Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://higeom.math.msu.su/people/taras/teaching/panov-topology1.pdf Дата изменения: Sun Dec 20 20:16:34 2015 Дата индексирования: Sun Apr 10 01:11:30 2016 Кодировка: Windows-1251

Введение в топологию / Топология-1

ПАНОВ Тарас Евгеньевич

Механико-математический факультет МГУ им. М. В. Ломоносова Независимый Московский университет

Последняя редакция: 20 декабря 2015 г.


0
Содержание

Предисловие Список литературы 1. Необходимые сведения из общей топологии Основные понятия Произведения и копроизведения, декартовы и кодекартовы квадраты Топология на пространстве отображений Задачи и упражнения 2. Операции над топологическими пространствами Конус, надстройка и джойн Пространства с отмеченной точкой Пространства путей и петель Задачи и упражнения 3. Гомотопии и гомотопические эквивалентности Задачи и упражнения 4. Клеточные пространства Определение и примеры Свойство продолжения гомотопии Теорема о клеточной аппроксимации Задачи и упражнения 5. Фундаментальная группа Определение и основные свойства Зависимость от отмеченной точки Фундаментальная группа окружности Задачи и упражнения 6. Теорема ван Кампена Свободное произведение групп Формулировка и доказательство теоремы Задачи и упражнения 7. Фундаментальная группа клеточного пространства Задачи и упражнения 8. Накрытия Определение и примеры Свойство поднятия гомотопии Накрытия и фундаментальная группа Теорема о поднятии отображений Универсальное накрытие Классификация накрытий Графы, свободные группы и теорема НильсенаШрайера Задачи и упражнения 9. Расслоения Локально тривиальные расслоения. Свойство поднятия гомотопии Расслоения в смысле Гуревича и Серра Расслоения и корасслоения. Теорема факторизации Задачи и упражнения 10. Гомотопические группы

1 1 2 2 4 5 6 7 7 8 8 9 9 10 10 10 14 16 18 19 19 21 22 23 24 24 25 28 29 31 32 32 32 33 34 35 37 37 39 40 40 42 43 45 47


1

Определение. Коммутативность Относительные гомотопические группы. Точная последовательность пары Гомотопическая последовательность расслоения Теорема Уайтхеда Задачи и упражнения Предметный указатель

47 48 50 52 53 54

Предисловие

Это первая часть базового курса лекций по алгебраической топологии (курсы ?Введение в топологию? на механико-математическом факультете МГУ и ?Топология-1? в Независимом Московском университете). Основная часть курса начала теории гомотопий. Сюда входит теория клеточных пространств, фундаментальная группа, накрытия, гомотопическая теория расслоений и высшие гомотопические группы. Данный текст доступен на странице Т. Е. Панова на сайте кафедры высшей геометрии и топологии: http://higeom.math.msu.su/people/taras/

Список литературы

[1] В. А. Васильев. Введение в топологию. Москва, Фазис, 1997. [2] О. Я. Виро, О. А. Иванов, Н. Ю. Нецветаев, В. М. Харламов. Элементарная топология. Москва, МЦНМО, 2010. [3] А. Т. Фоменко, Д. Б. Фукс. Курс гомотопической топологии. Москва, ?Наука?, 1989. [4] А. Хатчер. Алгебраическая топология. Москва, МЦНМО, 2011.


2

1.

Необходимые сведения из общей топологии

Основные понятия.

(а) пустое множество и вс? множество X являются открытыми; (б) объединение любого набора открытых множеств является открытым; (в) пересечение конечного числа открытых множеств является открытым. Набор T открытых подмножеств также называется на пространстве X . Если на множестве X введены две топологии T1 и T2 , прич?м каждое подмножество из T1 лежит в T2 , то говорят, что топология T1 (в другой терминологии ) топологии T2 , а топология T2 ( ) топологии T1 . Самой тонкой топологией на X является , в которой все подмножества открыты, а самой грубой , в которой открытыми являются только и X. Любое открытое множество U , содержащее данную точку x X , называется этой точки. Отображение f : X Y топологических пространств , если для любого -1 открытого подмножества U Y подмножество f (U ) открыто в X . Отображение f : X Y называется , если оно непрерывно, взаимно однозначно -1 и обратное отображение f : Y X также непрерывно. Для гомеоморфных пространств X и Y используется обозначение X Y . =

Топологическим пространством называется множество X с выделенным подмножеств, называемых открытыми, которые удовлетворяют условиям: топологией

набором

грубее тоньше сильнее дискретная антидискретная

слабее

окрестностью

непрерывно

гомеоморфизмом

Далее под ?пространством? мы будем понимать топологическое пространство, а под ?отображением? непрерывное отображение.
Каждое подмножество A X является топологическим пространством относительно топологии, в которой открытые множества имеют вид A U , где U открыто в X . При этом отображение i : A X непрерывно. Подмножество A X , если его дополнение открыто. Точка x X называется для подмножества A X , если любая окрестность точки x содержит точку из A, отличную от x. Подмножество A X замкнуто тогда и только тогда, когда оно содержит все свои предельные точки (упражнение). Пространство X , если его нельзя представить в виде объединения A B непересекающихся подмножеств A и B , каждое из которых непусто, открыто и замкнуто. Пространство X , если из каждого его покрытия открытыми множествами X = iI Ui можно выделить конечное подпокрытие X = U1 . . . Un . Пространство X , если у любых его двух различных точек x, y X существуют непересекающиеся окрестности, U x, V y , U V = .

индуцированной предельной

замкнуто

вложения

связно

компактно хаусдорфово

Теорема 1.1.

Непрерывное взаимно однозначное отображение f : X Y компактного пространства X на хаусдорфово пространство Y является гомеоморфизмом.
Доказательство опирается на три леммы.

Лемма 1.2.

Если X компактно и A X замкнутое подмножество, то A также компактно (в индуцированной топологии). Доказательство. Пусть A = iI Ui открытое покрытие. Имеем Ui = Vi A, где
Vi открыто в X . Тогда X = (X \ A)
i I

Vi открытое покрытие. Выделим


3

Если f : X Y непрерывное сюръективное отображение и X компактно, то Y также компактно. Доказательство. Пусть Y = iI Ui открытое покрытие. Тогда X = iI f -1(Ui)
Лемма 1.3.
также является открытым покрытием. Выделим конечное подпокрытие X f -1 (U1 ) . . . f -1 (Un ). Тогда Y = U1 . . . Un конечное подпокрытие.

конечное подпокрытие X = (X \ A) V1 . . . Vn . Тогда A = U1 . . . Un конечное подпокрытие.

=

Если Y хаусдорфово и замкнуто. Доказательство. Предположим, что
Лемма 1.4.
кая, что y B . Для / Ub b, Vb y , Ub Vb подпокрытие B = Ub1 пересекающаяся с B .

BY

компактное подмножество, то

B

Доказательство теоремы 1.1.

для B найд?тся предельная точка y Y , такаждой точки b B выберем открытые (в Y ) подмножества = . Из открытого покрытия B = bB Ub выделим конечное . . . Ubn . Тогда V = Vb1 . . . Vbn окрестность точки y , не Противоречие.

Надо доказать, что обратное отображение f -1 : Y X непрерывно. Другими словами, надо доказать, что f переводит открытые множества в открытые (такие отображения называются ). Так как f взаимно однозначно, это эквивалентно тому, что f переводит замкнутые множества в замкнутые. Пусть A X замкнуто. Согласно лемме 1.2, A компактно. Согласно лемме 1.3, f (A) Y также компактно. Наконец, согласно лемме 1.4, f (A) замкнуто.

открытыми

Пусть задано некоторое отношение эквивалентности на X . Обозначим через X/ множество классов эквивалентности. Обозначим через p : X X/ естественное отображение, которое сопоставляет точке е? класс эквивалентности. Тогда на множестве X/ определена , в которой множество U X/ открыто тогда и только тогда, когда его прообраз p-1 (U ) открыт в X . Отображение p : X X/ непрерывно относительно фактор-топологии и называется . Вот два важнейших примера фактор-пространства:

фактор-топология

отображением
Пример 1.5.

фактор-

1. Пусть A X , а отношение эквивалентности на X задано так: x1 x2 тогда и только тогда, когда либо x1 = x2 , либо x1 A и x2 A. Фактор-пространство X/ обозначается X/A; говорят, что X/A получается из X A . Обратим внимание, что если A = pt точка, то X/pt гомеоморфно X , а X/ гомеоморфно несвязному объединению X и точки. 2. Говорят, что группа G на пространстве X , если для каждого элемента g G задано непрерывное отображение g : X X , такое, что e = id (тождественное отображение) и gh = g h (композиция). Заметим, что каждое отображение g является гомеоморфизмом (с обратным g-1 ). Точка g (x) обозначается просто g x. точки x X под действием G называется подмножество

ку

стягиванием в точ-

действует слева

Орбитой

Gx = {g x : g G}.
Орбиты разных точек не пересекаются или совпадают и тем самым задают отношение эквивалентности на X : x y если существует g G, такой, что g x = y .


4

Соответствующее фактор-пространство X/ называется по действию G и обозначается X/G.

пространством орбит

Произведения и копроизведения, декартовы и кодекартовы квадраты.

топологии T на X называется набор открытых подмножеств Ui : i I , такой, что любое открытое множество в X представляется в виде объединения (конечного или бесконечного) подмножеств Ui . пространств X и Y называется множество X Ч Y (состоящее из пар (x, y ), x X , y Y ) с топологией, базу которой образуют подмножества вида U Ч V , где U открыто в X , а V открыто в Y . Эта топология называется .

Базой

Произведением

произведения логий на

топологией

Предложение 1.6.

XЧY pY : X Ч Y Y (x, y ) y

Топология произведения является самой грубой из всех топо, относительно которых проекции pX : X Ч Y X , (x, y) x, и , , являются непрерывными. Предложение 1.7 (универсальное свойство произведения). Пусть даны отображения f : Z X и g : Z Y . Тогда существует единственное отображение h : Z X Ч Y , такое, что pX h = f и pY h = g . Это выражается коммутативной диаграммой:
Z
f h g

X ЧY

p
Y

#

p

/
X

&

X

Y

конечное число отлично от топологией произведения
(1)

Данное универсальное свойство определяет понятие . Тем самым топология произведения зада?т категорное произведение в категории топологических пространств. Доказательство последних двух утверждений оставляется в качестве упражнений. По аналогии определяется произведение конечного числа пространств X1 Ч. . .ЧXn . Можно также определить бесконечное произведение iI Xi , однако здесь имеется тонкость: для того чтобы такое произведение обладало свойством универсальности по отношению к проекциям pi : iI Xi Xi в качестве базы топологии необходимо брать только произведения вида iI Ui , где каждое Ui открыто в Xi и Ui Xi (упражнение). Именно эта топология называется в случае бесконечного числа пространств. Обобщением произведения является понятие декартового квадрата:

категорного произведения

лишь

Z
h

f

g

X ЧA Y

p
Y

$

&
p

/

X

X

r

/A Y Квадратная диаграмма в нижней правой части рисунка называется , если она обладает универсальным свойством, описываемым рисунком.
s

квадратом

декартовым


5

Пространство X ЧA Y называется (или , в англ. терминологии ) пространств X и Y с заданными отображениями r : X A и s : Y A. Таким образом, расслоенное произведение X ЧA Y это такое пространство с заданными отображениями pX : X ЧA Y X и pY : X ЧA Y , что r pX = s pY и для любого пространства Z с отображениями f : Z X и g : Z Y , такими, что r f = s g , существует единственное отображение h : Z X ЧA Y , такое, что pX h = f и pY h = g . Существование декартового квадрата (расслоенного произведения) доказывается предъявлением явной конструкции пространства X ЧA Y , использующей индуцированную топологию и топологию произведения:

pul lback

расслоеным произведением

коамальгамой

X ЧA Y = {(x, y ) X Ч Y : r(x) = s(y )}.
Проверка универсального свойства оста?тся в качестве упражнения. Обращение стрелок приводит к двойственной конструкции копроизведения и :

декартова квадрата

ко-

(2)

A Y

s i
Y

r i

/

X

f h g

X

/

X A Y

Пространство X A Y называется (или , в англ. терминологии ) пространств X и Y с заданными отображениями r : A X и s : A Y . Явная конструкция пространства X A Y использует фактор-топологию:

pushout

склейкой

амальгамой

#, Z

X A Y = X

Y / ,

где x y , если x = r(a) и y = s(a) для некоторого a A.

В частности, при A = получаем, что их несвязное объединение X Y .

копроизведением

пространств X и Y является

Топология на пространстве отображений.

топологии T на X называется набор открытых подмножеств Ui : i I , порождающих T (т.е. T является самой грубой топологией, в которой все Ui открыты). Более явно, предбаза это набор открытых множеств, совокупность всевозможных конечных пересечений которых образует базу. Рассмотрим множество всех непрерывных отображений f : X Y . Это множество обозначается C (X, Y ) или Y X . На н?м можно ввести топологию следующим образом. Для каждого компактного подмножества K X и открытого открытого множества U Y рассмотрим подмножество отображений

Предбазой

W (K, U ) = {f Y

X

: f (K ) U }.

Топология на Y X , порожд?нная набором всевозможных подмножеств W (K, U ) (т.е. для которой подмножества W (K, U ) образуют предбазу), называется . Далее будем предполагать, что на Y X всегда введена компактно-открытая топология.

открытой топологией

компактно-


6

то топология на Доказательство.

Предложение 1.8.
Y

X

Если X конечное множество (с дискретной топологией), совпадает с топологией произведения xX Y .

Любое подмножество K X является компактным. Каждое множество W (K, U ) является конечным пересечением xK W (x, U ), а множества W (x, U ) порождают топологию конечного произведения xX Y .

Задачи и упражнения. 1.9. Подмножество A X замкнуто тогда и только тогда, когда оно содержит все
свои предельные точки.

1.10. В хаусдорфовом пространстве точки являются замкнутыми множествами. 1.11. Привести пример непрерывного взаимно однозначного отображения между
компактными пространствами, которое не является гомеоморфизмом.

1.12. Отображение f : X Y называется

, если прообразы компактных подмножеств компактны. Доказать, что отображение f : X Y компактного пространства X в хаусдорфово пространство Y собственно.

собственным

1.13. Открытое инъективное отображение является вложением (в смысле индуциро-

ванной топологии). Аналогично, замкнутое инъективное отображение является вложением.

1.14. Открытое сюръективное отображение является фактор-отображением (в смыс1.15. Индуцированная топология на A X является самой грубой из всех топологий, для которых отображение A X непрерывно.

ле фактор-топологии). Аналогично, замкнутое сюръективное отображение является фактор-отображением.

1.16. Фактор-топология на X/ является самой тонкой из всех топологий, для которых отображение X X/ непрерывно.
хаусдорфовым даже если X хаусдорфово, а A X замкнуто.

1.17. Если A X и X/A хаусдорфово, то A замкнуто. Однако X/A может быть не

1.18. Доказать предложения 1.6 и 1.7. 1.19. Доказать, что произведение конечного числа компактных пространств компактно. Соответствующее утверждение в случае бесконечного числа пространств известно как и является одним из самых значимых результатов общей топологии. Теорема Тихонова эквивалентна аксиоме выбора (полезно самостоятельно вывести аксиому выбора из теоремы Тихонова или разобрать доказательство).

теорема Тихонова

1.20. Канторово множество гомеоморфно произведению сч?тного числа дискретного
пространства {0, 1}. ки X A Y .

1.21. Проверить универсальные свойства расслоенного произведения X ЧA Y и склей1.22. Что является произведением, копроизведением и кодекартовым квадратом в
категориях групп и абелевых групп?


7

1.23. Верно ли предложение 1.8 для произвольного пространства X ? 1.24. Имеет место гомеоморфизм
C (X, Y Ч Z ) C (X, Y ) Ч C (X, Z ) =
или

1.25. Пространство Y называется

, если для каждой точки y Y найд?тся окрестность, замыкание которой компактно. Если Y хаусдорфово и локально компактно, то отображение композиции

локально компактным

(Y Ч Z )X Y =

X

Ч ZX .

: C (X, Y ) Ч C (Y , Z ) C (X, Z ),
непрерывно. В частности, непрерывно.

отображение вычисления

(f , g ) g f

e : Y Ч C (Y , Z ) Z,

(y , f ) f (y )

1.26 (экспоненциальный закон). Определено каноническое отображение
: C (X Ч Y , Z ) C (X, C (Y , Z ))
или

: Z

X ЧY

(Z Y )X ,

при котором отображение f : X ЧY Z переходит в отображение (f ) : X C (Y , Z ), переводящее x X в отображение y f (x, y ). Доказать, что если X хаусдорфово, а Y хаусдорфово и локально компактно, то гомеоморфизм. 2.
Операции над топологическими пространствами

Конус, надстройка и джойн. Символ I обозначает у нас единичный отрезок [0, 1].

X = C X/(X Ч 0). (Обратите внимание, что это не то же самое, что факторпространство (X Ч I )/(X Ч 1 X Ч 0).) Пространство X вкладывается в надстройку 1 X в качестве X Ч 2 . По-другому надстройку можно определить как склейку двух конусов по их основаниям: X = C X X C X ; таким образом мы имеем кодекартов квадрат X CX

i i

Цилиндром над X называется произведение X Ч I ; подпространства X Ч 1 и X Ч 0 называются (верхним и нижним) основаниями цилиндра. Конус C X над X это факторпространство цилиндра по его верхнему основанию: C X = (X Ч I )/(X Ч 1). Образ основания X Ч 1 называется вершиной конуса, а образ основания X Ч 0 основанием конуса. Надстройкой X над X называется факторпространство конуса по его основанию:

/

CX X,


/

где каждое из отображений i является вложением X на основание цилиндра. (или ) X Y пространств X и Y удобно представлять себе как объединение отрезков, соединяющих каждую точку пространства X с каждой точкой пространства Y . Формально джойн определяется как факторпространство

Джойн

соединение

X Y = X Ч Y Ч I / (x, y1 , 0) (x, y2 , 0), (x1 , y , 1) (x2 , y , 1)
при любых x, x1 , x2 X и y , y1 , y2 Y . Произведение, X Ч Y вкладывается в джойн 1 в качестве X Ч Y Ч 2 .


8

Пример 2.1.

1. Рассмотрим n

-мерную сферу
+1

S n = x = (x0 , x1 , . . . , xn ) Rn

: x 2 + x2 + . . . + x2 = 1 . 0 1 n
n+1

(При n = 0 получаем S 0 = две точки.) Тогда C S n = D а надстройка S n гомеоморфна S n+1 (упражнение). 2. Джойн S k S l гомеоморфен сфере S k+l+1 .

(шар размерности n + 1),

, т.е. считается, что во всех рассматриваемых пространствах выделены отмеченные точки и все отображения переводят отмеченные точки в отмеченные. При этом операции, описанные выше, видоизменяются следующим образом. пространств с отмеченными точками (X, x0 ) и (Y , y0 ) называется пространство X Ч Y с отмеченной точкой (x0 , y0 ). В и над (X, x0 ) дополнительно стягивается подпространство x0 Ч I , т.е.

Пространства с отмеченной точкой. В теории гомотопий часто имеют дело с

пространствами с отмеченной точкой Произведением

конусе надстройке

C (X, x0 ) = X Ч I /(X Ч 1 x0 Ч I ),

(X, x0 ) = C X/(X Ч 0 x0 Ч I ).

