Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://higeom.math.msu.su/seminars/atsem10-11/lomonosov/Nilov8.pdf Дата изменения: Wed Apr 6 09:41:27 2011 Дата индексирования: Sun Apr 10 01:09:15 2016 Кодировка: Windows-1251

Конференция ?Ломоносов 2011?

Секция ?Математика и механика?
Поверхность, содержащая семейство прямых и семейство окружностей, является квадрикой или плоскостью

Нилов Ф?дор Константинович
Студент

Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова, Механико-математический факультет, Москва, Россия E-mail: nilovfk@mail.ru

Изучение поверхностей, содержащих семейства кривых некоторого заданного типа, имеет важное применение в архитектуре. Если на поверхности есть два семейства кривых достаточно простого типа (например, прямые или окружности), прич?м кривые из разных семейств пересекаются, то для такой поверхности можно легко изготовить реш?тчатый каркас, выбрав в каждом семействе конечное число представителей и закрепив все точки пересечения кривых. Ярким примером реш?тчатого каркаса, состоящего из прямых и окружностей, являются гиперболоидальные конструкции В.Г.Шухова, которые широко применяются при конструировании телебашен, высотных зданий, градирней тепловых электростанций. Существуют ли нетривиальные поверхности, отличные от однополостного гиперболоида, которые содержат семейства прямых и окружностей? В данной работе совместно с М.Б. Скопенковым доказана теорема, дающая отрицательный ответ на этот вопрос.

Теорема 1.

Поверхность в

R

3

, содержащая семейство прямых и семейство окруж-

ностей, является квадрикой или плоскостью.

Интересно, что в ется поверхность

C 3 аналог данной теоремы не выполняется. Контрпримером явля(x2 + y 2 + z 2 + z )2 + 2(x + iy )(x2 + y 2 + z 2 - z ) + (x + iy )2 = 0, содержащая

семейство окружностей и семейство прямых. Рассмотрим две проблемы, близкие к изучаемому вопросу.

Проблема 2 (Дарбу).
окружностей.

Описать все поверхности в

R

3

, содержащие 2 семейства

Эта проблема не решена до сих пор. Известна следующая теорема.

Теорема 3.

Поверхность в

R

3

, содержащая два семейства прямых, является квад-

рикой или плоскостью.

1