Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://higeom.math.msu.su/seminars/Lomonosov-2014/nikolaenko.pdf Дата изменения: Tue Apr 8 23:04:17 2014 Дата индексирования: Sun Apr 10 00:49:32 2016 Кодировка: Windows-1251

Конференция ?Ломоносов 2014?

Секция ?Математика и механика?
Топология интегрируемого случая Горячева в динамике тв?рдого тела

Николаенко Станислав Сергеевич
Аспирант E-mail: nikostas@mail.ru

Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова, Механико-математический факультет, Москва, Россия

Рассматривается один из случаев интегрируемости уравнений Кирхгофа, обнаруженный Д. Н. Горячевым [2]. Соответствующая гамильтонова система зада?тся на ко алгебре e(3) (со структурой скобки Ли-Пуассона) гамильтонианом

c2 b 1 2 H = (s2 + s2 + 2s2 ) + (r1 - r2 ) + 2 . 3 2 1 2 2 2r3
На 4-мерном симплектическом листе эта система имеет две степени свободы и обладает дополнительным интегралом, являющимся полиномом четв?ртой степени. В [4] для данной задачи был получены уравнения типа АбеляЯкоби. Также была исследована фазовая топология системы, построена бифуркационная диаграмма, описаны бифуркации лиувиллевых торов. В настоящем докладе предполагается рассказать о том, как устроена топология системы Горячева на неособых изоэнергетических поверхностях с точностью до лиувиллевой эквивалентности. Ответ на этот вопрос да?тся инвариантом ФоменкоЦишанга (так называемой меченой молекулой) [1, 5]. Оказывается, в рассматриваемой задаче возникает два типа молекул. Молекула первого типа имеет простейший вид и встречается во многих интегрируемых задачах динамики тв?рдого тела, молекула второго типа (содержащая седловую особенность) возникает в интегрируемом случае Жуковского. При стремлении к нулю параметра

b

в гамильтониане задача Горячева переходит

в ещ? одну известную задачу динамики тв?рдого тела случай Чаплыгина, уже исследованный ранее [3]. Как оказалось, при таком предельном переходе некоторые топологические характеристики системы (такие как вид бифуркационной диаграммы) сохраняются, другие же (например, перестройки торов Лиувилля) претерпевают изменения.

Литература
1. Болсинов А.В., Фоменко А.Т. Интегрируемые гамильтоновы системы. Геометрия, топология, классификация. Ижевск: Издательский дом Удмуртский университет, 1999. 2. Горячев Д.Н. Новые случаи интегрируемости динамических уравнений Эйлера // Известия Варшавского университета. 1916. No. 3. С. 1-13. 3. Николаенко С.С. Топологическая классификация систем Чаплыгина в динамике тв?рдого тела в жидкости // Математический сборник. 2014. Т. 205. No. 2. С. 1-46. 4. Рябов П.Е. Явное интегрирование и топология случая Д.Н. Горячева // Доклады академии наук. 2011. Т. 439. No. 3. С. 315-318.

1


Конференция ?Ломоносов 2014?

5. Фоменко А.Т., Цишанг Х. Топологический инвариант и критерий эквивалентности интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы // Известия АН СССР. 1990. Т. 54. No. 3. С. 546-575.

2