При этом стянутое подпространство объявляется отмеченной точкой. В (X, x0 ) (Y , y0 ) дополнительно стягивается подпространство x0 Ч y0 Ч I . Если из контекста ясно, что мы имеем дело с пространствами с отмеченными точками, то мы часто будем использовать обозначение X вместо (X, x0 ) (также X вместо (X, x0 ) и т.д.). Имеются следующие две дополнительные операции над пространствами с отмеченными точками. пространств с отмеченными точками X и Y называется пространство X Y , получаемое склейкой X и Y по отмеченным точкам x0 и y0 :

джойне

Букетом

X Y =X

Y /(x0 y0 ).

Букет X Y естественным образом вкладывается в произведение X Ч Y в качестве подпространства X Ч y0 x0 Ч Y ; при этом отмеченная точка букета переходит в (x0 , y0 ). Букет является копроизведением в категории пространств с отмеченными точками (упражнение). (или ) пространств с отмеченными точками X и Y называется пространство X Y , получаемое факторизацией произведения X Ч Y по вложенному букету X Y :

Привед?нным произведением

смэш-произведением

X Y = (X Ч Y )/(X Y ) = (X Ч Y )/(X Ч y0 x0 Ч Y ).

Пространства путей и петель.

ние : I X ; точка (0) называется путь, начинающийся и заканчивающийся в одной точке. Пространство X , любые две точки которого можно соединить пут?м, называется . Линейно связное пространство связно, но обратное верно не всегда (упражнение). Пусть X пространство с отмеченной точкой. на X называется подпространство P X C (I , X ), состоящее из путей, начинающихся в отмеченной точке x0 . на X называется подпространство X P X ,

Пут?м в пространстве X называется отображеназывается началом, а (1) концом пути . Петл?й Пространством путей

линейно связным

Пространством петель


9

состоящее из петель, начинающихся и заканчивающихся в отмеченной точке x0 . Отмеченной точкой пространства X является постоянная петля, (x) = x0 .

Теорема 2.2.

меоморфизм

Если

X

хаусдорфово, то имеет место естественный по . в отображение

X

и Y го,

переводящий отображение где x петля , Доказательство. Согласно
морфизм

C ( X, Y ) C (X, Y ), f : X Ч I X Y I Y t f (x, t)

X Y x x

,

экспоненциальному закону (задача 1.26), имеем гомео =

C (X Ч I , Y ) - C (X, C (I , Y )). При этом подпространство C ( X, Y ) C (X Ч I , Y ), состоящее из отображений f : X Ч I Y , для которых f (x, 0) = f (x, 1) = f (x0 , t) = y0 , переходит в подпространство C (X, Y ) C (X, C (I , Y )) отображений, переводящих X в петли с началом y0 и переводящих x0 в постоянную петлю. Естественность по X и Y означает, что для отображений X X и Y Y существует коммутативная диаграмма C ( X, Y )

=

/

C (X , Y )


C ( X , Y )
Детали остаются в качестве упражнения.

=

/

C (X , Y )

Задачи и упражнения. 2.3. Докажите, что S n S =
n+1

, Sk Sl S =

k+l+1

и Sk Sl S =

k+l

.

2.4. Докажите, что букет является копроизведением в категории пространств с отмеченными точками, т.е. для него имеет место универсальное свойство

X
i
X

Y

i

Y

/

X Y
h g



f

#, Z

где все стрелки являются отображениями пространств с отмеченными точками.

2.5. Докажите, что линейно связное пространство связно. Приведите пример связного, но не линейно связного пространства. 3.
Гомотопии и гомотопические эквивалентности

Два отображения f , g : X Y между пространствами X и Y называются (обозначается f g ), если существует отображение F : X Ч I Y , такое, что F (x, 0) = f (x) и F (x, 1) = g (x) для любого x X . Отображение F называется между f и g . Для каждого t I будем обозначать через Ft отображение X Y , x F (x, t).

топными гомотопией

гомо-


10

Гомотопия является отношением эквивалентности между отображениями. Мы будем обозначать через [X, Y ] множество классов гомотопных отображений из X в Y . Если пространство X хаусдорфово и локально компактно, то имеем гомеоморфизм = C (I Ч X, Y ) - C (I , C (X, Y )). Таким образом, в этом случае гомотопию можно рассматривать как путь в пространстве отображений C (X, Y ), а множество классов гомотопных отображений [X, Y ] является множеством классов линейной связности пространства C (X, Y ). Два пространства X и Y , если существуют отображения f : X Y и g : Y X , такие, что композиции g f и f g гомотопны тождественным отображениям idX : X X и idY : Y Y , соответственно. Гомотопическая эквивалентность является отношением эквивалентности на пространствах, и пространства X называется класс пространств, гомотопически эквивалентных X . Пространство X , если оно гомотопически эквивалентно точке.

Замечание.

гомотопически эквивалентны

гомотопическим типом стягиваемо
n

Пример 3.1. Единичный шар Dn = {x Rn : |x |

1} стягиваем. Действительно, пусть f : D pt отображение в точку, а g : pt D отображение, переводящее точку в 0 Dn . Тогда f g : pt pt тождественное отображение, а g f : Dn Dn переводит каждую точку x Dn в 0. Гомотопия между id : Dn Dn и g f зада?тся отображением F : Dn Ч I Dn , (x , t) tx .
n

Задачи и упражнения. 3.2. Докажите, что пространство Rn стягиваемо, а Rn \ 0 гомотопически эквивалентно сфере S
n-1

.

3.3. Докажите, что надстройка над тором S 1 Ч S 1 гомотопически эквивалентна букету сфер и опишите этот букет.

3.4. Пусть X дополнение к 3 координатным осям в R3 . Докажите, что X гомотопически эквивалентно букету окружностей и найдите число окружностей в букете. пически эквивалентно букету сфер S 3 S 3 S 3 S 4 S 4 . 4.

3.5. Пусть X дополнение к 3 координатным осям в C3 . Докажите, что X гомотоКлеточные пространства

( , ) называется хаусдорфово топологическое пространство X , предq ставленное в виде объединения q =0 iI ei попарно непересекающихся подмножеств eq , называемых , таким образом, что для каждой клетки eq существует i i отображение замкнутого q -мерного шара Dq в X , называемое клетки eq , ограничение которого на внутренность шара int Dq есть i гомеоморфизм на eq . При этом предполагаются выполненными следующие аксиомы: i (C) граница eq \ eq клетки eq содержится в объединении конечного числа клеток ?i i i размерности < q ; (W) подмножество Y X замкнуто тогда и только тогда, когда для любой клетки eq замкнуто пересечение Y eq . ?i i

CW-комплексом отображением

Определение и примеры.

Клеточным пространством клеточным комплексом

клетками

характеристическим


11

Буквы ?С? и ?W? происходят из английской терминологии ?closure nite? и ?weak topology?, восходящей к Дж. Уайтхеду. Топология, описываемая аксиомой (W), является самой тонкой из топологий, по отношению к которым все характеристические отображения непрерывны (упражнение). Объединение клеток размерности n в клеточном пространстве X называется n пространства X и обозначается через skn X или X n . Клеточное пространство X может быть получено из его 0-остова X 0 (который представляет собой дискретное пространство) последовательным применением операции : пространство Z получается из Y приклеиванием n-мерной клетки при помощи отображения f : S n-1 Y , если Z входит в кодекартов квадрат

Замечание.

-м остовом

клетки

приклеивания

S

n-1



-- Y -

f

Dn - - Z - Мы будем использовать обозначение Z = Y f Dn . клеточного пространства X называется замкнутое подмножество, которое является объединением клеток из X . Каждый остов клеточного пространства X является клеточным подпространством. Клеточное пространство называется , если оно состоит из конечного числа клеток, и , если каждая его точка вместе с некоторой окрестностью принадлежит конечному подпространству. Отображение f : X Y клеточных пространств называется , если n n f (X ) Y для всех n.

Клеточным подпространством локально конечным

конечным

клеточным

Разбиение диска D2 на его внутренность и отдельные точки граничной окружности удовлетворяет аксиоме (W), но не удовлетворяет аксиоме (C). Рассмотрим букет сч?тного числа отрезков X = Ik с топологией, происходяk=1 щей из метрики: расстояние между точками t Ik и s Il равно |s - t|, если k = l и равно t + s, если k = l. Разбиение пространства X на внутренности отрезков и 1 оставшиеся точки удовлетворяет (C), но не (W): последовательность точек k Ik сходится к 0, т.е. является незамкнутым множеством, но е? пересечение с замыканием любой клетки замкнуто. Конечно, на X можно определить другую топологию так, чтобы аксиома (W) выполнялась, но эта топология не будет происходить ни из какой метрики. Если A, X, Y клеточные пространства и r : A X , s : A Y клеточные отображения, то склейка (амальгама) X A Y тоже клеточное пространство. В частности, цилиндр, конус и надстройка над клеточным пространством клеточные пространства. Пусть X, Y локально конечные клеточные пространства. Тогда разбиение произведения X Ч Y на клетки вида e Ч e , где e клетка в X , а e клетка в Y , зада?т на X Ч Y структуру клеточного пространства. (Если пространства X и Y не являются локально конечными, может возникнуть проблема с аксиомой (W); соответствующий пример и обсуждение можно найти в книге Хатчера).

Замечание.


12

1. Сфера S n имеет клеточное разбиение из двух клеток: точки e0 = (1, 0, . . . , 0) и множества en = S n \ e0 . Характеристическое отображение Dn S n , соответствующее второй клетке, переводит границу шара в точку e0 . Например, можно взять отображение

Пример 4.1.

( x1 , . . . , x n )
где r =

(- cos r, xr1 sin r, . . . , (-1, 0, . . . , 0),

xn r

sin r), если r = 0, если r = 0.

x2 + . . . + x2 . 1 n 2. Другое клеточное разбиение сферы S n состоит из 2n + 2 клеток e0 , e1 , . . . , en : + ++ клетка ek состоит из точек (x0 , . . . , xn ) S n , у которых xk+1 = ћ ћ ћ = xn = 0 и + +xk > 0. Здесь замыкание каждой клетки гомеоморфно шару. 3. RP n определяется как множество проходящих через 0 прямых в Rn+1 . Топологию в RP n можно ввести с помощи угловой метрики: расстояние между прямыми равно углу между ними. Координаты (x0 , x1 , . . . , xn ) направляющего вектора прямой (определ?нные с точностью до пропорциональности) называются точки из RP n ; при этом используется обозначение [x0 : x1 : . . . : xn ]. Точки, у которых i-я координата отлична от 0 составляют i-ю . Соответствие

Вещественное проективное пространство

однородными координатами аффинную карту
xi-1 xi

[x0 : x1 : . . . : xn ]

x0 xi

,...,

,

xi+1 xi

,...,

xn xi

определяет гомеоморфизм аффинной карты на Rn и зада?т в ней координаты. Имеется отображение S n RP n , которое переводит точку сферы в прямую, проходящую через эту точку и 0. При этом диаметрально противоположные точки сферы переходят в одну прямую. Таким образом, RP n получается из S n отождествлением диаметрально противоположных точек. Верхняя полусфера S n = {x S n : xn 0} гомеоморфна шару Dn (посредством отображения проекции, забывающего последнюю координату). Сужение отображения S n RP n на S n зада?т отображение Dn RP n , при котором в одну точку отображаются только диаметрально противоположные точки граничной сферы S n-1 Dn . При отображении S n RP n клетки ek и ek разбиения сферы S n из предыдущего + - примера склеиваются и получается разбиение пространства RP n на n + 1 клетку, по одной клетке ek в каждой размерности k n. Мы имеем

ek = {[x0 , x1 : . . . : xn ] RP n : xk = 0, x

k+1

= . . . = xn = 0}.

Другими словами, ek = RP k \ RP k-1 , где пространства RP k образуют цепочку вложений pt = RP 0 RP 1 . . . RP n . Характеристическим отображением для клетки ek является композиция Dk RP k RP n проекции и вложения. 4. Рассмотрим пространство R , представляющее собой объединение вложенных пространств R1 R2 R3 . . .. Таким образом, R есть множество (т.е. нулевых, начиная с некоторого места) последовательностей (x1 , x2 , x3 , . . .) вещественных чисел. Топология в R вводится правилом: подмножество A R замкнуто тогда и только тогда, когда все пересечения A Rn замкнуты в своих пространствах Rn (это самая тонкая топология, в которой все вложения Rn R непрерывны, она называется ).

финитных

топологией прямого предела


13

..

Комплексное проективное пространство однородные координаты
S
2n+1

это объединение вложенных проективных пространств RP RP RP . . .. Эквивалентно, RP это множество проходящих через 0 прямых в R . Пространство RP получается из S отождествлением диаметрально противоположных точек. Клеточные разбиения сфер S n и проективных пространств RP n из двух предыдущих примеров дают клеточные разбиения S и RP . Первое разбиение имеет по две клетки ek и ek , а второе по одной клетке ek в каждой размерности k 0. - +

Бесконечномерная сфера S это объединение вложенныхсфер S .. По-другому, S это единичная сфера в пространстве R . Бесконечномерное вещественное проективное пространств3о RP 1 2

1

S2 S3

5. CP n определяется как множество проходящих через 0 прямых в Cn+1 . Как и в случае RP n , на пространстве CP n имеются [z0 : z1 : . . . : zn ] (определ?нные с точностью до умножения на ненулевое комплексное число) и CP n покрывается n + 1 аффинными картами, каждая из которых гомеоморфна пространству Cn . Рассмотрим единичную сферу

= (z0 , z1 , . . . , zn ) Cn+1 : |z0 |2 + |z1 |2 + . . . + |zn |2 = 1 .

Мы имеем отображение S 2n+1 CP n , (z0 , z1 , . . . , zn ) [z0 : z1 : . . . : zn ], при котором прообразом точки [z0 : z1 : . . . : zn ] CP n является окружность в S 2n+1 , состоящая из точек (z0 z , z1 z , . . . , zn z ) с |z | = 1. Рассмотрим также шар

D

2n

= {(z0 , z1 , . . . , zn ) S

2n+1

: zn R, zn

0}.

Тогда отображение S 2n+1 CP n ограничивается до отображения D2n CP n , которое взаимно однозначно на внутренности шара, а на границе S 2n-1 происходит отождествление как описано выше (окружности переходят в точки). Это да?т разбиение CP n на клетки

e

2k

= {[z0 , z1 : . . . : zn ] CP n : zk = 0, z

k+1

= . . . = zn = 0},

по одной в каждой ч?тной размерности 2k ниями D2k CP k CP n .

2n, с характеристическими отображе-

6. Классические двумерные поверхности (сферы с ручками, проективные плоскости с ручками, бутылки Клейна с ручками) получаются пут?м отождествления реб?р на границе многоугольника. Это приводит к клеточным разбиениям поверхностей с одной двумерной клеткой.
r E

a

r

r

r

a

'

r ї 2 b r

r'r a2 d d bd
1

dr

b T
r

bT a E
r

a T
r

ac

b T
r

bT a E
r

a a1 c T2 r r d b2 b1 d s d a dr E 1 r

а) Тор

б) RP

2

в) Бутылка Клейна
Рис. 1

г) Крендель


14

На рис. 1 a) изображено клеточное разбиение тора, получаемое отождествлением реб?р квадрата в соответствии с буквами и направлением стрелок. Получаемое разбиение имеет одну 0-мерную клетку (в которую склеиваются все вершины), две 1-мерных клетки a и b и одну 2-мерную клетку (внутренность квадрата). На рис. 1 б) изображено клеточное разбиение проективной плоскости с одной 0мерной, одной 1-мерной и одной 2-мерной клетками. Это разбиение совпадает с разбиением из примера 3 при n = 2. На рис. 1 в) изображено клеточное разбиение бутылки Клейна с одной 0-мерной, двумя 1-мерными и одной 2-мерной клетками. На рис. 1 г) изображено клеточное разбиение сферы с двумя ручками (кренделя), получаемое отождествлением реб?р восьмиугольника. Оно содержит одну 0-мерную, четыре 1-мерные и одну 2-мерную клетками. Аналогично, разбиение сферы с g ручками (также называемой g ) можно получить отождествлением р?бер 4g -угольника. Такое разбиение имеет 2g одномерных клеток a1 , . . . , ag и b1 , . . . , bg . Разбиение проективной плоскости с g ручками можно получить отождествлением р?бер 4g + 2-угольника, а разбиение бутылки Клейна с g ручками отождествлением р?бер 4g + 4-угольника.

ориентируемой поверхностью рода

Свойство продолжения гомотопии. Подпространство A пространства X назы-

вается его , если существует отображение r : X X , такое, что r(X ) = A и r|A = id (т.е. r(a) = a для любого a A). Отображение r называется X 2 на A; оно удовлетворяет соотношению r = r и является топологическим аналогом проектора. Если ретракция r : X X , r(X ) = A, гомотопна тождественному отображению, то A называется пространства X . Если, сверх того, гомотопию F : X Ч I X между r и id можно сделать тождественной на A (т.е. F (a, t) = a для любого t I ), то A называется пространства X . пространств называется пара (X, A), где X пространство, а A его подпространство. f : (X, A) (Y , B ) называется непрерывное отображение f : X Y , такое, что f (A) B . Например, отображение пространств с отмеченными точками является отображением пар (X, pt ) (Y , pt ). Говорят, что пара (X, A) обладает (homotopy extension property, HEP), если для любого отображения f : X Z и гомотопии F : A Ч I Z , такой, что F0 = f |A , существует гомотопия F : X Ч I Z , для которой F0 = f и F |AЧI = F . Таким образом, (X, A) обладает свойством продолжения гомотопии, если любое отображение X Ч 0 A Ч I Z можно продолжить до отображения X Ч I Z . Пара (X, A), удовлетворяющая свойству продолжение гомотопии, также называется , а отображение A X (смысл последнего термина будет объясн?н позже, в разделе 9).

ретрактом

ретракцией

деформационным ретрактом строгим деформационным ретрактом Отображением пар

Парой

свойством продолжения гомотопии

парой Борсука

корасслоением

Предложение 4.2.

Пара (X, A) обладает свойством продолжения гомотопии тогда и только тогда, когда X Ч 0 A Ч I ретракт пространства X Ч I . Доказательство. Свойство продолжения гомотопии влеч?т, что тождественное отоб-

ражение id : X Ч 0 A Ч I X Ч 0 A Ч I продолжается до отображения X Ч I X Ч 0 A Ч I , а потому X Ч 0 A Ч I является ретрактом пространства X Ч I .


15

Пусть теперь дана ретракция r : X Ч I X Ч 0 A Ч I . Отображения f : X Ч 0 Z и F : A Ч I Z согласованы на A Ч 0, а потому склеиваются в отображение X Ч 0 AЧ0 AЧI Z (см. упражнение 1.21). Трудность может заключаться в том, что топология склейки X Ч 0 AЧ0 A Ч I (фактор-топология несвязного объединения X Ч 0 A Ч I ) может отличаться от топологии, индуцированной вложением X Ч 0 A Ч I X Ч I . Однако при наличии ретракции r : X Ч I X Ч 0 A Ч I топология склейки грубее индуцированной топологии (это очевидно в случае, когда A замкнуто в X , и нам понадобится лишь этот случай), поэтому непрерывное отображение X Ч0AЧ0 AЧI Z из склейки будет также непрерывно в индуцированной топологии. В результате получаем композицию

X Ч I - X Ч 0 A Ч I - Z,
которая зада?т требуемое продолжение гомотопии. называется пара (X, A), где X клеточное пространство, а A его клеточное подпространство.

r

f F

Клеточной парой

пии. Доказательство.

