Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://lib.mexmat.ru/pr/linal_man_2.pdf Дата изменения: Thu Mar 31 21:27:28 2005 Дата индексирования: Sat Dec 22 14:45:37 2007 Кодировка: Windows-1251

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ. 2 семестр. Мануйлов В. М.

http://lib.math.msu.su

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ
доц. В. М. Мануйлов 1/2 года, 1 курс, 2 семестр.

1. Линейное пространство. Определение, примеры. Линейная оболочка. Аффинное пространство. 2. Линейная (не)зависимость системы векторов. Ранг системы векторов. Размерность. Базис. Координаты. 3. Подпространство. Факторпространство. Теорема о сумме размерностей подпространства и факторпространства. 4. Пересечение и сумма подпространств. Теорема об их размерностях. Прямая сумма двух и более подпространств. Внешняя прямая сумма. 5. Двойственное пространство. Двойственный базис. Пример базиса в двойственном пространстве к пространству многочленов. 6. Изоморфизм линейных пространств. Второе двойственное пространство. Канонический изоморфизм между пространством и его вторым двойственным. 7. Линейные отображения. Ядро и образ линейного отображения. Матрица линейного отображения. Зависимость от базиса. 8. Линейные операторы. Инвариантное подпространство. Ограничение оператора и фактор-оператор. Вид матрицы оператора, обладающего инвариантным подпространством. 9. Собственные значения и собственные векторы. Существование нетривиальных инвариантных подпространств в случае алгебраически замкнутого поля. 10. Операторы проектирования. Их алгебраическая и геометрическая характеризация. 11. Нильпотентные операторы. Теорема о нормальной форме для нильпотентного оператора. 12. Собственные значения и собственные векторы. Корневые подпространства. Аннулирующий многочлен. Минимальный многочлен. 13. Теорема ГамильтонаКэли (доказательство для алгебраически замкнутых полей). 14. Теорема о разложении в прямую сумму корневых подпространств, (для алгебраически замкнутых полей). 15. Теорема Жордана о приведении к нормальной форме. 16. Овеществление и комплексификация линейных пространств и операторов. 17. Канонический изоморфизм (VC )R V V . Существование одномерных или двумерных = инвариантных подпространств для операторов в вещественных линейных пространствах. 18. Евклидовы (унитарные) пространства. Неравенство КошиБуняковского. Неравенство треугольника. 19. Процесс ортогонализации. Ортогональное дополнение. Проекция и ортогональная составляющая. 20. Расстояние от вектора до подпространства, угол между вектором и подпространством. Метод наименьших квадратов. 21. Определитель Грама G(a1 , . . . , an ). Объем n-мерного параллелепипеда. Связь между G(f (a1 ), . . . , f (an )) и G(a1 , . . . , an ), где f оператор. 22. Изоморфизмы евклидовых (унитарных) пространств. Операторы, сохраняющие скалярное произведение. Изометрии. 23. Канонический вид унитарного оператора. 24. Канонический вид ортогонального оператора. 25. Самосопряженные и кососимметрические операторы, их канонический вид. 26. Нормальные операторы, связь нормальности с диагонализируемостью. 27. Неотрицательные и положительные операторы. Существование и единственность неотрицательного квадратного корня из неотрицательного оператора. 28. Полярное разложение операторов (доказательство для невырожденного случая). 29. Билинейные, полуторалинейные, квадратичные функции. Канонический изоморфизм B (V ) L(V , V ). Левое и правое ядро. Невырожденность. =

1


ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ. 2 семестр. Мануйлов В. М.

http://lib.math.msu.su

30. Матрица билинейной (полуторалинейной) функции, ее изменение при заменах базиса. (Анти)симметричные и эрмитовы функции. 31. Ортогональное дополнение относительно (анти)симметричной билинейной (эрмитовой полуторалинейной) функции. Его размерность. Сумма подпространства и его ортогонального дополнения. Второе ортогональное дополнение. 32. Нормальный вид симметричных билинейных функций над полями R и C. 33. Нормальный вид эрмитовых полуторалинейных функций. 34. Нормальный вид антисимметричных билинейных функций. 35. Теорема инерции. Теорема Якоби. Критерий Сильвестра. 36. Группы O(p, q ), U (p, q ), S p(2m). Частные случаи. 37. Приведение симметрической билинейной (эрмитовой полуторалинейной) функции к каноническому виду в евклидовом пространстве. 38. Приведение пары квадратичных функций к диагональному виду. 39. Тензоры. Полилинейные функции. Примеры. Координатное определение тензоров. 40. Умножение тензоров. Базис в пространстве тензоров. 41. Свертка тензоров. Поднятие и опускание индексов. 42. Симметричные и кососимметричные тензоры. Симметризация и альтернирование. Внешнее умножение, его свойства. 43. Базис в пространстве кососимметрических тензоров. 44. Связь между линейной зависимостью и тривиальностью внешнего произведения.

2