Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://higeom.math.msu.su/seminars/atsem12-13/lomonosov/vojnov1.pdf Дата изменения: Fri Apr 5 11:34:46 2013 Дата индексирования: Sun Apr 10 01:11:12 2016 Кодировка: Windows-1251

Конференция ?Ломоносов 2013?

Секция ?Математика и механика?
Самоаффинные выпуклые тела и полугруппы операторов с постоянным

Студент Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова, Механико-математический факультет, Москва, Россия E-mail: an.voynov@gmail.com
Выпуклый компакт полной размерности X в Rd называется самоаффинным, если он допускает разбиение на свои аффинные копии с непересекающимися внутренностями. Другими словами, существует набор аффинных операторов A1 , . . . , Am таких, что
m

Войнов Андрей Сергеевич

спектральным радиусом.

X=
i=1

Ai X и все образы пересекаются только по границам. Под телом будем везде под-

разумевать выпуклый компакт в Rd с непустой внутренностью. Самоаффинные тела возникают, например, при изучении функциональных уравнений со сжатием аргумента в качестве областей определения возможных решений. Интересно, что для изучения самоаффинных тел также можно использовать данные функциональные уравнения. Анализируя спектральные свойства операторов самоподобия A1 , . . . , Am и полугруппы по умножению, порожденной ими, можно делать выводы и о геометрических свойствах самоаффинного тела X . При классификации самоаффинных компактов важную роль играют так называемые дробящиеся самоаффинные тела. Самоаффинное тело X = Ai X называется дробящимся, если образ X под действием полугруппы, порожденной операторами самоподобия, может иметь сколь угодно малый диаметр. Можно показать, что все дробящиеся тела многограннки. Основным результатом является следующая теорема о структуре самоаффинных тел.

Дано недробящееся самоаффинное тело X в Rd с набором операторов A = {A1 , . . . , Am }. Тогда существует инвариантное относительно этих операторов аффинное подпространство L, 1 dim L d - 1, пересекающееся с X по множеству X размерности dim L; при этом тело X дробящееся. Кроме того, все собственные ? значения линейной части произвольного оператора из A, соответствующие собственным векторам и подпространствам, не лежащим в линейной части L, по модулю равны 1.
Теорема 1

При помощи этой теоремы, в частности, удается привести полное описание всех самоаффинных тел в R3 . Стоит отметить, что во всех задачах не рассматривается вопрос о классификации самоаффинных дробящихся многогранников, полное описание которых не известно даже на плоскости.

1