Теорема 4.3.

Клеточная пара

(X, A)

обладает свойством продолжения гомото-

Мы докажем, что X Ч 0 A Ч I является ретрактом (и даже деформационным ретрактом) пространства X Ч I ; тогда результат будет следовать из предложения 4.2. Рассмотрим ретракцию r : Dn Ч I Dn Ч 0 Dn Ч I , задаваемую центральной проекцией из точки (0, 2) Dn Ч R. Полагая rt = tr + (1 - t) id, мы видим, что r является деформационной ретракцией. Эта деформационная ретракция да?т деформационную ретракцию X n Ч I на X n Ч 0 (X n-1 An ) Ч I , так как X n Ч I получается из X n Ч 0 (X n-1 An ) Ч I приклеиванием экземпляров Dn Ч I вдоль Dn Ч 0 Dn Ч I . Теперь будем совершать деформационную ретракцию X n Ч I на X n Ч 0 (X n-1 An ) Ч I за время t из отрезка [ 2n1 , 21 ]. Взяв композицию по всем n, +1 n получим деформационную ретракцию X Ч I на X Ч 0 A Ч I . Полученное отображение будет непрерывно при t = 0 даже если X бесконечномерно (и композиция бесконечна). Действительно, отображение X Ч I X Ч 0 A Ч I непрерывно на X n Ч I , так как деформационная ретракция там постоянна при t [0, 2n1 ], а отобра+1 жение клеточных пространств непрерывно тогда и только тогда, когда непрерывны его ограничения на все остовы.

Следствие 4.4. Если пара (X, A) удовлетворяет свойству продолжения гомотопии (например, если (X, A) клеточная пара) и A стягиваемо, то отображение факторизации q : X X/A является гомотопической эквивалентностью. Доказательство. Стягивание пространства A это гомотопия между отображени-

ями id : A A и A pt . Пусть Ft : X X продолжение этой гомотопии, прич?м F0 = id. Так как Ft (A) A для всех t, композиция q Ft : X X/A переводит A в q точку, а значит представляется в виде композиции X - X/A X/A. Обозначив последнее отображение через Ft , мы получаем коммутативную диаграмму слева, где


16

Ft и Ft можно рассматривать как гомотопии: X

q Ft Ft

/

X

q

X

q

F1

/ ;

X

q

g F1

X/A

/

X/A

X/A

/

X/A

При t = 1 мы имеем F1 (A) = pt , а значит F1 индуцирует отображение g : X/A X , прич?м g q = F1 , как на диаграмме справа. Кроме того, q g = F1 , так как q g (x) = q g q (x) = q F1 (x) = F1 q (x) = F1 (x). Отображения g : X/A X и q : X X/A являются взаимно обратными гомотопическим эквивалентностями, так как g q = F1 F0 = id посредством Ft и q g = F1 F0 = id посредством Ft .

над A. Доказательство.

Следствие 4.5.

Если

(X, A)

клеточная пара, то

X/A

X CA

, где

CA

конус

Мы имеем X/A = (X C A)/C A X C A, где последняя гомотопическая эквивалентность вытекает из предыдущего следствия, примен?нного к клеточной паре (X C A, C A).

гомотопией относительно
Теорема 4.6.

A называется гомотопия Ft : X Y , такая, что что Ft (a) = Ft (a) для любых t, t I и a A (т.е. гомотопия неподвижна на A).

Теорема о клеточной аппроксимации. Если A X подпространство, то

ве X , и пусть e клетка в X . Замыкание e компактно в X , так как оно является образом характеристического отображения. Тогда f (en ) Y также компактно, а значит f (en ) пересекает только конечное число клеток в Y (упражнение 4.11). Пусть k клетка самой высокой размерности, с которой пересекается f (en ). Можно считать, что k > n, так как иначе f уже клеточно на en . Ниже мы покажем, что существует деформация (гомотопия) отображения f |X n-1 en относительно X n-1 , такая, что образ клетки en при деформированном отображении не содержит некоторую точку y k . Тогда можно деформировать отображение f |X n-1 en относительно X n-1 так, чтобы образ клетки en не содержал всю клетку k , взяв композицию с деформационной ретракцией пространства Y k \ y на Y k \ k (такая деформационная ретракция существует, так как существует деформационная ретракция Dk \ x Dk для x int Dk , а характеристическое отображение Dk Y клетки k является гомеоморфизмом на int Dk ). Повторяя этот процесс конечное число раз, мы добь?мся того, чтобы множество f (en ) не пересекалось со всеми клетками размерности больше n. Делая это для всех n-мерных клеток и оставляя при этом отображение неподвижными на n-мерных клетках из A, где оно уже клеточное, мы получим гомотопию отображения f |X n относительно X n-1 An в клеточное отображение. Далее мы пользуемся теоремой 4.3, чтобы продолжить эту гомотопию, вместе с постоянной гомотопией на A, до гомотопии на вс?м пространстве X . Переходя к пределу при n , получаем, возможно, бесконечную последовательность гомотопий, которую можно реализовать как одну гомотопию, выполняя гомотопию с номером n в течение времени t из интервала

Любое отображение f : X Y клеточных пространств гомотопно клеточному отображению. Если f уже является клеточным на клеточном подпространстве A X , то можно выбрать гомотопию относительно A. Доказательство. nПредположим по индукции,nчто f : X Y уже клеточно на остоn-1


17

[1 - 21 , 1 - 2n1 ]. Непрерывность всей гомотопии обеспечивается аксиомой (W): для n +1 каждой клетки e из X гомотопия будет неподвижной, начиная с некоторого te < 1. Чтобы заполнить недостающий шаг в рассуждении, нам понадобится ?лемма о свободной точке?:

Лемма 4.7.

Пусть U Rn открытое множество и : U int Dk такое непрерывное отобр-1 k что для некоторого замкнутого шара B k int Dk подажение, множество V = (B ) kU компактно. Если k > n, то существует непрерывное отображение : U int D , гомотопное , совпадающее с вне V и такое, что его образ не покрывает всего шара B k .

Доказательство леммы приводится ниже, а пока завершим доказательство теоремы. Из леммы о свободной точки и свойств характеристических отображений h : Dn X и g : Dk Y клеток en и k вытекает, что отображение f |AX n-1 en гомотопно относительно A X n-1 отображению f : A X n-1 en Y , такому, что f (en ) пересекает те же клетки, что и f (en ), но не содержит всю клетку k . Действительно, применим лемму к подмножеству U = h-1 (f -1 ( k ) en ) и отображению = g -1 f h : U int Dk (тогда для любого замкнутого шара B k int Dk подмножество V = -1 (B k ) U компактно как замкнутое подмножество шара Dn ). Лемма да?т нам отображение : U int Dk . Тогда мы определим отображение f по формуле

f (x) =

f (x), если x h(U ), / -1 g h (x), если x h(U ).

Это отображение непрерывно, так как отображения f и g h-1 совпадают на множестве h(U \ V ). Кроме того, гомотопия между и да?т гомотопию между f и f , а f (en ) не покрывает k , так как (U ) не покрывает всего шара B k . Для доказательства леммы о свободной точке мы используем кусочно-линейную аппроксимацию. Напомним, что k -мерный k это выпуклая оболочка набора из k + 1 точек x0 , x1 , . . . , xk в Rn , не лежащих на одной (k - 1)-мерной плоскости. Эти k + 1 точек называются симплекса, а выпуклые оболочки поднаборов множества вершин называются . Грани являются симплексами размерности k . это такой набор симплексов произвольной размерноn сти в некотором R , что любые два симплекса из этого набора либо не пересекаются, либо пересекаются по целой грани. Говорят, что некоторое подмножество пространства Rn , если оно представлено в виде объединения симплексов, которые образуют симплициальный комплекс. 1 симплекса k с вершинами x0 , x1 , . . . , xk называется точка k+1 (x0 + x1 + . . . + xk ). симплекса k называется симплициальный комплекс, вершинами которого являются барицентры всех граней симплекса k ; при этом набор барицентров граней является множеством вершин симплекса в барицентрическом подразбиении только тогда, когда эти грани образуют цепочку вложенных друг в друга. По-другому барицентрическое подразбиение симплекса можно определить индуктивно: барицентрическое подразбиение 0-мерного симплекса (точки) есть сама эта точка, а при k > 0 барицентрическое подразбиение k -мерного симплекса получается взятием конусов над барицентрическими подразбиениями всех

симплекс

вершинами гранями Симплициальный комплекс

триангулировано Барицентром Барицентрическим подразбиением


18

его граней. Аналогично, индуктивным образом определяется барицентрическое подразбиение произвольного симплициального комплекса. Эти конструкции обладают следующими двумя свойствами. Во-первых, линейное отображение симплекса k в любое пространство Rn определяется своими значениями на вершинах. Во-вторых, если диаметр симплекса k (максимальное расстояние между его точками) равен r, то диаметры симплексов его барицентрического подk разбиения не превосходят k+1 r. Таким образом, многократно применяя барицентрическое подразбиение, можно получать сколь угодно мелкие триангуляции.

Доказательство леммы 4.7. k

Прежде всего заметим, что отображение : U int D , совпадающее с вне V , будет автоматически гомотопно относительно U \ V ; достаточно взять ?прямолинейную? гомотопию, при которой точка (u) движется к точке (u) по отрезку, соединяющему (u) с (u). Теперь построим в шаре B int Dk концентрические шары B1 B2 B3 B4 радиусов r/5, 2r/5, 3r/5, 4r/5, где r радиус шара B . Далее, покроем компактное подмножество V = -1 (B ) U конечным числом n-мерных симплексов, содержащихся в U , и триангулируем объединение K этих симплексов (существование триангуляции упражнение). Многократно применяя барицентрическое подразбиение, мы можем добиться того, чтобы для любого симплекса триангуляции выполнялось неравенство diam () < r/5. Пусть K1 объединение симплексов построенной триангуляции множества K , -образы которых пересекаются с B4 . Тогда B4 (U ) (K1 ) B . Рассмотрим отображение : K1 B , совпадающее с на вершинах триангуляции и линейное на каждом симплексе. Отображения |K1 и гомотопны они соединяются прямолинейной гомотопией

t : K1 B ,

0 = |K1 ,

1 = . : U int Dk : B3 , / B2 , B3 \ B2 .

Теперь ?сошь?м? отображения и в отображение (u), если (u) (u) = (u), если (u) 3-5r(u) (u), если (u)

Здесь r(u) расстояние от u до центра шара B . Отображение непрерывно, совпадает с на U \ V и его образ пересекается с B1 по конечному числу кусков n-мерных плоскостей, т.е. всего шара B1 (а значит и всего шара B ) не покрывает.

нию в точку. Доказательство.

Предложение 4.8.

Любое отображение

Sn S

k

при

n
гомотопно отображе-

Применим теорему о клеточной аппроксимации к клеточным разбиениям сфер с двумя клетками. При n < k клеточное отображение есть отображение в точку.

Задачи и упражнения. 4.9. Докажите, что топология, описываемая аксиомой (W) из определения клеточного пространства, является самой тонкой из топологий, по отношению к которым все характеристические отображения непрерывны. хаусдорфовому пространству, хаусдорфово.

4.10. Докажите, что пространство, получаемое в результате приклеивания клетки к


19

4.11. Докажите, что любое компактное подмножество клеточного пространства принадлежит некоторому конечному подпространству.

4.12. Докажите, что отображение клеточного пространства в топологическое пространство непрерывно тогда и только тогда, когда оно непрерывно на любом остове. оно локально конечно.

4.13. Докажите, что клеточное пространство метризуемо тогда и только тогда, когда 4.14. Бесконечномерная сфера S


стягиваема.

4.15. Докажите, что RP 1 S 1 и CP 1 S 2 . = =
HP 1 S 4 . =

4.16. Определите кватернионное проективное пространство HP n и докажите, что

4.17. Факторпространство S 2 /S 0 гомотопически эквивалентно букету S 1 S 2 . 4.18.
пространства X называется факторпространство (X Ч X )/ по отношению эквивалентности (x, y ) (y , x). Докажите, что симметрический квадрат окружности S 1 гомеоморфен (односторонней поверхности, получаемой склейкой одной пары противоположных сторон квадрата с обращением ориентации, т.е. I 2 / , где (t, 0) (1 - t, 1).)

Симметрическим квадратом

листу М?биуса

4.19. Докажите, что симметрический квадрат двумерной сферы S 2 гомеоморфен
комплексной проективной плоскости CP 2 .

4.20. Доказать, что свойство продолжения гомотопии не выполнено для пар (I , A),
где A = (0, 1] или A = {0, 1, 1/2, 1/3, 1/4, . . .}. странства X Ч I , то A замкнуто в X .

4.21. Докажите, что если X хаусдорфово и X Ч 0 A Ч I является ретрактом про4.22. Рассмотрим клеточное разбиение окружности S 1 с двумя клетками. Убедитесь,

что диагональное отображение : S 1 S 1 Ч S 1 , t (t, t), не является клеточным. Постройте явно его клеточную аппроксимацию.

4.23. Докажите, что объединение конечного числа как угодно пересекающихся симплексов в Rk обладает конечной триангуляцией. 5.
Фундаментальная группа

стве X называется отображение : I X (путь), для которого (0) = (1) = Петли и называются (обозначение: ), если существует кая гомотопия t : I X , что 0 = , 1 = и t (0) = t (1) = x0 при 0 t петель и это петля , у которой (t) = (2t) при 0 t и (t) = (2t - 1) при 1 t 1. Другими словами, произведение двух петель 2 петля, составленная из двух петель, которые проходятся последовательно.

Определение и основные свойства. Напомним, что петл?й в точке x0 простран-

гомотопными

Произведение если

x0 . та1.
1 2

это

Предложение 5.1.
а) б) ( )

Произведение петель (в точке x0) обладает свойствами: и , то , ( ) для любых петель , , ,


20

если постоянная петля, т.е. (t) = x0 при для любой петли , г) для петли определим петлю как (t) = (1 Доказательство. Проверим свойство б). Пусть = (
в)

0 -

, то t); тогда
t 1
при 0 при 1 2 при 3 4



.

(4t) при 0 (t) = (4t - 1) при 1 4 (2t - 1) при 1 2
Тогда гомотопия s (0

t t t

, , 1,

1 4 1 2

) и (2t) (t) = (4t - 2) (4t - 3)

= ( ), т.е. t t t , , 1.
1 2 3 4

1) между и зада?тся 4t ( 1+s ) при 0 s (t) = (4t - 1 - s) при 1+s 4 4t-2-s ( ) при 2+s 2-s 4 s

формулой

t t t

1+s , 4 2+s 4

,

1,

(см. рис. 2).
sT 1
?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? E ? ? ? ?


?? ?



0



?





1

t

Рис. 2

Теперь проверим свойство г). Гомотопия между = и зада?тся формулой

s (t) =

2t(1 - s) 2(1 - t)(1 - s)

при 0 при 1 2

t t

, 1.

1 2

Другими словами, в момент s гомотопии мы проходим по петле от x0 до точки (1 - s), а затем проходим по ней обратно до x0 . Оставшиеся два свойства проверяются аналогично (упражнение). Мы будем обозначать через [] класс эквивалентости петли относительно гомотопии петель. Из предложения 5.1 следует, что множество классов гомотопных петель в точке x0 X образует группу относительно произведения [][ ] = [ ], с единицей [] и обратным элементом []-1 = []. Эта группа обозначается 1 (X, x0 ) и называется пространства X с отмеченной точкой x0 .

фундаментальной группой Предложение 5.2. Отображение f : X Y , такое, что f (x0 ) = y0 , индуцирует гомоморфизм групп f : 1(X, x0) 1(Y , y0). Если отображения f , g : X Y гомотопны, то гомоморфизмы f и g совпадают.


21

Доказательство.

При отображении f петля : I X переходит в петлю f : I Y . Если петли и гомотопны при помощи гомотопии F : I Ч I X , то петли f и f гомотопны при помощи гомотопии f F . Мы имеем f ( ) = (f )(f ), т.е. f ([][ ]) = f ([])f ([ ]) и f гомоморфизм. Наконец, пусть G : X Ч I Y гомотопия между f и g (как отображениями пространств с отмеченными точками, т.е. G(x0 , s) = y0 при 0 1 s). Тогда, для любой петли : I X , петли f и g гомотопны: гомотопия зада?тся формулой H : I Ч I Y , H (t, s) = G((t), s). Следовательно, f = g .

Если f : X Y гомотопическая эквивалентность, то для люгомоморфизм f : 1(X, x0) 1(Y , y0) является изоморфизмом. Предложение 5.4. 1 (Rn ) = 1 (Dn ) = 0 при n 0 и 1 (S n ) = 0 при n 2. Доказательство. Тривиальность фундаментальной группы для Rn и Dn следует из бой точки
Следствие 5.3.
x0 X

того, что каждое из этих пространств стягиваемо (гомотопически эквивалентно точке). Тривиальность фундаментальной группы сферы S n при n 2 вытекает из теоремы о клеточной аппроксимации (см. предложение 4.8).

Зависимость от отмеченной точки. Теорема 5.5.

(0) = x0 и (1) = x1 . Для каждой петли в точке x0 мы положим f () = (). Здесь ?обратный? путь, (t) = (1 - t), а умножение путей определяется так же, как и умножение петель, при условии, что второй путь начинается там, где кончается первый. Тогда f () петля в точке x1 , прич?м е? гомотопический класс зависит только от гомотопических классов петли и пути (где в последнем случае подразумеваются гомотопии с закрепл?нными концами). Итак, мы получаем отображение f : 1 (X, x0 ) 1 (X, x1 ), которое зависит только от гомотопического класса пути . Отображение f является гомоморфизмом, так как f ([ ]) = [ ] = [ ] = f ([])f ([ ]).
Кроме того, формула f изоморфизм.
-1

Если пространство X линейно связно, то морфны) для любых точек x0, x1 X . Доказательство. Пусть : I X путь из x0 в x1, т.е.

1 (X, x0 ) 1 (X, x1 ) =

(изо-

([]) = [] зада?т обратный гомоморфизм, так что f

Изоморфизм f зависит от гомотопического класса пути . Если другой путь из x0 в x1 , то = петля в точке x1 , и мы имеем

f ([]) = [ ] = [ ] = [ ][][ ] = [ ]-1 f ([])[ ].
В частности, если фундаментальная группа коммутативна, то изоморфизм f вообще не зависит от . В этом случае мы можем говорить о фундаментальной группе, не фиксируя отмеченной точки. В общем случае о фундаментальной группе линейно связного пространства без отмеченной точки можно говорить только как об абстрактной группе (т.е. можно сказать, что она, например, конечна или нильпотентна, но нельзя фиксировать в ней определ?нный элемент).


