Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://hit-conf.imec.msu.ru/2012/abstracts/Hatunceva.doc Дата изменения: Sun Jun 14 09:32:08 2015 Дата индексирования: Sat Apr 9 23:38:06 2016 Кодировка: koi8-r

О ВОЗМОЖНОСТИ ОПИСАНИЯ ТУРБУЛЕНТНОСТИ, КАК СТОХАСТИЧЕСКОГО ПРОЦЕССА, БЕЗ
ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ДРОБНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ ПО ВРЕМЕНИ.


О.Н. Хатунцева

г. Королев, ОАО РКК "Энергия" им. С.П. Королева

Турбулентность - наиболее яркий пример физического явления,
обусловленного стохастическими процессами. Существующие способы описания
стохастических процессов с помощью дифференциальных уравнений можно
разделить на три основных класса. Во-первых - это уравнение Фоккера-Планка,
которое представляет собой уравнение в частных производных и описывает
эволюцию плотности вероятности во времени. Использование этого уравнения
ограничено случаями, когда средние изменения случайных величин малы по
сравнению с их характерными значениями. Во-вторых, это соотношения в форме
уравнений Ланжевена, которые состоят из обычного детерминированного
дифференциального уравнения и дополнительной части, описывающей случайный
процесс. Третья форма дифференциальных уравнений напоминает уравнения
Ланжевена, но записанных с использованием стохастических дифференциалов
(уравнение Ито): [pic], где [pic], [pic] - коэффициенты сноса и
волатильности; [pic] - бесконечно малый винеровский "шум"; [pic] - гауссова
переменная с нулевым средним и единичной дисперсией. Уравнения в форме
Ланжевена и уравнения в форме Ито представляют собой особый вид
дифференциальных уравнений - стохастические дифференциальные уравнения.
Проблема решения таких уравнений в общем виде - задача нетривиальная из-за
наличия в них, дифференциала по времени, стоящего под знаком корня. Тем не
менее, в частных случаях задача разрешима с использованием Леммы Ито.
Однако даже в этих случаях остается открытым вопрос о том, в каком именно
виде необходимо задать коэффициенты [pic] и [pic] для описания конкретной
динамической системы. Не доказанным является отсутствие дифференциалов по
времени, отличных от первой и половинной степеней в стохастических
дифференциальных уравнениях. Важной открытой проблемой является совместное
решение дифференциальных уравнений в частных производных (например,
уравнений Навье-Стокса) и стохастических дифференциальных уравнений. Все
это затрудняет использование стохастических дифференциальных уравнений при
описании стохастических процессов.
Расширение пространства переменных: [pic] и рассмотрение в этом
пространстве непрерывно изменяющейся плотности вероятности [pic], позволило
получить для динамических систем, не имеющих выделенных состояний
равновесия, соотношение, связывающее отклонение случайной величины от
средних значений реализаций случайных величин в двух временных точках, а
также плотности вероятности этих реализаций. Это уравнение имеет неявные
аналитические решения в двух предельных случаях: во-первых (см. [1]), в
случае больших производных, когда небольшое изменение реализованного
значения параметра приводит к значительным изменениям функции распределения
в его окрестности, во-вторых, в случае, когда реализованное значение на
предыдущем шаге становится средним значением на шаге текущем. В обоих
случаях удается найти замкнутые системы дифференциальных уравнений,
описывающих эволюцию траекторий отклонений исследуемого параметра от
среднего значения в фазовом стохастическом пространстве. Предложены
дискретные аналоги таких систем уравнений.
На примере описания течения жидкости в трубе кругового сечения при
больших числах Рейнольдса показана возможность совместного решения
уравнений, применяемых для описания детерминированных процессов (уравнений
Навье-Стокса), но в пространстве с дополнительными стохастическими
переменными, и дифференциальных уравнений, описывающих эволюцию
исследуемого стохастического параметра. Получено, обыкновенное
дифференциальное уравнение, описывающее усредненный по стохастическим
возмущениям профиль скорости течения жидкости. Аналитически найдена
асимптота решения этого уравнения в центральной части трубы, имеющая вид
логарифмической функции, что хорошо согласуется с экспериментальными и
теоретическими данными, относительно профиля скорости при реализации
турбулентного режима течения жидкости в трубе кругового сечения.

Литература.
1. Хатунцева О.Н. Описание динамики марковских процессов в расширенном
пространстве переменных. Журнал "Ученые записки ЦАГИ" Т. XLII ?1 2011 г.
стр. 62-85.