словамиD при стремлении к нулю построенный сдвиг компакта X в полиэдр |K | также стремится к нулюD и можно сказатьD что получаемые полиэдры приближаются к компакту или что компакт аппроксимируется полиэдрамиF EaEaE
Построение

Размерность dim. Теорема Александрова
Размерность аппроксимирующего полиэдра |K | на единицу меньше кратности покрытия Ui D тFеF максимального числа элементов покрытияD имеющих общую точкуF SV


С этим связано следующее фундаментальное определениеF @НапомнимX одно покрыE тие вписано в другоеD если каждый элемент первого лежит в некотором элементе второгоFA Размерностью dim X пространства X называется минимальное натуральное число n такоеD что в любое открытое покрытие {Ui } пространства можно вписать покрытие {Vj }D кратность которого не превосходит n + 1F Если такого числа не существует @могут быть покрытияD в которые нельзя вписать покрытие конечной кратностиD или для все более мелких покрытий кратность должE на расти неограниченноAD то пространство считается бесконечномернымF НапримерD гильбертов кирпич бесконечномерен. ЗаметимD что определение размерности напоминает определение компактности ! вместо конечности вписанного покрытия говорится о конечной кратностиF Но поняE тия эти независимыX некомпактные пространства могут быть конечномерными @смF дальше о размерности Rn AD а компактные бесконечномерными @напримерD гильбертов кирпичAF E Если X гомеоморфно Y D то dim X = dim Y D тFеF dim X ! топологический инвариантF @Кроме размерности dim имеется еще несколько определенийD которые не эквиE валентны друг другуX ind, snd и дрF Выше мы показалиD что dim a ind для нульмерE ных компактовF СмF книгу ВFГуревича и ГFВолмена Теория размерности @IWRVA или более современный учебник по общей топологииD напримерD ПFСF АлександровD БFАF ПасынковF Введение в теорию размерностиFA ИтакD если dimX nD то для любого > 0 Eсдвиг компакта X Rn в полиэдр |K | @линейнойA размерности nF @Сначала строится покрытие Eокрестностями точекD затем в него вписывается достаточно мелкое покрытие кратности не более n + 1D котороеD очевидноD в случае компакта окажется конечнымD и производится сдвиг в нерв этого покрытияFA Верно и обратноеX
Теорема АлександроваF Для компактного подмножества мерность dimX не превосходит

XR

n

раз-

n

тогда и только тогда, когда для всякого

>0

-сдвиг X в полиэдр |K |, линейная размерность которого не n. ДоказательствоF Осталось доказатьD что существование сколь угодно малых сдвигов в nEмерные полиэдры влечетD что dimX nF Пусть K ! комплексD триE ангулирующий nEмерный полиэдр P D симплексы которого имеют диаметры меньше /4D и f : X P ! /4EсдвигF Кратность покрытия полиэдра звездами вершин комE плекса K не больше n + 1F Рассмотрим покрытие X множествами Ui = f -1 (t vi )D где vi ! вершины K F Легко проверяетсяD что диаметры этих множеств не превосхоE дят D а кратность этого покрытия равна кратности покрытия P звездами вершин триангуляцииD тFеF не больше n + 1F Не обязательно требоватьD чтобы компакт X лежал в евклидовом пространствеF Вместо Eсдвига можно говорить об EотображенииX dimX n для всякого > 0 отображение X на полиэдрD при котором проE образы точек имеют диаметры меньше F EaEaE В качестве следствия докажем теперь топологическую инвариантность линейной размерностиF Строго говоряD мы сведем ее к теореме о неретрагируемости куба на его границу @глава WAF
имеется превосходит

SW


Rn Теорема. dim Rn = nF @ИначеX линейная размерность совпадает с топологическойD и евклидовы пространства разных линейных размерностей не гомеоморфныAF Возьмем две концентрические сферы S1 и S2 с центром O радиусов I и 1 + F ДопустимD что имеется Eсдвиг f шара B1 D ограниченного первой сферойD в полиэдр размерности n - 1 @образ лежит внутри второй сферыAF Отобразим линейно отE резок [x1 , x2 ] каждого радиуса между сферами Si в отрезок [f (x1 ), x2 ]F Мы получим продолжение f до непрерывного отображения шара B2 D ограниченного второй сфеE ройD в себяD при котором точки S2 неподвижныD и имеются точки B1 D не лежащие в образе @тFкF полиэдр размерности n - 1 нигде не плотен в Rn AF Пусть x0 ! такая точкаF Отобразим каждый полуинтервал (x0 , y ]D где y S2 D в точку y F Композиция этого отображения с предыдущим дает отображение шара B2 на его границуD при котором точки границы неподвижныF Это невозможно по теореме о неретрагируемости шара на границуF С другой стороны имеются сколь угодно мелкие покрытия Rn кратности n + 1 @напримерD так называемая кирпичная кладкаD смFрисAF Отметим отличие этого доказательства негомеоморфности евклидовых пространств разной @линейнойA размерности от тогоD которое было дано в конце главы WD стрFRWAF Там непосредственно доказывалосьD что окрестности точек имеют разные гомотоE пические свойстваF Здесть доказываетсяD что пространства имеют разные значения введенного топологического инварианта dim X F EaEaEaEaEaE
Инвариантность размерности
12. КУСОЧНО ЛИНЕЙНАЯ ТОПОЛОГИЯ.

СТЕПЕНЬ ОТОБРАЖЕНИЯ И ТЕОРЕМА ЖОРДАНА БРАУЭРА

EaEaEaE

О выпуклых многогранниках
Выпуклый многогранник можно определить двумя двойственными способамиF I. Выпуклый многогранник в Rn это выпуклая оболочка конечного множества точекF I I. Выпуклый многогранник в Rn это пересечение конечного числа замкнутых полупространств в том случаеD когда это пересечение ограниченоF В число полупространств могут входить парыD ограниченные общей (n - 1)E плоскостьюD так что многогранник может лежать в плоскости в Rn размерности меньше n @k Eплоскость есть пересечение 2(n - k ) полупространствAF Ниже дается еще одно определениеF Выпуклый многогранник имеет вершины @они составляют минимальное мноE жество точекD выпуклой оболочкой которых он являетсяAF Его несущей плоскостью называется минимальная содержащая его плоскость @a аффинная оболочка его тоE чекAF Ее размерность называется @линейнойA размерностью dim M многогранника M F ЗаметимD что M компактF I I I. Выпуклый многогранник в пространстве Rn это образ симплекса при аффинном отображении в Rn другого линейного пространстваF E Определения I и I I I эквивалентны. Образ симплекса при аффинном отображении есть выпуклая оболочка образов его вершинF Пусть M ! выпуклая оболочка k точек vi в Rn F Возьмем в пространстве Rk-1 точки ui в общем положении и во взаимно однозначном соответствии с точками
TH


vi F Это соответствие автоматически продолжается до аффинного отображения Rk-1 в Rn F Выпуклая оболочка точек ui @симплексA отобразится при этом на выпуклую оболочку точек vi F Эквивалентность I I и I I I доказывается сложнееF E Несущая плоскость симплекса отображается на несущую плоскость многогранE никаF E Образ выпуклого многогранника при аффинном отображении есть выпуклый многогранникF E Выпуклая оболочка конечного числа выпуклых многогранников есть выпуклый многогранникF E Пересечение выпуклого многогранника M и плоскости P есть выпуклый многогранник (в смысле I и I I I). Доказательство. Рассмотрим сначала пересечение плоскости и симплексаF Если оно содержит пару различных точекD то они обе лежат на отрезкеD соединяющем две точки на границе симплексаF Поэтому это пересечение либо состоит из одной точкиD либо есть выпуклая оболочка пересечений плоскости с гранями симплексаF Но грани симплекса есть симплексы меньшей размерности и пересечения с ними по индукции являются выпуклыми многогранникамиD тFеF выпуклыми оболочками конечных множеств точекF Тогда и пересечение плоскости с данным симплексом есть выпуклая оболочка конечного множества точекD тFеF выпуклый многогранникF Пусть даны плоскость P и выпуклый многогранник M D пусть S его несущая плосE костьF Рассмотрим аффинное отображение некоторого линейного пространства V на S D при котором M оказывается образом симплекса T V F Прообраз пересечения P и S есть плоскость Q в V D пересечение которой с T отображается на пересечение M P F ИтакD это пересечение есть образ выпуклого многогранника при аффинном отображенииD тFеF выпуклый многогранникF E Пересечение выпуклого многогранника M с полупространством есть
выпуклый многогранник.

Пусть полупространство P+ ограничено (n - 1)Eплоскостью P F Достаточно расE смотреть случайD когда по обе стороны от P есть вершины M D не лежащие на P F Если M ! симплексD то он покрыт отрезкамиD соединяющими точки грани 1 D целиком лежащей в полупространствеD с точками грани 2 D не пересекающей P+ F ЗначитD M P+ есть выпуклая оболочка 1 и V P D тFеF двух многогранниковF Произвольный M мы снова рассматриваем как аффинный образ симплексаD приE чем можноD очевидноD считатьD что несущая плоскость M совпадает со всем проE странствомF В таком случае прообраз плоскости P есть плоскость коразмерности I и пересечение M P+ является образом пересечения симплекса с полупространствомD тFеF образом выпуклого многогранникаF Удобно назвать полномерным многогранникD размерность которого совпадает с размерностью объемлющего пространстваF Выпуклый многогранник является полE номерным в несущей плоскостиF ОчевидноD полномерный многогранник содержит симплекс максимальной размерE ности иD значитD внутренние точки в топологическом смыслеF Основное значение имеет Лемма. Если точка A не лежит в выпуклом многограннике M , то A и M лежат по разные стороны от некоторой (n - 1)-плоскости (разделены
плоскостью).

TI


@ТFкF M компактенD имеется ближайшая к A точка B M F ПлоскостьD перпендиE кулярная к отрезку [AB ] в его середине не пересекает M и разделяет A и M FA Опорной плоскостью многогранника в Rn называется (n - 1)Eмерная плоскостьD с которой многогранник имеет общие точки и при этом лежит по одну ее сторонуF Пересечения многогранника с его опорными плоскостями называются гранями иногогранникаD они также являются выпуклыми многогранниками разных разE мерностейF Для симплексов грани в новом смысле совпадаютD очевидноD с гранямиD определенными для них вышеF E Вершины каждой грани являются вершинами многогранникаF @Каждая грань является выпуклой оболочкой тех вершин многогранникаD котоE рые лежат на соответствующей опорной плоскостиF E Каждая грань выпуклого k -мерного многогранника M служит гранью его (k - 1)-грани. Можно считатьD что многогранник полномерный @k = nAF Если грань Q имеет разE мерность меньше n-1D то имеется вершина многогранникаD которая вместе с Q лежит в грани большей размерностиD чем у QX возьмем какуюEнибудь (n - 1)Eплоскость P D содержащую Q вместе с какойEнибудь вершиной v D не лежащей в несущей плоскости QF Если она опорнаяD то пересекает M по грани большей размерностиD чем размерE ность QF Если нетD то с обеих сторон от P имеются вершины M F P пересекает M по многограннику M размерности n - 1 и по индукции M имеет грань Q размерности n - 2D содержащую QF Будем теперь вращать P вокруг несущей плоскости грани Q в одну сторонуF Поскольку вершин конечное числоD имеется положениеD в котором по одну сторону от нее нет вершинD а к вершинам Q добавится еще хотя бы одна вершинаF Мы получим грань M большей размерности и через конечное число шагов получим требуемоеF Аналогичное рассуждение доказывает E Каждая вершина k Eмерного многогранника является вершиной некоторой его (k - 1)EграниF С другой стороныD каждая вершина является граньюX E Для каждой вершины v имеется опорная плоскостьD пересекающая многогранE ник только в v F @Достаточно рассмотреть полномерный многогранникF Возьмем n - 1Eгрань QD вершиной которой служит v и пусть P ! ее опорная плоскостьF По индукции в P имеется (n - 2)Eплоскость P D пересекающая Q только по вершине v F Повернем в Rn плоскость P вокруг P на достаточно малый уголF Она перейдет в плоскостьD пересекающую M только в v F E Из определения I вытекает I IF Можно считатьD что многогранник полномерныйD так как несущая плоскость разE мерности k является пересечением n - k @n - 1AEмерных плоскостей иD значитD 2(n - k ) замкнутых полупространствF E Полномерный выпуклый многогранник M есть пересечение полупространств, ограниченных несущими плоскостями его (n - 1)-мерных граней. @ЯсноD что сам многогранник M лежит в этом пересеченииF Если точка A не лежит в M D то соединим ее с внутренней точкой B отрезком I F Он пересекает границу M в точке C F Несущая плоскость каждой (n - 1)EграниD примыкающей к граниD содержащей C D отделяет A от M FA Пересечение двух многогранников в смысле I также является пересечением мноE гогранника с полупространствами иD значит @смFвышеAD выпуклым многогранникомF

TP


@Объединение выпуклых многогранников не являетсяD вообще говоряD выпуклым многогранникомD но является полиэдромAF
Теорема. Определения I и I I эквивалентны.

I I I проведено вышеF I I IX Пусть дано конечное множество полупространств Pi+ D ограниченных (n - 1)Eплоскостями Pi D пересечение M которых содержится в nEсимплексе T F Это пересечение может быть представлено как пересечение пересечений T Pi+ F Но кажE дое из этих пересеченийD как мы виделиD есть выпуклый многогранник в смысле первого определенияD иD значитD это же верно для M F E Пусть M1 Rk и M2 Rl ! выпуклые многогранникиF Прямое произведение M1 Ч M2 есть выпуклый многогранник в Rk+l F EaEaEaE

Комплексы многогранников и триангуляции
@ПрямолинейныйA полиэдр в Rn ! это конечное объединение выпуклых многоE гранниковF ПокажемD что это определение эквивалентно прежнемуX полиэдр ! подмножествоD являющееся телом некоторого комплексаF E Выпуклый многогранник триангулируем. Триангуляцию можно построE итьD не вводя новых вершинF @По индукцииA a Пусть дан полиэдр P Rn ! тело комплекса K F Проведем несущие плоскости всех симплексов K и расширим их до плоскостей размерности n - 1F Получившиеся (n - 1)Eплоскости разобьют пространство Rn на выпуклые многогранники @возможноD бесконечныеAF При этом два многогранника пересекаются только по общей граниF Данный полиэдр окажется разбит на выпуклые конечные многогранникиF Можно сказатьD что он оказывается телом комплекса выпуклых многогранниковX Комплексом выпуклых многогранников называется множество выпуклых мноE гогранниковD каждые два из которых пересекаются по общей грани @может бытьD пустойAF Многогранники комплекса называются также его клеткамиD а объединение клеток размерности не превосходящей k называется k Eостовом комплексаF E Комплекс выпуклых многогранников триангулируем. @ТFеF его тело совпадает с телом симплициального комплексаD каждый симплекс которого лежит в некотором из выпуклых многогранников данного комплексаFA Индукция по остовамF Остов размерности 0 триангулируемF Пусть уже триангуE лирован остов размерности k - 1F Возьмем произвольную клетку a размерности k F Ее граница состоит из симплексовD образующих симплициальный комплексF ВозьE мем внутри k Eклетки произвольную точку va F ПирамидыD имеющие вершиной va D а основанием симплексы границы aD очевидноD являются симплексамиD которые могут пересекаться только по общей грани и в объединении дают aF Эта операция провоE дится в каждой k Eклетке независимо от других и в результате дает триангуляцию k EостоваF На основе этой леммы легко доказать следующие утвержденияF E Объединение и пересечение конечного числа полиэдров есть полиэдрF Замыкание разности двух полиэдров есть полиэдрF @Иными словамиD конечные полиэдры в Rn образуют алгебру множествFA E Прямое произведение полиэдров есть полиэдрF Если даны две триангуляции одного полиэдраD то применение описанного выше построения с проведением несущих плоскостей и их расширения до (n - 1)Eплоскостей сразу ко всем симплексам обоих комплексов даст разбиение полиэдра на комплекс
TQ


многогранниковD каждый из которых будет лежать в одном симплексе каждой из данных триангуляцийF Подразделяя его до симплициального комплексаD мы полуE чим триангуляциюD которая подразделяет сразу обе данные триангуляцииF Таким образомD E Две триангуляции полиэдра имеют изоморфные подразделения. EaEaEaE

Изоморфизм комплексов и комбинаторная эквивалентность полиэдров
Комплексы K1 и K2 называются изоморфнымиD если имеется взаимно одноE значное соответствие между множествами вершин K1 и K2 такD что если некоторое подмножество множества вершин одного из них служит множеством вершин симE плексаD то соответствующие вершины другого также образуют множество вершин его симплексаF @ИначеX комплексы изоморфныD если имеется взаимно однозначное соответствие между их симплексамиD при котором грани симплекса в одном отвечает грань соотE ветствующего симплекса в другомFA У полиэдра размерности больше нуля имеется бесконечно много триангуляций @даже у отрезка3AF Поэтому естественно ввести еще одноD более грубоеD отношение эквивалентности между комплексамиF Два комплекса комбинаторно эквивалентныD если они имеют изоморфные подE разделенияF Две триангуляции того же полиэдра комбинаторно эквивалентны @смFвышеAF EaEaEaE

Отображения комплексов и полиэдров
Симплициальные отображения комплексовF Если дано взаимно однозначE ное соответствие вершин комплексовD порождающее их изоморфизмD то оно также порождает гомеоморфизм между их теламиD линейный на симплексахF Более общим образомX Симплициальным отображением комплекса K1 в K2 называется отображениеD при котором грань симплекса в K1 отображается в грань соответствующего симплекE са в K2 F @ИначеX отображениеD индуцированное отображением вершинD при котором каждое множество вершин симплекса в K1 отображается в множество вершин симE плекса в K2 FA @Размерности симплексов при симплициальном отображении не возрастаютFA Симплициальное отображение одного комплекса в другой порождает непрерывE ное отображение тела первого в тело второгоD линейное на каждом симплексеF

Кусочно линейным отображением полиэдра в полиэдр называется отображеE ниеD порожденное симплициальным отображением некоторой триангуляции первого в некоторую триангуляцию второгоF В частностиD кусочно-линейным гомеоморфизмом называется гомеоморфизмD явE ляющийся кусочно линейным отображениемF Такой гомеоморфизм порождается изоE морфизмом некоторых триангуляций комплексовF Выпуклые многогранники одной размерности кусочноEлинейно гомеоморфныF a Между множеством комплексов и множеством полиэдров нет взаимно одноE значного соответствия @комплекс однозначно определяет полиэдр ! свое телоD однако полиэдр имеет бесконечно много триангуляцийAF Такое соответствие имеется между множеством классов комбинаторно эквивалентных комплексов и множеством класE сов кусочно линейно гомеоморфных полиэдровF
TR

Кусочно линейные отображения полиэдров.


