Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://higeom.math.msu.su/seminars/atsem11-12/lomonosov/shnurnikov2.pdf Дата изменения: Sat Mar 31 19:14:33 2012 Дата индексирования: Sun Apr 10 01:17:51 2016 Кодировка: Windows-1251

Конференция ?Ломоносов 2012?
Секция ?Математика и механика?
О числе областей, образованных наборами замкнутых геодезических на

Аспирант Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова, Механико-математический факультет, Москва, Россия E-mail: shnurnikov@yandex.ru
Пусть замкнутое связное двумерное риманово многообразие M 2 имеет постоянную гауссову кривизну и набор состоит из n различных замкнутых геодезических на M 2 . Обозначим через f () число компонент связности дополнения в многообразии M 2 к объединению геодезических из набора . Как устроено множество F (M 2 , n) всех возможных чисел f () для фиксированных многообразия M 2 и числа геодезических n? Впервые этот вопрос поставил Б. Грюнбаум [1] для прямых на вещественной проективной плоскости RP2 . Н. Мартинов [2] полностью нашел множество F (RP2 , n), которое содержит почти все целые числа отрезка n; 1 + шиеся числа представляют собой объединение
+ номер i состоит из n - i 2 i - 2 целых чисел. В отличие от проективной плоскости RP с евклидовыми метриками множества F (T 2 , множествами, содержащими одну лакуну при Теорема. T2 F (T 2 , 1) = {1} F (K L2 , 1) = N
2

Шнурников Игорь Николаевич

плоских поверхностях.

n(n-1) 2

при n . При n 3 остав1 2

2n - 5 3 - 4

лакун, причем лакуна

2

Для тора и следующий вид:

и бутылки Клейна . Множества
2n - 4},

, для тора T 2 и бутылки Клейна K L2 n) и F (K L2 , n) являются бесконечными n 6 и n 7 соответственно. K L2 F (T 2 , n) F (K L2 , n) n2

с евклидовыми метриками верно и при имеют
{n + 1 }.

F (T 2 , n) = {n - 1, n}

{l N | l

F (K L2 , n) = F (T 2 , n)

Тетраэдр в трехмерном евклидовом пространстве называется , если все его грани суть равные треугольники (любые остроугольные треугольники). Среди всех трехмерных многогранников поверхность равногранных тетраэдров и только их содержит бесконечное число неизоморфных (позвенно непараллельных) замкнутых несамопересекающихся геодезических [3]. Замкнутые геодезические на равногранных тетраэдрах были классифицированы в [4]. Теорема. n f

равногранным

Для произвольного равногранного тетраэдра и набора из замкнутых геодезических на нем множество всех возможных чисел областей имеет вид
{n + 1, 2n} {m N | m 4n - 6}

при

n3

. Для

n=1

и

n=2

соответствующие множества
Литература

{1}

и

{3, 4, 6, 8, 10, . . . }

.

1. Grunbaum B. Arrangements and spreads. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1972. 1


Конференция ?Ломоносов 2012?
2. Martinov N. Classication of arrangements by the number of their cells// Discrete and Comput. Geometry, 1993. V. 9, iss. 1. pp. 3946. 3. Протасов В.Ю. О числе замкнутых геодезических на многограннике // УМН, т.63, вып. 5, 2008, 197198 4. Протасов В.Ю. Замкнутые геодезические на поверхности симплекса // Матем. сб. 198:2, 2007, 103120.
Слова благодарности

Благодарен научному руководителю А.Т. Фоменко за постановку задачи и В.Ю. Протасову за ценные обсуждения.

2