Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://higeom.math.msu.su/seminars/atsem13-14/lomonosov/shastin.pdf Дата изменения: Sun Apr 6 23:44:08 2014 Дата индексирования: Sun Apr 10 01:11:19 2016 Кодировка: Windows-1251

Конференция ?Ломоносов 2014?

Секция ?Математика и механика?
Псевдометрики на модулярных группах поверхностей с проколами

Шастин Владимир Алексеевич
Аспирант E-mail: shast.fds@mail.ru

Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова, Механико-математический факультет, Черноголовка, Россия

Пусть S = S g,n " замкнутая ориентированная поверхность рода g с n отмеченными точками P1 , . . . , Pn D n 1F Такой поверхности можно поставить в соответсвие поверхE ность S = Sg,n D которая получается из S удалением отмеченных точекF В этом докладе нас будут интересовать только поверхности отрицательной эйлеровой характеристикиF А именно мы требуемD чтобы величина (S ) = 2 - 2g - n была меньше нуляF Хорошо известноD что на поверхностях S такого типа можно ввести гиперболическую структуру " полную риманову метрику постоянной отрицательной кривизны EI и конечной площади @смF IAF Гиперболические струкутры 1 и 2 на поверхности S называются эквивалентнымиD если сущестует изометрия : (S, 1 ) (S, 2 )D изотопная тождественному отобраE жению S F Пространством Тайхмюллера T (S ) поверхности S называется множество класE сов эквивалентности гиперболических структур на S F На пространстве T (S ) можно естественным образом ввести несколько различных метрикX метрику ТайхмюллераD метрику ВейляEПетерсонаD ассиметричную метрику Т?рE стона@во вступительной статье к P кратко описаны эти и другие метрики на пространE стве ТайхмюллераAF Все эти метрики задают одну и ту же топологи на T (S )D относиE тельно которой она является шаром размерности 6g - 6 + 2nF В этой работе мы будем рассматривать только метрику Т?рстона@смF QA на T (S )F Группой классов отображений или модулярной группой wgq(S ) поверхноE сти S называется группа изотопических классов сохраняющих ориентацию диффеоморE физмов поверхности S X wgq(S ) = Dif f + (S )/Dif f0 (S ). Здесь Dif f + (S ) обозначает группу сохраняющих ориентацию диффеоморфизмов S D а Dif f0 (S ) " ее нормальную подгруппуD состоящую из диффеоморфизмов изотопных тождественномуF Группа Dif f + (S ) стандартным образом действует на множестве гиE перболических структур на поверхности S @с помощью обратного образаAF Это @правоеA действие индуцирует действие группы wgq(S ) на T (S )F По отношению к ассимметриE ческой метрике Т?рстона@как и по отношению ко всем вышеуказанным метрикамA dL это действие является изометрическимF Если теперь зафиксировать какуюEнибудь точку T (S )D то можно определить отображение i : wgq(S ) T (S )D при котором диффеоморфизму wgq(S ) соотE ветствует образ метрики при обратном образе отображения -1 F Это отображение индуцирует асимметрическую псевдометрику L на группе классов отображения S X

L, (, ) = dL ((-1 ) ( ), ( -1 ) ( )),
I


Конференция ?Ломоносов 2014?

для всех , wgq(S )F Используя эту псевдометрику мы можем естественным образом определить функE цию сложности L, на wgq(S )X



L,

=

L,

(, 1),

где " произвольный элемент wgq(S )D а I " класс тождественного диффеоморфизма в wgq(S )F Другие инвариантные псевдометрики wgq(S ) могут быть определены в терминах систем непересекающихся простых замкнутых кривых@мультикривыхA и систем непеE ресекающихся простых дуг с концами в проколах на поверхности S F Псевдометрика L такого типа @и соответствующая функция сложности cA на группах классов отображеE ~ ний сфер с проколами была построена Иваном Дынниковым и Бертом Вистом в их совместной работе RF Сложность диффеоморфизма в этой работе определялась как сложность образа под действием некоторого набора мультикривыхF Сложность мульE тикривой в свою очередь определялась как логарифм от количества пересечений этой мультикривой с некоторой фиксированной системой дуг на сфереF В работе R было поE казаноD что так определяемая псевдометрика @и соответствующая функция сложностиA на группах классов отображения сфер с проколами тесно связана с псевдометрикой ТерстонаF А именно была доказана следующая теоремаX Теорема 1.@ДынниковD ВистA Пусть " гиперболическая метрика на сфере с n проколами S0,n @n QAD L, " псевдометрика Т?рстона на wgq(S0,n ) и L псевдометE рика ДынниковаD ВистаF Тогда существует неотрицательная константа C D такая что псевдометрики L, и L (1, C )EквазииEзометричныX