EaEaEaE

Rn НапомнимD что @nEмернымA аффинным пространством называется пространство An D для которого после выбора какойEлибо точки O An в качестве начала возникает взаимно однозначное сответствие между точками x An и векторами @обозначаемыE - ми OxA стандартного пространства Rn F При замене O на другую точку O1 соответE - - - - - ствие изменяется по правилу O1 x = Ox - OO1 F Не будем вдаваться в деталиD считая это понятие хорошо известным из курса высшей алгебрыF Аффинное пространствоD отвечающее стандартному евклидову пространству мы также будем обозначать Rn F Отображение L : Ak Al одного аффинного пространства в другое называется 1 аффинным отображениемD если оно становится линейным после выбора какойEлибо точки O в качестве начала в Ak и затем точки L(O) в качестве начальной в Al F 1 k -Репером в nEмерном аффинном пространствеD называется упорядоченный наE бор из k линейно независимых векторов с общим началомF Нам в основном будут нужны nEреперыD которые служат базисом nEмерного векторного пространстваD поE лученного взятием начала репера за начало пространстваF Мы будем называть их просто реперамиF Для любых двух реперов определена квадратная невырожденная матрицаD выражающая векторы одного репера в другом репереF Обратная матрица выражает векторы второго репера в первомF Ориентация аффинного пространства задается выбором репераF При этом два репера R0 и R1 задают ту же ориентациюD если выполнено любое из двух эквиваE лентных @как мы сейчас докажемA условийX I. Один репер можно перевести в другой такD что имеется путь D соединяющий начала реперовD и каждая точка (t) пути служит началом для репера Rt D векторы которого @vi (t)A непрерывно зависят от t @мы скажемD что дано непрерывное перемещение одного репера в другойAF I I. Определитель матрицыD выражающей векторы одного репера в другом репереD положителенF I I I При непрерывном перемещении репера матрицаD связывающая его с начальным репером меняется непрерывно @тFеF непрерывно меняются элементы матE рицыAD при этом меняется непрерывно и определительD которыйD следовательноD остаE ется положительным @тFкF ни для какого t не обращается в нульAF I I I Пусть определитель матрицыD выражающей векторы репера R1 в репере R0 положителенF Построим непрерывное перемещение R1 в R0 F Оно будет состоять из четырех последовательных перемещенийF Первое перемещение 1 совмещает началаX начало репера R1 равномерно движется по отрезкуD соединяющему началаD и при этом каждый вектор репера переносится параллельноF Пусть R1 переходит в репер R1 F ДалееD используем ортогонализацию Грама ! ШмидтаF Этот процесс состоит из нескольких операций @проектирований и растяжеE ний E сжатий векторовAD каждый из которых может быть осуществлен непрерывным изменением векторов без нарушения условия их независимостиF С помощью ортоE гонализации Грама ! Шмидта мы переведем R1 в ортонормированный репер R1 и R0 в R0 F Первую ортогонализацию возьмем за второе перемещение 2 D а в качестве четвертого перемещения возьмем перемещение обратное к ортогонализации R0 в R0 F Нам осталось провести непрерывное перемещение ортонормированного репера R1 в ортонормированный репер R0 F Мы будем вращать репер R1 D тFеF перемещать егоD сохраняя начало и ортонормиE
Ориентация в пространстве

TS


рованностьD так что векторы репера будут последовательно совмещаться с соответE ствующими по порядку векторами репера R0 F Пусть u1 и v1 ! первые векторы реперов R1 и R0 D соотвF Если они не совпадаE ютD возьмем определенную ими двумерную плоскость F @Если они взаимно обратныD возьмем любую содержащую их плоскостьFA Вращением в плоскости совместим вектор u1 с вектором v1 F Оставляя неподвижной ортогональную к (n - 2)Eмерную плоскостьD продолжим линейно это отображение на все Rn F Так как вращение есть непрерывная операцияD мы получим непрерывное перемещение репера R1 в ортоE нормированный реперD первый вектор которого совпадает с первым вектором репера R0 F На втором шаге возьмем ортогональную v1 двумерную плоскостьD содержащую вторые векторы репера R0 и репераD получившегося из R1 на предыдущем шагеD и проведем вращениеD совмещающее эти вторые векторыF Итерируем этот процессF В результате мы получим перемещение репера R1 в реE ~ пер RD первые n - 1 векторы которого совпадают с соответственными векторами репера R0 F Последние векторы двух реперов оба ортогональны остальным и они колE линеарныD тFеF последний вектор полученного репера либо совпадает с последним вектором репера R0 D либо противоположен емуF В первом случае мы получим эквиE валентность реперов R1 и R0 в смысле первого условияD что и требовалосьF Если же векторы противоположныD то определитель матрицы перехода от одного к другому -1D и взятые реперы не были эквивалентны в смысле второго условияF Пусть теперь в аффинном пространстве Ak дан k Eсимплекс k D тFеF даны k + 1 точек @a0 , a1 , . . . , ak A в общем положении ! вершины k F ДопустимD вершины k упорядоченыD и в качестве начала a0 выбрана первая из нихF Тогда векторы u1 = a1 - a0 , . . . , uk = ak - a0 образуют репер в Ak и определяют ориентацию Ak F Если Ak уже было ориентированоD и ориентацияD заданная симплексомD совпадает с имеющейсяD мы скажемD что симплекс k ориентирован положительноD в противном случае ! ориентирован отрицательно @относительно данной ориентации пространстваAF Пусть дано аффинное взаимно однозначное отображение f : Ak Ak и оба проE 1 странства ориентированыF Соответствующее линейное отображение @с произвольным началом в Ak A есть изоморфизмD и переводит k Eреперы в k EреперыF Если образ репера положительного в Ak переходит в репер положительный в Ak @или отрицательный 1 в отрицательныйAD то мы скажемD что отображение положительно ориентировано @или положительноAF В противном случае скажемD что отображение отрицательно ориентировано @или отрицательноAF СоответственноD если в Ak дан k EсимплексD положительно ориентированный поE рядком вершин a0 , a1 , . . . , ak D и образ его при аффинном изоморфизме h есть такE же положительно ориентированный @порядком h(a0 ), h(a1 ), . . . , h(ak )A k EсимплексD мы скажемD что отображение симплекса положительноD и что изоморфизм h сохраняет ориентацию @и обращает ориентациюD если образ положительно ориентированного симплекса ориентирован отрицательноAF Отображение симплекса можно рассматривать независимо от объемлющего проE странстваF Взаимно однозначное отображение ориентированного k Eсимплекса на ориE ентированный k Eсимплекс @линейное в барицентрических координатахAD считается положительным или отрицательнымD согласно с темD будет ли порядок вершин в образеD полученный из ориентирующего порядка в прообразеD задавать в образе ориE ентациюD совпадающую с даннойD или не будетF Скажем в первом случаеD что степень отображения симплекса на симплекс равE на +1D во втором -1F Если отображение не взаимно однозначноD то степень равна HF TT


EaEaEaE

Степень отображения.
Пусть даныX отображение f : U Rn D где U компактная связная область в R D компонента V открытого множества Rn \ f (pr U ) и точка y V F Фиксируем ориентацию в пространстве Rn F Мы определим здесь степень f в точках V D не зависящую от точки y V и обозначаемую deg(U, f , V ) или deg(U, f , y )D если нужно уточнить выбор точки y V D или для краткости deg(f , V )D если область U фиксированаD или даже просто deg f D есE ли все остальное известноF Степень выражает арифметическое @существенноеA число покрытий области V @или точки y A образом U F Мы введем это определение в два шагаF Сначала предположимD что f симплициE ально в некоторой триангуляции U @измельчающейся к границе U AD причем образы k EсимплексовD k < nD не содержат y D а образы nEсимплексов @иD следовательноD всех симплексовA не вырождаютсяF ОказываетсяD полученное целое число deg(U, f , y ) не зависит от выбора точки y в пределах одной компоненты V дополнения к f (pr U ) в Rn D иD как сказаноD мы можем обозначить его deg(f , V )D если U фиксированаF Затем для произвольного непрерывного отображения f : U Rn мы определим deg(f , V ) как deg(s, V )D где s достаточно близкая симплициальная аппроксимация к f @в некоторой своей триангуляции области U AF Оказывается это число не зависит от выбора достаточно мелкой триангуляции U и от выбора достаточно близкой к f симплициальной аппроксимации sF При этом мы воспользуемся существованием общего подразделения у двух триангуляций и сначала покажемD что степень отобраE жения одинаковаяD если одна триангуляция есть подразделение другойD а затемD что степень одинаковая для двух аппроксимаций f симплициальных в одной и той же триангуляции U F ЗначитD определение степени не зависит от выбора триангуляции для симплициальной аппроксимации отображенияF IA Пусть дано отображение s : U Rn D где s симплициально в некоторой трианE гуляции T = T (U )D измельчающейся к pr U D причем образы симплексов не вырождаE ютсяD и пусть точка y выбрана в s(U ) \ s(pr U ) такD что она не принадлежит образам симплексов размерности меньше nF @Имея в виду дальнейшееD допустимD не теряя общностиD что образы симплексовD содержащие y D не пересекают s(pr U )FA В силу наших условийD имеется только конечное число nEсимплексовD образы коE торых содержат y D причем s не вырожденно на каждом из нихF @Бесконечное число симплексов имело бы предельную точку на границе U D но y лежит на положительном расстоянии от образа границыFA Для каждого nEсимплекса T и для s( ) берется ориентацияD индуцированная заданной ориентацией Rn Y определим deg(, s, y ) как нульD если y s( )D как +1D / если y и s сохраняет ориентацию @s положительноA на D как -1D если y и s обращает ориентацию @s отрицательноA на F Определим deg(s, y ) как i deg(i , s, y )D где сумма распространена на все nE симплексы триангуляции T @число отличных от нуля слагаемых конечноAF ПокажемD что если y0 и y1 принадлежат одной компоненте V открытого множеE ства Rn \ s(pr U )D то deg(s, y0 ) = deg(s, y1 )F Так как V открыто @как компонента открытого подмножества Rn A и связноD оно линейно связноF Соединим точки y0 и y1 связной ломаной l V F ОчевидноD l переE секает только конечное число образов симплексов T F Приведем l @сохраняя обознаE чениеA в общее положение относительно этих образовF Тогда l не пересекает образы iEсимплексовD i < n - 1D и пересекает какойEлибо (n - 1)Eсимплекс s( n-1 ) @если пеE
n

TU


ресекаетA только в одной точкеD притом трансверсальноD тFеF переходя с одной его стороны на другуюF Симплекс n-1 T служит гранью ровно двух nEсимплексовD 1 и 2 F Фиксируем порядок вершин на n-1 T D а оставшиеся вершины считаем последними на 1 и 2 F Тогда 1 и 2 ориентированы противоположно @по отношению к ориентации Rn AF Перенесем выбранный порядок на образы симплексовF Если образы лежат по разные стороны от s( n-1 )D то эти образы также ориентированы противоположно и s одновременно сохраняет или обращает ориентацию 1 и 2 F Поэтому с обеих сторон s( n-1 ) в точках y l степень deg(s, 1 2 , y ) равна одновременно +1 или -1F Если s(1 ) и s(2 ) лежат с одной стороны от s( n-1 )D то s сохраняет ориентацию на одном и обращает ориентацию на другом nEсимплексеF Таким образом степень s|1 2 будет равна нулю в точках l с обеих сторон образа n-1 F Мы предположилиD что образы симплексов не вырождаются при отображении sD поэтому каждая точка l принадлежит не болееD чем одному образу (n - 1)Eмерного симплексаD иD значитD при перемещении точки y по l от y0 до y1 deg(s, y ) не меняетсяF Мы считалиD что точка y лежит в образах только nEсимплексовF Но в противном случае она лежит на границах nEсимплексовD в точках каждого из которых степень одна и та жеF Поэтому мы можем считатьD что и во всех точках V степень одна и та жеD тFеF постоянна на V F PA Теперь мы покажемD что два симплициальных отображения имеют ту же стеE пень в точке y V D если они достаточно близки к непрерывному отображению f F На самом деле мы покажемD что симплициальные отображения имеют одну степеньD есE ли они близкиD независимо от f F Отсюда будет также следоватьD что степень в точке сохраняется при @симплициальнойA гомотопии симплициальных отображений ! это следствие компактности отрезкаF ? Пусть даны два отображения U в Rn D s0 и s1 D симплициальных относительно триангуляций T0 и T1 соотвFD измельчающихся к границеF Кроме тогоD дана точка y вне образа границы U D и пусть V компонента дополнения к этому образуD содержащая y F ПримемD что отображения настолько близкиD что при линейной гомотопии st = ts1 + (1 - t)s0 между ними образ границы U остается на расстоянии большем d > 0 от y F Для триангуляций T0 и T1 имеется общее подразделение T D относительно которого оба отображения симплициальныF Если мы покажемD что отображения имеют в y равную степеньD когда одна триангуляция есть подразделение другой @скажемD T0 подразделение T1 AD то наше утверждение доказаноD тFкF каждая триангуляция T есть свое собственное подразделениеF Поэтому допустимD что T1 есть подразделение T0 F Линейная гомотопия между s0 и s1 есть отображение s : U Ч [0, 1] Rn D совпаE ? ? дающее на U Ч 0 с s0 D на U Ч 1 с s1 и линейное на отрезках x Ч [0, 1]D для x U F Мы сохраняем триангуляцию T0 на U Ч 0 и T1 на U Ч 1F Несколько изменим это отображениеD чтобы сделать его симплициальнымF ПоE строим триангуляцию T на U Ч [0, 1]D взяв сначала барицентр x для каждого T0 и последовательно применяя коническую конструкцию с вершиной a = x Ч 1/2 над границей призмы Ч [0, 1] в порядке возрастания размерности симплексовF Принимая середину отрезка s0 (x Ч [0, 1]) в качестве образа a и беря линейное распространение на симплексыD подразделяющие призму x Ч [0, 1]D мы получим нужное отображение ? G : U Rn D симплициальное на U Ч [0, 1] и совпадающее с s0 и s1 на U Ч 0 и U Ч 1F Сместив как угодно мало образы точек a D мы добьемсяD чтобы G отображало симплексы размерности меньше n + 1 без вырожденияF Кроме тогоD можно считатьD TV


