Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://phys.msu.su/upload/iblock/2ce/2008-00-00-pimenov.pdf Дата изменения: Fri Oct 10 15:16:14 2008 Дата индексирования: Mon Oct 1 21:04:00 2012 Кодировка: Windows-1251

На правах рукописи

Пименов Александр Борисович

КВАНТОВЫЕ СВОЙСТВА

N =1

СУПЕРСИММЕТРИЧНЫХ

КАЛИБРОВОЧНЫХ ТЕОРИЙ

Специальность 01.04.02 теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2008


Работа

выполнена

на

кафедре

теоретической

физики

физического имени

факультета

Московского

Государственного

Университета

М.В. Ломоносова.

Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук, доцент П.И. Пронин

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук В.А. Ильин, кандидат физико-математических наук А.А. Солошенко

Ведущая организация: Ярославский Государственный Университет, г.Ярославль

Защита состоится "

"

2008 г. в

час. на заседании

Диссертационного Совета Д 501.002.10 при Московском Государственном Университете им. М.В. Ломоносова физический факультет МГУ, ауд. (119992, г. Москва, Ленинские горы, ).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ.

Автореферат разослан "

"

2008 г.

Ученый секретарь Диссертационного Совета Д 501.002.10 доктор физико-математических наук Ю.В. Грац


ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность

проблемы.

Суперсимметричные привлекательными. преобразований

теории Модели

являются теории

в

настоящее

время

весьма

поля,

инвариантные

относительно

суперсимметрии,

предсказывают объединение констант связи электромагнитного, слабого и сильного взаимодействий при больших энергиях, что следует из

теорий Великого Объединения. Они автоматически решают проблему, связанную с отсутствием экспериментальных данных о распаде протона. Поэтому суперсимметричные модели в настоящее время рассматриваются как одни из наиболее вероятных кандидатов для построения единой

теории поля. Суперсимметрия особенно интересна еще и потому, что она существенно улучшает ультрафиолетовое поведение полевых теорий. В частности, даже в теориях с нерасширенной суперсимметрией можно сделать предположение о виде



-функции точно во всех порядках теории

возмущений. Впервые оно было сделано на основе исследования структуры инстантонных вкладов. В случае Миллса с полями материи, такая

N = 1 суперсимметричной теории Янга -функция, которая называется точной



-функцией Новикова, Шифмана, Вайнштейна и Захарова, имеет вид:

() = -
где

2

3 C2 - C (R) 1 - () 2 ( 1 - C2 /2 ) ,
(1)

()

аномальная размерность суперполя материи, описываемой

дираковским спинором,

C2

и

C (R)

инварианты, которые определяются

представлением калибровочной группы. Тем не менее остается проблема строгого вывода точной пертурбативными методами. При использовании



-функции с

регуляризации

помощью размерной редукции выражение (1) при специальном выборе перенормировочного вычисления величины предписания совпадает с результатами явного

b() =
где

d (ч) , d ln ч ч

(2) точка нормировки,

(ч)

перенормированная константа связи, а

вплоть до четырехпетлевого приближения. Однако величина (2) является схемно зависимой. Физическая



-функция получается из нее только если

производящий функционал не зависит от точки нормировки и наложены некоторые специальные граничные условия, которые требуют знания

конечных частей функций Грина. Тем не менее, в размерной редукции, как правило, вычисляется только расходящаяся часть эффективного действия

3


в

MS

-схеме. При этом точная



-функция может быть получена, если

специальным образом подобрать схему вычитаний. Для получения точной



-функции

в

N

=1

суперсимметричной

электродинамике наиболее удобно использовать регуляризацию высшими ковариантными производными, при которой оказалось возможным

достаточно легко получить схемно независимую функцию Гелл-МаннаЛоу. В этом случае перенормировка оператора

Wa C ab W

b оказывается

чисто однопетлевой, а функция Гелл-Манна-Лоу имеет поправки во всех порядках теории возмущений и совпадает с точной Шифмана, этой все Вайнштейна в и Захарова. Более -функцией Новикова, при использовании

