Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://higeom.math.msu.su/seminars/atsem11-12/lomonosov/astashov1.pdf Дата изменения: Sat Mar 31 19:14:32 2012 Дата индексирования: Sun Apr 10 01:14:32 2016 Кодировка: Windows-1251

Конференция ?Ломоносов 2012?
Секция ?Математика и механика?
Об алгебраических кривых фиксированной степени с особенностями заданного типа

Асташов Евгений Александрович Студент Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова, Механико-математический факультет, Москва, Россия E-mail: ast-ea@yandex.ru Определение 1 Пусть f : C C непрерывная функция. Поверхность {f = 0} в C имеет в точке a C особенность типа A , если в некоторой окрестности этой точки существует локальная система координат x , . . . , x , в которой функция имеет вид
n n n k 1 n

f ( x1 , . . . , x n ) = x

k+1 1

+ x2 + . . . + x2 . 2 n

Замечание 1 Тип особенности поверхности поверхности в данной точке определяется однозначно (см. [1]). Рассматривается следующая задача. Пусть P C[x, y] многочлен от двух переменных с комплексными коэффициентами фиксированной степени deg P = d. Каков максимальный порядок k = k(d) особенности типа Ak , которую может иметь кривая {P (x, y ) = 0} C2 ? Частичный ответ на этот вопрос имеется в работе [2]. В ней доказаны следующие две теоремы. Теорема 1 Пусть k(d) максимальное из натуральных чисел k, для которых существует плоская кривая степени dс особенностью типа Ak . Тогда
k (d) (d - 1)2 - d ћ 2 d -1 . 2

Для любого s Z0 существует плоская кривая степени 28s + 9 с особенностью типа Ak , где k = 420s2 + 269s + 42. Теоремы 1 и 2 дают, соответственно, верхнюю и нижнюю оценку величины k(d) при больших d, а именно:
Теорема 2 Следствие 1
d

lim

k (d) 3 . 2 d 4 k (d) 15 . 2 d 28

Следствие 2
lim
d

Мы усилим результат следствия 2, доказав следующее утверждение: 1


Конференция ?Ломоносов 2012?
Теорема 3
lim
d

k (d) 15 112 >. 2 d 209 28

Кроме того, будет указан общий метод, при помощи которого были доказаны теоремы 2 и 3 и который может быть использован для дальнейшего улучшения их результатов. Имеется следующая
Гипотеза 1
lim
d

k (d) 4 - 2 3. 2 d

Литература

1. Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений, т. 2. М.: Наука, 1983. 2. Гусейн-Заде С. М., Нехорошев Н. Н. Об особенностях типа Ak на плоских кривых фиксированной степени. // Функциональный анализ и его приложения., т. 34, вып. 3. M., 2000. C. 69-70.

2