Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://higeom.math.msu.su/presentations/Izgib.pdf Дата изменения: Wed Mar 21 22:14:38 2012 Дата индексирования: Sat Apr 9 23:54:47 2016 Кодировка: Windows-1251

Изгибаемые многогранники
АF АF Гайфуллин
Математический институт им. В.А. Стеклова РАН, Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова, Институт проблем передачи информации им. А.А. Харкевича РАН

МоскваD PP марта PHIP гF

А. А. Гайфуллин (МИАН, МГУ, ИППИ)

Изгибаемые многогранники

Москва, 22.03.2012

1 / 10


Формула Герона
r d d d

a
r

db d d dr d

S 2 = p(p - a)(p - b)(p - c ) p= a+b+c
P

c
r r

r ? ? E ? ? ? ? r ? ? r ? ? ? ?

r

r

r

Нет формулы для площади через длины р? ебер
Москва, 22.03.2012 2 / 10

А. А. Гайфуллин (МИАН, МГУ, ИППИ)

Изгибаемые многогранники


Формула Кэли!Менгера
Пусть Rn ! nEмерный симплекс с вершинами p0 , p1 , . . . , pn и ij ! длина ребра pi pj F Определитель Кэли!МенгераX H I I gw (p0 , . . . , pn ) = I F F F Тогда 2 () = I H
2 01 2 02

I H F F F
2 01

I H F F F
2 02 2 12

I

F F F

2 12

2 0

n

2 1

n

F 2 ћћћ 2n

ћ ћ ћ ћ F

ћ ћ ћ ћ F

ћ ћ ћ ћ

I
2 0 2 1 2 2

F F F H

n n n

(-I)n+1 gw (p0 , . . . , pn ). Pn (n!)2
Москва, 22.03.2012 3 / 10

А. А. Гайфуллин (МИАН, МГУ, ИППИ)

Изгибаемые многогранники


Вычисление объ?ма симплициального многогранника
Определение

Многогранник называется симплициальнымD если все его собственные грани " симплексыF
Проблема

Пусть n QF Можно ли найти формулу для объ? симплициального ема nEмерного многогранника через длины его р? еберc Найти формулу означает найти соотношение вида N + 1 ( ) N
-1

+ ћ ћ ћ + N ( ) = H,

где j " многочлены от длин р?бер многогранникаF n = QX ДАD ИF ХF СабитовD IWWTF n = RX ДАD АF АF ГайфуллинD PHIIF n SX НЕИЗВЕСТНО
А. А. Гайфуллин (МИАН, МГУ, ИППИ) Изгибаемые многогранники Москва, 22.03.2012 4 / 10


Изгибаемые многогранники
Определение

Изгибание многогранника " непрерывное семейство многогранников t D H t ID такоеD что все собственные грани t остаются конгруэнтными себе в процессе изгибанияD но многогранники t1 и t не конгруэнтны при t1 = t2 F

2

Теорема КошиX Выпуклые многогранники неизгибаемыF БрикарD IVWUX Изгибаемые самопересекающиеся октаэдрыF КоннеллиD IWUUX Пример вложенного изгибаемого многогранникаF ШтеффенD IWUVX Простейший из известных вложенных изгибаемых многогранников @W вершинAF ФогельзангерD IWVVX Многогранники общего положения неизгибаемыF ВальцD IWWVD ШтахельD PHHHX Изгибаемые REмерные кроссEполитопыF НеизвестноD существуют ли изгибаемые многогранники в RnD n SF
А. А. Гайфуллин (МИАН, МГУ, ИППИ) Изгибаемые многогранники Москва, 22.03.2012 5 / 10


Изгибаемый октаэдр Брикара первого типа

А. А. Гайфуллин (МИАН, МГУ, ИППИ)

Изгибаемые многогранники

Москва, 22.03.2012

6 / 10


Изгибаемый октаэдр Брикара второго типа

А. А. Гайфуллин (МИАН, МГУ, ИППИ)

Изгибаемые многогранники

Москва, 22.03.2012

7 / 10


Изгибаемый многогранник Коннелли ! первый пример вложенного изгибаемого многогранника

А. А. Гайфуллин (МИАН, МГУ, ИППИ)

Изгибаемые многогранники

Москва, 22.03.2012

8 / 10


Изгибаемый многогранник Штеффена ! простейший из известных вложенных изгибаемых многогранников

А. А. Гайфуллин (МИАН, МГУ, ИППИ)

Изгибаемые многогранники

Москва, 22.03.2012

9 / 10


Гипотеза о кузнечных мехах

Гипотеза (

1978)

Объ? (t ) изгибаемого многогранника постоянен в процессе ем изгибанияF
Теорема
1

@ИF ХF СабитовD IWWTA Гипотеза о кузнечных мехах верна в размерности QF @АF АF ГайфуллинD PHIIA Гипотеза о кузнечных мехах верна в размерности RF

2

А. А. Гайфуллин (МИАН, МГУ, ИППИ)

Изгибаемые многогранники

Москва, 22.03.2012

10 / 10