что образы симплексов размерностей меньше n не содержат y D а симплексыD содерE жащие y D не пересекают G(pr U )F Пусть теперь n+1 один из n + 1Eсимплексов триангуляции T D для которого y G( n+1 )F G|n+1 совпадает с ограничением линейного отображения (n + 1)Eмерного пространства в nEмерноеD прообраз y есть прямая в этом пространствеD и прообраз y в n+1 есть отрезокD соединяющий две точки на двух nEмерных гранях n+1 F Таким образомD G-1 y есть ломанаяD возможноD не связнаяD состоящая из таких отрезковF ВозможноD некоторые компоненты ломаной замкнутыD они должны лежать внутри U Ч [0, 1] и нас не интересуютF Другие компоненты с двумя концами либо IF имеют оба конца на U Ч 0D либо PF оба конца на U Ч 1D либо QF один конец на U Ч 0D другой на U Ч 1F Каждая компонента прообраза y проходит через последовательность чередующихся nE и (n + 1)Eмерных симплексов триангуляции T F Мы предполагаемD что фиксирована ориентация @связнойA области U D индуцироE ванная из ориентации Rn D и она положительно согласована с ориентацией пространE ства Rn+1 = Rn ЧRD содержащего U Ч[0, 1]X ориентирующий (n+1)Eрепер пространства получается из ориентирующего репера U Ч 0 добавлением вектораD направленного от U Ч 0 к U Ч 1 @тFеF внутрь U Ч [0, 1]AD в качестве последнего в репереF В U Ч 1 тогда ориентация будет положительнойD если для получения ориентируюE щего репера в Rn+1 реперD ориентирующий U Ч 1D нужно дополнять в конце векторомD направленным наружуD из U Ч [0, 1]F В первом случае для связной ломаной l G-1 y возьмем в симплексе n T0 D содержащем один конец lD порядок вершин положительный относительно выбранной ориентации U D и пустьD скажемD deg(s0 , n , y ) = +1F Распространим этот порядок на все nEсимплексы в цепочке симплексовD пересекающих lF Это задаст положительный порядок вершин в очередном симплексе n+1 D гранью которого является предыдуE щий n D если дополнительную его вершину мы возьмем последнейD сохранив поряE док вершин грани n F Все (n + 1)Eсимплексы в цепочкеD через которую проходит lD будут иметь положительную ориентациюF В таком случае последний nEсимплекс n в этой цепочкеD лежащий на U Ч 0D будет отрицательно ориентирован относительно выбранной ориентации U Ч 0 @вектор репераD добавленный к реперу в n в качестве n для каждого nEсимплекса последнегоD смотрит наружуAF Степень отображения G|i в этой цепочке одна и та жеD если ориентировать их согласно с выбранным порядE комF Но для последнего симплекса n эта ориентация противоположна ориентации U D и поэтому степень ограничения G|U Ч0 = s0 на n противоположна степени G|n D n так как мы должны взять ориентацию D индуцированную ориентацией U F ЗначитD deg(s0 , , y ) = -1F n СледовательноD deg(s0 , n , y ) + deg(s0 , n , y ) = 0 = i deg(i , s0 , y )D где сумма расE пространена на те nEсимплексыD образы которых содержат y и при этом построенные для них связные цепочки nE и (n + 1)Eсимплексов заканчиваются на U Ч 0F Аналогичное верно и в случае P @когда оба конца ломаной лежат на U Ч 1AF n n ЗначитD deg(U, s0 , y ) = i deg(i , s0 , y ) и deg(U, s1 , y ) = i deg(i , s1 , y )D где обе суммы распространены на те nEсимплексыD образы которых содержат y и при этом построенные для них связные цепочки nE и (n + 1)Eсимплексов заканчиваются на противоположной стороне призведенияF n Но для каждой такой цепочкиD один конец которой 0 лежит на U Ч 0D а другой n n n 1 ! на U Ч 1D степени deg(0 , s0 , y ) и deg(1 , s1 , y ) равныF ДействительноD как и вышеD порядок вершин n U Ч 0 переносится в порядок вершин n U Ч 1 и оба отображаются на симплексD содержащий y D такD что вершины TW


с одним номером отображаются в ту же вершинуF Если репер Rn симплекса n T0 положителен относительно ориентации U Ч 0D то репер Rn+1 D дополняющий Rn последним векторомD направленным внутрь U Ч [0, 1]D будет ориентирующим в Rn+1 F ПеренесенныйD как в предыдущем случаеD вдоль цепочки симплексовD он перейдет в реперD последний вектор которого смотрит наружуD значитD репер перенесенного симплекса n будет ориентирующим на U Ч 1D иD значитD s0 |n и s1 |n одновременно положительны или отрицательныD тFеF deg(s1 , , y ) = deg(s0 , n , y )F В результате deg(U, s0 , y ) = deg(U, s1 , y )F QA ИтакD мы определили степень отображения в точке y D deg(U, f , y )D показав поE путноD что для симплициальных отображений степень не зависит от точки и не меняE ется при симплициальной гомотопииF ЭтогоD однакоD не достаточноD чтобы вывести аналогичные свойства для определенной нами степени неперывного отображенияD тFкF нужно еще установитьD что симплициальная аппроксимацияD выбранная для одE ной точки y D будет годна для другойF EaEaEaE

Свойства степени.
IA Независимость от точки. Степень deg(f , U, y ) постоянна для точек y , принадлежащих одной компоненте дополнения к f (pr U )F Мы уже показали это для отображения g симплициального в триангуляции изE мельчающейся к границе U F Для непрерывного отображения f : U Rn D по определениюD deg(f , U, y ) = deg(s, U, y )D где s ! любая дотаточно близкая симплициальная аппроксимация к f F Для двух аппроксимаций s0 и s1 D мыD переходя к подразделениямD можем найти триE ангуляциюD в которой оба отображения s0 и s1 симплициальныF Возьмем произвольную точку y0 V и малый шар B1 V с центром в y0 F Пусть y1 другая точка этого шара и B0 B1 ! концентрический шарD не содержащий y1 F Пусть еще B2 V шарD содержащий B1 с тем же центром y0 D он также лежит на положительном расстоянии от f (pr U )F Положим Z0 = f -1 (B0 ) Z1 = f -1 (B1 ) Z2 = f -1 B2 D Z2 лежит на положительE ном расстоянии от pr U F Пусть s0 ! симплициальная аппроксимация f D для которой deg(U, s0 , y0 ) = deg(U, f , y0 )D и s1 ! симплициальная аппроксимацияD для которой deg(U, s1 , y1 ) = deg(U, f , s1 )F Если мы покажемD что deg(U, s0 , y0 ) = deg(U, s1 , y1 )D то этим будет показаноD что deg(U, f , y ) ! локально постоянная функция от y @тFкF точка y1 бралась произвольно в шаре B1 AF Так как V связное открытое множествоD отсюда следуетD что deg(U, f , y ) постоянно в V по y F Переходя к подразделениямD мы можем считатьD что s0 и s1 симплициальны на одной и той же триангуляции T для U D измельчающейся к границе U F При этомD беря аппроксимации достаточно близкими к f и затем беря достаточно мелкое подE разделение T D мы получимD что в точках x Z2 отрезки [s0 (x), s1 (x)] лежат в V @не пересекают f (pr U )AF Пусть ! функция УрысонаD равная 0 вне Z1 D 1 на Z0 D и 0 (x) 1F Построим @линейнуюA гомотопию st отображения s1 F Сначала для каждой верE ~ шины v триангуляции T положимX st (v ) = t(v )s0 (v ) + (1 - t(v ))s1 (v )F ~ Для каждого t продолжим это отображение на симплексыD используя бариценE трические координаты в T F Отображение s1 симплициально на T и s1 = s0 для ~ ~

UH


симплексовD лежащих в Z0 D s1 = s1 для симплексовD лежащих вне Z2 F Отсюда слеE ~ дуетD что deg(U, s1 , y ) = deg(U, s1 , y ) для точек y вне B2 D иD значитD deg(U, s1 , V ) = ~ ~ deg(U, s1 , V )D иD аналогичноD deg(U, s1 , y ) = deg(U, s0 , y ) для точек y B0 D значитD ~ deg(U, s1 , V ) = deg(U, s0 , V )F ~ В частностиD мы получаем требуемое равенствоX deg(U, s0 , y0 ) = deg(U, s1 , y1 )D что доказывает локальное постоянство deg(f , y ) и заканчиает определение deg(U, f , V ) как deg(U, f , y ) для любой точки y V F PA Гомотопическая инвариантность. Для y f (Fr U ) имеется такое > 0, / что если расстояние f : U Rn от f меньше , то deg(f , U, y ) = deg(f , U, y ). Мы видели при определении степени в точкеD что если два симплициальных отобE ражения близки настолькоD что при линейной гомотопии между ними образ граниE цы U остается на положительном расстоянии от точки y D то их степени в y равныF ЯсноD что если при линейной гомотопии между f и f образ границы остается на положительном расстоянии от y D то это верно и для их близких симплициальных аппроксимацийF В силу компактности отрезка из доказанного утверждения вытекает гомотопичеE ская инваиантность степениX QA Формула композицииF ? ? Пусть даны две компактные @связныеA области U и V в Rn D f : U Rn и g : V n R ! непрерывные отображенияD и пусть дана точка y g (V ) \ (g (pr V ) g f (pr U ))F Положим Vi ! компоненты связности V \ f (pr U )F
Теорема композиции.

deg(U, g f , y ) =
i

deg(U, f , Vi ) deg(Vi , g , y ).
-1

@Число ненулевых слагаемых конечноD тFкF g

y компактноFA

Вначале покажемD что доказательство сводится к случаюD когда данные отобE ражения симплициальныF ? ? КонкретнееD допустимD что имеются отображения t : U Rn и s : V Rn D симE плициальные на U и V в триангуляциях T и S D измельчающихся к границамD причем t линейно отображает каждый симплекс T @невырожденноA в некоторый симплекс S F СчитаемD что точка y s(V ) \ (s(pr V ) st(pr U )) не лежит в s( k ) ни для каE кого k Eсимплекса при k < nD и пусть ! nEсимплексD содержащий y и лежащий в пересечении всех образов nEсимплексов m S D содержащих y , 1 m pF Пусть m , T D y st()D тогда
t s

deg( , st| , y ) = deg( , st| , ) = = deg( , t| , m ) deg(m , s|m , ) = deg( , t| , m ) deg(m , s|m , y )
@st не обращает ориентациюD если t и s одновременно обращают ориентацию или не обращаютD и наоборотAF По определениюD deg(V , s, y ) = m deg(m , s, y ) = m deg(m , s, ) @каждое слагаE емое это +1D в зависимости от тогоD обращает s ориентацию на m или нетAF Если ml T ! все nEсимплексыD которые t отображает @линейно и невырожденE ноA в m , 1 l r(m)D то deg(U, t, m ) = deg(ml , t, m ) и
1lr(m)

deg(U, st, y ) =
ml

deg(ml , st, y ) =
ml

(deg(ml , t, m ) deg(m , s, )).

UI


Разделим теперь слагаемые в этой сумме на группыD относящиеся к компонентам Vi ( i Vi = t(U ) \ t(pr U ))F Пусть число компонент pF Переобозначим соответственно симплексы m как ij Vi , 1 j q (i) и симплексы ml как ij k , (t(ij k ) ij ), 1 k r(i, j )F Тогда

deg(U, st, y ) =
1ip
1j q (i) 1kr (i,j )

(deg(ij k , t, ij ) deg(ij , s, y )). deg(ij k , t, ij ) = deg(U, t, ij ) = deg(U, t, Vi ) ! одна и
i

Но ввиду связности Vi сумма По определениюD ствоX

k

та же для ij Vi D и мы можем вынести ее за скобкуX
j

deg(U, t, Vi ) j deg(ij , s, y ) F deg(ij , s, y ) = deg(Vi , t, y )D и мы получаем требуемое равенE deg(U, t, Vi ) deg(Vi , s, y ).
i

deg(U, st, y ) =

Если мы можем для данных неперывных отображений f , g найти симплициальE ные аппроксимации s, t с допущенными выше свойствамиD степени которых совпадаE ют со степенями f , g D то теорема доказанаF Для q такая аппроксимация существует по определению степени для непрерывных отображенийF Но для f мы должны брать свою аппроксимацию для каждой области Vi F Поэтому придется провести следующее уточняющее построениеF ?? Обозначим компактное множество g -1 (y ) (f (U ) V ) через Y F Оно лежит в Vi и покрыто конечным числом этих областейD пусть Y
1ip

Vi F Остальные области нас

i

не интересуютD и мы считаем дальшеD что i pF Положим Yi = Y Vi и Zi = f -1 (Yi )F ? Zi компактны в U и не пересекаютсяF Пусть Ui окрестность Zi D Ui Ui U D причем ? ? Ui Uj = D если i = j F ? Пусть ti : U Rn симплициальнo в некоторой триангуляции Ti D измельчающейся к границе U D и служит аппроксимацией f на Ui @f = t на pr U AD s ! аппроксимация g D симплициальная в триангуляции S D измельчающейся к границе V F Аппроксимации ti и s выбираются согласно определению степениD так что

deg(Ui , f , Vi )(= deg(U, f , Vi )) = deg(Ui , ti , Vi )(= deg(U, ti , Vi )); deg(V , g , y ) = deg(V , s, y )
Имеется триангуляция T области U D служащая общим подразделением триангуляций Ti D все отображения ti @автоматическиA симплициальны относительно T F Переходя к подразделениюD мы можем допуститьD что каждый полиэдр Pi D состоE ящий из @замкнутыхA симплексов T D пересекающих Zi D лежит в Ui @тFеF S tT (Zi ) Ui AF Если достаточно малы симплексы S D то S tS (Yi ) Vi и s-1 (y ) Vi лежит в S tS (Yi )F Снова переходя к подразделениямD мы можем считатьD что ti отображают симE плексы T линейно в симплексы S F @Для симплексов T и S возьмем t-1 (t( ) )F Это выпуклый многогранникD и эти многогранники образуют комплекс многогранников в U F Конической конструкцией этот комплекс превращается в триE ангуляциюD которую мы продолжаем обозначать T D и симплексы этой триангуляцции отображаются линейно в симплексы S FA Переходя еще раз к подразделениямD мы получим триангуляциюD симплексы коE торой всеми ti линейно отображаются в симплексы S D эту триангуляцию продолжаем обозначать T F UP


ЯсноD что st является симплициальной аппроксимацией отображения g f D приE чем образ границы U для каждой из этих композиций находится на положительE ном расстоянии от y F ЗначитD deg(U, g f , y ) = deg(U, st, y )F Но по доказанному для симплициальных отображений deg(U, st, y ) = i deg(U, t, Vi ) deg(Vi , s, y )F С другой стороны deg(U, t, Vi ) = deg(U, t, ij ) = deg(U, t, yij ) = deg(U, f , yij ) = deg(U, f , Vi ) и deg(Vi , s, y ) = deg(Vi , g , y )F Отсюда следует требуемое равенство

deg(U, st, y ) =
i

deg(U, f , Vi ) deg(Vi , g , y ).

j

deg(ij , g |ij , y ) = deg(Gi , g |Gi , y )D получаем deg(U, g |Gi f , y ) = deg(U, f , Gi ) deg(Gi , g |Gi , y ).

НаконецD так как i deg(U, g |Gi f ,y ) = deg(U, g f , y ), i deg U, f , y = deg(U, f , V )D i deg(Gi , g |Gi , y ) = deg(V , g , y )D окончательно имеемX

deg(U, f g , y ) = deg(U, f , V ) deg(V , g , y ).
EaEaEaE

Доказательство теоремы Жордана Брауэра
Теперь мы можем завершить доказательство теоремы Жордана ! Брауэра и устаE новитьD что число компонент дополнения к топологическому образу (n - 1)Eсферы в пространстве Rn не больше двухF На самом деле в доказательстве ниже сразу докаE зываетсяD что число компонент равно двумF Теорема. Если C Rn гомеоморфно (n - 1)-мерной сфере, то число компонент дополнения равно двум. Пусть даны в Rn стандартная (n-1)Eсфера @скажемD единичная сфера с центром в началеAD которую будем обозначать S D и гомеоморфизм h : S C Rn F Пусть k : C S ! обратный гомеморфизмF Отображение замкнутого подмножества A Rn в Rn D как мы знаем @смFстрFQHAD может быть продолжено до отображения Rn в Rn F Нам нужны продолжения h и k до непрерывных отображенийX H : Rn Rn , H |S = h и K : Rn Rn , K |C = k F Мы можем потребоватьD чтобы далекие точки переходили в далекиеF НапримерD данное ~ ~ продолжение h гомеоморфизма h можно заменить на H (x) = q (x)h(x)D где q (x) = ~ (x) понимается радиус вектор 1 + d(x)D d(x) !расстояние от точки x до C @здесь под h точкиAF Аналогично для k F В случаеD когда ?бесконечность переходит в бесконечность? @тFеF дополнение к большому шаруD содержащему C и S D переходит в дополнение к такому же больE шому шаруAD мы можем пользоваться развитой техникойD не обращая внимание на некомпактность неограниченных компонент дополнения к C и S F Мы знаемD что для C число компонент дополнения конечноD а для S оно равно двумF Пусть D1 и D2 ! две компоненты Rn \ S D Gi ! компоненты Rn \ C F Выберем точки yi Di , zj Gj F По формуле композиции

deg(Di , K H, y ) =
j

deg(Di , H, Gj ) deg(Gj , K, yi ).

