Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://lib.mexmat.ru/pr/terver_bul_4.ps Дата изменения: Wed Sep 29 16:27:21 2004 Дата индексирования: Sat Dec 22 14:46:22 2007 Кодировка: Windows-1251

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. 4 семестр. БулинскийА. В. http://lib.math.msu.su
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
проф. А. В. Булинский
1/2 года, 2 курс, отделение математики
1. Предмет и методы теории вероятностей, ее основные этапы развития. Несколько совре-
менных задач.
2. Модели случайных экспериментов. Свойство устойчивости частот. Примеры. События и
действия над ними. Полукольцо, алгебра и #-алгебра подмножеств пространства элементар-
ных исходов. Наименьшая #-алгебра #{M}, порожденная системой множеств M . Разбиения.
Борелевская #-алгебра.
3. Вероятностное пространство. Аксиоматика Колмогорова. Дискретное вероятностное
пространство (с конечным или счетным числом исходов). Схема Бернулли. Классическое
определение вероятности. Понятие об общей структуре вероятностного пространства (атомы,
непрерывная часть).
4. Свойства вероятности. Вероятность объединения n (пересекающихся) событий. Доказа-
тельство того, что счетная аддитивность вероятности равносильна ее конечной аддитивности
вместе со свойством непрерывности в нуле (пустом множестве). Непрерывность вероятности
сверху и снизу. Идея продолжения меры (формулировка теоремы Каратеодори, пополне-
ние вероятностного пространства).
5. Геометрические вероятности. Задача о встрече в заданном промежутке времени. Пара-
докс Бертрана.
6. Условная вероятность (наводящие соображения в случае классического определения
вероятности). Формула полной вероятности. Формулы Байеса. Примеры.
7. Независимость событий (попарная и в совокупности). Пример Бернштейна. Доказа-
тельство того, что независимость алгебр влечет независимость порожденных ими #-алгебр.
Произведение конечного числа вероятностных пространств.
8. Леммы БореляКантелли.
9. Случайные элементы (случайные величины и случайные векторы). Доказательство
того, что F |B-измеримость случайного элемента X (т.е. измеримого отображения вероят-
ностного пространства (#, F , P) в измеримое пространство (X, B)) вытекает из того, что
X -1 (M) # F , когда #(M) = B. Распределение случайного элемента. Построение случайного
элемента с заданным распределением.
10. Функции распределения действительной случайной величины, ее свойства. Построение
меры по функции, обладающей свойствами функции распределения.
11. Борелевская #-алгебра произведения сепарабельных метрических пространств. Слу-
чайный вектор в R n как вектор из n действительных случайных величин. Функция распре-
деления случайного вектора.
12. Функции от случайных элементов (суперпозиции измеримых отображений). Борелев-
ские функции (в частности, непрерывные отображения метрических пространств). Измери-
мость X+Y и X-Y , XY и X/Y (при Y #= 0) для действительных случайных величин X и Y .
Понятие расширенной случайной величины со значениями в [-#,#]. Измеримость inf
n
X n ,
sup
n
X n , lim inf
n##
X n , lim sup
n##
X n для последовательности действительных случайных величин
{X n } n#N
. Сходимость почти наверное. Доказательство того, что предел п.н. последователь-
ности случайных элементов является случайным элементом (вероятностное пространство
пополнено).
13. Дискретное, непрерывное и сингулярное распределения на прямой. Формулировка тео-
ремы Лебега о том, что любое распределение на прямой является смесью упомянутых выше.
Примеры (биноминальное, пуассоновское, геометрическое, равномерное, экспоненциальное,
нормальное распределения, канторовская лестница).
14. Конструкция математического ожидания (интеграл Лебега по вероятностной мере,
замечание о #-конечной мере). Определение для простых случайных величин, для неотри-
цательных, в общем случае. Доказательство корректности определения на каждом из этих
трех шагов.
1

