Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://higeom.math.msu.su/people/taras/talks/2014msu-talk.pdf
Дата изменения: Tue Jan 28 22:50:36 2014
Дата индексирования: Sun Apr 10 01:01:23 2016
Кодировка: Windows-1251
Комплексная геометрия момент-угол-многообразий

Т. Панов совместно с Ю. Устиновским и М. Вербицким

механико-математический факультет МГУ

Школа-конференция ?Алгебры Ли, алгебраические группы и теория инвариантов? мех-мат МГУ, 27 января1 февраля 2014 г.


1. Момент-угол-многообразия и симплициальные вееры.



полный симплициальный веер в

Rn

(возможно, не рациональный!)

a

1, . . . ,

a

n mR

образующие 1-мерных конусов.

порождает конус из ассоциированный симплициальный комплекс для .
Z K = ( D 2 , S 1 )K =
I K iI

K = K = I [m] : {a i : i I }

D2 Ч
i I /

S1



(D 2 )m

момент-угол-многообразие.
U (K ) = C m \
{i1 ,...,ik }K /

{z Cm : zi1 = . . . = zik = 0} = (C, CЧ)K =
I K iI


i I /



дополнение набора координатных подпространств.
Утв.: ZK

является деформационным ретрактом

U (K )

для любого K.
2


Зададим отображение где e
1, . . . ,

e

m

e i a i, стандартный базис в Rm. Положим
A : Rm Rn, Rm = {(y1, . . . , ym) Rm : yi > 0}, >

и определим
R := exp(Ker A) = (y1, . . . , ym) Rm : > R Rm >
m

yi
i=1

a i ,u

=1

for all u

Rn ,

действует на
K=

U (K ) C m

покоординатным умножением.

и пусть

Теорема 1.

Пусть полный симплициальный веер в Rn с m р?брами K ассоциированный симплициальный комплекс. Тогда

а) группа
U (K)/R

R = Rm-n

действует на U (K) свободно и собственно, т.е является гладким (m + n)-мерным многообразием;
ZK

б)

U (K)/R

эквивариантно гомеоморфно
ZK

.
3

Таким образом,

имеет каноническую гладкую структуру.


2. Комплексно-аналитические структуры.

Мы покажем, что ч?тномерные м.-у.-многообразиях ZK, соответствую щие полным симплициальным веерам, допускают комплексную структур Идея в том, чтобы заменить действие Rm-n на U (K) (с факторпростран > m-n ством ZK) на голоморфное действие C 2 на том же пространстве.

Предположим, что m - n ч?тно. Это всегда достигается формальны добавлением ?пустого? 1-мерного конуса к , что соответствует умно жению ZK на окружность. Положим
- = m2 n

.

4


Констр 1.

Выберем линейное отображение есть мономорфизм. .
-


: C Cm

, для которого

а) (b)

Re : C Rm A Re = 0

Композиция отображение в верхней строке есть нуль:
C Cm
exp

- Rm -

Re

-

A

exp

Rn

exp

где

|ћ|

обозначает

|ћ| exp A (CЧ)m - Rm - - Rn > > -- отображение (z1, . . . , zm) (|z1|, . . . , |zm|).

Положим .

C = exp (C ) =

e 1,w , . . . , e m,w

(CЧ)m

где w

= (w1, . . . , w ) C C есть (CЧ)m,



i

i-й столбец



-матрицы

= (ij )

Тогда C = подгруппа в

комплексно-аналитическая (но не алгебраическая действующая на U (K) голоморфно.
5


Пусть K пустой комплекс 2 элементах. Тогда n = 0, m = 2, = 1 и A : R2 0 нулевое отображение. Зададим : C C2 в виде z (z , z ), где C, т.е.
Пример 1.

C = (ez , ez )} (CЧ)2.

Условие б) из Конструкции 1 пусто, а из а) вытекает exp : C (CЧ)2 есть вложение, а факторпространство 2 комплексный тор TC с параметром C:
2 (CЧ)2/C = C/(Z Z) = TC ().

