Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://qi.phys.msu.ru/kulik/Papers/Rus_scalar.pdf Дата изменения: Sat May 11 14:44:05 2002 Дата индексирования: Mon Oct 1 20:03:06 2012 Кодировка: Windows-1251

ГЕНЕРАЦИЯ БИФОТОННОГО СВЕТА В ПОЛЯРИЗАЦИОННОЧАСТОТНЫХ БЕЛЛОВСКИХ СОСТОЯНИЯХ А.В.Бурлаков, С.П.Кулик, Г.О.Рытиков, М.В.Чехова
Московский государственный университет им.М.В.Ломоносова, физический факультет, кафедра квантовой радиофизики. 119899 Москва, Россия. тел. (095)939 4372, факс (095) 939 1104, e-mail:postmast@qopt.phys.msu.su PACS codes: 1. Белловские состояния В квантовой оптике и особенно квантовой информатике большое значение имеют так называемые перепутанные состояния (entangled states) квантовых систем. Понятие перепутанности квантовых систем было впервые предложено Шредингером (в связи с известным парадоксом Эйнштейна - Подольского Розена) в работе [1], где, однако, не было дано точного определения этого свойства. Со временем перепутанные квантовые системы перестали быть предметом лишь философских обсуждений и мысленных экспериментов, так как появились различные методы их экспериментального приготовления. Соответственно, были предложены более точные определения таких состояний. Если ограничиться случаем чистого состояния полной квантовой системы, состоящей из нескольких частей, то свойство перепутанности определяется как нефакторизуемость общей волновой функции и сводится к наличию квантовых корреляций между частями системы [2]. Среди чистых перепутанных состояний двух квантовых систем особую роль играют так называемые белловские состояния [3],

1 + ?? , 2 1 + ? ? + ? , 2 + ?

(

)

(

)

(1)

где предполагается, что каждая квантовая система имеет два собственных состояния

,?

(это может быть частица со спином 1/2, атом в

резонансном поле, поляризованный фотон и др.) Именно эти состояния 1


используются при проверке неравенств Белла, в экспериментах по квантовой телепортации, в ряде протоколов квантовой криптографии и других направлениях квантовой оптики. В частности, они представляют удобный базис для описания произвольного квантового состояния двух двухуровневых систем. Состояние - часто называют синглетным, так как оно аналогично антисимметричному состоянию двух частиц со спином 1/2. 2. Генерация белловских состояний фотонов при спонтанном

параметрическом рассеянии Хотя на сегодняшний день перепутанные состояния реализованы экспериментально для самых различных квантовых систем, как, например, двух атомов, атома и фотона, двух ионов и др., наибольшее развитие получили эксперименты с перепутанными (коррелированными) состояниями фотонов. Наиболее эффективный способ генерации коррелированных пар фотонов - это использование спонтанного параметрического рассеяния (СПР) [4]. При спонтанном параметрическом рассеянии излучение накачки с частотой p и волновым вектором kp, попадая в кристалл с квадратичной нелинейностью , приводит к появлению на выходе кристалла рассеянного излучения, состояние которого можно представить в виде [5]

= vac +

1 2

k ,k'

?

F

1 kk' k

,1k' ,

(2) - состояние с одним фотоном в

где vac - вакуумное состояние, а 1k ,1k'

моде k (сигнальный фотон) и одним фотоном в моде k? (холостой фотон), часто называемое бифотоном. Индексы k,k? нумеруют частотные,

пространственные и поляризационные моды. Величина

Fkk? называется

амплитудой бифотона. В стационарном случае, когда в качестве накачки используется излучение непрерывного одномодового лазера, а параметры среды не зависят от времени, амплитуда бифотона пропорциональна

2


+- p ), где , ? - частоты сигнального и холостого фотонов. Если, ( '
кроме того, рассеяние происходит в плоском слое, неограниченном в направлениях, поперечных к волновому вектору накачки, то Fkk' также пропорциональна (k + k' ), где k, k? - поперечные компоненты волновых векторов. При этом в (2) пропадает суммирование по k?, и второе слагаемое описывает перепутанное состояние двух фотонов. Для того, чтобы это состояние было белловским, в сумме по k должно содержаться только два слагаемых. В зависимости от того, по каким параметрам осуществляется "перепутывание" (частота, направление волнового вектора (угол рассеяния), поляризация), можно выделить следующие три класса белловских состояний, генерируемых при СПР. 1. Поляризационно-угловые белловские состояния. Сигнальный и холостой фотоны излучаются под различными углами , ? к волновому вектору накачки, причем для каждого из них поляризация не задана, однако имеется корреляция (перепутывание) между поляризациями. Двухфотонная часть вектора состояния имеет при этом вид

H V ' + VH

'

или

H H

'

+ VV ' , где символы H и V

обозначают горизонтальную и вертикальную поляризацию. Такие состояния были впервые реализованы в [6] за счет использования синхронизма типа II1. Впоследствии была предложена более удобная схема [7], при которой аналогичные рождающихся 2. состояния в двух получались при интерференции бифотонов, с последовательно белловские расположенных состояния. При кристаллах

синхронизмом типа I. Частотно-угловые неколлинеарном невырожденном СПР с синхронизмом первого типа для достаточно малых частотных отстроек сигнального и холостого фотонов от накачки можно выделить такие направления рассеяния , ?, в которых излучаются как

1

При синхронизме типа I сигнальный и холостой фотоны поляризованы одинаково, а при синхронизме типа II - ортогонально.