того,

регуляризации интегралы,

N

=1

суперсимметричной при вычислении

электродинамике функции Гелл-

которые

возникают

Манна-Лоу, сводятся к интегралам от полных производных. Частично эту закономерность можно объяснить с помощью применения метода, основанного уравнения оказывается на подстановке решений Однако тождеств для Славнова-Тейлора в

Швингера-Дайсона. необходимым

полного

доказательства некоторого

предположить

существование

дополнительного тождества для функций Грина, причина происхождения которого пока остается неясной. Оно не следует из калибровочной

инвариантности или суперсимметрии теории, и пока не удается доказать его в общем виде из первых принципов. Уже в электродинамике нетривиальной предположить, получение задачей. что точной



-функции

является

достаточно позволяют

Указанные

закономерности высшими

применение

регуляризации

ковариантными производными может выявить интересные закономерности в структуре квантовых поправок неабелевых калибровочных теорий. Однако

N=1

суперсимметричных регуляризации в

применение

этой

неабелевых теориях, как правило, оказывается сложным с технической точки зрения. В случае материи, имеет

N=1

суперсимметричной теории Янга-Миллса с полями высшими метод, ковариантными основанный на производными, использовании

регуляризованной похожая

место

ситуация:

тождеств Славнова-Тейлора и уравнений Швингера-Дайсона, позволяет вычислить вклад суперполей материи в



-функцию

точно

во

всех

порядках теории возмущений. При этом также требуется предположить справедливость аналогичного тождества для функций Грина. Таким образом, исследование квантовых свойств суперсимметричных калибровочных теорий, регуляризованных непротиворечивым способом, на сегодняшний день являются актуальной задачей.

4


Целью

диссертационного

исследования

является

изучение теорий, высших

квантовых

свойств

суперсимметричных непротиворечивым на примере

калибровочных методом

регуляризованных ковариантных

образом

производных,

N=1

суперсимметричной

электродинамики и

N=1

суперсимметричной теории Янга-Миллса, что

подразумевает исследование вопроса о справедливости нового тождества для функций Грина в конечных порядках теории возмущений, а также анализ двухпетлевых квантовых поправок и вычисление функции ГеллМанна-Лоу

N =1

суперсимметричной теории Янга-Миллса.

Научная новизна. В диссертационной работе впервые регуляризация

методом высших ковариантных производных применена для вычисления квантовых поправок в неабелевых суперсимметричных калибровочных теориях; впервые при использовании проведено регуляризации двухпетлевое высшими вычисление

ковариантными

производными

ренормгрупповых функций в

N=1 N

суперсимметричной теории Янга-

Миллса; впервые проведены четырехпетлевое в электродинамике и трехпетлевое в

N=1

суперсимметричной

=1

суперсимметричной теории

Янга-Миллса вычисления, позволяющие судить о справедливости нового тождества для функций Грина.
Научная и практическая ценность работы.

Полученные структуры

результаты квантовых

могут

быть в

использованы

для

исследования

поправок

различных

суперсимметричных

калибровочных

теориях. В частности, при исследовании поведения констант связи методом ренормгруппы в МССМ и моделях Великого Объединения. Результаты могут быть использованы в НИИЯФ МГУ, ИЯИ, ЛТФ ОИЯИ, ФИАН, ИТЭФ, МИАН, МГПУ им. Ленина.
Апробация работы.

Основные

результаты

диссертации

докладывались на научной ломоносовской конференции (Москва 2005), конференции форума Всемирный год физики (Москва 2005), 13-ой ломоносовской конференции по физике элементарных частиц (Москва 2007), Международной конференции SQS-07 (Дубна), а также на кафедре теоретической физики МГУ.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 4 работы. Структура диссертации.