R. Тогд / (CЧ)2/C ест

Аналогично, если K пустой на получаем любой комплексный тор

2 элементах (т.е. n = 0, m = 2 ), м 2 TC как факторпространство (CЧ)2 /C

6


Пусть полный симплициальный веер в Rn с m одномер ными конусами и K = K ассоциированный симплициальный комплекс Предположим, что m - n = 2 . Тогда
Теорема 2.

а) голоморфное действие C = C на U (K) является свободным и соб ственным, а факторпространство U (K)/C имеет структуру компакт ного комплексного многообразия размерности m - ;

б) имеется Tm-эквивариантный диффеоморфизм U (K)/C = ZK, задаю щий комплексную структуру на ZK с голоморфным действием Tm.

7


(Многообразие Хопфа). Пусть полный веер в Rn с одномерными конусами, порожд?нными векторами e 1, . . . , e n, -e 1-. .
Пример 2

n+ .-e n

Добавим ?пустой? 1-мерный конус. Тогда m = n + 2, = 1. Отображение A : Rn+2 Rn зада?тся матрицей (0 E -1), E единична n Ч n-матрица, а 0, 1 столбцы из нулей и единиц соответственно. граница n-мерного симплекса с вершиной, ZK = S 1 Ч S 2n+1 и U (K) =
K n + 1 вершинами CЧ Ч (Cn+1 \ {0}).

и 1 призрачно . Тогда

Зададим и
ZK

: C Cn+2, z (z , z , . . . , z )

, где

C, R /

C = (ez , ez , . . . , ez ) : z C (CЧ)n+2,

приобретает комплексную структуру как факторпространство
{(t,

U (K )

CЧ Ч Cn+1 \ {0}

w

) (ez t, ez

w

)} = Cn+1 \ {0}

{w e2 i

w

},

где

t CЧ

,w

Cn+1 \ {0}.

Это классическое многообразие Хопфа.
8


3. Голоморфные расслоения над торическими многообразиями.

Многообразия ZK, соответствующие полным рациональным симплици альным веерам являются пространствами голоморфных главных рассло ений над торическими многообразиями со слоем комплексный тор. Эт позволяет нам вычислять инварианты комплексных структур на ZK когомологии Дольбо и числа Ходжа.

Торическое многообразие это нормальное алгебраическое многообра зие X , на котором (CЧ)n действует с плотной орбитой.

Торические многообразия классифицируются рациональными веерами. полные вееры нормальные вееры многогранников регулярные вееры симплициальные вееры


компактные многообразия проективные многообразия неособые многообразия орбиобразия (орбифолды)
9


полный, симплициальный, рациональный веер; a 1, . . . , a m примитивные целочисленные образующие 1-мерных конусов; a i = (ai1, . . . , ain) Zn.

Констр 2

(?Конструкция Кокса?). Рассмотрим
exp AC : (CЧ)m (CЧ)n,
m

A C : Cm Cn

,e

i

a i,

(z1, . . . , zm)
i=1

a zi i1 , . . . ,

m i=1

zi

ain

Положим G = Ker exp AC алгебраическая подгруппа в (CЧ)m. Она действует почти свободно (с конечными стабилизаторами) на Если регулярный веер, то G = (CЧ)m-n и действие свободно.

U (K

V = U (K)/G торическое многообразие, соответствующее . Фактор-тор (CЧ)m/G = (CЧ)n действует на V с плотной орбитой.

10


Заметим, что
Предл 1.

C = C G = (CЧ)m-n

комплексная -мерная подгруппа

а) торическое многообразие V гомеоморфно факторпространству по голоморфному действию группы G/C .

ZK

б) если регулярный веер, то имеется голоморфное главное расслое ние ZK V со слоем компактный комплексный -мерный тор G/C
Замечание 1.

Для особых многообразий V проекция ZK V являет ся голоморфным главным расслоением Зейферта для подходящей струк туры орбиобразия на V.

11


4. Подмногообразия и аналитические подмножества.

Комплексная структура на ZK зада?тся двумя данными: полный симплициальный веер с образующими a 1, . . . , a m; -мерная голоморфная подгруппа C (CЧ)m.