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. 4 семестр. БулинскийА. В. http://lib.math.msu.su
15. Свойства математического ожидания. Пространства L p (#, F , P), p # 1. Неравенства
КошиБуняковскогоШварца, Маркова, Чебышева.
16. Теорема о монотонной сходимости. Почленное интегрирование рядов из неотрицатель-
ных случайных величин. Теорема Лебега о мажорируемой сходимости.
17. Формула замены переменных в интеграле Лебега (при интегрировании измеримых
функций от случайных элементов): переход от интегрирования по вероятностной мере P к
интегрированию по распределению PX случайного элемента X. Абсолютная непрерывность
мер. Плотность. Формулировка теоремы РадонаНикодима. Замена меры в интеграле при
наличии плотности.
18. Независимость выбора случайных величин попарная и в совокупности. Семейства
независимых случайных величин. Доказательство того, что борелевские функции от непере-
секающихся наборов независимых случайных величин независимы. Математическое ожида-
ние от произведения независимых случайных величин, имеющих конечные математические
ожидания.
19. Моменты, дисперсия, ковариация, коэффициент корреляции. Механическая интер-
претация математического ожидания и дисперсии. Свойства дисперсии. Дисперсия суммы
случайных величин из L 2 (#, F , P). Сходимость в пространстве L p .
20. Сходимость по вероятности. Закон больших чисел (теорема Чебышева). Следствие об
устойчивости частот событий.
21. Вероятностное доказательство теоремы Вейерштрасса о приближении полиномами
Бернштейна функции, непрерывной на отрезке.
22. Усиленный закон больших чисел для одинаково распределенных попарно независимых
случайных величин, имеющих математическое ожидание (теорема КолмогороваЭтемади).
23. Доказательство того, что если S n /n # a п.н. при n # #, где S n = X 1 + . . . + X n и
X 1 , X 2 , . . .  одинаково распределенные независимые или попарно независимые величины,
то существует EX 1 и a = EX 1 .
24. Метод Монте-Карло. Построение действительной случайной величины, имеющей за-
данное распределение, с помощью случайной величины, равномерно распределенной на от-
резке [0, 1]. Формулировка усиленного закона больших чисел для независимых, вообще гово-
ря, разно распределенных слагаемых (теорема Колмогорова). Формулировка закона повтор-
ного логарифма (теорема ХартманаВинтнера).
25. Расстояние по вариации между вероятностными мерами. Метод перехода к новому
вероятностному пространству. Вариант теоремы Пуассона о приближении распределения
суммы n независимых, вообще говоря, разно распределенных бернуллиевских величин пуас-
соновским распределением с оценкой точности аппроксимации по вариации.
26. Пример применения теорем Пуассона (с использованием таблиц пуассоновского рас-
пределения). Задача о числе частиц газа в заданной области пространства.
27. Формулировка теоремы Фубини. Формула свертки распределений.
28. Слабая сходимость мер в метрических пространствах. Критерий слабой сходимости.
29. Cоотношения между различными видами сходимости случайных величин. Метрика
Ки Фан, метрика ЛевиПрохорова. Доказательство того, что в пространстве (R m , B(R m ))
слабая сходимость мер равносильна сходимости их функций распределения в основном (в
точках непрерывности предельной функции).
30. Лемма Слуцкого: если для случайных векторов X, X n , Y n (n # N) со значениями в
пространстве R m имеем X n
D
# X, X n
P
# X, то X n + Y n
D
# X + Y при n ##.
31. Характеристические функции мер в (R m , B(R m )) и случайных векторов. Нахождение
характеристических функций пуассоновской и нормальной случайных величин.
32. Свойства характеристических функций. Формулировка теоремы БохнераХинчина.
33. Доказательство взаимно однозначного соответствия между распределениями и харак-
теристическими функциями (с помощью теоремы СтоунаВейерштрасса).
34. Доказательство формулы обращения (выражение функции распределения через ха-
рактеристическую функцию). Критерий независимости случайных величин в терминах ха-
рактеристических функций.
2

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. 4 семестр. БулинскийА. В. http://lib.math.msu.su
35. Слабая относительная компактность обобщенных функций распределения (теорема
Хелли).
36. Плотность семейства мер. Доказательство теоремы Прохорова для мер в пространстве
(R m , B(R m )).
37. Лемма об оценке хвостов распределения в терминах характеристической функции.
38. Теорема непрерывности для характеристических функций (теорема Леви, описыва-
ющая сходимость по распределению случайных векторов в терминах характеристических
функций).
39. Центральная предельная теорема для независимых одинаково распределенных вели-
чин, имеющих конечную дисперсию (в частности, интегральная теорема МуавраЛапласа).
Равномерная сходимость на всей оси функций распределения нормированных сумм к функ-
ции распределения стандартного нормального закона. Оценка скорости сходимости в цен-
тральной предельной теореме (формулировка теоремы БерриЭссеена).
40. Многомерное нормальное распределение. Критерий независимости компонент гауссов-
ского вектора. Многомерный вариант центральной предельной теоремы.
41. Интегрирование по частям в интеграле ЛебегаСтилтьеса. Следствия.
42. Неклассические (неулучшаемые) условия справедливости центральной предельной
теоремы для схемы серий независимых слагаемых с конечными дисперсиями. Формулировка
теоремы ЛиндебергаФеллера.
3