Диссертация

состоит

из

введения,

четырех глав основного текста, двух приложений, заключения и списка цитируемой литературы. Объем диссертации составляет 149 страниц

A текста, набранного в издательской системе L T X. E

5


СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во

введении

производится

обзор

литературы

по

тематике

диссертации, формулируются цели исследования и описывается построение диссертационной работы. В
главе 1

приведены

основные

сведения

о

суперсимметричных

калибровочных теориях, которые исследуются в диссертации: суперсимметричная электродинамика и Янга-Миллса. В параграфе 1.1 в суперполевом формализме описывается суперсимметричная симметрии, а также дается их электродинамика. компонентное Рассматривается

N=1

N =1

суперсимметричная теория

N=1
его теории,

действие,

представление

суперполей

вид

суперсимметричных

калибровочных

преобразований, 1.1.1). В

оставляющих

действие

инвариантным

(подпараграф

подпараграфе 1.1.2 проводится квантование электродинамики. и ни осуществляется Вводится фиксация ни

N=1

суперсимметричной производными не нарушают Здесь

регуляризация калибровки, калибровочную

высшими которые

суперсимметричную,

инвариантности.

формулируются правила Фейнмана. В параграфе 1.2 описывается

N=1

суперсимметричная

теория

Янга-Миллса. В частности, в подпараграфе 1.2.1 представлены действие модели в суперпространстве формализм и его симметрии. поля В подпараграфе 1.2.2

рассматривается

фонового

для

суперсимметричных

калибровочных теорий. Здесь действие модели записывается в методе фонового поля, а также указаны его фоновая и квантовая инвариантности. Квантование проводится в подпараграфе 1.2.3 при использовании

формализма фонового поля в суперпространстве. Производится фиксация калибровки, вводятся духовые поля Фаддеева-Попова и Нильсена-Каллош. В этом подпараграфе рассматриваемая модель регуляризуется методом высших ковариантных производных и описывается дополнительная

регуляризация Паули-Вилларса для ликвидации остаточных однопетлевых расходимостей. Так же здесь осуществляется построение производящего функционала для функций Грина и эффективного действия. Определение ренормгрупповых функций, интересующих нас, вынесено в подпараграф 1.2.4. Вводится



-функция, определяемая по расходимости и

функция Гелл-Манна-Лоу. Показывается, что в случае, если производящий функционал не зависит от точки нормировки, обе функции являются эквивалентными.
Глава 2

посвящена

пертурбативным теориях. В

вычислениям параграфе

в 2.1

суперсимметричных

калибровочных

6


рассматривается иллюстрируется определяющих

стандартная явным

техника

суперграфов. однопетлевых Грина

Здесь

она

вычислением функцию

диаграмм, поля

двухточечную

калибровочного

N =1

суперсимметричной электродинамики, регуляризованной высшими Производится вычисления однопетлевых константы

производными.

Z

3

перенормировки заряда,



-функции, определяемой по расходимости, и

функции Гелл-Манна-Лоу. Эти результаты используются в дальнейшем при анализе квантовых поправок в

N=1

суперсимметричной теории

Янга-Миллса, регуляризованной высшими ковариантными производными. Суперполевая достаточно тем не техника вычисления в низших диаграмм порядках Фейнмана, теории при являясь

непростой может

даже быть

возмущений, вычислении

менее,

значительно

упрощена

диаграмм, определяющих двухточечную функцию Грина калибровочного поля (последняя, в свою очередь, позволяет вычислить



-функцию).

Параграф 2.2 посвящен рассмотрению предложенного в диссертационной работе упрощенного метода вычисления суперграфов. В подпараграфе 2.2.1 новый метод формулируется для произвольной суперсимметричной калибровочной теории. Он может быть использован как для абелевых, так и для неабелевых моделей и не чувствителен к регуляризации теории. В подпараграфе метода со 2.2.2 осуществляется техникой

сравнительный

анализ

упрощенного

стандартной

суперграфов на примере явного двухпетлевого вычисления в суперсимметричной электродинамике.

N=1

Глава 3 посвящена вопросу о построении перенормированного действия

и нахождении ренормгрупповых функций в

N=1

суперсимметричных

калибровочных теориях с полями материи. В этой главе освещается один из результатов, представленных в диссертации. В параграфе 3.1 приводится вывод уравнений Швингера-Дайсона и тождеств Славнова-Тейлора на примере суперсимметричной теории ЯнгаМиллса. Подставляя решения последних в первые, удается получить функцию точно во всех порядках теории возмущений. Но при



-

этом

оказывается необходимым предположить выполнение некого тождества для функций Грина. Гипотеза о его справедливости играет в данном случае пока не ключевую удается, роль. И поскольку новое в доказать его в общем виде

проверить

тождество высших

можно В

только

явными 3.2

пертурбативными

вычислениями

петлях.

