Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://higeom.math.msu.su/people/taras/teaching/ekz-topology1-1.pdf Дата изменения: Wed Dec 23 17:38:51 2015 Дата индексирования: Sun Apr 10 01:11:25 2016 Кодировка: Windows-1251

ЭКЗАМЕН ПО КУРСУ ?ТОПОЛОГИЯ1? НМУ, ВЕСНА 2015 Г.
ЛЕКТОР: Т. Е. ПАНОВ

1. Пусть Z пространство, получаемое из Y приклеиванием n-мерной клетки при помощи отображения f : S n-1 Y : где S n- что 2. а) б) 3. 4. 5. 6. если y = f (s) и s S n-1 = Dn, т.е. точки граничной сферы приклеиваются к их образам в Y при отображении f . Докажите, хаусдорфово, то Z также хаусдорфово. Докажите, что не существует ретракции полнотория D2 Ч S 1 на его граничный тор S 1 Ч S 1. Докажите, что не существует ретракции листа М?биуса M на его граничную окружность S 1. Найдите фундаментальную группу k-мерного остова n-мерного симплекса n при n k 1. Найдите 1(RP 2 RP 2 RP 3). Пусть X = D3 D3 букет двух тр?хмерных шаров (склеенных в точках их границ). Докажите, что любое непрерывное отображение X X имеет неподвижную точку. Пусть f : X X X отображение ?складывания?, при котором каждое слагаемое букета отображается тождественно. а) Найдите гомотопический слой отображения f : CP CP CP . б) Выразите гомотопический слой отображения f : X X X через известные вам операции над топологическими пространствами.
1

y s, Dn если Y

Z = Y f Dn = Y

D n / ,


2

ЛЕКТОР: Т. Е. ПАНОВ

1. Прежде всего заметим, что f (S n-1) Y замкнуто, так как S n-1 компактно, а Y хаусдорфово. Представим Z в виде объединения непересекающихся подмножеств из которых первое и третье открыты, а второе замкнуто. Пусть z1, z2 Z две различные точки. Предположим сначала, что ни одна из них не попала в f (S n-1). Если z1 (Y \ f (S n-1)), то в качестве U1 возьм?м любое открытое множество, содержащее z1, целиком лежащее в Y и не пересекающее f (S n-1). Если z1 (Dn \ S n-1), то в качестве U1 возьм?м любое открытое множество, содержащее z1, целиком лежащее в Dn и не пересекающее S n-1. Аналогично определим U2. Если же z1 и z2 попали в одно множество (Y \ f (S n-1) или Dn \ S n-1), то окрестности U1 и U2 нужно дополнительно выбрать непересекающимися (Y и Dn хаусдорфовы). Осталось рассмотреть случай, когда одна из точек z1, z2 попала в f (S n-1). Тогда обе точки лежат либо в образе пространства Y , либо в образе пространства Dn при отображении проекции на фактор-пространство Y Dn Z = Y Dn / . Непересекающиеся окрестности точек z1 , z2 получаются из рассмотрения их непересекающихся окрестностей в Y или Dn. r i 2. а) Ретракция S 1 Ч S 1 - D2 Ч S 1 - S 1 Ч S 1 да?т гомоморфизмы фундаментальных групп Z2 Z Z2, композиция которых тождественна, что невозможно. i r б) Ретракция S 1 - M - S 1 да?т гомоморфизмы фундаментальных 2 групп Z -ћ Z Z, композиция которых тождественна, что невозможно. 2 3. При k = 1 свободная группа с Cn+1 - n образующими, при k > 1 нулевая. При k = 1 нужно построить максимальное дерево в полном графе с n + 1 вершиной и стянуть его. При k > 1 аккуратно воспользоваться теоремой о клеточной аппроксимации. 4. 1(RP 2 RP 2 RP 3) = 1(RP 2) 1( RP 2) 1( RP 3) = = 1 (RP 2 ) 2 (RP 2 ) 2 (RP 3 ) = 1 (RP 2 ) 2 (S 2 ) 2 (S 3 ) = Z2 Z. i r 5. Заметим, что имеется ретракция D3 D3 - D3 - D3 D3 (нужно поместить букет внутрь шара вдвое большего радиуса). Поэтому если отображение f : D3 D3 D3 D3 не имеет неподвижных точек, то отображение i f r : D3 D3 также не имеет неподвижных точек. Однако это невозможно согласно 3-мерной теореме Брауэра. 2-мерную теорему Брауэра мы доказали на лекциях, используя 1(S 1) = Z. 3-мерная теорема Брауэра доказывается аналогично, используя 2(S 2) = Z (это мы также вывели на лекциях).
Z = (Y \ f (S
n-1

РЕШЕНИЯ

))

f (S

n-1

)

(Dn \ S

n-1

),


ЭКЗАМЕН ПО КУРСУ ?ТОПОЛОГИЯ1?

НМУ, ВЕСНА 2015 Г.

3

6. Ответ в а) S 2, а в б) слой отображения f : X квадрат где

X . Из определения следует, что гомотопический X X есть пространство F , входящее в декартов F X X

f

/

PX
/

PX X

расслоение путей. Мы имеем

X



F

P X X P X

X

.