22

Доказательство использует построение ?универсального накрытия? над окружностью; этот метод будет развит и обобщ?н в следующем разделе. Рассмотрим отображение f : R S 1 , t (cos t, sin t). Рассматривая прообразы, мы можем отождествлять точки окружности с вещественными числами, определ?нными с точностью до слагаемых вида 2 k , k Z. Отмеченной точкой окружности мы будем считать t = 0. Таким образом, петлю : I S 1 можно считать многозначной функцией на отрезке I , значение которой в каждой точке определено с точностью до слагаемого 2 k и значением которой в точках 0 и 1 служит само множество чисел вида 2 k . У этой многозначной функции существует непрерывная однозначная ветвь непрерывная функция на отрезке I , значение которой в каждой точке принадлежит множеству значений многозначной функции в этой точке. Такая однозначная функция будет определена единственным образом, если наложить условие 1 (0) = 0. Для е? построения мы выберем такое n, что при |t1 - t2 | точки (t1 ) n и (t2 ) не диаметрально противоположны (нужно рассмотреть открытое покрытие отрезка I , состоящее из всевозможных множеств вида -1 (A), где A открытая по1 луокружность, и выделить конечное подпокрытие). Положив (0) = 0, при 0 t n мы бер?м в качестве (t) то из значений функции в точке t, которое отличается от 1 2 0 меньше, чем на . Далее, при n t мы бер?м в качестве (t) то из значений n 1 функции в точке t, которое отличается от ( n ) меньше, чем на . И так далее. По построению, f ((t)) = (t); в частности, (1) = 2 k для некоторого k Z. Кроме того, всякая непрерывная функция : I R, такая, что (1) = 2 k , имеет вид для некоторой петли . Теперь построим отображение g : 1 (S 1 ) Z, положив g ([]) = (1)/2 . Чтобы убедиться, что g изоморфизм групп, заметим следующее. Во-первых, число (1)/2 не меняется при гомотопии, поскольку область возможных значений (1) дискретна. Таким образом, число (1)/2 зависит только от гомотопического класса [] и отображение g определено корректно. Во-вторых, отображение g эпиморфно, т.е. любое число k Z лежит в его образе. Действительно, достаточно взять = k , где k (t) = 2 k t. В-третьих, если 1 (1) = 2 (1), то 1 2 , а потому потому g мономорфно. Действительно, функции 1 (t) и 2 (t) гомотопны в классе функций с заданными значениями в 0 и 1 (если (1) = 2 k , то k ; гомотопия зада?тся формулой s (t) = (1 - s)(t) + s2 k t). Наконец, в-четв?ртых, g является гомоморфизмом, так как g ([]) = g ([k ]) для некоторого k , а k l k+l , так как k l (1) = k+l (1).

Доказательство.

Фундаментальная группа окружности. Теорема 5.6. Группа 1 (S 1 ) изоморфна группе Z

целых чисел.

Предложение 5.7.

S 1 , т.е. композиция r S 1 D2 - S 1 есть тождественное отображение. Тогда, согласно предложению 5.2, i r композиция 1 (S 1 ) - 1 (D2 ) - 1 (S 1 ) есть тождественный изоморфизм. Но это невозможно, так как 1 (S 1 ) = Z, а 1 (D2 ) = 0.
2

Доказательство. i

Окружность

S1 D

2

не является ретрактом диска D2.

Допустим, существует ретракция r : D

В качестве следствия мы получаем классический результат, доказательство которого было одним из первых триумфов алгебраической топологии:

Теорема 5.8 (Брауэр).

Любое непрерывное отображение движную точку, т.е. точку x, для которой f (x) = x.

f : D2 D

2

имеет непо-


23

Доказательство.

Предположим, что f (x) = x для всех x D2 . Тогда можно определить отображение r : D2 S 1 , взяв в качестве r(x) точку окружности S 1 , в которой луч, идущий из точки f (x) в точку x, пересекает диск D2 . При этом, очевидно, r(x) = x, если x S 1 , т.е. r ретракция. Это противоречит предложению 5.7.

'$ r f x (x) r ї r r&% (x)

Фундаментальная группа окружности используется в следующем топологическом доказательстве ?основной теоремы алгебры?:

Теорема 5.9.

Любой непостоянный многочлен с коэффициентами в C имеет комплексный корень. Доказательство. Можно считать, что многочлен имеет вид p(z) = zn + an-1zn-1 +
. . . + a0 . Если p(z ) не имеет корней в C, то для каждого вещественного r
(3)

0 формула

fr (s) =

p(re |p(re

2 is 2 is

)/p(r) )/p(r)|

зада?т петлю на единичной окружности S 1 C с началом и концом в точке 1. При изменении r получаем гомотопию петель с началом и концом в точке 1. Петля f0 тривиальна, поэтому [fr ] = [f0 ] = 0 в 1 (S 1 ) для всех r. Теперь выберем r > max{|an-1 | + . . . + |a0 |, 1}. Тогда при |z | = r получаем

|z n | = rn = r ћ r

n-1

> (|a

n-1

| + . . . + |a0 |)|z

n-1

| > |a

n-1

z

n-1

+ . . . + a0 |.

Отсюда следует, что многочлен pt (z ) = z n + t(an-1 z n-1 + . . . + a0 ) не имеет корней на окружности |z | = r, если 0 t 1. Заменив p на pt в формуле (3), мы получим функцию fr (s, t). При изменении t от 1 до 0 эта функция зада?т гомотопию петли fr (s) = fr (s, 1) в петлю fr (s, 0) = n (s) = e2ins , которая представляет собой n-ю степень образующей группы 1 (S 1 ) = Z. Так как [n ] = [fr ] = 0, мы получаем n = 0. Таким образом, единственные многочлены без корней в C это константы.

Задачи и упражнения. 5.10. Докажите, что если и (гомотопия петель), то . 5.11. Докажите, что для любой петли , где постоянная петля. 5.12. Если X и Y линейно связны, то 1 (X Ч Y ) 1 (X ) Ч 1 (Y ). = 5.13. Докажите, что если X Rn выпуклое множество, то 1 (X ) = 0. 5.14. Докажите, что если X дискретное пространство, то 1 (X ) = 0. 5.15. Докажите, что пространство R2 не гомеоморфно Rn при n = 2.
отождествл?нным началом) в себя имеет неподвижную точку.

5.16. Докажите, любое непрерывное отображение пространства

d d

(три отрезка с

называется пространство G с заданной на н?м структурой группы, для которой отображения умножения G Ч G G, (g , h) g h, и взятия обратного G G, g g -1 , являются непрерывными. Докажите, что фундаментальная группа 1 (G) топологической группы абелева.

5.17.

Топологической группой


24

6.

Теорема ван Кампена

Теорема ван Кампена позволяет вычислять фундаментальную группу пространства, представленного в виде объединения своих подмножеств, по фундаментальным группам этих подмножеств. Нам понадобится алгебраическое понятие свободного произведения групп. групп {G }. G (если групп конечное число, то используется обозначение G1 G2 . . . Gk ) состоит из всех конечных слов g1 g2 . . . gm произвольной длины m 0, где gi Gi , gi = e, прич?м соседние буквы gi и gi+1 лежат в разных группах, т.е. i = i+1 . Слова, удовлетворяющие этим условиям, называются ; непривед?нное слово всегда можно преобразовать в привед?нное, заменив соседние буквы, которые лежат в одной и той же группе Gi , на их произведение в Gi и удалив тривиальные буквы. Слову разрешается быть пустым; пустое слово будет единице в группе G . Произведение в группе G это приставление, т.е. запись одного слова за другим: (g1 . . . gm )(h1 . . . hn ) = g1 . . . gm h1 . . . hn , с последующим пре- - образованием в привед?нное слово. Например, в произведении (g1 . . . gm )(gm1 . . . g1 1 ) вс? сокращается, и мы получаем единицу группы G , т.е. пустое слово. Это да?т существование обратного элемента для любого слова. Нетривиальной является проверка ассоциативности произведения в G :

Свободное произведение групп. Пусть дан конечный или бесконечный набор

Свободное произведение

д?нными

приве-

Определ?нная выше операция умножения привед?нных слов (приставление с последующим приведением) ассоциативна. Доказательство. Пусть W множество привед?нных слов g1 . . . gm, включая пустое
Лемма 6.1.

слово. Каждому элементу g G сопоставим отображение Lg : W W , задаваемое умножением слева, Lg (g1 . . . gm ) = g g1 . . . gm , с последующим приведением. При этом мы имеем Lgg = Lg Lg для любых g , g G , т.е. g (g (g1 . . . gm )) = (g g )(g1 . . . gm ); это следует из ассоциативности умножения в G . Из формулы Lgg = Lg Lg вытекает, что отображение Lg обратимо, с обратным отображением Lg-1 . Поэтому сопоставление g Lg зада?т гомоморфизм группы G в группу P (W ) всех перестановок множества W . Теперь определим отображение L : W P (W ) формулой L(g1 . . . gm ) = Lg1 . . . Lgm . Отображение L инъективно, так как перестановка L(g1 . . . gm ) отображает пустое слово в g1 . . . gm и поэтому не является тождественной, если само слово g1 . . . gm не является пустым. Операция умножения в W при отображении L переходит в композицию в P (W ), так как Lgg = Lg Lg . Так как композиция перестановок ассоциативна, мы получаем, что умножение в W ассоциативно. Каждая группа G отождествляется с подгруппой свободного произведения G , состоящей из пустого слова и однобуквенных слов g G . Любой набор гомоморфизмов : G H единственным образом продолжается до гомоморфизма : G H . А именно, значение отображения на слове g1 . . . gm , где gi Gi , равно 1 (g1 ) . . . n (gn ). Таким образом, свободное произведение является в категории групп. Например, включения G G Ч H и H G Ч H индуцируют эпиморфизм G H G Ч H.

копроизведением

Пример 6.2. Если каждая из групп G есть группа Z, то свободное произведение
G называется

свободной группой

. Набор, в который входит по одной образующей


25

каждой из групп G = Z, называется свободной группы, а число элементов базиса называется свободной группы.

рангом

базисом

Всякую группу G можно получить как факторгруппу свободной группы. Для этого надо выбрать группы G, т.е. такой набор элементов gi , i I , что любой другой элемент g G представляется в виде произведения элементов gi и - gi 1 (например, в качестве набора образующих можно взять все элементы группы G). Тогда мы имеем эпиморфизм f : F G из свободной группы F с множеством образующих I в G, переводящий i-ю образующую группы F в gi . Ядро гомоморфизма является нормальной подгруппой H F ; мы имеем G F /H . Ниже мы покажем, = что любая подгруппа свободной группы является свободной. Набор образующих hj , j J , группы H называется между образующими gi . При гомомор- физме f элементы hj переходят в произведения элементов gi , gi 1 , которые равны 1 в группе G. Часто используют запись

набор образующих

соотношениями

G = gi , i I | hj , j J ,
которая означает, что группа G gi hj , т.е. представлена в виде факторгруппы свободной группы с образующими gi по е? нормальной подгруппе, порожд?нной элементами hj . Если G произвольная группа и gi , i I , набор е? элементов, то G gi = 1 называется факторгруппа группы G по нормальной подгруппе, порожд?нной элементами gi , i I . группы G называется факторгруппа группы G по всевозможным -1 -1 соотношениям g hg h = 1, g , h G, т.е. факторгруппа по нормальной подгруппе, порожд?нной всевозможными [g , h] = g hg -1 h-1 , g , h G. Эта подгруппа называется группы G и обозначается [G, G]. Абелианизация свободной группы F = Z это свободная абелева группа Z, базисом которой служит то же самое множество образующих.

задана образующими и соотношениями

группы по соотношениям Абелианизацией

факторгруппой

коммутаторами коммутантом

Формулировка и доказательство теоремы. Пусть пространство X представлено в виде объединения линейно связных открытых подмножеств A , каждое из которых содержит отмеченную точку x0 X . Гомоморфизмы i : 1 (A ) 1 (X ), индуцированные включениями, продолжаются до гомоморфизма

: 1 (A ) 1 (X ).
Если

i : 1 (A A ) 1 (A )
гомоморфизм, индуцированный включением A A A , то i i = i i , так как обе эти композиции индуцированы включением A A X . Таким образом, ядро гомоморфизма содержит элементы вида i ( )i ( )-1 , где 1 (A A ).

Пусть X объединение линейно связных открытых множеств A, каждое из которых содержит отмеченную точку x0 X . а) Если каждое пересечение A A линейно связно, то : 1 (A ) 1 (X ) является эпиморфизмом.
Теорема 6.3 (ван Кампен).


26

б)

Если, кроме того, каждое пересечение A A A линейно связно, то ядро гомоморфизма это нор1мальная подгруппа N , порожд?нная всеми элементами вида i ()i()- , а потому индуцирует изоморфизм
1 (X ) 1 (A )/N . =

Доказательство.

Докажем утверждение а), т.е. сюръективность отображения . Мы утверждаем, что для данной петли f : I X в отмеченной точке x0 существует такое разбиение 0 < s0 < s1 < . . . < sm = 1 отрезка I , что образ каждого отрезка [si-1 , si ] при отображении f целиком содержится в одном из множеств A . Действительно, так как f непрерывно, каждая точка s I имеет окрестность U (s) I , для которой f (U (s)) лежит в одном из множеств A . В качестве U (s) можно взять открытый интервал, замыкание которого отображается в одно из множеств A . Из компактности отрезка следует, что конечное число таких интервалов покрывает I . Тогда концы этих интервалов задают требуемое разбиение отрезка I . Пусть f ([si-1 , si ]) Ai и обозначим fi = f[si-1 ,si ] . Тогда f = f1 ћ . . . ћ fm , где fi Ai . Так как каждое пространство Ai Ai+1 линейно связно, мы можем соединить x0 с f (si ) Ai Ai+1 пут?м gi в Ai Ai+1 . Теперь рассмотрим петлю

(f1 ћ g 1 ) ћ (g1 ћ f2 ћ g 2 ) ћ (g2 ћ f3 ћ g 3 ) ћ . . . ћ ћ(gm

-1

ћ fm ),

гомотопную f . Эта петля является композицией петель, каждая из которых расположена в одном из множеств A ; такие петли заключены в скобки. Следовательно, [f ] лежит в образе отображения , а потому сюръективно. Теперь докажем утверждение б), т.е., что при описанном там условии ядро гомоморфизма совпадает с N . Мы будем рассматривать элементов [f ] 1 (X ), т.е. формальные разложения вида [f ] = [f1 ] . . . [fk ], где ћ каждый множитель fi это петля с началом и концом в x0 , целиком содержащаяся в одном из множеств A , с гомотопическим классом [fi ] 1 (A ); ћ петля f гомотопна f1 ћ . . . ћ fk в X . Таким образом, факторизация гомотопического класса [f ] это слово в 1 (A ), возможно, приводимое, которое переходит в [f ] при отображении . Утверждение a) показывает, что у каждого элемента [f ] 1 (X ) есть факторизация. Назов?м две факторизации класса [f ] , если они связаны последовательностью преобразований следующих двух видов или обратных к ним: ћ соседние члены [fi ][fi+1 ] объединяются в один член [fi ћ fi+1 ], если [fi ] и [fi+1 ] лежат в одной группе 1 (A ); ћ член [fi ] 1 (A ) рассматривается как лежащий в группе 1 (A ), а не в 1 (A ), если fi петля в A A . Первое преобразование не изменяет элемент группы 1 (A ), задаваемый факторизацией. Второе преобразование не изменяет образ этого элемента в факторгруппе Q = 1 (A )/N согласно определению подгруппы N . Таким образом, эквивалентные факторизации дают один и тот же элемент группы Q. Мы покажем, что любые две факторизации класса [f ] эквивалентны. Отсюда будет следовать, что отображение Q 1 (X ), индуцированное отображением , инъективно. Тем самым утверждение б) будет доказано. Пусть [f1 ] . . . [fk ] и [f1 ] . . . [f ] две факторизации класса [f ]. Пусть F : I Ч I X гомотопия, связывающая f1 ћ . . . ћ fk с f1 ћ . . . ћ f . Существуют такие разбиения

факторизации

эквивалентными


27

0 = s0 < s1 < . . . < sm = 1 и 0 = t0 < t1 < . . . < tn = 1, что образ каждого из прямоугольников Rij = [si-1 , si ] Ч [tj -1 , tj ] при отображении F лежит в одном множестве A , которое мы обозначим Aij . Эти разбиения можно получить, покрыв I Ч I конечным числом прямоугольников [a, b] Ч [c, d], каждый из которых отображается в одно множество A , используя рассуждения с компактностью, а затем разделив I Ч I всеми горизонтальными и вертикальными прямыми, содержащими стороны этих прямоугольников. Можно считать, что s-разбиение является подразбиением тех разбиений, которые дают произведения f1 ћ . . . ћ fk и f1 ћ . . . ћ f . Так как F отображает окрестность прямоугольника Rij в Aij , мы можем пошевелить вертикальные стороны прямоугольников Rij так, чтобы каждая точка квадрата I Ч I принадлежала не более чем тр?м пря9 10 11 12 моугольникам Rij . Можно считать, что есть по крайней мере три ряда прямоугольников, поэтому мы можем шевелить 5 6 7 8 только прямоугольники в промежуточных рядах, оставляя верхний и нижний ряд без изменений. Занумеруем теперь 1 2 3 4 прямоугольники R1 , R2 , . . . , Rmn как показано на рисунке.
Если путь в I Ч I , идущий из точки левой стороны в точку правой стороны, то F | является петл?й с началом и концом в отмеченной точке x0 , так как F отображает левую и правую стороны квадрата I Ч I в x0 . Пусть r путь, отделяющий первые r прямоугольников R1 , . . . , Rr от остальных прямоугольников. Тогда 0 нижняя сторона квадрата I Ч I , а mn его верхняя сторона. Будем переходить от r к r+1 , протаскивая этот путь по прямоугольнику Rr+1 . Будем называть вершины прямоугольников Rr . Для каждой вершины v , для которой F (v ) = x0 , рассмотрим путь gv из x0 в F (v ). Мы можем выбрать путь gv так, чтобы он принадлежал пересечению двух или тр?х множеств Aij в соответствии с тем, сколько прямоугольников Rr содержат вершину v , так как мы предполагаем, что двойные и тройные пересечения множеств Aij линейно связны. Вставим в F |r пути вида g v gv в последовательных вершинах v , как при доказательстве сюръективности отображения . В результате мы получим факторизацию класса [F |r ], рассматривая петлю, соответствующую горизонтальному или вертикальному отрезку между соседними вершинами, как лежащую в Aij для любого из прямоугольников Rs , содержащих этот отрезок. Если мы выберем другой из этих прямоугольников Rs , то факторизация класса [F |r ] заменится на эквивалентную факторизацию. Более того, факторизации, соответствующие последовательным путям r и r+1 , эквивалентны, так как протаскивание пути r по прямоугольнику Rr+1 , при котором получается путь r+1 , заменяет F |r на F |r+1 посредством гомотопии в пределах множества Aij , соответствующего Rr+1 , и мы можем выбрать такое множество Aij для всех отрезков путей r и r+1 , лежащих в Rr+1 . Мы можем добиться, чтобы факторизация, соответствующая 0 , была эквивалентна факторизации [f1 ] . . . [fk ], выбирая путь gv для каждой вершины v вдоль нижней стороны квадрата I Ч I так, чтобы он принадлежал не только двум множествам Aij , соответствующим прямоугольнику Rs , содержащему v , но также принадлежал и множеству A , соответствующему пути fi , в области определения которого лежит точка v . В случае, когда v общий конец областей определения двух последовательных путей fi , выполняется равенство F (v ) = x0 , т.е. не нужно выбирать путь

вершинами


28

gv . Аналогично мы можем считать, что факторизация, соответствующая последнему пути mn , эквивалентна [f1 ] . . . [f ]. Так как факторизации, соответствующие всем путям r , эквивалентны, мы получаем, что факторизации [f1 ] . . . [fk ] и [f1 ] . . . [f ] эквивалентны.
Сформулируем отдельно частный случай теоремы ван Кампена, когда покрытие пространства X состоит всего из двух множеств, X = A B . В этом случае условие пункта б) теоремы выполнено автоматически. Кроме того, не нужно требовать, чтобы каждое из множеств A и B содержало отмеченную точку, так как можно выбрать новую отмеченную точку в пересечении A B :

Следствие 6.4.
AB

Пусть X = A B , где множества A и B , а также их пересечение , открыты и линейно связны. Тогда
1 (X ) 1 (A) 1 (B ) /N , =

1 (A) и 1 (B ) над 1 (A B ), см. упражнение 6.8.