UQ


Но так как на границе K H совпадает с тождествомX (K H )|C = 1C D deg(Di , K H, y ) = deg(Di , 1C , y ) = 1F С другой стороны deg(Gj , K, yi ) = deg(Gj , K, Di )D так что 1 = j deg(Di , H , Gj ) deg(Gj , K, Di ) и в результате число компонент Di есть

2=
i j

deg(Di , H, Gj ) deg(Gj , K, Di ).

Но ту же сумму справаD с точностью до перестановок сомножителейD мы получим и для гомеоморфизма H K D что даст нам число компонент Gj D котороеD таким образом равно двумF Это доказательство взято из книги qerld eshl ?opis in el nd puntionl enlysis?D где доказан существенно более общий результатX число комE понент дополнения к компакту в Rn инвариантноF @Как ни располагай восьмерку на плоскостиD число компонент триFA Доказательство немного сложнее приведенного частного случая и может послужить хорошей задачей
Замечание.

EaEaEaEaEaEaEaEaEaEaEaEaE EaEaEaEaEaEaE

UR


ЧАСТЬ 3. ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ГРУППА

И ПОВЕРХНОСТИ

EaEaEaEaEaE
13. СТЕПЕНЬ ОТОБРАЖЕНИЯ ОКРУЖНОСТИ В ОКРУЖНОСТЬ ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА АЛГЕБРЫ. ВРАЩЕНИЕ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ

EaEaEaE

Отображения окружности в окружность.
Окружность S1 есть сфера размерности ID и из предыдущих результатов мы моE жем сделать некоторые заключения о ее топологических и гомотопических свойE ствахF Прежде всего окружность принадлежит классу exF Поэтому отображения в S1 замкнутого подмножества AD напримерD компакта X продолжаемы на окрестE ность A в X F Гомеоморфный образ окружности на плоскости разбивает плоскость на две компоненты и служит их общей границейF НаконецD отображения окружности в себя могут быть негомотопными нулю ! прежде всегоD 1S1 0D тFеF окружность не стягиваемаF ОказываетсяD рассмотрение отображений Sn в себя для любого n может быть проведено с точки зрения теории гомотопий со всей полнотойF ИменноD множество [Sn , Sn ] гомотопических классов отображений сферы в себя @любой размерности n > 0A может быть поставлено во взаимно однозначное соответствие с кольцом целых чисел ZD причем в [Sn , Sn ] вводятся две естественные операцииD которые при этом соответствии переходят в арифметические операции сложения и умноженияF Целое числоD отвечающее гомотопическому классу отображенийD называется степенью всех отображений этого классаF Для окружности доказательство проще и имеет свои достоинстваF Мы в этих лекциях остановимся только на этом случаеF Общий случай рассматривается в курсе дифференциальной геометрии в рамках совсем иной техникиF Для тогоD чтобы описать для окружности S1 это соответствиеD удобно представить себе ee единичной окружностью в плоскости комплексных чиселD тFеF как множество чисел z = x + iy с условием x2 + y 2 = 1F Это множество параметризуется вещественным параметром @аргументом чисE лаA с помощью тригонометрической формы числа X z = cos + i sin F Аргумент представляет угол наклона вектора z к оси абсциссD но эта параметризация неодE нозначнаD и для нас важно уточнить соответствие z F Мы имеем отображениеD e : R S1 , e() = zD которое периодично ! с периодом 2 D если есть радианная мера углаF Это значитD что вектор z параметризуется бесконечно многими значениE ями параметра D отстоящими друг от друга на расстояниях кратных 2 F ОднакоD если мы возьмем на прямой R интервал длиной меньше 2 D то он отобразится не только взаимно однозначноD но даже гомеоморфно @на самом деле изометричноD с сохранением длинAF Более тогоD если мы возьмем на S1 интервал @дугуA l = [, ] @для однозначностиX двигаясь от к против часовой стрелкиAD то полный прообраз l распадется в счетное число интервалов ~i D получающихся друг из друга сдвигами l на кратные 2 D причем каждый ~i отображается гомеоморфно на lF l Функцию e() представляют как комплексную показательную функцию ei со свойством e(1 +2 )i = e1 i e2 i X умножению комплексных чисел отвечает сумма их аргументов @и произведение модулейD но модули у нас единичныеAF

US


Если теперь для некоторого пространства X нам даны два отображения fj : X S1 , j = 1, 2D то мы можем определить произведение этих отображений: f (x) = f1 (x)f2 (x) @умножение комплексных чиселAD f снова будет отображением X в S1 D причем порядок несущественD так как f1 (x)f2 (x) = f2 (x)f1 (x)F Мы полуE чаемD в частностиD операцию во множестве отображений окружности в окружностьF Кроме тогоD в этом множестве имеется еще одна операция ! операция композиции X g = f1 f2 : g (x) = f1 (f2 (x)) @эта операция зависит от порядкаAF Теперь перейдем к формулировке результатаX Теорема. Имеется взаимно однозначное отображение d : [S1 , S1 ] Z множества гомотопических классов отображений окружности в себя в кольцо целых чисел, при котором для любых двух

d([f1 f2 ]) = d([f1 ]) + d([f2 ]) отображений fj : S1 S1 , j = 1, 2

и

d([f1 f2 ]) = d([f1 ])d([f2 ])

(в частности, обе опера-

ции на классах коммутативны.)

Пусть дано отображение f : S1 S1 F Попробуем его прологарифмироватьD тFеF ~ представить в виде композиции отображения f : S1 R и канонического отображеE ~ ния e : R S1 F Иначе говоряD представить в виде f (x) = ef (x) i F Мы воспользуемся описанными выше свойствами отображения eF Нам удобно представить f как отображение f : S1 S1 одного экземпляра окружE ности в другойF Кроме тогоD удобно считатьD что все наши отображения окружности в окружность будут переводить точку @комплексная единица в S1 ) в 1 S1 D в 1 частностиD f ( = 1F 1) В силу равномерной непрерывности f D можно разбить S1 на некоторое число N и aN +1 = D такD что f (lj ) лежит в равных отрезков @дугA lj = [aj , aj +1 ]D где a1 = 1 1 дугеD которая меньше полуокружностиF В таком случае образ любой дуги l длиной @в радианахA 2 будет лежать в дуге D прообраз которой при отображении e распаE N дается в счетную систему интервалов чk в RD которые гомеоморфно отображаются на и получаются друг из друга сдвигами кратными 2 F ~ Теперь будем поднимать отображение f D тFеF строить f : S1 RD последовательE но переходя от интервала lj к lj +1 F Начало положено условием f ( = 1F Отобразим 1) ~ ~ 1) l1 в R как композицию f (x) = e-1 f (x)D считаяD что f ( = 0 и воспользовавшись темD что диаметр f (l1 ) достаточно мал и лежит в интервале l S1 D прообраз которого e-1 l ~ распадается в бесконечную дизъюнктную серию интервалов lj D каждый из которых отображается на l гомеоморфно и каждый содержит гомеоморфный образ f (l1 )F ЕстеE ~ ственноD берется прообразD содержащий H и лежащий в l~ X f (x) = e-1 f (x) l~ , x l1 F 1 1 ~ Далее действуем по индукцииF СчитаемD что отображение f уже построено на объединении первых i отрезков lj F В таком случае точка ai+1 уже отображенаF Тогда ~ мы определяем f | li+1 как композицию e-1 f | li+1 D выбирая тот из прообразов f (li+1 )D ~ который содержит только что определенную точку f (ai+1 )F ~ на всей окружности S1 вплоть до наE В результате мы построим отображение f чальной точки F Однако здесь может возникнуть противоречиеF Мы начали с тогоD 1 ~ 1) что определили f ( = 0F Совершив один обход окружности S1 D мы не обязательно придем опять к HF Мы можем придти к любой точкеD лежащей над ID тFеF к любой точке вида 2 dD где d целоеF ~ Построенное отображение f непрерывно на любой дуге [, ], < 2 окружноE 1 F Целое число d мы и поставим в стиD но терпит разрыв величиной 2 d в точке 1 соответствие отображению f D назовем его степенью f и обозначим его deg f F Изучим свойства deg f F

UT


IF Если отображения f0 и f1 гомотопны при гомотопии gt такой, что g0 = f0 , g1 = f1 и gt ( = 1 при всех t, то deg f0 = deg f1 . 1) Отрезок гомотопии можно разбить на конечное число столь малых интерваE лов [tj , tj +1 ]D что расстояние между отображениями gtj и gtj+1 будет меньше любого наперед заданного > 0F Тогда и расстояние между соответствующими поднятыE ми отображениями gtj и gtj+1 D тFеF между точками gtj (x) и gtj+1 (x) для всех xD будет ~ ~ ~ ~ выбирается в дискретном множестве проE меньше заданного F Но финальный образ 1 образов e-1 (1) и не может измениться при малом изменении отображенияF Поэтому для всех t gt ( одно и то жеF ~ 1) ИтакD степень одна и та же для всех отображений данного гомотопического класE са отображений окружности в окружностьF Поэтому мы можем говорить о степени deg[f ] гомотопического классаF ЗаметимD что условие f ( = 1 не является ограничениемD тFкF если f ( = bD то 1) 1) имеется гомотопия этого отображения в правильное простым поворотом окружности против часовой стрелкиD переводящим b в F Мы можем тогда определить deg f как 1 степень полученного правильного отображенияF Если данные отображения гомотопE ныD то и полученные правильные будут гомотопныD при правильной гомотопииF Обратно. Если степени равны, то отображения гомотопны. ~ ~ Если deg f0 = deg f1 D то для двух поднятых отображений f0 и f1 равны образы и H ! начальной единицыD и d ! финальной единицыF Рассмотрим линейную гомоE ~ ~ топию gt = (1 - t)f0 + tf1 F ОчевидноD при всех t образ I при отображении gt и при ~ ~ ~i F Эта гомотопия начальном значении и при финальном тот жеD что и у отображений f отображением e переводится в гомотопию egt между f0 и f1 F ~ QF Степень комплексного отображения z n (?степень d комплексной степени?), рассматриваемого на S1 , равна n. Радианная мера это мера длины на единичной окружностиF Поэтому отобраE жение z n на единичной окружности @(z) nA растягивает длины в n разD а e-1 ~ 1) сохраняет длиныF После однократного обхода окружности точка f ( есть 2n F Мы построили взаимно однозначное отображение [S1 , S1 ] на Z. В частностиX Отображение имеет степень нуль оно гомотопно нулюF Степень гомеоморфизма либо ID либо -1F Если | deg h| = 1D то h не может быть взаимно однозначнымF Другое доказательствоX Так как h-1 h = 1 и deg 1 = 1D deg h = +1 = deg h-1 и знак для h и h-1 тот жеF При этом знак указывает на тоD сохраняет ли отображение положительное направление обходаF Отображение гомотопно гомеоморфизму степень отображения равна I или -1F Соответственно говоритсяD что отображение сохраняет или обращает ориентацию @обходA окружностиF Теперь рассмотрим алгебраические свойства степениF RF Мы можем проверить эти свойства на представителяхF Пусть h(x) = f (x) ћ g (x) и ft , gt ! гомотопииX f0 = f , g0 = g F Тогда ht (x) = ft (x) ћ gt (x) ! гомотопия от h0 = h = f ћ g к h1 = f1 ћ g1 F Аналогично для композицийF В качестве представителей возьмем отображения z z n F Мы получимX z n z m = z m+n и (z n )m = z mn F СледовательноD @[f ћ g ]) = d([f ]) + d([g ]) и d(f (g )) = d([f ] ћ d([g ]))F F EaEaEaE UU


Основная теорема алгебры
Pn (z ) степени n > 0 от одной z имеет корень. Известно из алгебрыD что если корень z0 имеетсяD то Pn (z ) = Pn-1 (z ) ћ (z - z0 )D где Pn-1 ! многочлен степени n - 1F Тогда по индукции получаемD что Pn имеет n корнейD с учетом кратностиF Нам нужно установить существование хотя бы одного корняF Уравнение Pn (z ) = 0 можно сократить на старший коэффициент многочленаD и мы допустимD что он единицаD тFеF многочлен имеет вид Pn (z ) = z n + Qn-1 (z )D где Qn-1 многочлен степени n - 1F Имеется много доказательств этой знаменитой теоремыF Мы разберем дваD котоE рые ближе к началам топологииF Первое доказательство. Воспользуемся отображением БорсукаF Обозначим через Sr окружность радиуса r с центром в начале OF Для любого непрерывного отображения F : R2 R2 плоскости в себя и такого rD что F (z ) = O для z Sr D пусть r : Sr Sr есть композиция r F |Sr D где r ! радиальная проекция R2 на Sr F Назовем dr = deg r числом обходов начала для радиуса rF Если радиус меняется непрерывно от r0 до r1 D и ни при каком его значении образ окружности Sr не проходит через OD то мы получаем гомотопию отображений окружности на себя иD значитD число dr не меняетсяF Пусть F данный многочлен Pn (z ) = z n + Qn-1 (z )F Возьмем столь большое r0 D что |z n | > |tQn-1 | при 0 t 1F Для доказательства существования такого r0 достаточно разделить обе части неравенства на |z n-1 |D тогда слева стоит |z |D а справа ограниченная величинаF Меняя t в сумме Pn (z ) = z n + tQn-1 (z ) от I до HD мы прогомотопируем Pn |Sr0 к отображению z n |Sr0 и ни при каком t образ не пройдет через OF В таком случае число обходов начала у Pn на Sr0 такое жеD как у z n D тFеF nF Если корень у многочлена отсутствуетD тFеF Pn (z ) = O ни при каком z D то чисE ло обходов равно n для всех r > 0 ! как мы виделиD это число не меняется при непрерывном изменении радиусаD если образ окружности не проходит через началоF Пусть теперь r1 очень маленький радиусF ТогдаD в силу непрерывности Pn D образ Sr лежит в как угодно малой окрестности точки an = Pn (0) ! свободный член мноE гочленаF При радиальной проекции на Sr точка b Sr D лежащая на прямой Oan D но с противоположной от an стороныD будет не покрыта образом Sr F Поэтому степень отображения r1 равна нулюD как и число обходовF Таким образомD наш многочлен есть константа и в этом случае он не имеет корней @если константа не нульFA
комплексной переменной Теорема. Всякий комплексный многочлен

Это доказательство в конечном счете опиралось на гомотопическую техникуF Дадим второе доказательствоD которое использует теорему об обратном отобE раженииD а в остальном чисто топологическоеF Для аналитической функции w(z ) производная определяется стандартным преE дельным отношениемD но для этой же функцииD рассматриваемой как гладкое отобE ражение плоскости в плоскостьD приходится приравнять производные по двум перE пендикулярным направлениямF Если z = x + iy и w(z ) = u(x, y ) + iv (x, y )D то

dw = lim x0 dz
или

u(x, y ) v (x, y ) +i x x

= lim

y 0

u(x, y ) v (x, y ) +i iy iy

u v u v +i = -i + . x x y y
UV


v v Это приводит к уравнениям Коши ! Римана u = y и x = - u F x y Из этих уравнений следуетD что якобиан отображения @определитель матрицы 2 v 2 ЯкобиA равен u + x F x Обращение в нуль этого определителя означает обращение @в силу уравнений Коши ! РиманаA всех четырех частных производных и эквивалентно равенству нулю комплексной производнойF В нашем случае это многочлен Pn степени n - 1D которыйD как мы знаемD может иметь не более n - 1 корнейF Таким образомD матрица Якоби отображения R2 в R2 D порожденного многочлеE ном Pn D отлична от нуля всюлуD кроме конечного числа точекF Согласно теореме об обратном отображенииD в остальных случаяхD если точка принадлежит образуD то и целая ее окрестность принадлежит образуF Иными слоE вамиD отображение открыто вне конечного числа точек и образ дополнения к этим точкам ! связное открытое множество U F Граничные точки U принадлежат образу плоскостиF В самом делеD пусть послеE довательность Pn (zi ) сходится к точке w0 F Если из последовательности zi можно выE делить сходящуюся к точке z0 плоскостиD то в силу непрерывностиD Pn (z0 ) = w0 D тFеF z0 принадлежит образуF ИначеD последовательность zi стремится к бесконечностиF Но мы видели вышеD что для многочлена образ последовательности точек треE мящейся к бесконечностиD сам стремится к бесконечностиF Среди образов точек плоскости граничными точками U могут быть только образы нулей многочленаD wi = P (zi )D где P (zi ) = 0F Но поскольку в малой окрестости такой точки других граничных точек нетD вся эта окрестность принадлежит образу U D тFеF U открытоEзамкнутое подмножество плоскости иD значитD совпадает со всей плоскостьюD тFкF плскость связнаF Значит некоторая точка отображается в нульF EaEaEaE