Если эти данные общего положения (в частности, веер не рациональ ный), то голоморфное главное расслоение ZK V отсутствует (тори ческое многообразие V не определено).

Тем не менее, имеется голоморфное -мерное слоение F с трансверсаль но кэлеровой формой F . Наличие такой формы можно использоват для описания подмногообразий в ZK.

12


Рассмотрим комплексифицированное отображение и зададим (m - n)-мерную подгруппу (CЧ)m:
G = exp(Ker AC) = ez1 , . . . , ez
m

A C : Cm Cn

,e

i

a

(CЧ)m : (z1, . . . , zm) Ker AC .

Заметим, что

CG

.

Группа G действует на U (K), и е? орбиты задают голоморфное слое ние на U (K). Так как G (CЧ)m, это действие свободно на открыто подмножестве (CЧ)m U (K), так что общий лист этого слоение имее комплексную размерность m - n = 2 .

-мерная замкнутая подгруппа C G действует на U (K) свободно и соб ственно по теореме 2, так что фактор U (K)/C нес?т голоморфное дей ствие факторгруппы D = G/C .
F

голоморфное слоение на

U (K)/C = ZK

орбитами группы

D

.
13


Подгруппа G (CЧ)m замкнута тогда и только тогда, когда она изо морфна (CЧ)2 ; в этом случае подпространство Ker A Rm рационально Тогда веер также рационален V фактор U (K)/G. Слоение F зада? голоморфное расслоение : ZK V со слоем комплексный тор G/C . Для конфигурации ненулевых векторов a 1 групп G биголоморфна C2 , а факторгруппа

, . . . , a m общего положения D = G/C биголоморфна C

14


-форма F на комплексном многообразии ZK наз. трансверсальн кэлеровой по отношению к слоению F , если а) F замкнута, т.е. dF = 0; б) F неотрицательна и е? нулевое подпространство есть касательно пространство к F .
(1, 1)

Полный симплициальный веер в Rn наз. слабо нормальным, если суще ствует (не обязательно простой) n-мерный многогранник P такой, что есть симплициальное подразбиение нормального веера P .
Теорема 3.

Пусть слабо нормальный веер. Тогда существует (1, 1) форма F на ZK = U (K)/C , которая трансверсально кэлерова для слое ния F на плотном открытом подмножестве (CЧ)m/C U (K)/C .

15


Для каждого

J [ m]

определим координатное подмногообразие в for
i J }. /

ZK

:

ZKJ = {(z1, . . . , zm) ZK : zi = 0

Подмногообразие

ZK

J

есть фактор

U (KJ ) = {(z1, . . . , zm) U (K) : zi = 0 for i J } / по действию группы C = C . В частности, U (KJ )/C комплексное многообразие в ZK = U (K)/C .

под

Заметим, что замыкание любой (CЧ)m-орбиты в U (K) имеет вид для некоторого J [m] (плотная орбита соответствует J = [m]). Аналогично, замыкание любой вид ZKJ .
(CЧ)m/C

U (KJ

-орбиты в

ZK = U (K)/C

имее

16


Предположим, что комплексная структура на ZK = зада?тся данным общего положения. Тогда любой дивизор на объединение координатных дивизоров.
Теорема 4.

U (K )/ ZK ест

Более того, если веер является слабо нормальным, то любое компакт ное неприводимое аналитическое подмножество Y ZK положительно размерности является координатным подмногообразием. Для комплексной структуры общего положения на сутствуют непостоянные мероморфные функции.
Следствие 1.

ZK

от

17


[BP] Victor Buchstaber and Taras Panov. Torus Actions and Their Application in Topology and Combinatorics. University Lecture Series, vol. 24, Ame Math. Soc., Providence, R.I., 2002.

[PU] Taras Panov and Yuri Ustinovsky. Complex-analytic structures on momen angle manifolds. Moscow Math. J. 12 (2012), no. 1.

PUV] Taras Panov, Yuri Ustinovsky and Misha Verbitsky. Complex geometry o moment-angle manifolds. Preprint (2013); arXiv:1308.2818.

18