где N нормальная подгруппа, порожд?нная элементами вида iAB ()iBA()-1, 1 (A B ), a iAB : 1 (A B ) 1 (A) и iB A : 1 (A B ) 1 (B ) гомоморфизмы, индуцированные включениями A B A и A B B . Группа 1 (A) 1 (B ) /N называется амальгамированным произведением групп

В случае, когда покрытие пространства X состоит из более двух множеств A , условие того, что каждое A содержит отмеченную точку x0 , существенно. Это условие влеч?т, что все тройные пересечения непусты. В качестве ещ? одного следствия мы получаем описание фундаментальной группы букета X пространств X с отмеченными точками x :

Замечание.

Если каждая точка x X является деформационным ретрактом своей окрестности U X, то имеет место изоморфизм
Следствие 6.5.

1

X



1 (X ). =


X является деформационным ретрактом своей окрестности A = X = U X . Пересечение двух и более различных множеств A это пространство U , которое стягиваемо. Тогда из теоремы ван Кампена следует, что : 1 (X ) 1 ( X ) изоморфизм.

В частности, для букета окружностей Доказательство. Каждое пространство
Задачи и упражнения.

S

1

группа

1 (



S 1)

свободная.

6.6. Докажите, что абелианизацией группы Z2 Z2 является Z2 Ч Z2 , и опишите ядро
гомоморфизма абелианизации Z2 Z2 Z2 Ч Z2 .

6.7. Покажите, что гомоморфизм : 1 (A ) 1 (X ) может быть не сюръективным, если не все пересечения A A линейно связны.

гамированное произведение

G1 H G2 групп G1 и G2 над H как факторгруппу свободного произведения G1 G2 по нормальной подгруппе, порожд?нной всеми элементами вида f1 (h)f2 (h)-1 , где h H .

6.8. Пусть даны гомоморфизмы групп f1 : H G1 и f2 : H G2 . Определим

амаль-


29

Докажите, что G1 H G2 входит в кодекартов квадрат

H

f
2

f

1

/

G1


G2

/

G1 H G2 ,

т.е. обладает соответствующим универсальным свойством, см. (2).

6.9. Пусть X = A1 A2 , где X клеточное пространство, A1 , A2 клеточные

подпространства, прич?м пересечение B = A1 A2 связно и содержит отмеченную точку x0 X , которая является нульмерной клеткой. Мы имеем кодекартов квадрат

B

i
2

i

1

/

A
/

1

j1 j
2

A2

X,

Вычисляя фундаментальные группы всех пространств в этой диаграмме и применяя универсальное свойство амальгамированнго произведения (см. предыдущее упражнение), мы получаем диаграмму

1 ( B )

(i2 )

(i1 )

/

1 (A1 )

1

1 (A2 )

/

(j1 ) (B )

1 (A1 )

1 (A2 )
h

(j2 )

( -



1 (X )

Используя теорему ван Кампена, докажите, что гомоморфизм

h : 1 (A1 )

1 (B )

1 (A2 ) 1 (A1 B A2 )
1

является изоморфизмом (мы имеем X = A1 B A2 ). Таким образом, функтор переводит амальгамы клеточных пространств в амальгамы групп.

6.10. Найти фундаментальную группу дополнения окружности в R3 .
морфно дополнению двух зацепленных окружностей.

6.11. Докажите, что дополнение двух незацепленных окружностей в R3 не гомео-

6.12. Найти фундаментальную группу дополнения тр?х координатных осей в R3 .
7.
Фундаментальная группа клеточного пространства

Здесь мы научимся задавать фундаментальные группы клеточных пространств образующими и соотношениями. Это позволит нам явно вычислять фундаментальную группу, задав клеточную структуру. Вначале выведем ещ? одно важное следствие теоремы о клеточной аппроксимации:

Всякое линейно связное клеточное пространство гомотопически эквивалентно клеточному пространству с единственной 0-мерной клеткой.
Предложение 7.1.


30

Выберем в нашем линейно связном пространстве X нульмерную клетку e0 и соединим с ней остальные нульмерные клетки путями (пути могут пересекаться). Используя теорему о клеточной аппроксимации, мы можем добиться того, чтобы эти пути лежали в одномерном остове X 1 . Пусть i путь, соединяющий 0мерную клетку e0 с нульмерной клеткой ei . Для каждого i приклеим к X двумерный диск по отображению нижней полуокружности в X при помощи пути i . Получим новое клеточное пространство X , которое содержит X и, кроме того, клетки e1 , e2 i i (верхние полуокружности и внутренности приклеенных дисков). Ясно, что X есть деформационный ретракт в X : каждый приклеенный диск можно стянуть на нижнюю полуокружность. Обозначим через Y объединение замыканий клеток e1 (верхних полуокружностей). Очевидно, Y стягиваемо. Следовательно, i X /Y X X . Но у X / Y всего одна нульмерная клетка. Пусть X линейно связное пространство с отмеченной точкой x0 . Отображение : S 1 X , переводящее отмеченную точку 0 окружности в x0 , можно рассматривать как петлю в (X, x0 ), и поэтому оно зада?т элемент [] 1 (X, x0 ). Если же отображение : S 1 X переводит 0 в какую-то другую точку (0), то мы получаем элемент группы 1 (X, (0)), которая связана с 1 (X, x0 ) неканоническим изоморфизмом (см. обсуждение после теоремы 5.5). Таким образом, произвольное отображение : S 1 X зада?т элемент группы 1 (X, x0 ), заданный с точностью до сопряжения. Пусть X клеточное пространство с единственной 0-мерной клеткой e0 = x0 , одномерными клетками e1 , i I , и двумерными клетками e2 , j J . Характеристические i j отображения D2 X двумерных клеток определяют отображения приклеивания fj : S 1 X 1 (см. раздел 4), которые задают элементы j 1 (X 1 ) с точностью до сопряжения. При этом X 1 это букет окружностей e1 и группа 1 (X 1 , x0 ) есть i свободная группа с множеством образующих I в силу следствия 6.5.

Доказательство.

Группа 1(X, x0) изоморфна факторгруппе свободной группы 1 (X , x0 ) с образующими, отвечающими 1-мерным клеткам, по соотношениям j = 1, j J , отвечающим 2-мерным клеткам. Доказательство. Провед?м доказательство по индукции по приклеиваемым клеткам 1
Теорема 7.2.
1

размерности n 2. Если таких клеток нет, то пространство X = X букет сфер и 1 (X ) свободная группа с образующими, отвечающими 1-мерным клеткам. Пусть X = X f Dn получено из X приклеиванием n-мерной клетки en при помощи отображения f : S n-1 Y , т.е. мы имеем кодекартов квадрат

S

n-1



-- X -

f

Dn - - X - n Внутри клетки e выберем точку y . Пусть A = X \ {y } и B = X \ X . Тогда A деформационно ретрагируется на в X , а B стягиваемо. Теперь применим теорему ван Кампена к покрытию X = A B . Так как 1 (A) = 1 (X ), а 1 (B ) = 0, мы получаем, что 1 (X ) изоморфно факторгруппе группы 1 (A) 1 (B ) = 1 (X ) по нормальной подгруппе, порожд?нной образом отображения 1 (A B ) 1 (A). Далее сначала рассмотрим случай приклеивания двумерной клетки e2 , т.е. n = 2. В этом случае A B деформационно ретрагируется на окружность в e2 \ {y }, и


31

мы получаем, что образ группы 1 (A B ) в 1 (A) это нормальная подгруппа, порожд?нная классом петли, задаваемой отображением f : S 1 X 1 . Таким образом, при приклеивании новой двумерной клетки e2 к соотношениям в группе 1 (X ) = 1 (A) добавляется ещ? одно соотношение = 1, отвечающее этой двумерной клетке. После того как мы приклеили все двумерные клетки, дальнейшее приклеивание клеток en размерности n 3 не меняет группу 1 (X ). Это следует из того, что A B деформационно ретрагируется на (n - 1)-мерную сферу в en \ {y }; таким образом, 1 (A B ) = 1 (S n-1 ) = 0 при n 3 согласно предложению 5.4.

Пример 7.3. Вычислим фундаментальную группу ориентируемой поверхности Sg рода g (сферы с g ручками). Она имеет клеточную структуру с одной нульмерной клеткой, 2g одномерными клетками a1 , . . . , ag и b1 , . . . , bg и одной двумерной клеткой, см. пример 4.1.6 и рис. 1 г). Одномерный остов это букет 2g окружностей; его фундаментальная группа свободная группа F2g с образующими a1 , . . . , ag и b1 , . . . , bg . Двумерная клетка приклеена по петле, заданной произведением коммутаторов этих образующих. Поэтому 1 (Sg ) факторгруппа свободной группы F2g по одному соотношению, заданному произведением коммутаторов:
1 (Sg ) a1 , . . . , ag , b1 , . . . , bg | a1 b1 a-1 b = 1
-1 1

ћ a2 b2 a-1 b 2

-1 2

ћ . . . ћ ag bg a-1 b g

-1 g

.

В частности, фундаментальная группа тора T 2 = S1 изоморфна факторгруппе группы F2 по соотношению aba-1 b-1 = 1, т.е. Z Z. Это, конечно, следует из простой формулы 1 (X Ч Y ) 1 (X ) Ч 1 (Y ) (см. упражнение 5.12). =

Предложение 7.4.

Поверхность Sg не гомеоморфна и даже не гомотопически эквивалентна поверхности Sg , если g = g . Доказательство. Абелианизация группы 1(Sg ) это Z2g (свободная абелева группа
Пример 7.5. Используя клеточное разбиение проективной плоскости RP 2 (см. при-

с 2g образующими). Если Sg Sg , то 1 (Sg ) 1 (Sg ), а значит и абелианизации этих = групп изоморфны, что влеч?т равенство g = g . мер 4.1.6 и рис. 1 б)), мы получаем, что фундаментальная группа 1 (RP 2 ) изоморфна факторгруппе группы Z (свободной группы с одной образующей a) по одному соотношению a2 = 1. Таким образом, 1 (RP 2 ) = a | a2 = Z2 . Отсюда следует, что проективная плоскость не гомеоморфна ни одной из поверхностей Sg .

Задачи и упражнения. 7.6. Линейно связное пространство X называется

, если 1 (X ) = 0. Докажите, что всякое односвязное клеточное пространство гомотопически эквивалентно клеточному пространству с одной 0-мерной клеткой и без 1-мерных клеток.

односвязным

7.7. Опишите фундаментальную группу бутылки Клейна K , используя клеточное
разбиение из примера 4.1.6 и рис. 1 в). Докажите, что

1 (K ) c1 , c2 | c2 c2 . = 12
Опишите абелианизацию группы 1 (K ) и выведите отсюда, что бутылка Клейна не гомеоморфна проективной плоскости и не гомеоморфна ни одной из поверхностей Sg .


32

7.8. Пусть Pg проективная плоскость с g ручками, а Kg бутылка Клейна с g

ручками (см. пример 4.1.6). Докажите, что фундаментальная группа поверхности Pg или Kg изоморфна факторгруппе свободной группы с образующими c1 , . . . , ck по одному соотношению c2 ћ . . . ћ c2 = 1, где k = 2g + 1 для Pg и k = 2g + 2 для Kg . 1 k Докажите, что поверхности Sg , Pg , Kg попарно не гомеоморфны.

7.9. Вычислите фундаментальные группы пространств RP n и CP n . 7.10. Докажите, что всякая группа является фундаментальной группой некоторого
клеточного пространства. 8.
Накрытия

для линейно связного пространства X , если задано отображение p : X X , такое, что у любой точки x X имеется окрестность U X , для которой p-1 (U ) гомеоморфно U Ч , где дискретное множество, прич?м диаграмма

ющим пространством

Определение и примеры. Линейно связное пространство X называется

накрыва-

p-1 (U )
p

=

/ |

U Ч

U коммутативна. Другими словами, p-1 (U ) является объединением непересекающихся открытых множеств в X , каждое из которых p гомеоморфно отображает на U . Отображение p : X X называется .

#

накрытием

Пример 8.1.

1. p : R S 1 , t (cos t, sin t). Это накрытие использовалось при доказательстве изоморфизма 1 (S 1 ) Z (теорема 5.6). = 1 1 2. p : S S , z z k , где окружность S 1 задана как {z C : |z | = 1}. 3. Отображение p : S n RP n , которое переводит точку сферы в прямую в Rn+1 , проходящую через эту точку и 0 (см. пример 4.1.3).

Ясно, что если p1 : X1 X1 и p2 : X2 X2 накрытия, то и p1 Ч p2 : X1 Ч X2 X1 Ч X2 накрытие. В частности, квадрат накрытия из примера 8.1.1 да?т накрытие R2 T 2 тора T 2 = S 1 Ч S 1 плоскостью.

Свойство поднятия гомотопии. Говорят, что отображение p : Y X обладает

свойством поднятия гомотопии (covering homotopy prop пространству Z , если для любого отображения f : Z Y такой, что p f = F0 , существует накрывающая гомотопия
(4)
i

erty, CHP) по отношению к и гомотопии F : Z Ч I X , F : Z Ч I Y , для которой F0 = f и p F = F . Это описывается следующей диаграммой:

Z
F
0

f

;
F

/

Y X

p

Z ЧI
где i0 вложение z (z , 0).



/


33

свойство поднятия путей Лемма 8.2. Для любого пути : I X и любой точки x X , такой, что p(x) = (0), существует единственный путь : I X , такой, что (0) = x и p = . Доказательство. Окрестности из определения накрытия мы будем называть элементарными. Для каждого t I найд?м элементарную окрестность U (t) X точки (t).
В силу компактности отрезка I из этих окрестностей можно выбрать последовательность U1 , . . . , UN таким образом, что Ui (ti , ti+1 ), где 0 = t1 < t2 < . . . < tN +1 = 1. Прообраз p-1 (U1 ) гомеоморфен дискретному набору таких же окрестностей. Пусть U1 та из них, которая содержит точку x. Определим : [0, t2 ] U1 как прообраз куска |[0,t2 ] пути от 0 = t1 до t2 , который попадает в U1 . Затем проделаем то же самое с окрестностью U2 , точкой (t2 ) и куском пути |[t2 ,t3 ] и т.д. Так как число окрестностей конечно, то процесс конечен, а так как для каждой окрестности он однозначен, то путь с нужными свойствами существует только один.

Ниже мы покажем, что накрытия p : X X обладают свойством поднятия гомотопии, прич?м накрывающая гомотопия единственна. При Z = pt свойство поднятия гомотопии (4) превращается в :

Теорема 8.3 (о поднятии гомотопии).

Накрытие p : X X обладает свойством поднятия гомотопии по отношению к любому пространству Z , прич?м накрывающая гомотопия F : Z Ч I X (см. (4)) единственна. Доказательство. Пусть даны отображение f : Z X и гомотопия F : Z Ч I X . I
Перейдя к сопряж?нному, получаем отображение F : Z z Z в путь t F (z , t) в пространстве X . В силу леммы 8.2, образом поднимается до пути в X , который начинается в образом, существует единственное отображение F : Z X I

X , переводящее точку этот путь единственным точке f (z ) X . Таким , входящее в диаграмму

Xo O
f F

p

0

X >
/

I

Z

F

XI,

где p0 отображение, сопоставляющее пути его начальную точку. Переходя обратно от сопряж?нных отображений к исходным, получим диаграмму

Z
i F
0

f

/ <

X
p

Z ЧI



F

/

X,



которая и выражает требуемое свойство поднятия гомотопии с единственной накрывающей гомотопией.

Накрытия и фундаментальная группа. Теорема 8.4.

Отображение

p : 1 (X , x0 ) 1 (X, x0 ),


34

индуцированное накрытием p : (X , x0) (X, x0), является мономорфизмом. Подгруппа p1(X , x0) в 1(X, x0) состоит из гомотопических классов петель в X с началом в x0, поднятия которых в X с началом в x0 являются петлями. Доказательство. Надо доказать, что если петля : I X с началом x0 проекти-

руется в петлю : I X , гомотопную нулю (т.е. гомотопную постоянной петле), то и сама петля гомотопна нулю. Фиксируем гомотопию t : I X , такую, что 0 = , t (0) = t (1) = x0 , 1 (I ) = x0 . По теореме о поднятии гомотопии существует гомотопия t : I X , такая, что 0 = и p t = t . Но так как полный прообраз точки x0 дискретен в X , мы имеем t (0) = (0) = x0 , t (1) = (1) = x0 , 1 (I ) = x0 . Таким образом, петля также гомотопна нулю. Докажем теперь второе утверждение. Петли с началом и концом в x0 , поднимающиеся до петель с началом и концом в x0 , очевидно, представляют элементы образа отображения p : 1 (X , x0 ) 1 (X, x0 ). Наоборот, петля, представляющая элемент образа отображения p , гомотопна петле, у которой есть такое поднятие, поэтому согласно свойству поднятия гомотопии и у не? самой должно быть такое поднятие. Напомним, что подгруппы H G называется называется мощность множества смежных классов H g , g G. Если H нормальная подгруппа, то индекс H в G это порядок фактор-группы G/H .

индексом

концом в x0 , пусть е? поднятие в X , начинающееся в точке x0 . Произведение ћ , где [ ] H имеет поднятие ћ , заканчивающееся в то же точке, что и , так как петля. Поэтому мы можем определить отображение из множества смежных классов {H [], [] 1 (X, x0 )} в p-1 (x0 ), переводящее H [] в (1). Из линейной связности пространства X следует, что сюръективно, так как точку x0 можно соединить с любой точкой в p-1 (x0 ) пут?м , проектирующимся в петлю с началом и концом в x0 . Кроме того, инъективно: из равенства (H []) = (H [ ]) следует, что ћ поднимается до петли в X с началом и концом в x0 , поэтому [][ ]-1 H , а значит, H [] = H [ ].

Число точек в прообразе p-1(x0) при накрытии (X, x0 ) равно индексу подгруппы p 1 (X , x0 ) в 1 (X, x0 ). Доказательство. Пусть H = p1(X , x0). Для петли в X с началом и
Предложение 8.5.

p : (X , x0 )

Теорема о поднятии отображений. Выясним, как обстоит дело с поднятием произвольных отображений, а не только гомотопий. Пространство X называется , если для любой точки x X и любой окрестности U точки x найд?тся линейно связная окрестность V U .

локально линейно связным

Теорема 8.6 (о поднятии отображения).
f : (Z, z0 ) (X, x0 ) z0 а) pf =f б) Z

ченной точкой . Существует не более одного отображения f : (Z, z0) (X , x0), такого, что (поднятия). Если локально линейно связно, то для существования поднятия необходимо и достаточно, чтобы выполнялось включение
f 1 (Z, z0 ) p 1 (X , x0 ).