Векторные поля на плоскости и сфере
Векторным полем на множестве X в пространстве Rn или на сфере Sn называE ется сопоставление каждой точке x X вектора v(x)D который непрерывно зависит от точкиF Вектор в Rn понимается в обычном смысле стрелки с начальной точкой xD конечной точкой y (x)D его координаты это разности координат y и xF Вектор на Sn это вектор в объемлюшем пространстве Rn+1 D касательный к сфереD напримерD в том смыслеD что он ортогонален ее радиусуF Векторные поля имеют очень большое значенние в математикеD напримерD для геометрической интерпретации дифференциальных уравненийF ТочкиD в которых векторное поле v(x) обращается в нульD называются нулями поляD или особыми точкамиF Пусть сначала для простоты векторное поле v(x) дано во всей плоскости R2 F Пусть g : S1 R2 такое отображениеD что в точках z = g (u), u S1 D образа C окружности векторы данного поля ненулевыеF Обозначим через (z ) угол наклона вектора v в точке z C к оси абсциссD считая угол @в радианной мереA координатой точки на окружности S1 D так что (z ) S1 F Композиция (g (u)) дает отображение S1 в себяF Степень этого отображения называется вращением поля v вдоль кривой C = 1 g (S )D мы ее обозначим C (v)F Пусть g является гомеоморфизмом S1 на C R2 D в частностиD g задает полоE жительный обход C D @Положительным обходом S1 считается обход против часовой
UW


стрелкиFA ПредположимD что начало O лежит в компактной компоненте дополнения к C D а поле не имеет нулей вне началаF Теорема. Если вращение поля вдоль C ненулевое, то O является нулем поля v. Доказательство состоит в гомотопном стягивании кривой C вне начала к наE чалуX имеется @радиальнаяA гомотопия gt : S1 R2 D для которой g0 = g , gt (S1 ) R2 \ O, g1 (S1 ) = OF Для каждого t < 1 образ C лежит вне OD так что степень опреE делена и постояннаF В процессе гомотопии вращение не меняетсяD но вблизи O векторы поляD ввиду непрерывностиD почти параллельны вектору v(O)D и тогда если он не нулевойD C (v) равно нулюF В этом доказательстве образ C при гомотопии выходит за пределы областиD ограE ниченной кривой C F В следующем доказательстве нужноD чтобы гомотопия проходиE ла по этой областиF На самом делеD замыкание областиD ограниченной гомеоморфным образом окружности на плоскостиD гомеоморфно замкнутому дискуF Но это добавE ление к теореме Жордана ! теорема Шенфлиса ! имеет довольно сложное доказаE тельствоD и в эти лекции не включаетсяF ОднакоD мы можем обойтись гомотопической версией этой теоремыX Лемма 1. Компактная область U D ограниченная гомеоморфным образом окружE ности S1 D стягивается по себе в точкуF Из теоремы Жордана нам известноD что дополнение к C распадается на две компоненты ! компактную @с компактным замыканиемA U и неограниченную V D заE мыкание которой имеет ретракцию q : V C F Пусть C лежит в шаре B F Для B U @q (x) = q (x)D если x B \ U и q (x) = xD если ? ? получается ретракция q : B ? x U AF Но тогда U стягиваемо как ретракт стягиваемого пространства B X если gt ! радиальное стягивание B D то q gt |U ! требуемое стягивание U F ? При этом стягиванииD если x = O и t < 0D то и q g1 x = OF Теорема. Пусть g : S1 R2 вложение окружности, g (S1 ) = C , и v(x) векторное поле, заданное в замыкании ограниченной компоненты U дополнения к C . Допустим, что v отлично от нуля в точках C , и вращение поля вдоль C равно нулю. Тогда v имеет особые точки в U . ПредполагаяD что особых точек в U нетD построимD на основе леммыD гомотопию 1 gt : S U отображения g = g0 в постоянное g1 (S1 ) = a U F Вращение C v такое жеD как вдоль малой окружности с центром aF Но так как вектор v(a) ненулевойD все векторы вблизи a почти параллельны емуD иD как и в предыдушем доказательствеD мы заключаемD что вращение вдоль этой окружности нулевоеF EaEaEaE

Индекс особой точки векторного поля на плоскости
Пусть теперь компактная область U D ограниченная кривой C @гомеоморфной окружностиAD содержит ровно одну особую точкуD скажемD O поля vF В таком слуE чае вращение поля вдоль C может быть любым целым числомD нулевымD ненулевымD отрицательнымD как угодно большим и тFдF Число вращения грубо характеризует поведение поля вблизи особой точкиF Усилим предыдущую леммуF Пусть f : S1 C R2 вложение окружности в плоскостьD a точка в ограниченной компоненте U дополнения к C F Пусть Sr U ! окружность с центром a малого радиуса rD B ! большой шар радиуса R с центром a и граничной сферой S D содержащий в себе U F VH


Вложение f : S1 C гомотопноD при гомотопии по промежуточной замкнутой области Q между C и Sr D гомеоморфизму g : S1 S F ~ Фиксируем какойEлибо гомеоморфизм h : S1 Sr и положим g = f h-1 ! гомеоE морфизм Sr на C F Замкнутая область K между S и Sr естественным образом представляется циE линдром Sr Ч [0, 1]D положим p проекция прямого произведенияF Теорема. Проекция p|C гомотопна гомеоморфизму, знак степени которого (+1 или -1) зависит от ориентации (направления обхода) C . При этом тождественное отображение C гомотопно гомеоморфному отображению C на Sr при гомотопии по замкнутой области Q между C и Sr . IF Имеется естественная радиальная гомотопия t : K K, 0 = 1, 1 (K ) = S X (1-t)|x|+tr xF x |x | PF ИмеетсяD как мы видели вышеD ретракция q : K QF С ее помощью гомотопия t |Sr порождает гомотопию t = q t |Sr : Sr QD для которой 0 = 1, 1 (Sr ) = C F QF С другой стороны проекция p прямого произведения K на Sr переводит эту гомотопию в гомотопию t = pt : Sr Sr , 0 = 1, 1 = p|C 1 F Поскольку p0 = 1D тFеF p1 1D deg(p1 ) = 1 и deg p|C = +1 = deg(1 : Sr C )F RF СчитаяD что гомеоморфизм h : S1 Sr согласован с положительными обходами обеих окружностей @против часовой стрелкиA иD значитD deg h = 1D мы видимD что знак степени deg p|C определен выбором исходного гомеоморфизма f D задающего обход кривой C F Мы можем поменять знак deg p|C на обратныйD заменив f на f sD где s зеркальная симметрия окружности S1 F E Мы получили в случае окружности уточнение теоремы Борсука @которое спраE ведливо также и в случае сферы любой размерностиAX Если точка a лежит вне компактной компоненты дополнения к гомеоморфному образу C окружностиD то C стягивается в точку в этой компонентеD тFеF вне точки aY если она лежит в компактной компонентеD то имеется гомотопия от тождественного гомеоморфизма C по этой компоненте к гомеоморфизму на малую окружность с центром в aF Мы скажем во втором случаеD что C охватывает aF Из доказанного утвержденияD к которому часто приходится прибегать при рабоE те с векторными полямиD следуетD что вращение векторного поля по любой кривойD охватывающей изолированную особую точку одно и то жеD и что подсчитывать это вращениеD тFеF характеристику особой точкиD достаточно по малой окружности с ценE тром в этой точкеF Эта характеристика называется индексом особой точкиF В качестве упражнения подсчитайте индексы стандартных особых точек на риE сункеF

of pointsFpng

EaEaEaE VI


Связная область U R2 называется односвязной D если любое отображение окружности в U стягиваемо в U в точкуF Пусть теперь векторное поле v(x) задано в односвязной области U R2 F @НаприE мерD U может быть гомеоморфно открытому шаруFA ДопустимD известноD что v имеет в U конечное число особых точекF Теорема Пуанкаре. Пусть дано гомеоморфное отображение q : S1 C U (вложение). Тогда вращение поля вдоль C равно сумме индексов особых точек поля в U . Обозначим через U область ограниченную кривой C F Пусть a U неособая точка поляF Нетрудно соединить a точками ai C простыми дугами li @гомеоE морфными образами отрезкаD напримерD ломанымиA такD чтобы дополнение к ним в U распалось бы на связные области Vi D каждая содержащая в точности одну особую точку xi Vi F Каждая дуга служит общей частью границы двух областейX Vi и Vi+1 F Вращение поля v вдоль границы Vi есть сумма трех частейX поворот на части граниE цыD принадлежащей C D и двух слагаемых ! поворотов на дугах li и li+1 F @Отложим строгое определение вращения поля на незамкнутых дугах до конца доказательстваFA В общую сумму вращений на границах Vi вращение на каждой дуге li войдет дваждыD ноD очевидноD с противоположными знакамиF В итоге останется только враE щение вдоль C F Мы определили вращение поля вдоль замкнутой кривойD так сказатьD глобальноD через степень отображенияF НоD вспоминая определение степениD нетрудно показатьD что для ее вычисления достаточно разбить кривую на последовательные малые дуги и взять сумму приращений угла наклона вектора на этих дугахF Это определение гоE дится также для незамкнутых кривыхF При этом определении становится очевиднымD что если дуга разбита точкой на две меньшие дугиD то вращение по ней оказывается равным сумме вращений по этим меньшим дугамF EaEaEaE

Теорема Пуанкаре.

Теорема о еже
Перейдем к векторным полям на сфереF Нам понадобится так называемая стереографическая проекция сферы на плосE костьF Пусть сфера S2 касается горизонтальной плоскости R2 в своей нижней @южE нойA точке F Противоположную @севернуюA точку обозначим N и примем ее за центр проекцииF Эта проекция определяет гомеоморфизм S2 \ N на R2 F При этом касательные векторы к сфере @стрелкиD ортогональные радиусам точекD к которым они приложеныA переходят в определенные векторы на плоскости @приложенные к образам этих точекAF
Теорема. На сфере не существует векторного поля, отличного от нуля в каждой точке сферы.

@Иными словамиX векторное поле на сфере должно иметь особые точкиFA ДопустимD что имеется векторное поле v на сфере без особых точекF Рассмотрим его сначала на малой окружности с центром в N F В силу непрерывности поля векторы в точках такой окружности почти параллельны и вращение поля на ней равно нулюF Теперь рассмотрим образ поля при стереографической проекцииF ЕстественноD величина вращения получившегося поля на получившейся из S окружности в плосE кости должна остаться прежнейF Однако следующая картинка показываетD что вращение стало равным двум3 @СлеE ва поле на сфереD справа ! получившееся поле на плоскостиFA VP


Группа Брушлинского
В полученной выше теореме о классификации гомотопических классов отобраE жений окружности в окружностьD которая отождествляет их множество с кольцом целых чиселD можно заменить окружность E прообраз любым компактом X F При этомD считая окружность E образ единичной окружностью в комплексной плоскостиD мы получимD как и вышеD что произведение функций @отображающих X в окружE ностьA будет коммутативной группойF Эта группа называется группой Брушлинского @изучавшего ее в IWQQ годуAF Однако полного описания мыD конечноD не получимF НапримерD нет умноженияD отвечавшего для отображений окрукжности операции композиции @так как нет и композицииAF Нет и степени отображенияF ОднакоD на основе описанной техники логарифмирования @тFеF представления ~ отображения f в виде eif A можно доказать @это оставляется в виде необязательной задачиAD что отображение f компакта в окружность гомотопно нулю тогда и только тогдаD когда его модно прологарифмироватьD и два отображения гомотопны тогда и только тогдаD когда можно прологарифмировать их отношениеF Рассмотрим теперь отображения окружности в топологические пространства с гомотопической точки зренияF EaEaEaEaEaE
14. ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ГРУППА

EaEaEaE

Определение фундаментальной группы
Мы будем рассматривать отображения окружности S1 в связноеD локально линейE но связное и локально компактное пространство X F В окружности отмечается одна точкаD которую будем обозначать a и которую при необходимости будем отождествE лять с комплексной единицейF В X также отметим точку x0 F Мы будем рассматривать отображения окружностиD переводящие a в x0 D и гомотопии между нимиD которые сохраняют это условиеF Оказывается множество гомотопических классов [S1 , X ] естественным образом образует группуD которая называется фундаментальной группой пространства X и обозначается 1 (X ) @или 1 (X, x0 ) при необходимости указать отмеченную точкуAF В частностиD связные пространстваD для которых любое отображение в них окружности гомотопно нулюD называются односвязнымиF Стягиваемые пространства односвязныF Сфера Sn односвязна при n 2 VQ


Отображения q окружности в X называются петлями и отождествляются с отображениями отрезка @путямиA с совпадающими концамиF Если обозначить чеE рез (t) = s стандартное отображение отрезка [0, 1] на S1 с условием (0) = a = (1) и гомеоморфное на (0, 1)D то петле q : S1 X отвечает путь p = q F В множестве петель естественным образом вводится операцияD котораяD грубо говоряD отвечает поE следовательному прохождению соответствующих путейF Точное определение такоеF Пусть q1 и q2 две петли и p1 D p2 отвечающие им путиF Определим сначала путь p = p 1 ћ p2 X p(t) = p1 (2t)D если t [0, 1/2] и p(t) = p2 (2t - 1)D если t [1/2, 1]F Так как p1 (1) = x0 = p2 (0)D полученное отображение непрерывно в точке 1/2 иD значитD во всем отрезкеF Теперь определяем операцию произведения петель q (s) = (q1 ћ q2 )(s) = p-1 (s)F Эта операцияD очевидноD не коммутативнаF Она также не ассоциативнаD как легко проверить @срF с определением композиции гомотопий стрFQTAF Перейдем к гомотопическим классам. Мы обозначаем гомотопический класс петли q через [q ] и иногда [q ]x0 F Если подвергнуть петли q1 (s) и q2 (s) гомотопиям (qi )t (s), i = 1, 2D с сохранением при всех t условия (qi )t (0) = x0 = (qi )t (1)D то произведение q (s)D очевидноD также подвергнется гомотопии qt @при 0 s 1/2 полученной из гомотопии (q1 )t D при 1/2 s 1 ! из (q2 )t AF Таким образомD при каждом t мы имеем произведение петель qt = (q1 )t ћ (q2 )t F Мы получили оперцию над гомотопическими классами петельX если петля q есть произведение двух петельD то произведение петельD которые гомотопны сомножитеE лямD гомотопно петеле q = q1 ћ q2 F Эта операция может быть распространена на @послеE довательноеA произведение любого числа петель и их классовF Для самих петельD как уже сказаноD операция явно не ассоциативнаX как правилоD q (r) = (q1 (r)ћq2 (r))ћq3 (r) = q (r) = q1 (r) ћ (q2 (r) ћ q3 (r))F ОказываетсяD E при переходе к гомотопическим классам операция становится ассоциативнойX ( [q1 ] ћ [q2 ] ) ћ [q3 ] = [q1 ] ћ ( [q2 ] ћ [q3 ] )F ЗаметимD что первое произведение совпадает с q1 (r) на отрезке [0, 1/4]D с q2 на [1/4, 1/2]D с q3 на [1/2, 1]Y второе произведение соотвF с q1 на [0, 1/2]D с q2 на [1/2, 3/4]D и с q3 на [3/4, 1]F Введем две гомотопии отрезка [0, 1] по себеF Построим сначала два отображенияX g (r) переводит точки @0, 1/3, 2/3, 1A соотвF в @0, 1/4, 1/2, 1AD а g (r) точки (0, 1/3, 2/3, 1) в (0, 1/2, 3/4, 1) и оба линейны на смежных интервалахF Стандартные линейные гомотопии gt (r) = (1 - t)r + tg (r) и gt (r) = (1 - t)r + tg (r) связывают эти отображения с тождественным отображением отрезкаF Тогда гомотопии qt (r) = q (gt (r)) и qt (r) = q (qt (r)) переводят отображения q (r) и q (r) в одно и то же отображение q (g (r)) = q (g (r))F @РассмотримD напримерD отображения на отрезке [0, 1/3]F Композиция q1 = q (g1 ) переводит этот отрезок сначала посредством g1 линейно на HD IGRD затем q отобраE жает HD IGR линейно на HD I и q1 отправляет его в пространство X F В результате HD IGQ сначала линейно отображается на HD ID после чего применяется q1 F С другой стороныD аналогичноD отрезок [0, 1/3] сначала линейно отображается на HD IGPD затем q2 линейно отображает его на HD I и применяется q1 F В результатеD как и вышеD сначала HD IGQ линейно отображается на HD I и дальше применяется q1 FA Определим петлю q -1 D обратную петле q X q -1 (r) = q (1 - r)F VR