L,

(, ) - C

L (, )

L, (, ) + C,

для любых , wgq(S0,n ) Также отметим одно из следствий этого результатаD описанное в работе R Для этого напомнимD что толстой частью Tthick (S ) пространства Тайхмюллера поверхности S называется подмножество в T (S )D состоящее из гиперболических структурD радиус инъективности которых больше константы Маргулиса@определение константы МаргуE лиса можно найти в параграфе h книги SAF В работе R Дынников и Вист получили следуюшее следствие из представленной выше теоремыX Следствие 1.@ДынниковD ВистA Пусть гиперболическая структураD лежащая в толстой части Tthick (S0,n ) пространства Тайхмюллера сферы с n проколамиD L " псевE дометрика Дынникова и Виста на wgq(S0,n ) и dL " метрика Терстона на T (S0,n )F Тогда найдется неотрицательная константа cD такая что отображение i : (wgq(S0,n ), L ) (Tthick (S0,n ), dL )D которое элементу wgq(S0,n ) ставит в соответствие обратный образ метрики при отображении -1 является @IDAEквазиEизометриейF В этом докладе мы определим псевдометрику T и соответсвующую функцию сложE ности T на wgq(S ) D используя максимальные системы неперсекающихся простых дуг на S " идеальные триангуляцииF А именноD наша сложность T элемента wgq(S ) зависит от числа пересечений T и (T )F Сравнивая нашу псевдометрику с псевдометрикой Т?рстона мы получаем аналог указанной выше теоремы Дынникова и Виста для случая произвольной ориентирумой поверхности S с непустым числом проE коловX P


Конференция ?Ломоносов 2014?

Пусть " гиперболическая метрика на поверхности S с непустым чисE лом проколовD L, " псевдометрика Т?рстона на wgq(S ) и T псевдометрика опредеE ляемая идеальной триангуляцией T F Тогда существует неотрицательная константа DD такая что псевдометрики L, и T (1, D)EквазиизометричныX
Теорема 2.



L,

(, ) - D

T (, )



L,

(, ) + D,

для любых , wgq(S ) Мы также получаем следствие из нашей теоремыD аналогичное указанному выше следствию из теоремы ДынниковаD ВистаX Следствие 2. Пусть гиперболическая структураD лежащая в толстой части Tthick (S ) пространства Тайхмюллера поверхности S с непустым числом проколовD T " псевдоE метрика на wgq(S )D определяемая по идеальной триангуляции T и dL " метрика ТерE стона на T (S )F Тогда найдется неотрицательная константа dD такая что отображение i : (wgq(S ), T ) (Tthick (S ), dL )D которое элементу wgq(S ) ставит в соответствие обратный образ метрики при отображении -1 является @IDdAEквазиEизометриейF
Литература

IF ethnse pdopoulos@edFAD rndook of eihmuller spesD olume sD iuropen ? wthemtil oiety ulishing rouseD UWH pgesD urihD PHHU PF wF upovihD ryperoli wnifolds nd hisrete qroupsX vetures on hurston9s ryperoliztionD firkhuser9s series rogress in wthemtisD PHHH QF F F hurstonD winiml streth mps etween hyperoli surfesF reprint IWVTF RF sF hynnikovD fF iestD yn the omplexity of ridsD tF iurF wthF oF @tiwAD WXR @PHHUAD VHI!VRH SF irdo fenedettiD grlo etronioD vetures on ryperoli qeometryD pringerE erlgD ferlinEreidelergExew orkD IWWPF
Слова благодарности

Автор выражает благодарность ИFАF Дынникову за постановку задачи и постоянное внимание к рабтеF

Q