Пусть p : (X , x0) (X, x0) накрытие и отображение из линейно связного пространства Z с отме-


35

Докажем а). Пусть f и f два поднятия. Если z Z произвольная точка и : I Z путь из z0 в z , то пути f и f накрывают путь f и имеют общее начало, вследствие чего они совпадают. Поэтому f (z ) = (f )(1) = (f )(1) = f (z ). Теперь докажем б). Мы можем попытаться построить отображение f следующим образом. Пусть z Z . Возьм?м путь : I Z из z0 в z и для пути f : I X построим поднятие f : I X с началом в точке x0 . Затем положим f (z ) = f (1). Для того, чтобы эта конструкция была корректной, необходимо и достаточно, чтобы для любого другого пути : I Z из z0 в z , соответствующий путь f заканчивался в той же точке, что и f , т.е. чтобы петля f ( ) накрывалась в X петл?й. Это равносильно условию, указанному в части б) теоремы. Кроме того, необходимо проверить непрерывность отображения f . Пусть U X окрестность точки f (z ). Перейдя, если необходимо, к меньшей окрестности, мы можем считать, что p : U U гомеоморфизм на некоторую окрестность U точки f (z ) X . Выберем линейно связную окрестность V точки z , для которой f (V ) U . В качестве путей из z0 в разные точки z V можно взять фиксированный путь из z0 в z , который продолжается разными путями в V из точки z в z . Тогда пути (f ) ћ (f ) в X имеют поднятия (f ) ћ (f ), где f = p-1 (f ) и p-1 : U U отображение, обратное к p : U U . Таким образом, f (V ) U , поэтому отображение f непрерывно в точке z . ется мономорфизмом, возникает вопрос, любая ли подгруппа в 1 (X, x0 ) реализуется в виде p 1 (X , x0 ) для некоторого накрытия p : (X , x0 ) (X, x0 ). Ниже мы увидим, что ответ на этот вопрос положителен. Вначале рассмотрим вопрос о реализуемости тривиальной подгруппы {e}. Так как p мономорфизм, это сводится в вопросу о существовании односвязного накрывающего пространства для X . Пространство X называется , если для любой точки x X и е? окрестности V x существует меньшая окрестность U V , такая, что индуцированное включением отображение 1 (U, x) 1 (X, x) тривиально. Открытые множества U с этим свойством образуют базу топологии полулокально односвязного пространства X .

Доказательство.

Универсальное накрытие. Так как отображение p : 1 (X , x0 ) 1 (X, x0 ) явля-

полулокально односвязным

Пусть X линейно связное, локально линейно связное и полулокально односвязное пространство. Тогда существует накрытие p : X X с односвязным X . Доказательство. Пусть p : (X , x0) (X, x0) накрытие с односвязным X . Тогда
Теорема 8.7.

любую точку x X можно соединить пут?м с x0 , и этот путь единствен с точностью до гомотопии. Поэтому X можно отождествить с множеством гомотопических классов путей в X с фиксированным началом x0 . С другой стороны, такие гомотопические классы это в точности гомотопические классы путей в X с фиксированным началом x0 , в силу единственности поднятия путей. Мы приходим к следующему определению:

X = {[ ] : путь в X , выходящий из точки x0 },


36

где, как обычно, [ ] обозначает гомотопический класс пути относительно гомотопий, которые оставляют начало и конец пути неподвижными. Мы имеем отображение

p : X X,

[ ] (1).

Так как X линейно связно, конец (1) может быть любой точкой в X , поэтому отображение p сюръективно. Ниже мы введ?м топологию на X , докажем, что p : X X накрытие, а X односвязно. Рассмотрим U набор всех таких линейно связных открытых подмножеств U X , что отображение 1 (U ) 1 (X ) тривиально. Так как X локально линейно связно и полулокально односвязно, U база топологии на X (т.е. любое открытое множество из X представляется в виде объединения множеств из U ). Пусть даны U U и путь в X из точки x0 в некоторую точку в U . Положим

U[ ] = {[ ћ ] : путь в U , для которого (0) = (1)}.
Отображение p : U[ ] U сюръективно, так как U линейно связно, и инъективно, так как все пути из (1) в x U гомотопны в X , поскольку отображение 1 (U ) 1 (X ) тривиально. Имеется следующее свойство:

U[ ] = U[ ] , если [ ] U[ ] . Действительно, если = ћ , то элементы мно(*) жества U имеют вид [ ћ ћ ч] и потому лежат в U[ ] . Аналогично, элементы множества U имеют вид [ ћ ч] = [ ћ ћ ћ ч] = [ ћ ћ ч] и потому лежат в U[ ] .
Мы зададим топологию на X , взяв в качестве базы набор множеств U[ ] . Чтобы проверить, что этот набор можно взять в качестве базы, нужно доказать, что в любом пересечении U[ ] V[ ] содержится множество такого вида. Пусть [ ] U[ ] V[ ] . Тогда U[ ] = U[ ] и V[ ] = V[ ] . Пусть W U содержится в U V и содержит (1). Тогда W[ ] U[ ] V[ ] = U[ ] V[ ] . Взаимно однозначное отображение p : U[ ] U является гомеоморфизмом, так как оно зада?т взаимно однозначное соответствие между множествами V[ ] U[ ] и множествами V U , содержащимися в U . Следовательно, отображение p : X X непрерывно. Оно является накрытием, так как для фиксированного U U множества U[ ] для разных [ ] задают разбиение p-1 (U ) на непересекающиеся множества, потому что если [ ] U[ ] U[ ] , то U[ ] = U[ ] = U[ ] по свойству (). Оста?тся показать, что X односвязно. Для данной точки [ ] X пусть t путь в X , который совпадает с на [0, t] и оста?тся в одной и той же точке (t) на [t, 1]. Тогда отображение t [t ] есть путь в X , который является поднятием пути , начитается в [x0 ] (гомотопическом классе постоянного пути в x0 ) и заканчивается в [ ]. Так как [ ] X произвольная точка, это показывает, что X линейно связно. Чтобы проверить, что 1 (X , [x0 ]) = 0, достаточно показать, что p 1 (X , [x0 ]) = 0. Элементы в образе гомоморфизма p представлены петлями в (X, x0 ), которые поднимаются до петель в (X , [x0 ]). Мы уже отметили, что путь t [t ] является поднятием пути и начинается в [x0 ]. То, что этот путь является петл?й, означает, что [ ] = [x0 ]. Следовательно, петля стягиваема и образ гомоморфизма p тривиален.

Пусть любого другого накрытия q q r = p.
Предложение 8.8.

p: X X :Y X

накрытие с односвязным X . Тогда для имеется накрытие r : X Y , такое, что


37

Доказательство. версальным

Это следует из теоремы 8.6 (о поднятии отображения).

Благодаря этому свойству накрытие p : X X с односвязным X называется накрытием над X . Из теоремы классификации из следующего подраздела следует, что универсальное накрытие единственно с точностью до изоморфизма.

уни-

Пример 8.9. Отображение S n RP n из примера 4.1.3 является универсальным Классификация накрытий. Два накрытия p1 : Y1 X и p2 : Y2 X

накрытием при n 2. Так как это накрытие двулистно, из предложения 8.5 следует, что тривиальная подгруппа имеет индекс 2 в 1 (RP n ). Поэтому 1 (RP n ) = Z2 , n 2. если существует такой гомеоморфизм f : Y1 Y2 , что p1 = p2 f .

изоморфны,

Пусть X линейно связное, локально линейно связное и полулокально односвязное пространство. Тогда существует взаимно однозначное соответствие между множеством классов изоморфных накрытий p : (Y , y0) (X, x0) (с сохранением отмеченной точки) и множеством подгрупп в 1(X, x0). При этом соответствии накрытие p переходит в подгруппу p1(Y , y0). Доказательство. Сначала покажем, что для любой подгруппы H 1(X, x0) суТеорема 8.10.

ществует такое накрытие p : (Y , y0 ) (X, x0 ), что p 1 (Y , y0 ) = H . Зададим следующее отношение эквивалентности на односвязном (универсальном) накрывающем пространстве X , введ?нном в теореме 8.7: [ ] [ ], если (1) = (1) и [ ][ ]-1 H . Положим Y = X / . Заметим, что если (1) = (1), то [ ] [ ] тогда и только тогда, когда [ ] [ ]. Это означает, что если какие-либо две точки в базовых открытых множествах U[ ] и U[ ] отождествляются в Y , то эти открытые множества отождествляются целиком. Следовательно, проекция p : X / = Y X , [ ] (1), является накрытием. Возьм?м в качестве отмеченной точки y0 Y класс эквивалентности [x0 ] постоянного пути в точке x0 . Тогда p 1 (Y , y0 ) = H . Действительно, для петли в (X, x0 ) е? поднятие в X , начинающееся в [x0 ], заканчивается в [ ], поэтому образ этого поднятого пути в Y = X / будет петл?й тогда и только тогда, когда [ ] [x0 ], а это эквивалентно тому, что [ ] H . Теперь докажем, что два накрытия p1 : (Y1 , y1 ) (X, x0 ) и p2 : (Y2 , y2 ) (X, x0 ), для которых p1 (1 (Y1 , y1 )) = p2 (1 (Y2 , y2 )), изоморфны. Действительно, по теореме о поднятии отображения мы можем поднять p1 до отображения p1 : (Y1 , y1 ) (Y2 , y2 ), для которого p2 p1 = p1 . Аналогично получаем p2 : (Y2 , y2 ) (Y1 , y1 ), для которого p1 p2 = p2 . Тогда согласно единственности поднятия мы имеем p1 p2 = id и p2 p1 = id. Таким образом, p1 и p2 обратные изоморфизмы.

Графы, свободные группы и теорема НильсенаШрайера. В качестве при-

ложения теории накрытий мы докажем важную алгебраическую теорему о том, что подгруппа свободной группы свободна. Доказательство будет использовать ряд фактов из теории графов, которые мы легко докажем, используя результаты о клеточных пространствах. называется одномерное клеточное пространство X . Нульмерные клетки называются графа X , а одномерные клетки его . графа X это клеточное подпространство Y X (замкнутое подмножество, которое

Графом

вершинами

р?брами Подграф


38

является объедиением вершин и р?бер). это стягиваемый граф. Подграфдерево в X называют , если оно содержит все вершины графа X . Как мы увидим ниже, это эквивалентно более очевидному определению максимальности.

максимальным

Дерево

да?т подграф Y X , содержащий все вершины графа X , и деформационную ретракцию Y X0 . В частности, взяв в качестве X0 одну вершину или любое поддерево, мы получим требуемое утверждение. Вначале построим последовательность подграфов X0 X1 X2 . . ., где Xi+1 получается из Xi добавлением замыканий e всех р?бер e X \ Xi , имеющих по крайней мере один конец в Xi . Объединение i Xi открыто в X , так как каждая точка из Xi имеет окрестность, содержащуюся в Xi+1 . Более того, множество i Xi замкнуто по аксиоме (W ) клеточного пространства, как объединение замыканий клеток. Поэтому X = i Xi , так как граф X связен. Теперь, чтобы построить Y , положим вначале Y0 = X0 . Предположим по индукции, что уже построен граф Yi Xi , содержащий все вершины графа Xi . Рассмотрим граф Yi+1 , который получается из Yi , если для каждой вершины из Xi+1 \ Xi добавить одно ребро, соединяющее эту вершину с Yi . Очевидно, что имеется деформационная ретракция Yi+1 Yi . Теперь положим Y = i Yi . Тогда можно получить деформационную ретракцию графа Y на Y0 = X0 , деформационно ретрагируя Yi+1 на Yi в 1 течение времени из промежутка [ 2i1 , 2i ]. Тогда точка x Yi+1 \ Yi оста?тся неподвиж+1 ной до этого промежутка, во время которого она перемещается в Yi , а после этого продолжает перемещаться, пока не достигнет Y0 . Полученная гомотопия ht : Y Y непрерывна, так как она непрерывна на замыкании каждого ребра.

Любой связный граф X содержит максимальное дерево, и любое дерево в графе содержится в некотором максимальном дереве. Доказательство. Мы опишем конструкцию, которая для каждого подграфа X0 X
Предложение 8.11.

Пусть X связный граф с максимальным деревом T . Тогда свободная группа с базисом, элементы которого соответствуют ребрам из . Доказательство. Проекция X X/T является гомотопической эквивалентностью
Предложение 8.12.
1 ( X ) X \T
согласно следствию 4.4. Факторпространство X/T является ной, а потому является букетом окружностей. Поэтому 1 (X ) группа с базисом, элементы которого соответствуют р?брам,

графом с одной верши 1 (X/T ) свободная = не попавшим в T .

В качестве следствия получаем, что граф является деревом тогда и только тогда, когда он односвязен.

Лемма 8.13.

Любое накрывающее пространство графа X также является графом. Доказательство. Пусть p : Y X- накрытие. В качестве вершин графа Y мы 0 1 0

бер?м дискретное множество Y = p (X ). В качестве реб?р графа Y мы бер?м всевозможные поднятия характеристических отображений I X одномерных клеток e пространства X (т. е. реб?р графа X ). Такие поднятия начинаются из заканчиваются в точках из Y 0 , прич?м для каждой точки из p-1 (x), где x e , существует единственное поднятие, проходящее через эту точку. Это зада?т структуру графа на Y . Получающаяся при этом топология на Y та же самая, что и исходная топология, так как обе топологии имеют одни и те же базовые открытые множества, поскольку проекция p : Y X является локальным гомеоморфизмом.


39

Теорема 8.14 (НильсенШрайер).

Доказательство.

Любая подгруппа свободной группы F свободна.
которого согласно т.е. 1 (Y группа G

Пусть X граф, для ностей. Для каждой подгруппы G F p : Y X , для которого p (Y ) = G, предыдущей лемме Y граф, поэтому жению 8.12.

1 (X ) = F , например, букет окружтеореме 8.10 существует накрытие ) G, так как p инъективно. По = 1 (Y ) свободна согласно предло=

В отличие от ситуации со свободными абелевым группами, подгруппа G F свободной группы F может иметь больший ранг, чем группа F . Примеры приведены в задачах ниже.

Задачи и упражнения.
вивалентным букету n окружностей при n 2. Постройте накрытие поверхности S (кренделя) поверхностью Sg (сферой с g ручками) при g 2.

8.15. Постройте накрытие букета 2 окружностей пространством, гомотопически эк2

8.16. Докажите, что для накрытия p : X X и любых точек x, x X имеется взаимно однозначное соответствие между дискретными множествами p-1 (x) и p-1 (x ). Мощность множества p-1 (x) называется p. 8.17. Накрытие p : (X , x0 ) (X, x0 )
(X , x0 ) нормальная подгруппа в 1 (X, x0 ). Докажите, что накрытие p регулярно тогда и только тогда, когда никакая петля в X не является образом одновременно замкнутого пути и незамкнутого пути в X .
1

числом листов накрытия называется регулярным, если p

8.18. Докажите, что если p : (X , x0 ) (X, x0 ) регулярное накрытие, то существует
свободное действие группы G = 1 (X, x0 )/p 1 (X , x0 ) на пространстве X , такое, что X = X /G (точнее, орбиты действия совпадают с множествами p-1 (x)). Определение действия группы G на пространстве X и пространства орбит X/G см. в примере 1.5.2. Действие группы G на X называется , если для любого g = e и x X выполнено g x = x.

свободным

, если каждая точка y Y обладает такой окрестностью U , что множества g U , g G, попарно не пересекаются. Докажите, что если группа G действует на Y свободно и дискретно, то естественная проекция p : Y X = Y /G является регулярным накрытием. Более того, в этом случае 1 (X )/p 1 (Y ) = G.

8.19. Действие группы G на пространстве Y называется

дискретным

8.20. Докажите, что двулистные накрытия регулярны. Постройте пример нерегулярного тр?хлистного накрытия над букетом двух окружностей и над кренделем. димо для существования односвязного накрывающего пространства X .

8.21. Докажите, что условие полулокальной односвязности пространства X необхо8.22. Постройте пример не полулокально односвязного пространства. 8.23. Пространство X
, если у любой точки существует односвязная окрестность. Постройте пример полулокально односвязного, но не локально односвязного пространства.

локально односвязно

8.24. Постройте универсальное накрытие над букетом S 1 S 2 .


40

8.25. Постройте универсальное накрытие над букетом S 1 S 1 . 8.26. Докажите следующую версию теоремы 8.10, в которой не учитываются отмеченные точки: имеется взаимно однозначное соответствие между классам изоморфных накрытий p : Y X и классами сопряж?нности подгрупп в 1 (X, x0 ). содержится ни в каком большем дереве.

8.27. Докажите, что максимальное дерево максимально в том смысле, что оно не 8.28. Пусть G F2 подгруппа свободной группы ранга 2 (с образующими a и b), 8.29. Пусть G = [F2 , F2 ] F2 коммутант свободной группы ранга 2. Докажите, что

состоящая из слов ч?тной длины. Найдите ранг группы G. Опишите накрытие над букетом S 1 S 1 , реализующие подгруппу G в 1 (S 1 S 1 ) = F2 .

G свободная группа бесконечного ранга. Опишите накрытие над букетом S 1 S 1 , реализующие подгруппу G в 1 (S 1 S 1 ) = F2 .
9.
Расслоения

Накрытие локально устроено как произведение на дискретное множество . Обобщение понятия накрытия, при котором дискретное множество заменяется на произвольное топологическое пространство F , приводит к понятию расслоения. называется четв?рка (E , B , F, p), где E , B , F пространства, а p такое отображение E B , что любая точка x B имеет = окрестность U B , для которой существует гомеоморфизм : p-1 (U ) - U Ч F , замыкающий коммутативную диаграмму

Локально тривиальные расслоения. Свойство поднятия гомотопии.

кально тривиальным расслоением

Ло-

p-1 (U )
p

=

/ |

U ЧF

#

Пространство E называется ,B ,аF локально тривиального расслоения. Локально тривиальным расслоением также называют отображение p : E B . Прообраз p-1 (x) точки x B называется x; очевидно, этот слой гомеоморфен F . Локально тривиальное расслоение называется , если в диаграмме выше можно положить U = B ; это в частности означает, что E B Ч F . =

тотальным пространством базой тривиальным

U

над точкой

слоем слоем расслоения

Пример 9.1.

1. Накрытие является локально тривиальным расслоением с дискретным слоем F .

2. Проекция ленты М?биуса на е? среднюю линию представляет собой нетривиально расслоение над окружностью со слоем отрезок. 3. Пусть E = S 3 = {(z0 , z1 ) C2 : |z0 |2 +|z1 |2 = 1}, B = CP 1 = S 2 , p(z0 , z1 ) = [z0 : z1 ]. Получаем локально тривиальное расслоение p : S 3 S 2 со слоем F = S 1 , которое называется . В качестве множеств U из определения расслоения можно взять U0 = {[z0 : z1 ] CP 2 : z0 = 0} и U1 = {[z0 : z1 ] CP 2 : z1 = 0}.

расслоением Хопфа


41

Как и накрытия, локально тривиальные расслоения обладают свойством поднятия гомотопии (см. теорему 8.3). Однако, во-первых, накрывающая гомотопия, вообще говоря, не единственна, а во-вторых, необходимо наложить некоторые дополнительные условия на отображаемое пространство Z или на базу расслоения B . Мы докажем следующую теорему.

Локально тривиальное расслоение p : E B обладает свойством поднятия гомотопии по отношению к любым клеточным пространствам Z :
Теорема 9.2.
(5)
i

Z
0

f

/ <

E B

p

G

Z ЧI



G

/

Доказательство.