Хотя произведение петель q ћ q -1 не является постоянным отображениемD оно гомоE топно постоянному отображению S1 x0 F Гомотопический класс этого постоянного отображения обозначают или I или H @если получается коммутативная группаAF Мы будем пока обозначать его [x0 ]F ИтакD покажемD что [q ] ћ [q -1 ] = [x0 ]F Построим гомотопию gt (r)D стягивающую отрезок [0, 1] в точку HX gt (r) = r для r [0, 1 - t] и gt (r) = 1 - t для r tF Рассмотрим гомотопию ht (r) = q gt (r) ћ (q gt )-1 (r) = q gt (r) ћ q gt (1 - r)F @НапомнюD что r в первом сомножителе меняется от H до IGPD а во втором от IGP до IFA ПроверьтеD что при каждом t это отображение постоянно равно q (t) на отрезке t/2 r 1 - t/2 и при t = 0 становится постояннымF Нам нужно еще проверитьD что для любого класса [q ] X [x0 ] ћ [q ] = [q ] ћ [x0 ] = [q ]F Доказательство то жеD что и предыдущееF В результате мы видимD что множество [S1 , X ] гомотопических классов отобраE жений окружности в постранство X с операцией произведенияD определенной выше на представителяхD воEпервыхD не зависит от выбра представителей иD воEвторыхD удовлетворяет аксиомам группыX IF операция ассоциативнаD PF для каждого класса имеется обратный такD что их произведение есть класс постоянного отображенияD QF Произведение каждого класса на постоянный совпадает с этим классомF Мы будем обозначать класс постоянного отображения I @не путать с тождественE ным отображением 1A и называть его единичнымD илиD если нужно подчеркнутьD что группа оказалась коммутативнойD обозначать H и называть нулевым или нулемF КроE ме тогоD не будем использовать точку для обозначения операции @а в коммутативном случае будем использовать знак C F Построенная группа для пространства X называется фундаментальной группой пространства и обозначается 1 (X ) или 1 (X, x0 )D чтобы указать отмеченную точкуF Фундаментальная группа называется также группой Пуанкаре пространстваD Пуанкаре ввел ее в IWHS годуF IF Каждое непрерывное отображение пространства X с отмеченной точкой x0 в пространство Y с отмеченной точкой y0 D для которого f (x0 ) = y0 D порождает гоE моморфизм f : 1 (X ) 1 (Y )F Этот гомоморфизм не меняется при гомотопной деформации f F ИменноD каждой петле q (s) : S X отвечает петля f q : S Y D и так как гомотопия каждого элемента композиции порождает гомотопию самой композицииD ясноD что отображения гомотопные f порождают то же самое отображение 1 (X ) в 1 (Y )F Это отображение есть гомоморфизмD так как произведение петель в X очевидE ным образом переходит в произведение петель в Y @Проверьте3A и гомотопия петель переходит в гомотопию петельF КонечноD единичный элемент и обратные элементы переходят в единичный и в обратныеF

Свойства фундаментальной группы

VS


PF Композиция g f отображений f : X Y и g : Y Z порождает композицию гомоморфизмов g f F Это свойство снова проверяется автоматически на представиE теляхF QF Так какD кроме тогоD очевидноD что 1 есть тождественный изоморфизм группы 1 (X )D мы получаем важное свойствоX Гомотопически эквивалентные пространства имеют изоморфные фундаментальE ные группыF При этом изоморфизме мы подразумеваемD что все пространства имеют отмеченE ные точки и при отображениях отмеченные точки переходят в отмеченныеF Кроме тогоD естественно ограничиться рассмотрением линейно связных пространствD тFкF петли с фиксированным началом могут лежать только в одной и той же компоненте линейной связностиF RF Фундаментальные группы пространства X D отвечающие различным отмеченE ным точкамD изоморфныD хотя этот изоморфизм не определен однозначноF Пусть в X даны две точки x0 и x0 D соединенные путем l(t), l(0) = x0 , l(1) = x0 F Пусть дана петля (s) с начальной точкой x0 F Поставим ей в соответствие петлю (s)D являющуюся произведением трех путейX на отрезке HD IGQ она совпадает с l(3s)D на отрезке IGQD PGQ с петлей (3s - 1) и на отрезке PGQD I с путем lD проходимом в обратном направленииX l(3 - 3s)F Произведению петель 1 2 отвечает при этом произведение петель @l1 l-1 ћ l2 l-1 A @с точностью до гомотопииD которая сократит проходимый в обратных направлениE ях между двумя петлями путь lAF КонечноD стягиваемой петле отвечает стягиваемая петляF Возникает гомоморфизм 1 (X, x0 )1 (X, x0 )F Но ему отвечает встречный гомоE морфизм @с тем же путем lD но проходимым в обратном направленииAF Композиция этих двух гомоморфизмов очевидным образом тождественна @с точностью до гомоE топииAF {
Мы построили

естественное

отображение гомотопической категории в категорию

групп: объектам отвечают объекты, морфизмам морфизмы, сохраняется ассоциативность композиций и единичные морфизмы. Такое отображение категории в категорию называется

функтором.

Переход от топологической категории к гомотопической упро-

стил (огрубляя) геометрические построения и рассуждения, переход к теории групп приблизил возможность классификации объектов, замену геометрических построений вычислениями

инвариантов

(например, степень отображения). Дальнейшим шагом

являлось введение гомологических групп (которые изучаются в 5 семестре), с переходом к категории абелевых групп (точнее, к их системам), что делает задачу вычислений инвариантов еще более достижимой. С точки зрения теории категорий должен быть сделан еще один шаг введение гомологическую.

естественных преобразований

функторов. Напри-

мер, операция коммутирования преобразует фундаментальную группу в одномерную

EaEaEaE

Примеры
Первый пример дает нам сама окружностьF Мы подсчиталиD что 1 (S1 ) = Z ! группа целых чисел по сложениюF Однако здесь требуется уточнениеF Дело в томD что мы определяли произведение отображений окружности в окружность с помощью операции умножения комплексE ных чиселF Это не совпадает с операциейD определенной теперь в 1 (S1 )F Нам следует
A)

VT


убедитьсяD что для двух отображений f и f гомотопны отображения f ћ f и f f @где первое умножение комплексноеD а второе ! умножение петельAF Будем считатьD что окружность параметризована отрезком [0, 1] @t = /2 AF Мы определим гомотопии ft и ft D из которых первая переводит f в отображениеD поE стоянное на отрезке [0, 1/2]D а вторая ! f в отображениеD постоянное на отрезке [1/2, 1]F Для полученных отображений комплексное умножение будет совпадать с умножением петлевымF ИменноD положимD 1) ft (x) = f ( 1-x 2 ) для x 1 - t/2 и ft (x) = f ( для x 1 - t/2Y t/ ft (x) = f ( x-1/2 ) для x t/2 и ft (x) = f ( для x t/2F 1)
1-t/2

Проверка оставляется в качестве упражненияF B) Второй пример есть ?квадрат? предыдущегоF Прямое произведение окружноE сти на окружность T = S1 Ч S2 называется тором F Обозначим через ei отображение прямой Ri на окружность Si F Тогда мы получим отображение e = e1 Ч e2 плоскости R2 = R1 Ч R2 на тор T F При этом отображении в отмеченную точку x0 @произведение единицA отобразятся точки с обеими координатами кратными 2 D тFеF (2k , 2l )F

Если теперь дан петля : S1 T D то применяя приемD описанный выше для отображения в окружность @?логарифмирование?AD мы построим такой путь в R2 ~ с началом в x0 D что (s) = e((s))F Этот путь будет иметь своим концом одну из ~ точек вида (2k , 2l )F При этом мы получимD как и для окружностиD что две петли i в T гомотопE ны @при фиксированном началеA тогда и только тогдаD когда их ?накрытия? имеют общую конечную точкуF С другой стороны нетрудно построить петлюD накрытие коE торой имеет заданную точку указанного вида @в комплексной форме e2(k+l) AF Решетка точек на плоскости с координатами (2k , 2l ) представляет собой комE мутативную группуD являющуюся прямой суммой двух групп ZF Это ! свободная коммутативная группа с двумя образующими. C) Более общим образомX E Фундаметальная группа прямого произведения X = Y Ч Z пространств Y и Z является прямым произведением фундаментальных групп сомножителейX 1 X = VU


1 (Y Ч Z ) = 1 Y Ч 1 Z F Мы читаемD что начальная точка x0 X есть (y0 , z0 )D где y0 Y и z0 Z начальные точки в сомножителяхF Отображение окружности в X порождает с поE мощью проекций прямого произведения два отображения в сомножителиD которые однозначно определяют данное отображениеF При этом гомотопии порождают гомоE топии очевидным образомD и произведениям путей и петель в сомножителях отвечаE ют произведения в X и обратноF Детали очевидныF D) Фундаментальная группа стягиваемого пространства тривиальна тFеF единичE ная @или нулеваяAF ПоэтомуD напримерD фундаментальная группа баранки @произвеE дения окружности на диск есть ZAF E) Следующий пример аналогичен первым двум по доказательствуD хотя выгляE дит совсем не похожимF Речь о 1 Pn D где Pn ! проективное пространствоF Мы докаE жемD что 1 (Pn ) = Z2 ! группа из двух элементовF ИзвестноD что Pn может быть представлено как многообразие прямыхD проходяE щих через начало O в Rn+1 F @Рассмотрим плоскость P = {xn+1 = -1} в Rn+1 F Каждой прямойD проходящей через началоD сопоставим или точку пересечения ее с P или связку параллельных ей прямых в P F Это соответствие отождествляет многообразие прямых с проективным пространствомD получаемым добавлением бесконечно удаленных точек к обычной плоскостиF При этом становится очевидноD что бесконечно удаленные точки имеют такие же окрестностиD как обычныеX вращением пространства любую прямую можно перевести в любую другуюFA Сфера Sn в Rn+1 пересекает каждую прямуюD проходящую через началоD в двух диаметриально противоположных точкахF Поэтому пространство Pn можно предстаE вить себе как сферуD в которой отождествлены точки каждой диаметрально протиE воположной парыF При этом малая окрестность каждой точки сферы взаимно одноE значно отображается на окрестность соответствующей точки Pn и мы можем считать это соответствие гомеоморфизмомF Таким образом мы имеем двукратное отображение e : Sn Pn D которое не только является локальным гомеоморфизмомD но является накрытием в том смыслеD что каждая точка в Pn имеет окрестность U D прообраз которой в Sn распадается на две областиD каждую из которых отображение e гомеоморфно отображает на U F ЗаметимD что в этом смысле отображение e рассмотренное выше для отображений окружности в окружностьD является накрытиемF Мы собираемся действовать по анаE логии с этим случаемD отличие от которого только в томD что там точек в прообразе бесконечно многоD а здесь двеF Но зато аналогия состоит еще в томD что сфера Sn при nbID как и прямаяD является односвязным пространством @смF стрF ??AX отображения окружности в это пространство гомотопны постояннымF
Мы собираемся решать задачу представления отображения окружности в Pn в ~ ~ виде композиции e и отображения f окружности в сферу Sn X f = ef F Пространство Pn компактноD как непрерывный образ компактной сферыF Покроем n P конечным числом малых шаров Di D для каждого из которых прообраз состоит из двух шаров Di и Di , e-1 (Di ) = Di Di D гомеоморфно отображающихся на Di F Пусть дано отображение f : S1 Pn D сохраняющее началоD за которое в Pn приE мем образ z0 южного полюса сферыF В силу равномерной непрерывностиD окружE ность можно разбить в последовательность малых дуг lj , 0 j K D каждую из которых e переводит в некоторый диск Di F VV


Далее мы поступаемD как в разделе об отображениях S1 в S1 F Начнем с тогоD что ~ начальную точку 1 S1 отобразим в X f (1) =F Начальный отрезок l0 f отображает в некоторый диск Dj0 F На него e гомеоморфно отображает диски Dj0 и Dj0 F Возьмем ~ из них тотD который содержит Z D допустимD это Dj0 D и в качестве f : l0 Dj0 возьмем -1 композицию e f |lj0 F Это построение мы можем продолжать индуктивноD как и в случае отображений 1 S в S1 D вплоть до финального отрезка lK F Последняя его точкаD снова I S1 D будет отображена в одну из двух точек диаметрально противоположных точек ! либо D либо xF Таким образомD множество всех петель в Pn распадается на два подмножестваX техD которые поднимаются в петли в Sn D и техD прообразы которых в Sn разрываются ! их концы лежат в разных ?полюсах?F Теперь мы используем односвязность сферыF Петли с началом в гомотопны нуE люF Иными словамиD отображение окружности продолжается до отображения двуE мерного диска и с помощью этого диска легко получить гомотопию петли в D при которой точка остается неподвижнойF С другой стороныD две дуги p1 и p2 с общими концами и x в Sn D построенные для двух петель f1 и f2 в Pn D вместе образуют петлю p-1 pj @произведение путейA в j Sn F Такая петля также гомотопна нулюD и с помощью дискаD по которому проходит ее стягиваниеD строится гомотопия одной дуги в другую с неподвижными концамиF Накрытие e переводит эту гомотопию в гомотопию между петлями f1 и f2 в Pn F В результате оказываетсяD что петли в каждом из двух классовD на которые было разбито множество петель в Pn D гомотопны между собойF Таким образомD имеется всего два элемента в 1 (Pn )X тривиальный @нулевойA и нетривиальныйD получаемый как образ меридиана при отображении eF Имеется всего одна группа из двух элеменE товD так что 1 (Pn ) = Z2 F EaEaEaE

Фундаментальные группы графов.
Одномерные полиэдры называются графамиF Мы хотим научиться вычислять фундаментальные группы графовF Триангуляция графа состоит из вершин и реберF Каждое ребро соединяет две вершиныD каждая вершина является концевой для некоторого количества реберF Мы примемD что это количество конечноD хотя может быть разным для разных вершинF Мы назовем вершинуD служащую концом только одного ребраD оконечной верE шиной графаF Если имеются две триангуляции T1 , T2 графа D тоD объявив вершинами новой триангуляции T все вершины обеих этих триангуляцийD мы разобъем каждое ребро одной из старых трангуляций вершинами другой триангуляции и получим ребра T F Каждое ребро триангуляции T есть пересечение какогоEто ребра T1 с какимEто ребром T2 F Если его обе вершины принадлежат T1 D то это ! ребро T1 D целиком лежащее в ребре T2 D и наоборотF Если же вершины ребра принадлежат одно T1 D другое T2 D то оно есть часть ребра T1 и одновременно часть ребра T2 F Таким образомD две триангуляции имеют общее подразделениеF Если v ! вершина графа D служащая концом ровно для двух реберD скажемD u1 v и v , u2 D то заменяя эту пару ребер одним ребром u1 , u2 D мы получим гомеоморфE ный полиэдр @тFкF пара u1 v v , u2 гомеоморфна отрезку u1 , u2 при гомеоморфизме неподвижном в концах u1 , u2 D так что гомеоморфизм можно взять неподвижным на остальной части графаAF
VW


Так как нас интересеует фундаментальная группа графаD мы интересуемся проE странствами лишь с точностью до гомотопического типаF Во всяком случае мы имеем право заменить полиэдр на гомеоморфныйF При этом нас не интересует сейчас важный вопрос о вложимости абстрактно заданного комE плекса как геометрического комплекса в евклидовом пространствеD в частностиD воE просD можно ли произвести замену двух ребер на одноD оставаясь в том же пространE ствеF @НапримерD этоD очевидноD не всегда можно сделать в плоскостиF ВпрочемD если граф конеченD мы можем взять в евклидовом пространстве достаточно большой разE мерности точки во взаимно однозначном соответствии с вершинами графаD привести их в общее положение и безболезненно соединять любую вершину графа ребром с любой другойFA Итерируем описанную операциюD начав с графа и применяя ее к получающимся новым графамF Так как на каждом шаге уменьшается число вершин и реберD процесс приведет к графуD у которого нет вершинD соединяющих только два ребраF Дальше будем упрощать полиэдрD оставаясь в пределах гомотопического типа @сохраняя обозначение AF Более тогоD мы не будем говорить о триангуляцияхD будем рассматривать ребра как дугиF @Но будет поEпрежнему полиэдромD возможность триангулирования остаетсяFA Если имеется ребро l = [u, v ] с оконечной вершиной v D то стягивание этого ребра по себе к вершине uD даст графD очевидноD ему гомотопически эквивалентныйD у которого число вершин и ребер уменьшится на IF Устраним таким образом все оконечные вершиныF Пусть l ребро с вершинами a, b и средней точкой cF Отбросим l и отождествим a и bF Мы получим полиэдр = ( \ l) c и отображение r : D переводящее l с ? его концами в точку c и тождественное на остальной части F ? Отображение r есть гомотопическая эквивалентностьF Построим отображение g : гомотопически обратное rF Для вершины a и ребра lai D с вершинами a и ai D отличного от lD пусть ?ai соответствующее ребро l ?ai середина ребра ?ai F ПоложимX g |? гомеоморфно с вершинами c и ai F Пусть d ?? l lai ? ?? отображает отрезок [ai , dai ] на lai D g (ai ) = ai , g (dai ) = aD и отрезок [dai , c] на [a, c]D ?? ? g (c) = cF Аналогично со стороны точки b с заменой в обозначениях a на bF ? Композиция rg : тождественна вне звезды вершины cD а каждое ребро ?ia ? l и каждое ?ib переводит в себя с неподвижными концамиF ЯсноD что эта композиция l гомотопна тождествуD при линейной гомотопии на ребрахF Рассмотрим композицию g r : F Она переводит ребро l в c и гомотопна тождеству на этом ребре при линейной гомотопииF Каждое ребро lai переходит в пару отрезков [ai , a] [a, c]F На отрезке [ai , dai ] композиция гомотопна тождеству при линейной гомотопииF На отрезке [dai , a]D который переходит вD вообще говоряD не параллельный ему отрезок [a, c]D гомотопию в тождество также можно представить линейнойF ИменноD отобразим гомеоморфизмом h пару [dai , a] [a, c] на отрезок [0, 1], h(a) = 1/2D он переведет гомеоморфизм g r|[dai ,a] в h(g r)h-1 : [0, 1/2] [1/2, 1]F Линейная гоE мотопия qt пееводит его в тождество на [0, 1/2] и гомотопия h-1 qt h переводит g r|[dai ,a] в тождествоF Построенные гомотопии согласованы в общих точках a и dai F Каждое стягивание ребра уменьшает число вершин и ребер на единицуF ЗамеE тимD что при этом разность числа вершин и числа ребер остается неизменнойF WH


