Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://higeom.math.msu.su/seminars/atsem12-13/lomonosov/fedoseev3.pdf Дата изменения: Fri Apr 5 11:34:46 2013 Дата индексирования: Sun Apr 10 01:15:17 2016 Кодировка: Windows-1251

Конференция ?Ломоносов 2013?
Секция ?Математика и механика?

Федосеев Денис Александрович Аспирант Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова, Механико-математический факультет, Москва, Россия E-mail: docxaos@mail.ru
Многообразия Бертрана естественным образом возникают в механике как конфигурационные многообразия следующей обратной задачи динамики [1]: найти центральный потенциал, в поле которого траектории движения точки по поверхности вращения (a, b) Ч S 1 с метрикой ds2 = dr2 + f 2 (r)d2 в полярных координатах (r, mod 2 ) определенного класса являются замкнутыми. В работе [2] было показано, что все многообразия Бертрана без экваторов (т.е. таких, что

Геометрия многообразий Бертрана

f (r) = 0

на

(a, b))

могут быть описаны следующим образом:

Теорема 1

Многообразие (a, b) Ч S 1 с метрикой ds2 = dr2 + f 2(r)d2 в полярных координатах (r, mod 2), где f (r) = 0 на (a, b) является многообразием Бертрана (для классов замыкающих, локально-замыкающих, полулокально-замыкающих, сильно и слабо замыкающих потенциалов) если и только если существует тройка пар1аметров (ч, c, t), ч Q>0, c R, t R и координаты ( = (r), mod 2), где d = ч f 1(r) , dr что метрика принимает вид ds2 = (2 + c - t-2)2d2 + ч2(2 + c - t-2)d2.
2 2

Многообразие Бертрана состоит из ветствующая

k

c,t

{1, 2}

связных компонент. Компонента, соот-

k = 1,

называется основной, а соответствующая

k=2

дополнительной.

Дополнительное многообразие существует только при

t < 0.

Многообразия Бертрана образуют трехпараметрическое семейство. Некоторые многообразия Бертрана могут быть реализованы, как поверхности вращения, вложенные в R3 . А именно, справедлива следующая теорема:

Верны следующие утверждения о реализуемости римановых многообразий Бертрана (Ik,c,t Ч S 1, ds2 c,t) целиком: ч, 1) Дополнительное многообразие не реализуемо никогда; 2) Основное многообразие реализуемо тогда и только тогда, когда соответствующая тройка параметров (ч, c, t) принадлежит следующим областям: {ч 2, c -2 -t, t 0} {1 ч < 2, c -2 -t h(ч), t 0}, где h Homeo+ ((0, +), R) сохраняющий ориентацию гомеоморфизм интервалов, определенный формулой h(ч) := (ч -1)(8+ч ) . 27ч
Теорема 2
2 22 4

Если многообразие не может быть реализовано целиком, возникает задача локальной реализуемости многообразия Бертрана. Эта задача также полностью решена для многообразий Бертрана без экваторов. Кроме того, в докладе будут изложены некоторые результаты, касающиеся многообразий Бертрана с экваторами.

1


Конференция ?Ломоносов 2013?
Литература
1. Bertran J., C. R. Acad. Sci. Paris, 1873, V.77. 2. О.А. Загрядский, Е.А. Кудрявцева, Д.А. Федосеев, Обобщение теоремы Бертрана на поверхности вращения. // Матем. Сб. 203:8 (2012), с.39-78.

Слова благодарности
Авторы благодарны А.Т.Фоменко за постановку задачи, А.В.Борисову, Е.А.Кудрявцевой, И.Х.Сабитову за полезные замечания и обсуждения. Работа выполнена при поддержке гранта Правительства РФ для господдержки научных исследований, проводимых под руководством ведущих ученых, в ФГБОУ ВПО гранта РФФИ 13-01-00664а и гранта Президента РФ поддержки ведущих научных школ России, проект НШ 1410.2012.1

Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова по договору 11.G34.31.0054

2