Вначале мы свед?м свойство поднятия гомотопии по отношению к любым клеточным пространствам Z к случаю Z = Dk . Свойство поднятия гомотопии является частным случаем более общего свойства поднятия для пары (X, A), которое описывается следующей диаграммой:

A
g i

f

/ >

E B

p

X



g

/

где i : A X вложение. Тогда свойство поднятия гомотопии это свойство поднятия для пары (Z Ч I , Z ). Для проведения индукции по клеткам нам понадобится относительная версия свойства поднятия гомотопии, когда требуется поднять гомотопию G : Z Ч I B до гомотопии G : Z Ч I E , начинающейся с данного отображения f : Z E и продолжающей поднятие G : A Ч I E , уже заданное на подпространстве A Z . Это не что иное как свойство поднятия для пары (Z Ч I , Z Ч 0 A Ч I ):

Z Ч0AЧI
i G

G

/8 /

E B

p

Z ЧI



G

Теперь будем вести индукцию по клеткам пространства Z . Предположим, что поднятие гомотопии G : Z Ч I E уже задано на Z , а мы хотим продолжить его на пространство Z = Z ek , получаемое из Z приклеиванием одной клетки ek при помощи отображения Dk Z . Так как характеристическое отображение Dk Z ek этой клетки является гомеоморфизмом на внутренности шара, свойство поднятия для пары (Z Ч I , Z Ч 0 Z Ч I ) эквивалентно свойству поднятия для пары (Dk Ч I , Dk Ч 0 Dk Ч I ):

Dk Ч 0 Dk Ч I
i

/

(Z ek ) Ч 0 Z Ч I
i G

G

/7

E
p

/



Dk Ч I

(Z ek ) Ч I

G

/

B




42

Так как пары (Dk Ч I , Dk Ч 0) и (Dk Ч I , Dk Ч 0 Dk Ч I ) гомеоморфны, свойство поднятия для пары (Dk Ч I , Dk Ч 0 Dk Ч I ) эквивалентно свойству поднятия гомотопии по отношению к пространству Dk :

D
i
0

k

=

/

Dk Ч 0 Dk Ч I
i G

G

7/ /

E
p



Dk Ч I

=

/



Dk Ч I

G

B



Осталось проверить свойство поднятия гомотопии для шаров Dk или, что равносильно, кубов I k . Пусть G : I k Ч I B , G(x, t) = gt (x) гомотопия, которую мы хотим поднять, начиная с заданного поднятия g0 : I k E отображения g0 : I k B . Выберем открытое покрытие {U } пространства B вместе с локальными тривиали = зациями : p-1 (U ) - U Ч F . Так как I k Ч I компактно, мы можем разбить I k на меньшие кубы C , а I на отрезки Ij = [tj , tj +1 ] так, чтобы отображение G переводило каждое произведение C Ч Ij в одно множество U . Применяя индукцию по k , мы можем предположить, что гомотопия G = gt уже построена на C для каждого из малых кубов C . Чтобы продолжить эту гомотопию gt на куб C , мы можем строить gt последовательно на каждом отрезке Ij . Этот аргумент позволяет нам свести вс? к случаю, когда отображение G переводит весь куб I k Ч I в одно множество U . Тогда нам уже дано поднятие G : I k Ч 0 I k Ч I p-1 (U ), которое необходимо продолжить до поднятия G : I k Ч I p-1 (U ). Взяв композицию с локальной триви = ализацией : p-1 (U ) - U Ч F мы сводим вс? к случаю тривиального расслоения:

I k Ч 0 I k Ч I
i G

f

/

U Ч F 6
p



Ik Ч I

G

/

U



В этом случае первая координата поднятия G : I k Ч I U Ч F является данным нам отображением G. Вторую координату можно определить как композицию I k Ч I I k Ч 0 I k F , где первое отображение ретракция, а второе вторая координата данного нам отображения f . , если оно удовлетворяет свойству поднятия гомотопии (5) по отношению к любому пространству Z . Отображение p : E B называется , если оно удовлетворяет свойству поднятия гомотопии (5) по отношению к любому клеточному пространству Z . Согласно теореме 9.2, локально тривиальное расслоение является расслоением в смысле Серра. (Имеет место теорема ГуревичаХюбша, согласно которой локально тривиальное расслоение является расслоением в смысле Гуревича, если база B паракомпактна.) Вот важный пример расслоения в смысле Гуревича, которое, вообще говоря, не является локально тривиальным.

расслоением в смысле Гуревича

Расслоения в смысле Гуревича и Серра. Отображение p : E B называется

расслоением в смысле Серра

Пример 9.3 (расслоение путей). Пусть X пространство с отмеченной точкой. Напомним, что пространством путей на X называется подпространство P X C (I , X ),


43

состоящее из путей : I X c (0) = x0 . Рассмотрим отображение

p : P X X,

(1).

Тогда p является расслоением в смысле Гуревича. В самом деле, пусть даны f : Z P X и G : Z Ч I X , см. (5). Тогда накрывающая гомотопия G : Z Ч I P X может быть задана следующей формулой ?продолжения путей?:

G(z , t)(s) =

f (z ) (s(1 + t)) G z , s(1 + t) - 1

при s(1 + t) при s(1 + t)

1, 1.

Расслоение p : P X X называется для X . Его слоем p-1 (x0 ) над отмеченной точкой x0 X является пространство петель X . Слой p-1 (x1 ) над любой другой точкой представляет собой пространство путей из x0 в x1 ; легко видеть, что это пространство гомотопически эквивалентно пространству петель X . Согласно одной из задач в конце этого раздела, все слои расслоения в смысле Гуревича гомотопически эквивалентны. под расслоением мы будем понимать расслоение в смысле Гуревича, т.е. отображение p : E B , удовлетворяющее свойству поднятия гомотопии (5) для любого Z . Двойственное понятие определяется как отображение i : A X , удовлетворяющее свойству продолжения гомотопии. Мы определяли последнее для пар (X, A) в разделе 4. В более общей ситуации, говорят, что отображение i : A X обладает по отношению к пространству Z , если для любого отображения f : X Z и гомотопии F : A Ч I Z , такой, что f i = F0 , существует гомотопия F : X Ч I Z , для которой F0 = f и F (i Ч id) = F . Это описывается коммутативной диаграммой

расслоением путей

Расслоения и корасслоения. Теорема факторизации. До конца этого раздела

корасслоения

свойством продолжения гомотопии

(6)

A
i F

F

/ > /

Z


I p
0

X



f

Z

где Z I = C (I , Z ), F отображение к F (происходящее из эспонен C (A, Z I ), т.е. F (a) = , где (t) = F (a, t) Z ), циального закона C (A Ч I , Z ) = отображение p0 переводит в (0), а F сопряж?нное отображение к F .

сопряж?нное

Пример 9.4.

1. Вложение i : A X клеточного подпространства A клеточного пространства X является корасслоением согласно теореме 4.3. 2. Вложение верхнего основания цилиндра:

i : X X Ч I,

x (x, 1)

является корасслоением. Этот пример двойствен к расслоению путей (пример 9.3). 3. Отображение X pt в точку всегда является расслоением: в качестве накрывающей гомотопии G : Z Ч I X можно взять постоянную гомотопию G(z , t) = f (z ). Однако ?двойственное? отображение вложения точки pt X является корасслоением только для достаточно хороших пространств (например, клеточных).


44

Предложение 9.5.
а)

Пусть

p: E B

расслоение,
E


f: B B
/
p f

отображение и

E B

p

б)

декартов квадрат, т.е. E = {(e, B тоже расслоение. Пусть i : A X корасслоение, g
A
i g

B

/

b ) E Ч B : p(e) = f (b )} :AA
/

. Тогда отображение и

p:E

A

i

кодекартов квадрат (т.е. X = X A / , где x a , если x = i(a) и a = g (a) для некоторого a A). Тогда i : A X тоже корасслоение. Доказательство. Докажем а). Рассмотрим свойство поднятия гомотопии для p :
Z
i G
0

X



/

X

/ ;

E

p f

/

E B

p

Z ЧI



G

/

B

/

Так как p : E B расслоение, существует поднятие Z Ч I E , которое вместе с универсальным свойством декартова квадрата (см. (1)) да?т требуемое поднятие G: Z Ч I E . Утверждение б) доказывается аналогично, используя универсальное свойство кодекартова квадрата (см. (2)). Расслоение p : E B называется расслоением p при помощи отображения f : B B . Следующая теорема о факторизации показывает, что любое отображение можно разложить в композицию гомотопической эквивалентности и расслоения, а также в композицию корасслоения и гомотопической эквивалентности.

индуцированным

Для любого отображения f : X Y существует гомотопическая эквивалентность h : X X и расслоение p : X Y , такие, что f = p h. б) Для любого отображения f : X Y существует корасслоение i : X Y и гомотопическая эквивалентность h : Y Y , такие, что f = h i. Доказательство. Докажем а). Пусть X множество пар (x, ), состоящих из точки
а)

Теорема 9.6 (о факторизации отображения).

x X и пути : I Y с (0) = f (x). Это описывается декартовым квадратом X

f

/

Y
/

I p0

X

Y


45

где Y I пространство всех путей : I Y , а отображение p0 переводит Тогда гомотопическая эквивалентность h : X X зада?тся формулой (x, cf (x) ), где cf (x) : I Y постоянный путь t f (x), и имеем расслоение p : p(x, ) = (1) (свойство поднятия гомотопии проверяется так же, как и для ния путей в примере 9.3).

в (0). h(x) = X Y, расслое-

Докажем б). Пусть Y фактор-пространство пространства (X Ч I ) Y , получаемое при отождествлении (x, 0) X Ч I с f (x) Y . Это описывается кодекартовым квадратом

X
i
0

f

/

Y


Y X ЧI где отображение i0 переводит x в (x, 0). Гомотопическая эквивалентность h : Y Y зада?тся формулами h(x, t) = f (x) и h(y ) = y , и мы имеем корасслоение i : X Y , i(x) = (x, 1) (сравните с примером 9.4.2).
Пространство Y = (X Ч I ) f Y , построенное в доказательстве утверждения б) выше, называется f.



/

цилиндром отображения
n

Задачи и упражнения. 9.7. Это обобщение примера 9.1.3. Положим E = S
2 2

= {(z0 , z1 , . . . , zn ) Cn+1 : |z0 | + . . . + |zn | = 1}, B = CP , p(z0 , . . . , zn ) = [z0 : . . . : zn ]. Докажите, что p : S 2n+1 CP n локально тривиальное расслоение со слоем F = S 1 . Оно также называется .

2n+1

расслоением Хопфа

CP частности, расслоение Хопфа), нетривиально.

9.8. Докажите, что расслоение p : S

2n+1

n

из предыдущего упражнения (в

9.9. Докажите, что локально тривиальное расслоение над кубом I k тривиально. 9.10. Докажите, что все слои расслоения в смысле Гуревича гомотопически эквивалентны.

9.11. Докажите, что вложение верхнего основания цилиндра i : X X Ч I , x
(x, 1), является корасслоением. X является корасслоением.

9.12. Докажите, что если X клеточное пространство и x X , то вложение i : x 9.13. Приведите пример пространства с отмеченной точкой (X, x0 ), для которого
вложение i : x0 X не является корасслоением. коммутативная диаграмма отображений

9.14. Докажите, что разложение из теоремы 9.6 а) естественно в следующем смысле:
X
f

/
f

X
/

Y



Y


46

приводит к коммутативной диаграмме разложений

X
f h

/
f

X
h

X
~
p

/

X

/Y Y Сформулируйте и докажите аналогичное свойство естественности для разложения из теоремы 9.6 б).



p

9.15. Пространство, гомотопически эквивалентное слою расслоения p : X Y из теоремы 9.6 а) называется отображения f : X Y и обозначается hofib f . Докажите, используя естественность конструкции X (см. предыдущую задачу), что гомотопический слой определ?н корректно: для любого другого разложения f = p h в композицию гомотопической эквивалентности h и расслоения p пространство hofib f гомотопически эквивалентно слою расслоения p .

гомотопическим слоем

9.16. Докажите, что гомотопический слой отображения f : X Y есть пространство
F , входящее в декартов квадрат F X
где P Y Y расслоение путей.

f

/

PY
/

Y



9.17. Фактор-пространство G = Y /i(X ) = Y /(X Ч1) пространства Y = (X Ч I ) f Y

из теоремы 9.6 б) (цилиндра отображения) по его верхнему основанию называется f : X Y . Пространство, гомотопически эквивалентное конусу отображения f называется его . Таким образом, мы имеем кодекартов квадрат

конусом отображения

гомотопическим кослоем
X

f

/

Y


/G CX где X C X вложение X в основание конуса. Проверьте корректность определения гомотопического кослоя по аналогии с задачей 9.15.

9.18. Найдите гомотопический слой вложения точки pt X . 9.19. Найдите гомотопический кослой проекции в точку X pt . 9.20. Найдите гомотопический слой вложения букета S 1 S 1 S 1 Ч S 1 . 9.21. Найдите гомотопический слой вложения букета CP CP


CP



Ч CP .

является корасслоением, а гомотопическая эквивалентность h : Y Y из теоремы 9.6 б) расслоением в смысле Серра.

9.22. Докажите, что гомотопическая эквивалентность h : X X из теоремы 9.6 а)


47

10.

Гомотопические группы
0

Определение. Коммутативность. Для пространства X с отмеченной точкой x

определим n (X, x0 ) как множество гомотопических классов отображений f : S n X , переводящих отмеченную точку s0 сферы S n в x0 . Сами эти отображения называются . Иначе сфероид можно представить как отображение пар n n f : (I , I ) (X, x0 ), переводящий границу куба I n в x0 . При n 1 сумма двух сфероидов f , g : S n X определяется как композиция

сфероидами

f + g : S n - S n S n - X,
где отображение c стягивает экватор S n-1 в сфере S n в точку, и мы выбираем отмеченную точку s0 на S n так, чтобы она принадлежала этому экватору. На кубическом языке операция суммы выглядит следующим образом: если f , g : (I n , I n ) (X, x0 ) и (t1 , . . . , tn ) координаты в кубе I n , то сумма f + g определяется как отображение (I n , I n ) (X, x0 ), заданное формулой (7)

c

f g

(f + g )(t1 , t2 , . . . , tn ) =

f (2t1 , t2 , . . . , tn ) при 0 1 g (2t1 - 1, t2 , . . . , tn ) при 2

t1 t1

, 1.

1 2

Так как в операции суммы участвует только первая координата, те же самые рассуждения, что и для 1 (см. предложение 5.1) показывают, что сумма определена корректно на гомотопических классах сфероидов и n (X, x0 ) группа, прич?м единичный элемент постоянное отображение I n x0 , а обратный элемент зада?тся формулой -f (t1 , t2 , . . . , tn ) = f (1 - t1 , t2 , . . . , tn ). Группа n (X, x0 ), n 1, называется n-й пространства X . Ясно, что 1 (X, x0 ) это фундаментальная группа, а 0 (X, x0 ) просто множество компонент линейной связности пространства X (на н?м, вообще говоря, нет естественной групповой операции).

гомотопической группой

Предложение 10.1.

Доказательство.

Гомотопическая группа

n (X, x0 )

коммутативна при

n

2

.

Мы имеем f + g g + f посредством гомотопии, изображ?нной на рис. 3. Сначала гомотопия сжимает области определения отображений f и g в

f f g f g g g f g f

Рис. 3

меньшие кубы в I n , а область вне этих кубов отображается в отмеченную точку x0 . В результате появляется свободное пространство, в котором можно двигать эти два куба как угодно, лишь бы они не пересекались. При n 2 их можно переставить местами. Затем области определения отображений f и g можно снова увеличить до их исходного размера. Всю эту процедуру можно проделать, используя лишь координаты t1 и t2 , оставляя другие координаты без изменений.


48

Если пространство X линейно связно, то для любых двух точек x0 , x1 X группы n (X, x0 ) и n (X, x1 ) изоморфны: изоморфизм зада?тся выбором пути из x0 в x1 (упражнение). Этот изоморфизм, вообще говоря, зависит от пути, вернее от его гомотопического класса. Таким образом, если X односвязно (т.е. 0 (X ) = 1 (X ) = 0), то все группы n (X, x0 ) с различными x0 канонически изоморфны.

Предложение 10.2.

Отображение f : X Y , такое, что f (x0) = y0, индуцирует гомоморфизм групп f : n(X, x0) n(Y , y0). Если отображения f , g : X Y гомотопны, то гомоморфизмы f и g совпадают. Доказательство. Это доказывается аналогично соответствующему утверждению
для фундаментальной группы (предложение 5.2).

Следствие 10.3.

бой точки

x0

Предложение

Если f : X Y гомотопическая эквивалентность, то для люX гомоморфизм f : n (X, x0 ) n (Y , y0 ) является изоморфизмом. 10.4. Для любых пространств (X, x0 ) и (Y , y0 ) имеем
n (X Ч Y , (x0 , y0 )) = n (X, x0 ) Ч n (Y , y0 ).

Доказательство. Доказательство.

Отображение Z X Ч Y это то же самое, что пара отображений Z X , Z Y . Взяв в качестве Z пространства S n и S n Ч I , получим требуемое.

Предложение 10.5. n (S k ) = 0

при

n
.

Это эквивалентно предложению 4.8 (и вытекает из теоремы о клеточной аппроксимации).

лим n (X, A, x0 ), n 1, как множество гомотопических классов отображений пар n n-1 f : (D , S ) (X, A), переводящих отмеченную точку s0 S n-1 = Dn в x0 . Эти отображения называются . На кубическом языке относительный сфероид это отображение f : I n X , переводящее I n в A и переводящее I n \ I n-1 в x0 , где грань I n-1 зада?тся уравнением tn = 0. Стягивание подпространства I n \ I n-1 в точку преобразует тройку (I n , I n , I n \ I n-1 ) в (Dn , S n-1 , s0 ), поэтому отображение (Dn , S n-1 , x0 ) (X, A, x0 ) это то же самое, что отображение (I n , I n , I n \ I n-1 ) (X, A, x0 ). Операция суммы определяется в n (X, A, x0 ) той же формулой (7), что и для n (X, x0 ), за исключением того, что координата tn играет теперь особую роль и е? больше нельзя использовать для операции суммы. Таким образом, n (X, A, x0 ) группа при n 2, и эта группа коммутативна при n 3. Группа n (X, A, x0 ), n 2, называется пары (X, A). При n = 1 мы получаем I 1 = [0, 1], I 0 = {0} и I 1 \ I 0 = {1}. Следовательно, 1 (X, A, x0 ) это множество гомотопических классов путей в X из переменной точки в A в фиксированную точку x0 A. Вообще говоря, это множество нельзя превратить в группу естественным способом. Последовательность групп и гомоморфизмов

Относительные гомотопические группы. Точная последовательность пары. Пусть (X, A) пара пространств с отмеченной точкой x0 A. Опреде-

относительными сфероидами

относительной гомотопической группой

называется

точной

. . . - Gi

+1

- Gi - Gi
i+1

f

i+1

f

i

-1

- . . .

f

i-1

, если Ker fi = Im f

для любого i.