Эта разность называется эйлеровой характеристикой графаD обозначается () и является гомотопическим инвариантомD тFеF для всех пространств гомотопически эквивалентных она одна и та жеF @Правда для более общих пространствD не разбитых на симплексы ее надо опредеE лять с помощью других инвариантовF В полной общности это здесь не доказываетсяF Мы доказали это только в области графовFA В результате последовательных устранений ребер с оконечными вершинами и реберD соединяющих разные вершиныD мы придем к @топологическомуA графуD имеE ющему одну вершину и некоторое число @= 1 - A реберF Поскольку вершины ребра склееныD оно представляет собойокружностьF В результате мы свели задачу подсчета фундаментальной окружности графа к графуD состоящему из некоторого числа k окружностей имеющих одну общую точкуF Если k = 0D тFеF граф свелся к одной вершинеD исходный граф окаался стягиваеE мымF Стягиваемый граф называется деревом. Другое определение дерева ! связный граф без цикловF Циклом в графе называE ется цепочка реберD в которой начальная и конечная вершины совпадаютF Число циклов не меняется при наших преобрахованиях графаF ОноD следовательE ноD равно числу получившихся в конечном результате окружностей иDследовательноD на единицу больше взятой по модулю эйлеровой характеристиуиF Пусть далее состоит из k окружностей с общей точкой aF Мы вычислим 1 ()D используя тот же приемD что и вышеX пытаясь поднять данE ~ ~ ную петлю f : S1 в отображение f : S1 D такD чтобы f = ef D где и e имеют те же нужные свойстваD что были в предыдущих примерах у прямойD плоскоE стиD сферы вместе с соответствующими отображениями eF Это значитD что должно быть односвязнымD давать возможность строить линейные гомотопииD и при этом прообраз каждой малой окрестности U в распадался бы в дизъюнктную систему окрестностей гомеоморфно отображающихся на U F Для простоты мы рассмотрим случай k = 2F Пусть = S1 S2 и S1 S2 = a @граф E восьмеркаAF Ориентируем обе окружE ности @зададим направление обходаAF Тогда связная малая окрестность U (a) состоит из четырех полуинтерваловD которые мы обозначим s1 , s2 и s1 , s2 D где s1 , s2 имеют положительные ориентации @выходят из aAD а s1 , s2 отрицательные @входят в aAF ~ Теперь мы построим индуктивно бесконечный граф без оконечных точек и отображение eF Начнем с тогоD что возьмем граф D состоящий из четырех отрезков l1 , l2 , l1 , l2 с одной общей вершиной AD назовем его крестом и отобразим соответственно обознаE чениям эти ребра @гомеоморфно на внутренностиA на окружности S1 и S2 с учетом ориентации @обходаAF Далее возьмем одну из оконечных точек @допустимD ребра l1 A и еще один экE земпляр креста и отождествим ребро l1 первого экземпляра с ребром l1 второго @оконечную точку первого с A второгоAF Проделаем такую же операцию с каждым из трех оставшихся ребер и затем перейдем к оконечным точкам нового получившегося графаF Продолжая этот процесс неограниченноD мы и построим требуемый бесконечный ~ граф и отображение eF Каждая вершина отображается в aD каждое ребро на одну из окружностей Si определенным направлением обходаF Начальную вершину в мы продолжаем обозначать AD остальные перенумеруем и обозначим Ai F WI


ЗаметимD что каждой вершине Ai отвечает число подклеек крестовD нужных для ее полученияD назовем его рангом Ai и обозначим n(Ai )F Для Ai однозначно определеE на вершина Aj D к звезде которой на некотором шаге построения была прикреплена звезда Ai F @Ранг A равен нулюD а ранг остальных вершин ! IFA Это значитD что для каждой вершины Ai имеется единственный путьD являюE щийся цепочкой ребер в числе n(Ai )D в которой соседние имеют общую вершинуD соединяющий Ai с AF @Если бы было два путиD то на какомEто шаге новая звезда была присоединена сразу к двум старымFA Каждый такой путь однозначно описываE ется последовательностьюD состоящей из знаков l1 , l2 , l1 , l2 @как говоритсяD ?в этом алфавите?AF Таким образом имеется взаимно однозначное соответствие между вершинами граE фа и конечными цепочками букв из этого алфавитаD с единственным условиемD чтобы рядом не стояли l1 и l1 и также l2 и l2 @возвратыAF Граф односвязенF Пусть дано отображение : S1 D переводящее начальную точку окружности в AF Пусть u = [x, y ] S1 дугаD для которой (u) лежит в некотором ребре lj D причем e(x) = A = e(y )F тогда имеется линейная гомотопия по lj D которая либо весь образ (u) гомотопирует в одну вершину lj D либо в гомеоморфизм u на lj F В силу компактности и равномерной непрерывности длины таких отрезков стреE мятся к нулюD и мы получим в пределе разбиение S1 на конечное число отрезковD некоторые из которых целиком отображаются в вершины D а другие линейно гоE меоморфно отображаются на ребраF С помощью дополнительной гомотопии можE но устранить отрезки первого видаD тFеF добитьсяD чтобы S1 была разбита на дугиD отображающиеся последовательно линейно на ребра F Мы продолжаем обозначать прогомотопированную петлю F Для каждого ребра l имеется направление от A к бесконечностиD совпадаE ющее с направлением построения @увеличение ранга вершины на единицуAF Пусть имеется в образе петли реброD за которым в порядке обхода S1 следует ребро в наE правлении к бесконечностиF Тогда следующее ребро будет либо также в направлении к бесконечностиD либо будет возвратом по тому же самому ребруF Такие возвраты @тFеF ребраD которое проходятся сначала к бесконечности и вслед за тем обратно к AA гомотопируются в вершину ребраF Имеется максимальный по рангу возвратF УстраE нив его гомотопиейD мы уменьшим число проходов по ребрамF Через конечное число этих шагов возвратов не будетF Устранив возвратыD мы одновременно устраним и движение к бесконечностиF Но мы предположилиD что образ начальной точки есть AD а отображение не может выйти из A без продвижения к бесконечностиF СледовательноD мы прогомотопировали наше отображение в постоянное иD значитD односвязноF Приступим теперь к вычислению 1 F Пусть f : S1 данная петля в F Открытые звезды вершин отображаются на непрерывно и взаимно однозначноD а их образы при гомотетии с коэффициентом 1 - малым гомеоморфноF Поэтому мы можем действовать в точности такD как в предыдущих примерахF ~ ~ В результате мы получим отображение f D для которого f = ef D причем образ есть путь в D соединяющий A с какойEто вершиной Ai F РассуждаяD как вышеD мы получимD что наш путь гомотопируется в путьD состояE щий из последовательности ребер без возвратовD тFеF в ломаную без самопересеченийD соединяющую A и Ai F WP


В таком случае элементы группы 1 () взаимно однозначно соответствуют с одE ной стороны вершинам графа D а с другойD как мы показалиD конечным словамD составленным в алфавите l1 , l2 , l1 , l2 без возвратовF ЗаметимD что l1 отвечает однократному обходу окружности S1 D тFеF образующей ее фундаментальной группы 1 D l1 обходу этой же окружности в противоположном направленииD тFеF элементу -1 @наша группа явно не коммутативнаD и мы используE ем мультипликативную записьAF Аналогично мы заменяем l2 и l2 на и -1 F ИтакD мы получили группу с двумя групповыми образующими и D элементы которой произвольные конечные слова в этих образующихD в которых не стоят рядом и -1 и и -1 @иначе они сократятсяFA Эта группа называется свободной группой с двумя образующимиF Эта группа является также примером свободного произведения двух группD в данE ном случае двух групп ZX в ней нет соотношенийD в которые входили бы элементы и одной и другой группы @в ней нет вообще никаких соотношенийD кроме тривиальных -1 = 1AF Аналогично определяется свободная группа с любым числом образующихF EaEaEaEaEaE
15. ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ГРУППА И ТЕОРИЯ ГРУПП.

EaEaEaE

Дискретные группы
Имеются две очень разные области математикиD которые охватываются понятием группыD определяемым тремя простыми аксиомамиF С ождной стороны это непрерывные группыD какD напримерD группы матриц @групE па невырожденных матрицD ортогональная группаD группа матриц с определителем I и много другихAF В этих группахD кроме групповых операций ! произведения и взятия обратного ! введена топологияD причем такD что групповые операции непреE рывны в этой топологииF Особое место среди этих групп занимают группы Ли @по имени норвежского математикаAD в них точки имеют окрестности гомеоморфные обE ластям евклидова пространства и операции задаюся гладкими функциямиF С другой стороны рассматриваются дискретные группыD в которых операция заE дается с помощью системы образующих элементов и определяющих соотношенийF Нас будут интересовать сейчас дискретные группы с конечным числом образующих и соотношенийD они называются конечно определеннымиF @Промежуточное положение занимают такие группыD какD напримерD канторово множество ! прямая сумма счетного числа групп Z2 FA
Конечно определенные группы

Пусть дано некоторое количество k символов @4букв4AD которые мы обозначим ai , 1 i k F Добавим к ним еще символы a-1 и символ I и будем рассматриваь слова в алфавите из этих буквF Два слова назовем взаимнообратнымиD если одно получается из другого заменой букв на обратные и заменой порядка букв в слове на обратныйF Пусть во множестве всех слов фиксировано конечное число l слов rj , 1 j lD которые мы будем называть определяющими соотношениями или просто соотнршеE ниямиF Добавим к ним тривиальные соотношения ai a-1 и еще IF i Введем отношение эквивалентности во множество словX два слова называются эквивалентнымиD если одно получается из другого конечной последовательностью вставок @между любыми соседними буквами или в концеD или в началеA какихEлибо WQ


определяющих соотношений или устранений @заменой определяющего соотношения единицейA или устранением ID еслиD кроме ID в слове имеются другие буквыF СоотноE шение r обычно записывют в форме r = 1F ТоD что это отношение есть эквивалентностьD очевидноF Обозначим множество классов эквивалентности через GF Единицей в G назовем классD содержащий I и соE храним обозначение IF Взаимнообратными назовем классыD если они содержат взаE имнообратные словаF В G введем операцию приставки @nglF ontentionA для слов eD f слово ef получаеся продолжением слова e словом fF ЯсноD что замеE на слова e эквивалентным словом e и f эквивалентным f приведет к слову e f эквивалентному efF ЗначитD мы получили операцию в множестве GF ПокажемD что эта операция удовлетворяет аксиомам группыF Доказательство можно вести на представителяхF IF Ассоциативность @efAgae@fgA очевиднаX после устранения скобок слева и справа получится то же самое выражениеF PF Свойство IX IeaeIae прямо следует из определения эквивалентности словF QF Произведение взаимнообратных классов есть классD содержащий произведение взаимнообратных словD которое есть I в силу тривиальных соотношенийF ИтакD G есть группаF ЗаметимD что при гомоморфизме G в какуюEлибо группу H для каждого соотE ношения в G образы образующих будут удовлетворять аналогичному соотношеию в HF
Примеры.

Простейший пример ! тривиальная или единичная группаD состоящая из одного элементаF Группа назывыается коммутативной @или абелевойAD если в ней выполнено соE отношение ab = ba @тFеF aba-1 b-1 = 1)F Достаточно потребоватьD чтобы ему удовлеE творяли образующиеF Группа целых чисел по умножению коммутативнаF Группа целых чисел по любому модулю m коммутативна по сложениюD а по проE стому модулю p с исключенным нулем ! по умножениюF Свободная группаF Так называется группаD в которой нет других соотношенийD кромме тривиальныхF В этой группе нетрудно указаь алгоритмD определяющий равенство двух элеменE тов илиD что то же самое ! равенство элемента единицеF ИменноD в данном предстаE вителе нужно устранить все пары вида aa-1 F Доказательство несложно провести напрямуюD ноD кроме тогоD оно следует из выE численияD проведенного вышеD фундаментальной группы букета окружностейF Мы показалиD что эта группа свободнаD тFеF не имеет соотношений @соотношение ознаE чает петлюD гомотопную нулюD но мы показалиD что всякая петля гомотопируется в начальную точку с помощью устранения возвратовD тFеF с помощью тривиальных соотношенийAF ИтакD свободная группа с k образующими состоит из слов в алфавите из aj , a-1 , 1 j j k D в которых отсутствуют взаимнообратные соседиF Векторная группа ! группа по сложению векторов вещественного или комплексE ного линейного пространстваD конечно или бесконечномерного ! не является дисE кретнойD хотя в ней и можно ввести групповые образующиеD мощность множества которых континуальна и относительно которых она свободнаF WR


В частностиD группы вещественных и комплексных чисел коммутативны и по сложению и @с исключенным нулемA по умножениюD а кватернионов по сложениюF Беря в векторном пространстве целочисленные комбинации базисных векторовD мы получим целочисленную решеткуD которая является свободной абелевой группойD в которой кроме тривиальных имеются еще только соотношения коммутативностиF Мы встретились с такой группой с двумя образующимиD вычислив фундаментальную группу тораF Группа рациональных чиселD рассматриваемая как дискретнаяD по сложению имеE ет довольно сложное описаниеD а по умножению является свободной абклквой с бесE конечным числом образующих @простыми числамиAF

Произведения групп.
Прямое произведение G Ч H имеет в качестве образующих пары (ai , bj )D где ai обE разующие в GD а bj ! в H F Соотношения в G Ч H также являются парами соотношений из G и из H D тFеF они независимо могут применяться покоординатноF Прямая сумма бесконечных циклических групп есть свободная абелева группаD число образующих в ней равно числу сомножителейF Прямое произведение конечных циклических групп может быть циклической группой @если моджули взаимно простыAD но Z2 Ч Z2 = Z4 F Свободное произведение. Эта операция двойственна операции прямого произE ведения в категорном смысле @тFеFв определении нужно изменить направления стреE лок на обратныеAF Группа GD обозначаемая P QD называется свободным произведением групп P и QD если фиксированы гомоморфизмы p : P G и q : Q G такD что для любой группы R с гомоморфизмами p : P D и q : Q D имеется единственный гомоморфизм ? ? r : G D такD что p = rp, q = rq F ? ? Из этого определения легко вывестиD что имеются односторонние обратные гоE моморфизмы для p и q D так что эти гомоморфизмы оказываются мономорфизмамиF На языке образующих и соотношений группа P Q строится как группаD образуюE щие и соотношения которой суть все образующие и соотношения группEсомножителейF В частностиD нет соотношений между образующимиD которые бы не сводились к I с помощью только имеющихся соотношений в данных двух группахF В частностиD свободное произведение бесконечных циклических групп есть своE бодная группаF Свободное произведение двух групп Z2 ! это группа взаимных отражений двух зеркалD стояших друг проотив другаF

Теорема ван Кампена Зейферта (без доказательства)
Пока у нас был один способ вычисления фундаментальных групп !построение одE носвязных накрывающих пространств @односвязные накрывающие называются униE версальнымиAF Следующая теооремаDкоторая пр водится здесь без доказательстваD позволяет выE числять фундаменальную группуD разбивая данное пространство на частиD для коE торых это вычисление проводится легче или уже известноF За подробным доказаE тельством отошлем к книгам ЛFВF Келдыш Топологические вложения в евклидово пространствоF Труды МИАН тFVI @IWTTA или FFFF Теорема. Пусть связное пространство X представлено как объединение двух открытых подмножеств X = X1 X2 , причем пространства X, X1 , X2 , X1 X2