параграфе

формулируется сама гипотеза. Пертурбативная проверка нового тождества в

N

=

1

суперсимметричной

электродинамике,

регуляризованной

высшими производными, в четырехпетлевом приближении производится в параграфе 3.3. В параграфе 3.4 осуществляется анализ тождества в

7


N

=

1

суперсимметричной теории Янга-Миллса, регуляризованной

высшими ковариантными производными, на уровне трех петель.
Глава 4 посвящена исследованию квантовых поправок к эффективному

действию анализ

N

=

1

суперсимметричной

теории

Янга-Миллса.

Этот

при

использовании

регуляризации впервые. ко

высшими

ковариантными что

производными применяемый в

осуществляется работе подход

Здесь

демонстрируется,

введению

регуляризации анализ главе что а

высшими квантовых вычислена

ковариантными поправок

производными

позволяет

провести В этой

достаточно

несложным

образом.

двухпетлевая присутствуют

функция только в

Гелл-Манна-Лоу. однопетлевом

Показано,

расходимости сама функция

приближении,

Гелл-Манна-Лоу имеет поправки во всех порядках теории возмущений и совпадает с точной



-функцией Новикова, Шифмана, Вайнштейна и

Захарова. Существенным является то, что причиной отличия функции Гелл-Манна-Лоу от



-функции, определяемой по расходимости, которая

оказывается определяемой только однопетлевым приближением, является зависимость производящего функционала от точки нормировки, что явно демонстрируется в работе. Она возникает из-за способа регуляризации диаграмм с контрчленными вставками. В параграфе 4.1 вычисляются однопетлевые квантовые поправки в

N=
введения

1

суперсимметричной ковариантными регуляризации

теории

Янга-Миллса,

регуляризованной нами способ

высшими

производными. позволяет

Используемый структуру

привести

однопетлевых

квантовых поправок теории Янга-Миллса к соответствующим известным результатам в возможность константу

N=1

суперсимметричной электродинамике, что дает обобщения найти однопетлевые по

путем

непосредственного заряда,

перенормировки



-функцию,

определяемую

расходимости, и функцию Гелл-Манна-Лоу. Параграф Здесь 4.2 посвящен анализ двухпетлевым вклада всех квантовым двухпетлевых поправкам. диаграмм,

производится

определяющих двухточечную функцию Грина калибровочного поля в методе фонового поля. Вклад диаграмм с петлей духовых полей ФаддееваПопова исследуется в подпараграфе 4.2.1, вклад диаграмм с петлями калибровочного поля в подпараграфе 4.2.2. На основе этого анализа становится возможным нахождение двухпетлевой Лоу (подпараграф 4.2.3). Учет вклада



-функции Гелл-Маннас контрчленными

диаграмм

вставками осуществляется в подпараграфе 4.2.4. В приложении A осуществляется проверка алгоритма суммирования диаграмм Фейнмана в суперсимметричных калибровочных теориях с

полями материи на примере

N =1

суперсимметричной электродинамики

8


в

четырехпетлевом

приближении.

Метод,

основанный

на

подстановке

решений уравнений Швингера-Дайсона в тождества Славнова-Тейлора, позволяет Грина найти точное выражение Оно для двухточечной через ряд функции функций,

калибровочного

поля.

выражается

определяющих вид вершинной функции взаимодействия полей матери с калибровочным полем и двухточечную функцию Грина поля материи. Непосредственными вычислениями демонстрируется, что алгоритм

позволяет найти сумму диаграмм определенного класса с двумя внешними линиями калибровочного поля в заданном порядке теории возмущений, явно не анализируя вклад каждой из них по-отдельности. Сумма

диаграмм вычисляется двумя независимыми способами: первый основан на технике суперграфов, второй подразумевает использование алгоритма суммирования, что позволяет сравнить полученные результаты. В
приложении B

воспроизводятся

вычисления

суммы

диаграмм

с контрчленными вставками и аномального вклада в



-функцию для

N =1
этого

суперсимметричной электродинамики, регуляризованной высшими

производными, точно во всех порядках теории возмущений. Результат приложения используется в главе 4 при исследовании вклада

диаграмм с контрчленными вставками в Янга-Миллса.