49

Для пары пространств (X, A) и n

1 определены отображения
n-1

i : n (A, x0 ) n (X, x0 ), j : n (X, x0 ) n (X, A, x0 ), : n (X, A, x0 )

(A, x0 ),

где i отображение, индуцированное вложением A X , отображение j переводит гомотопический класс сфероида f : (I n , I n ) (X, x0 ) в гомотопический класс относительного сфероида f : (I n , I n , I n \ I n-1 ) (X, A, x0 ), а отображение переводит гомотопический класс относительного сфероида f : (Dn , S n-1 , s0 ) (X, A, x0 ) в гомотопический класс сфероида f |S n-1 : (S n-1 , s0 ) (A, x0 ). На кубическом языке, отображение переводит f : (I n , I n , I n \ I n-1 ) (X, A, x0 ) в f |I n-1 : (I n-1 , I n-1 ) (A, x0 ). Отображения i и j являются гомоморфизмами при n 1, а является гомоморфизмом при n 2.

Теорема 10.6 (гомотопическая последовательность пары).
. . . n (A, x0 ) n (X, x0 ) n (X, A, x0 )

Последовательность
n-1



i

j





n-1

(A, x0 )

i

(X, x0 ) . . .
i

j



точна для любой пары пространств (X, A). Замечание. Множество 1(X, A, x0) не является

. . . 1 (X, x0 ) 1 (X, A, x0 ) 0 (A, x0 ) 0 (X, x0 )

i

j





группой, и точность в этом члене означает, что для любого элемента [f ] 1 (X, A, x0 ), где f : (D1 , S 0 , s0 ) (X, A, x0 ), образ [f ] представляет отображение в точку S 0 x0 тогда и только тогда, когда [f ] = j [g ] для некоторого [g ] 1 (X, x0 ). Аналогичный смысл имеет и точность в члене 1 (A, x0 ). Проверим, что Im i Ker j . Пусть элемент [f ] n (X, x0 ) представлен отображением f : (Dn , S n-1 ) (X, x0 ). Предположим, что [f ] Im i , т.е. f : Dn X гомотопно отображению g : Dn X , для которого g (Dn ) A. Рассмотрим гомотопию (деформационную ретракцию) rt : Dn Dn , где r0 = id и r1 отображение в точку. Тогда композиция g rt устанавливает гомотопию между относительным сфероидом g : (Dn , S n-1 , s0 ) (X, A, x0 ), представляющим элемент j [g ], и отображением Dn x0 , представляющим 0, в классе относительных сфероидов. Следовательно j [f ] = j [g ] = 0, т.е. [f ] Ker j . Проверим, что Ker j Im i . Предположим, что [f ] Ker j , т.е. j [f ] = 0. Здесь удобно представить [f ] n (X, x0 ) отображением f : (I n , I n ) (X, x0 ). Тогда j [f ] представляется относительным сфероидом f : (I n , I n , I n \ I n-1 ) (X, A, x0 ). Гомотопия между f и отображением в точку в классе относительных сфероидов зада?т отображение F : I n+1 = I n Ч I X , которое совпадает на грани tn+1 с f , переводит грань tn = 0 в A отображает оставшуюся часть границы I n+1 в x0 . Пусть n Is I n+1 сечение куба n-мерной плоскостью stn + (1 - s)tn+1 = 0 (см. рис. 4). n n Тогда gs = F |Is : Is = I n X гомотопия между f = g0 и отображением g1 , которое переводит (I n , I n ) в (A, x0 ). Итак, мы получаем [f ] = [g1 ] Im i . Проверим, что Im j Ker . Действительно, если [f ] n (X, A, x0 ) лежит в Im j , то он представлен сфероидом f : (Dn , S n-1 ) (X, x0 ). Но тогда f |S n-1 есть отображение в точку, т.е. [f ] = 0. Проверим, что Ker Im j . Пусть элемент [f ] n (X, A, x0 ) представлен отображением f : (I n , I n , I n \ I n-1 ) (X, A, x0 ). Если [f ] Ker , то имеется гомотопия

Доказательство теоремы 10.6.


50
tn+1

T ? ?

x

0

A x

& ?&x 0 ?& & $ ? $$$ & E $$ & ?

0

f

t1 , . . . , tn

Рис. 4

gt : I n-1 A между f |I n-1 : I n-1 A и отображением в точку. Рассмотрим гомотопию ht : I n A, совпадающую с gt на I n-1 и переводящую I n \ I n-1 в x0 . Применяя теорему о продолжении гомотопии для клеточной пары (I n , I n ), продолжим ht до гомотопии ft : I n X между данным нам отображением f = f0 и отображением f1 , переводящим I n в x0 . Тогда f1 : (I n , I n ) (X, x0 ) представляет элемент [f1 ] n (X, x0 ) и мы имеем j [f1 ] = [f ], т.е. [f ] Im j . Проверим, что Im Ker i . Пусть [f ] n-1 (A, x0 ) лежит в Im , т.е. сфероид f : (I n-1 , I n-1 ) (A, x0 ) является ограничением относительного сфероида g : (I n , I n , I n \ I n-1 ) (X, A, x0 ). Тогда ft = g |I n-1 Чt : I n-1 Ч t = I n-1 X есть гомотопия, связывающая f0 = f c отображением в точку, т.е. i [f ] = 0 и [f ] Ker i . Проверим, что Ker i Im . Пусть [g ] n-1 (A, x0 ) лежит в Ker i , т.е. задана гомотопия gt : I n-1 X в X между g0 = g : (I n-1 , I n-1 ) (A, x0 ) (X, x0 ) и отображением в точку g1 : I n-1 x0 . Тогда эта гомотопия зада?т отображение f : I n-1 Ч I X , f (t1 , . . . , tn-1 , tn ) = gtn (t1 , . . . , tn-1 ), представляющее собой относительный сфероид f : (I n , I n , I n \ I n-1 ) (X, A, x0 ), сужение которого на I n-1 есть g . Иначе говоря, [f ] = [f |I n-1 ] = [g ], т.е. [g ] Im .

Гомотопическая последовательность расслоения. Пусть p : E B расслоение в смысле Серра, b0 B и e0 E отмеченные точки, p(e0 ) = b0 , и F = p-1 (b0 ) слой над b0 . Имеем отображение пар

что p мономорфизм. Пусть p [f ] = 0 для некоторого элемента [f ] n (E , F, e0 ), представленного относительным сфероидом f : (Dn , S n-1 ) (E , F ). Так как p [f ] = 0, сфероид f = p f : (Dn , S n-1 ) (B , b0 ) гомотопен нулю в B посредством гомотопии F : Dn Ч I B или ft : Dn B , где f0 = f и f1 : Dn b0 . Воспользуемся свойством поднятия гомотопии:

Отображение при n 1. Доказательство. Докажем,
Лемма 10.7.

p : (E , F ) (B , b0 ). p : n (E , F, e0 ) n (B , b0 )

является изоморфизмом

Dn Ч 0
i F
0

f

;
F

/

E B

p

Dn Ч I



/

Это да?т нам гомотопию ft : Dn E между отображением f = f0 : (Dn , S n-1 ) (E , F ) и отображением f1 , для которого f1 (E ) F (так как f1 (B ) = b0 ). Таким образом, [f ] = [f1 ] = 0 в n (E , F, e0 ) и p мономорфизм.


51

Теперь докажем, что p : n (E , F, e0 ) n (B , b0 ) эпиморфизм. Пусть элемент [f ] : n (B , b0 ) представлен отображением f : (I n , I n ) (B , b0 ). Воспользуемся свойством поднятия гомотопии следующим образом:

I n \ I


n-1

I

n-1

Ч 1 I
n-1

n-1

ЧI
f f

c

/7

E
p

I

n



I

ЧI

/

B
что пары да?т нам b0 . Таким (E , F, e0 ),



где c постоянное отображение в точку e0 E (здесь мы используем то, (I n-1 Ч I , I n-1 Ч 1 I n-1 Ч I ) и (I n-1 Ч I , I n-1 Ч 1) гомеоморфны). Это отображение f : I n E , для которого f ( I n ) F , так как f ( I n ) = образом, мы получаем относительный сфероид f : (I n , I n , I n \ I n-1 ) для которого p [f ] = [f ], так как p f = f . Итак, p эпиморфизм.

Теорема 10.8 (гомотопическая последовательность расслоения).

смысле Серра p : E B над линейно связной базой точная последовательность
. . . - n (F, x0 ) - n (E , x0 ) - n (B , x0 ) -

B

со слоем
i

Для расслоения в F имеет место
i



i

p





n-1

(F, x0 ) - . . .

. . . - 1 (E , x0 ) - 1 (B , x0 ) - 0 (F, x0 ) - 0 (E , x0 )

i

p





Доказательство. Замечание.

Это вытекает из гомотопической последовательности пары (E , F ) и предыдущей леммы.

Как видно из доказательства леммы 10.7, граничное отображение : n (B , b0 ) n-1 (F, e0 ) можно описать следующим образом. Пусть [f ] n (B , b0 ) представлен сфероидом f : (I n , I n ) (B , b0 ). Рассмотрим f как гомотопию I n-1 Ч I B , состоящую из отображений gt : I n-1 B , где g0 и g1 постоянные отображения в точку b0 . Поднимем эту гомотопию до гомотопии gt : I n-1 E , начиная с постоянного отображения g0 : I n-1 e0 . Отображение g1 уже не будет постоянным отображением, но будет переводить I n-1 в F . Тогда сфероид g1 : (I n-1 , I n-1 ) (F, e0 ) представляет элемент [f ] n-1 (F, e0 ).

Пример 10.9.

1. Рассмотрим гомотопической последовательности накрытия p : R S 1 со слоем сч?тное дискретное множество Z :

. . . n (Z ) n (R) n (S 1 )

n-1

(Z ) . . .

Так как n (R) = 0 при всех n и k (Z ) = 0 при k > 0, из точности последовательности вытекает, что n (S 1 ) = 0 при n > 1. 2. Рассмотрим следующий фрагмент гомотопической последовательность расслоения Хопфа p : S 3 S 2 со слоем S 1 (см. пример 9.1.3):

3 (S 1 ) 3 (S 3 ) 3 (S 2 ) 2 (S 1 ) 2 (S 3 ) 2 (S 2 ) 1 (S 1 ) 1 (S 3 )
Так как n (S 1 ) = 0 при n > 1, 1 (S 3 ) = 2 (S 3 ) = 0, мы получаем последовательность

p





0 3 (S 3 ) 3 (S 2 ) 0 0 2 (S 2 ) Z 0

p




52

Так как эта последовательность точна мы получаем, что 2 (S 2 ) 3 (S 2 ). Аналогично получаем n (S 3 ) n (S 2 ) при n 3. (На са = группы изоморфны Z, но пока мы этого доказать не можем; это второй части курса.)

Z и 3 (S 3 ) = = мом деле все эти будет доказано в

следствию 10.3 f : n (X, x0 ) n (Y , y0 ) является изоморфизмом для всех n. Предположим теперь, что f : n (X, x0 ) n (Y , y0 ) является изоморфизмом для всех n. По теореме о клеточной аппроксимации мы можем считать отображение f : X Y клеточным. Далее применим теорему о факторизации отображения (теорему 9.6 б)) и разложим f в композицию X Y Y , где Y = (X Ч I ) f Y цилиндр отображения f , отображение Y Y является гомотопической эквивалентностью, а X Y вложение клеточного подпространства. Тем самым мы свели доказательство к случаю, когда f включение клеточного подпространства X Y . Так как f изоморфизм для всех n, из гомотопической последовательности пары (Y , X ) вытекает, что все относительные группы n (Y , X ) нулевые. Мы докажем, что тогда существует деформационная ретракция Y X . Другим словами, докажем, что тождественное отображение id : Y Y гомотопно относительно X отображению в X . Предположим по индукции, что мы уже построили гомотопию относительно X между отображением id : Y Y и отображением g : Y Y , для которого g (Y k-1 ) X . Пусть ek некоторая k -мерная клетка из Y \ X и : (Dk , Dk ) (Y , Y k-1 ) е? характеристическое отображение. Так как k (Y , X ) = 0, композиция

Отображение f : X Y связных клеточных пространств является гомотопической эквивалентностью тогда и только тогда, когда индуцированные отображения f : n(X ) n(Y ) являются изоморфизмами для всех n. Доказательство. Если f : X Y гомотопическая эквивалентность, то согласно
Теорема 10.10 (Уайтхед).

Теорема Уайтхеда.

g : (Dk , Dk ) (Y , Y

k -1

) (Y , X )

гомотопна относительно Dk отображению в X . Так как Y k-1 ek = Y k-1 Dk / , эта гомотопия индуцирует гомотопию между отображением g |Y k-1 ek : Y k-1 ek Y и отображением в X . Произведя такую гомотопию одновременно для всех клеток ek Y \ X и взяв постоянную гомотопию на X , мы получим гомотопию между отображением g |Y k X и отображением в X . Согласно свойству продолжения гомотопии (теорема 4.3), эту гомотопию можно продолжить до гомотопии, определ?нной на вс?м пространстве Y , и тем самым доказательство шага индукции завершено. Применив конечное число шагов индукции, получим доказательство в случае, когда размерность клеток из Y \ X ограничена. В общем случае мы выполняем гомотопию на k -м шаге индукции в течение времени t из отрезка [1 - 21k , 1 - 2k1 ]. +1 Любой конечный остов Y k в конце концов станет стационарным при этих гомотопиях, поэтому мы получаем корректно определ?нную гомотопию gt , t [0, 1], прич?м g1 (Y ) X . Теорема Уайтхеда не утверждает, что клеточные пространства X и Y с изоморфными гомотопическими группами будут гомотопически эквивалентными: изоморфизмы должны индуцироваться отображением X Y . Например, пространства S 2 и


53

S 3 Ч CP имеют одинаковые гомотопические группы (упражнение), но не гомотопически эквивалентны (этого мы пока доказать не можем).

Задачи и упражнения. 10.11. Докажите, что если пространство X линейно связно, любой путь из из x0 в x
зада?т изоморфизм между n (X, x0 ) и n (X, x1 ), который зависит только от гомотопического класса пути (с фиксированными концам и началом). Указание: постройте и используйте отображение : S n S n I .
1

10.12. Докажите, что если p : (X , x0 ) (X, x0 ) накрытие, то индуцированное
отображение p : n (X , x0 ) n (X, x0 ) изоморфизм при n

2.

10.13. Докажите, что n (S 1 S 1 ) = 0 при n

2.

10.14. Найдите гомотопические группы кренделя (сферы с двумя ручками). 10.15. Докажите следующее утверждение, известное как
или просто

5-лемма

. Пусть

лемма о 5 гомоморфизмах
f
5

G1
f
1

/

G2
f
2

/

G3
f
3

/

G4
f
4

/

G5 H5


H1



/

H2



/

H3



/

H4



/

коммутативная диаграмма групп и гомоморфизмов, строки которой являются точными последовательностями. Тогда а) если f2 и f4 мономорфизмы, а f1 эпиморфизм, то f3 мономорфизм; б) если f2 и f4 эпиморфизмы, а f5 мономорфизм, то f3 эпиморфизм. Таким образом, если f1 , f2 , f4 , f5 изоморфизмы, то и f3 изоморфизм.

10.16. Введите отображения и докажите точность

ности тройки


(X, A, B ) (где A B X ):
i j

гомотопической последователь n-1
(A, B , x0 ) - . . .

. . . - n (A, B , x0 ) - n (X, B , x0 ) - n (X, A, x0 ) -

i

. . . - 1 (X, B , x0 ) - 1 (X, A, x0 )

i

j



10.17. Используя бесконечное расслоение Хопфа p : S
жите, что 2 (CP ) Z и k (CP ) = 0 при k = 2. = ские группы.



CP



со слоем S 1 дока-

10.18. Докажите, что пространства S 2 и S 3 Ч CP 10.19. Докажите, что n ( X ) = 10.20. Докажите, что CP
n+1



имеют одинаковые гомотопиче-

(X ) для любого X при n

0.

S 1.

10.21. Докажите 3-мерную теорему Брауэра: любое непрерывное отображение
f : D3 D3 имеет неподвижную точку.


Предметный указатель

абелианизация (группы), 25, 31 амальгама (пространств), 5 амальгамированное произведение (групп), 28 база (расслоения), 40 база (топологии), 4 базис (свободной группы), 24 барицентрическое подразбиение, 17 букет (пространств), 8, 28 бутылка Клейна, 13 вложение (пространств), 2 гомеоморфизм, 2 гомотопия, 9 гомотопическая группа, 47 относительная, 48 гомотопическая эквивалентность, 10, 21 гомотопический кослой, 46 гомотопический тип, 10 гомотопический слой, 46 гомотопия, относительно подпространства, 16 петель, 19 граф, 37 действие (группы на пространстве), 3 дискретное, 39 свободное, 39 декартов квадрат, 4, 44 дерево, 37 максимальное, 37 джойн (соединение), 7 пространств с отмеченной точкой, 8 индекс (подгруппы), 34 клетка, 10 клеточное отображение, 11 клеточное подпространство, 11 клеточное пространство, 10 локально конечное, 11 конечное, 11 коамальгама, 5 кодекартов квадрат, 5, 29, 44 коммутант (группы), 25, 40 конус, 7 отображения, 46 копроизведение групп, 24 пространств, 5, 8 корасслоение, 14, 43 лемма о 5 гомоморфизмах, 53
54

лист М?биуса, 19, 40 надстройка, 7 пространства с отмеченной точкой, 8 накрытие, 32 регулярное, 39 универсальное, 37 однородные координаты, 12 окрестность (точки), 2 орбита (действия), 3 отображение (пространств), открытое, 3 непрерывное, 2 собственное, 6 пара (пространств), 14 клеточная, 15 пара Борсука, 14 петля, 8, 19 подмножество (пространства) замкнутое, 2 открытое, 2 предбаза (топологии), 5 предельная точка, 2 привед?нное произведение, 8 приклеивание клетки, 11 проективная плоскость, 13 проективное пространство вещественное, 12 бесконечномерное, 13 комплексное, 13 произведение петель, 19 пространств, 4 с отмеченными точками, 8 пространство (топологическое) компактное, 2 линейно связное, 8 локально компактное, 7 локально линейно связное, 34 односвязное, 31 полулокально односвязное, 35 с отмеченной точкой, 8 связное, 2 стягиваемое, 10 хаусдорфово, 2 пространство орбит, 4 пространство петель, 8, 42 пространство путей, 8, 42 путь (в пространстве), 8 ранг (свободной группы), 24


55

расслоение в смысле Гуревича, 42 в смысле Серра, 42 индуцированное, 44 локально тривиальное, 40 путей, 42 тривиальное, 40 Хопфа, 40, 45 расслоенное произведение, 5 ретракция, 14, 22 деформационная, 14 свободная группа, 24 свободное произведение (групп), 24 свойство поднятия гомотопии (CHP), 32, 41 свойство продолжения гомотопии (HEP), 14, 43 симметрический квадрат (пространства), 19 симплекс, 17 симплициальный комплекс, 17 склейка (пространств), 5 слой (расслоения), 40 смэш-произведение, 8 сфера, 8, 12 бесконечномерная, 13 сфера с ручками, 13 сфероид, 47 относительный, 48 теорема Брауэра, 22 ван Кампена, 25 НильсенаШрайера, 39 о клеточной аппроксимации, 16, 29 Тихонова, 6 Уайтхеда, 52 топологическая группа, 23 топологическое пространство, 2 топология, 2 антидискретная, 2 грубая, 2 дискретная, 2 индуцированная, 2 компактно-открытая, 5 произведения, 4 прямого предела, 12 тонкая, 2 тотальное пространство (расслоения), 40 точная последовательность, 48 фактор-топология, 3 фундаментальная группа, 20 характеристическое отображение (клетки), 10

цилиндр, 7 цилиндр отображения, 45 экспоненциальный закон, 7