WS


линейно связны. Тогда фундамнтальная группа 1 X получается из свободного произведения 1 X1 2 X2 приравниванием любых двух классов 1 X1 и Я1 X2 в случае, если оба класса содержат одну и ту же петлю в X1 X2 . На языке образующих и соотношений это означаетD что помимо образующих и соотношений обеих групп 1 X1 и 1 X2 задание группы 1 X имеет еще соотношенияD находящиеся во взаимно однозначном соответствии с образующими группы 1 X1 X2 X каждой такой образующей c отвечает соотношениеD полученное приравниванием выражений c в каждой из групп 1 X1 и 1 X2 F Простейший пример применения этой теоремы ! вычисление группы 1 Sn , n 2X сфера есть объединение двух открытых множеств гомеоморфных Rn X дополнений к полюсамF Их фундаментальные группы тривиальны @тFкF Rn стягиваемоAF Их своE бодное произведение также есть единичная группаD и добавление соотношений не изменит этого фактаF Таким образомD 1 Sn = 1F Это рассуждение не применимо к 1 S1 D тFкF пересечение слагаемых в этом случае не связноF Фундаментальная группа двух связных и локально линейно связных пространствD имеющих общую точкуD есть свободное произведение фундаментальных групп слагаE емыхF Чтобы формально использовать теоремуD удобно допуститьD что общая точка в X имеет стягиваемую окрестностьF Добавляя ее к слагаемымD мы получим открыE тые подмножестваD не изменив фундаментальные группыD Так как фундаментальная группа пересечения единичнаяD соотношения от образующих группы пересечения не добавляются и получается свободное произведение фундаментальных групп слагаеE мыхF В частностиD мы снова получаемD что фундаментальная группа букета окружноE стей есть сввободное произведение бесконечных циклических группF Фундаментальная группа тора T Теперь решим задачу немного посложнееX посчитаем с помощью теоремы ван Кампена группу тора @она посчитана нами уже два раза ! это прямое произведение двух групп ZAF Тор T есть поверхность баранкиF Разрежем баранку горизонтальной плоскостью и рассмотрим отдельно две половины U и V поверхности TF Каждая гомеоморфна кольцу @произведение окружности на отрезокA иD значчитD деформируется по себе в окружностьF Это значитD что фундаментальная группа каждой половины есть ZF ОдE нако пересечение их состоит из двух окружностейD тFеF не связноF Чтобы использовать теоремуD исправим положение следующим образомF ВоEпервыхD возьмем начальную точку a на общей большой окружности AF ВоEвторыхD обозначим образующую фундаментальной группы нижней половины U и верхней половины V F Обе эти образующие представлены петлейD обходящей большую окружность A пересечения в положительном направлении @против часовой стрелкиD если смотреть сверхуAF ЯсноD что мы сразу имеем @по теоремеA соотношение = F ТеперьD для тогоD чтобы пересечение стало связнымD добавим к нижней половине дугу lD которая по верхней половине соединяет точку a с точкой b на меньшей окружE ности B пересеченияF

WT


Верхняя половина не меняетсяD а у нижней увеличится фундаментальная группаF При деформации половины A тора по себе в окружность дуга l также превратится в окружность и мы получим букет двух окружностейD тFеF получим свободную групE пу с двумя образующимиF Первая образующая старая D вторую обозначим F Она представлена петлейD которая состоит из дуги l и дуги l D которая соединяет точки a и b в AF ИтакD у нас уже есть две образующие , группы 1 TF Теперь нужно найти образующие пересеченияF Оно состоит из двух окружностей A и B и дуги lF Так как дугга стягиваемаD мы получаем снова букет двух оокружностей и свободную группу с двумя образующимиF Одна из них представлена обходом большой окружностиD тFеF есть F Вторая идет по дуге lD обходит в положительном направлении окружность B и возвращается по lD проходя ее в обратном направленииF Первая образующая дает нам соотношениеD уже нами рассмотренноеX = F Рассмотрим второеF Петля lB l-1 на верхней половине V D очевидноD представляет D тFеF в групE пе тораF Прогомотопируем эту петлю по нижней половине A l @делая тривиальE ные вставкиA в петлюD записанную как произведение путей следующим образомX lB l-1 l(l )-1l B (l )-1 l l-1 F Первые два сомножителя дают петлюD представляющую D следующие три представляют = и последние два ! -1 F В таком случае мы получаем соотношение = -1 или = D или -1 -1 = 1F Последнее выражение называется коммутатором двух элементов и и обознаE чается [, ]F ИтакD мы снова получили результатD который уже был посчитан два разаX фунE даментальная группа тора есть свободная абелева группа с двумя образующимиF В качестве образующих мможно взять петлиD представляющие меридиан и параллель тораF
Фундаментальная группа поверхности кренделя.

Крендель u это двойной торF Он получается такX в каждом из двух торов беE рется небольшой дискD внутренняя часть которого выкидываетсяF Затем границы этих дисковD которые служат также границами оставшихся поверхностей T1 и T2 естественным образом отождествляютсяF Склеенные границы образуют на получивE шемся кренделе окружность C D которую можно назвать горловиной uF Мы снова можем считатьD что представив u объединением T1 T2 с пересечением C D мы можем применить теорему ван Кампена @C имеет в u окрестностьD которая на нее деформируется по себеAF WU


Тор без диска деформируется на пару окружностейF Это проще всего увидетьD представив тор в виде квадратаD в котором склеены пары противолежащих реберF ДискD который выкидывается лежит внутри квадрата @мы можем считатьD что на торе он не пересекает ни меридианаD ни параллелиAF В таком случае имеется очеE видная радиальная гомотопияD которая деформирует оставшуюся часть квадрата на границуD что и дает требуемую гомотопию тора без диска на две окружностиD полуE чаемые из границы квадратаF ИтакD каждое слагаемое имеет две свободные образующиеD скажем i , i D и группа кренделя получает R образующиеD а соотношение получается только из единственной образующей пересеченияD которую обозначим F Нам нужно выяснитьD как петляD полученная обходом окружности C выражается в каждом слагаемом Ti F Для этого снова обратимся к квадратуD из которого вырезан дискF Теперь посмотE рим в какую петлю при описанной выше деформации переходит C F Очевидно это ! одE нократный обход границы квадратаF Но этот обход состоит из четырех отрезковD кажE дый из которых однократно обходит либо меридианD либо параллель тораF Мы полуE чаемD что обход C представляет в T1 элемент -1 -1 F В T2 ситуация аналогичнаяF - - - - - - - - Поэтому получаемX 1 1 1 1 1 1 = 2 2 2 1 2 1 = 1 или 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 2 1 = 1 или [1 1 ][2 2 ] = 1 ! единственное нетривиальное соотношение в группе кренделяF
Крендель рода

Теперь мы можем посчитать фундаментальную группу кренделя ug рода g F Это поверхностьD получаемая последовательной склейкой g торов с выброшенными дисE камиD которую для индуктиного рассуждения лучше представить как результат приE клейки тора с дыркой к кренделю рода g - 1 с дыркойF Чтобы буквально повторить проведенное рассуждениеD нужно представить кренE дель ввиде многоугольника с Rg сторонамиD где каждая последовательная четверка обозначена ai bi (ai )-1 (bi )-1 F Это нетрудно сделать с помощью элементарных разрезов и склеекD но мы не будем этим здесь заниматьсяD указав немного нижеD где можно найти систематическое изложние топологии поверхностейF Укажем только окончательный результатX 1 ug есть группа с 2g образующими i , i и одним соотношением [1 1 ] . . . [g g ] = 1F EaEaEaEaEaEaEaEaEaEaE {Сопоставление классу пространств одного гомотопического типа фундаментальной группы является примером функтора перехода из одной категории в другую. При этом также и морфизмам сопоставляются морфизмы (с сохранением композиций и единичного морфизма). В данном случае гомотопным отображениям сопоставляется гомоморфизм фундаментальных групп. Важность такого перехода состоит в огрубляющем упрощении свойств исходной категории, что позволяет пренебречь деталями, несущественными в тех или иных задачах, и сделать более явными нужные свойства. Последовательные такие переходы направлены обычно к тому, чтобы заменить геометрические рассуждения вычислением инвариантов (чисел, многочленов, простых групп и проч.).
В частности, это позволяет провести классификацию с нужной точки зрения объектов данной категории. Скажем, в топологии важен вопрос о гомеоморфизме. Например, оставаясь в рамках собственно топологии, непросто выяснить, гомеоморфны или нет те поверхности кренделя, о которых мы только что говорили. Функтор фундаментальной группы переводит этот вопрос в проблему изоморфизма групп. В общем виде эта задача в категории групп неразрешима показано, что не существует общего алгоритма для установления изоморфизма двух групп, заданных наборами образующих и

g

WV


соотношений. Однако, например, в случае групп поверхностей мы можем сделать еще один шаг перейти в категорию коммутативных групп, добавив к полученному соотношению соотношения коммутирования (применив

функтор коммутирования

). Так как

данное соотношение есть произведение коммутаторов, оно автоматически выполнено вследствие добавленных соотношений (приводится к виду 1=1). Значит, полученная этой операцией коммутированием группа есть свободная абелева группа, а для этих групп число образующих есть инвариант (подобно размерности для векторного пространства) и, следовательно, полученные фундаментальные группы не изоморфны, а наши объекты поверхности кренделей гомотопически не эквивалентны, тем более не гомеоморфны.

}

EaEaEaEaEaEaEaEaEaEaEaEaEaEaEaEaEaEaEaEaEaEaE

WW


Содержание
ЧАСТЬ 1. ОБЩАЯ ТОПОЛОГИЯ

1. ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА - 1

QFНепрерывные отображения. Топологическая категория. Гомеоморфизм RFFИндуцированная топология RFF Виды точек подпространства @ВнутренностьD внешностьD границаD замыканиеD точки прикосновенияD предельныеA TFFБазы и предбазы. Локальные базы UFFАксиомы счетности UFFПрямое произведение. График отображения VFFПлотность и сепарабельность VFFПокрытия. Локально конечные и фундаментальные покрытия
2. МЕТРИКА 9

IFFТопология на множестве. Аксиомы топологии PFFАксиомы отделимости

WFFМетрика на множестве. Топология, порождаемая метрикой IIFFСходимость последовательностей. Полнота IIFFПрямое произведение метрических пространств. IQFFГильбертово пространство H и гильбертов куб I
3. СВЯЗНОСТЬ 14

IRFF IRFF ISFF ITFF IUFF IUFF IVFF IWFF IWFF PHFF PIFF PIFF PQFF

Определение связности Компоненты. Вполне несвязные пространства. Интервалы Пути. Линейная связность. sin 1/x. Локальная связность График sin 1/x. Локальная связность Определения компактности Свойства компактности. Произведение компактных пространств Локальная компактность. Компактификации Компактность в Rn . Теоремы Вейерштрасса Определения компактов
Компактность и полнота

4. КОМПАКТНОСТЬ 17

5. КОМПАКТЫ - 19

Лемма Лебега Строение компакта. Канторово множество K и дисконтинуумы Сцепленность. Континуумы. Нульмерные компакты = дисконтинуумы PSFFКомпакт Антуана PTFFЛокальная связность и жордановы континуумы
6. НОРМАЛЬНОСТЬ. ЛЕММА УРЫСОНА - 27 МЕТРИЗУЕМОСТЬ

IHH


PUFF PVFF PVFF PWFF QHFF QHFF QIFF QPFF QQFF

Регулярные и нормальные пространства Плоскость Немыцкого Компактность и аксиомы отделимости Лемма Урысона Теорема продолжения непрерывного отображения Теорема Урысона о вложении в гильбертов кирпич и метризация Локальная компактность и паракомпактность Разбиение единицы Диаграмма Дугунджи
КОМПЛЕКСЫ И ПОЛИЭДРЫ В

ЧАСТЬ 2. ГОМОТОПИИ. ТЕОРЕМЫ БРАУЭРА.

R

n

.

7. ПОНЯТИЕ О ГОМОТОПИИ. РЕТРАКТЫ...............................34

QRFFПонятие о гомотопии QRFFГомотопии отображений сферы и в сферу QSFFГомотопические классы отображений QUFF QUFF QVFF QWFF RHFF

и гомотопические типы пространств Ретракты и деформации Двумерный диск не ретрагируется на граничную окружность Абсолютные ретракты Абсолютные окрестностные ретракты Лемма Борсука о продолжении гомотопии

8. СИМПЛЕКСЫ. КОМПЛЕКСЫ. ПОЛИЭДРЫ .........................40

RHFFВыпуклые множества и симплексы RIFF Линейная структура симплекса RPFFКомплексы (геометрические). RPКомплексы и топология RQFFПолиэдры и триангуляции RQFFБарицентрические координаты RQFFБарицентрические координаты симплекса RRFFЛинейное отображение симплекса в симплекс RRFFБарицентрические координаты и барицентрические отображения комплекса.

RSFFБарицентрическое подразделение симплекса. RTFFКусочно линейная аппроксимация отображений в Rn (и в сферу Sn )
9. НЕСТЯГИВАЕМОСТЬ СФЕРЫ И НЕПОДВИЖНЫЕ ТОЧКИ

РАЗМЕРНОСТЬ Rn ......................................47 47..Лемма Шпернера и неретрагируемость шара 47..Лемма Шпернера 48..Неретрагируемость симплекса на край 48..Следствия : теоремы о неподвижной точке и о нестягиваемости сферы 48..Теорема о неподвижной точке.
IHI


48.. 48.. 48.. 49.. 49..

Hестягиваемость сферы Sn эквивалентность трех утверждений: Топологическая инвариантность линейной размерности Rn Шары (или кубы), сферы разных размерностей не гомеоморфны Дополнение к главе 9. Лемма Шпернера и теорема Хелли

10. ОТОБРАЖЕНИЕ БОРСУКА.......................................52

ТЕОРЕМА ЖОРДАНА БРАУЭРА. ИНВАРИАНТНОСТЬ ОБЛАСТИ n 52..Свойство компакта разбивать R n 52..Разбиение пространства R компактным подмножеством X 53..Усиление теоремы неретрагируемости 53..Отображение Борсука n 53..Лемма о продолжении отображения полиэдра в S на больший полиэдр 54..Теорема Борсука 55..Следствие теоремы Борсука. Теорема Жордана - Брауэра в одну сторону n-1 Rn имеет конечное число компонент. 55..Дополнение к S 55..Уточнение теоремы Борсука о радиальной проекции 56..К теореме Жордана Брауэра 57..Теорема об инвариантности области 11. ХАРАКТЕРИЗАЦИЯ РАЗМЕРНОСТИ dim X ПО АЛЕКСАНДРОВУ
НЕРВ ПОКРЫТИЯ И
57.. 57.. 58.. 58.. 59.. 59..

-СДВИГИ В ПОЛИЭДР.......................57

Нерв покрытия и -сдвиг компакта в полиэдр Две категории симплициальных комплексов Построение -сдвига компакта X Rn в полиэдр |K | Размерность dim. Теорема Александрова Теорема Александрова Инвариантность размерности Rn
КУСОЧНО ЛИНЕЙНАЯ ТОПОЛОГИЯ

12.
60..

СТЕПЕНЬ ОТОБРАЖЕНИЯ И ТЕОРЕМА ЖОРДАНА БРАУЭРА............60

О выпуклых многогранниках 63.. Комплексы многогранников и триангуляции 63..Комплекс выпуклых многогранников триангулируем. 64..Изоморфизм комплексов и комбинаторная эквивалентность полиэдров 64. Отображения комплексов и полиэдров 64.Кусочно линейные отображения полиэдров. n 65.Ориентация в пространстве R 67.Степень отображения 70..Свойства степени 71..Гомотопическая инвариантность 71..Формула композиции 73..Доказательство теоремы Жордана Брауэра

IHP


ЧАСТЬ 3. ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ГРУППА

13. СТЕПЕНЬ ОТОБРАЖЕНИЯ ОКРУЖНОСТИ В ОКРУЖНОСТЬ.......................75
75..ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА АЛГЕБРЫ. ВРАЩЕНИЕ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ 75.. 78.. 79.. 80.. 82.. 82.. 83..

Отображения окружности в окружность Основная теорема алгебры Векторные поля на плоскости и сфере Индекс особой точки векторного поля на плоскости Теорема Пуанкаре Теорема о еже Группа Брушлинского

14. ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ГРУППА.....................................83 83..Определение фундаментальной группы 85..Свойства фундаментальной группы 86..Примеры 89..Фундаментальные группы графов 15. ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ГРУППА И ТЕОРИЯ ГРУПП ......................93
93.. 93.. 94.. 95.. 95.. 95.. 96.. 97.. 98..

Дискретные группы Конечно определенные группы Примеры Произведения групп Свободное произведение Теорема ван Кампена Зейферта (без доказательства) Фундаментальная группа тора T Фундаментальная группа поверхности кренделя Крендель рода g
-=-=-=-=-=-

IHQ