N =1

суперсимметричной теории

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертации.

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

1. Разработан метод, упрощающий вычисления диаграмм Фейнмана, которые определяют вклад в двухточечную функцию Грина

калибровочного поля, в суперсимметричных калибровочных теориях в суперполевом формализме, применимый для любой регуляризации. 2. Предложен квантовых внутренне поправок в непротиворечивый неабелевых с метод вычисления

N

=1

суперсимметричных регуляризации не и нарушает в высших

калибровочных высшими

теориях

использованием который числе

ковариантными

производными, (в

суперсимметричную

инвариантность

том

петлях), а также позволяет самосогласованным образом проводить пертурбативные вычисления в суперсимметричных теориях.

9


3. Впервые

регуляризация для

высшими

ковариантными поправок

производными в неабелевых

применена

вычисления

квантовых

суперсимметричных калибровочных теориях. 4. С помощью регуляризации высшими ковариантными производными и формализма фонового поля вычислена двухпетлевая функция ГеллМанна-Лоу в 5. Явным

N =1

суперсимметричной теории Янга-Миллса. доказано, что в двухпетлевом приближении

вычислением

расходимости являются чисто однопетлевыми, тогда как функция Гелл-Манна-Лоу совпадает с точной



-функцией

Новикова,

Шифмана, Вайнштейна и Захарова. 6. Показано, что в рассматриваемых случаях при использовании

регуляризации высшими ковариантными производными интегралы, которые определяют квантовые поправки в эффективное действие, сводятся к полным производным и могут быть легко вычислены аналитически. 7. Произведена пертурбативная проверка нового тождества,

возникающего при получении


в

-функции точно во всех порядках

теории возмущений, методом, основанным на подстановке решений тождеств Славнова-Тейлора уравнения в Швингера-Дайсона, в

четырехпетлевом электродинамике

приближении и в

N

=

1

суперсимметричной в

трехпетлевом

приближении

N

=

1

суперсимметричной теории Янга-Миллса. 8. Проверено совпадение результата для вклада четырехпетлевых

диаграмм Фейнмана в

N=1

суперсимметричной электродинамике,

полученного при помощи алгоритма суммирования, с результатом, даваемым стандартной техникой суперграфов.

ПУБЛИКАЦИИ

Результаты диссертации опубликованы в следующих работах: 1. Андрияш Е.А., Пименов А.Б., Степаньянц К.В., Упрощенный метод вычисления суперграфов, определяющих двухточечную функцию

Грина калибровочного поля.// Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астр. 2005. 4. с. 7.

10


2. А.Пименов,

К.Степаньянц

Четырехпетлевая

проверка

алгоритма

суммирования диаграмм Фейнмана в

N=1

суперсимметричной

электродинамике.// ТМФ 2006. 147. с. 290.

A.B.Pimenov,

K.V.Stepanyantz,

Four-lo op

verication

of

algorithm

for Feynman diagrams summation in namics.// hep-th 0603030.

N=1

sup ersymmetric electro dy-

3. А.Пименов, К.Степаньянц, Двухпетлевая функция Гелл-Манна-Лоу

N=1
398.

суперсимметричной теории Янга-Миллса, регуляризованной

высшими ковариантными производными.// ТМФ 2008. 155. с.

A.B.Pimenov,

K.V.Stepanyantz,

Two-lo op

Gell-Mann-Low

function

of

N=1

sup ersymmetric Yang-Mills theory, regularized by higher

covariant derivatives.// hep-th 0707.4006. 4. А.Пименов, К.Степаньянц, Проверка нового тождества для функций Грина в

N =1

суперсимметричной неабелевой теории Янга-Миллса с

полями материи.// ТМФ 2008. 156 с. 292.

A.B.Pimenov,

K.V.Stepanyantz,

Verication

of

new

identity

for

the

Green functions in

N =1

sup ersymmetric non-Ab elian YangMills theory

with the matter elds.// hep-th 0710.5040.

11