3


сигнальный фотон с частотой , так и холостой фотон с частотой ?. При этом двухфотонная часть вектора состояния будет иметь вид

' ' + '
3. Наконец,

'

,

то

есть

будут

генерироваться

белловские

состояния +. Такие состояния были экспериментально реализованы в [8]. возможно приготовление поляризационно-частотных белловских состояний вида

H V ' + VH

'

или H H ' + VV ' .

(3)

Такие состояния были экспериментально приготовлены в [9]. В работе [9] использовался интерферометрический метод приготовления белловских состояний, причем моды , ? различались, (двухпучковый кроме режим). частоты, Однако также особый направлением распространения

интерес представляет случай приготовления состояний (3) в однопучковом режиме, который реализуется при коллинеарном СПР. Однопучковый режим генерации двухфотонного света в квантовой оптике используется сравнительно редко, однако именно этот режим представляет интерес для передачи информации. Кроме того, ниже будет показано, что подобные белловские состояния могут обладать интересными особенностями с точки зрения поляризационных свойств. А именно, свет в одном из состояний (3) оказывается неполяризованным во всех порядках по полю. 3. Скрытая поляризация света Вопрос о поляризации света в высших (выше второго) порядках по полю рассматривался многими авторами (см., например, [10], [11], [12]). В работе [11] было показано, что возможна ситуация, когда свет не поляризован во втором порядке по полю, но обнаруживает поляризационные зависимости в корреляционных функциях четвертого порядка по полю. Таким свойством ("скрытой поляризацией"), например, обладает излучение параметрического рассеяния с коллинеарным частотно-вырожденным синхронизмом типа II, что было экспериментально показано в [13]. В [11] была также предложена классическая аналогия этого эффекта, которая была продемонстрирована экспериментально в [14]. 4


Схема показана на

экспериментального Рис. 1 [15].

наблюдения

"скрытой

поляризации" на

Исследуемое

излучение

направляется

поляризационный светоделитель PBS, на выходах которого установлена пара фотодетекторов D1, D2. Перед светоделителем помещается система фазовых пластинок порядке по (достаточно полю, то двух) при P, любом позволяющая выполнить любое поляризационное преобразование. Если свет не поляризован во втором поляризационном преобразовании интенсивность, регистрируемая каждым из детекторов, остается постоянной. Пусть теперь в эксперименте измеряется корреляционная функция вида
(2) HV (-) (-) ( +) (+)

G

( ) = E

H

(t ) EV

(t + ) E

H

(t ) EV

(t +) ,

(4)

где E(-) и E(+) - соответственно, отрицательно-частотные и положительночастотные поля, а индексы H,V обозначают линейные вертикальную и горизонтальную поляризационные моды. Эта величина, характеризующая корреляцию интенсивностей во поляризации в поляризационных порядке перед света модах, может Для даже зависеть для от неполяризованного преобразования втором

светоделителем.

измерения
(2)

корреляционной функции (4) сигналы с детекторов направляются на вход схемы совпадений; скорость счета совпадений Rc определяется GHV . В работе [13], например, наличии корреляционная на входе функция (4) измерялась для преобразований пластинки. При поляризации, осуществляемых поворотом света полуволновой наблюдалась

двухфотонного

модуляция скорости счета совпадений с высокой видностью.2 При наличии на входе классического источника, как, например, излучение двух ортогонально поляризованных лазеров с независимыми фазовыми флуктуациями [14], в эксперименте наблюдается модуляция GHV с видностью 50%. Рассмотрим теперь четыре поляризационно-частотных белловских состояния (3). Известно, что синглетное состояние - инвариантно к любым преобразованиям поляризации [16]. Тем самым, оно не должно обнаруживать
(2)

2

Теоретически, видность в таком эксперименте должна составлять 100%.

5


поляризационные зависимости при измерении моментов любого порядка по полю, в том числе и корреляционной функции (4). Можно также заметить, что состояние + инвариантно к вращению плоскости поляризации. Поэтому в эксперименте, выполненном в [13], для такого состояния, так же как и для состояния - , не должно наблюдаться модуляции числа совпадений. Таким образом, свет в синглетном белловском состоянии



-

неполяризован как во втором, так и в четвертом порядках по полю. Поскольку для двухфотонного света все моменты выражаются через моменты второго и четвертого порядков, то свет в состоянии - неполяризован во всех

порядках по полю. Такой свет можно назвать полностью неполяризованным. 4. "Скалярный свет" Состояние света - близко к состоянию поляризационно-скалярного

света, предложенному в работе [10] (см. также [17]). Переход к состоянию

- от состояния поляризационно-скалярного света осуществляется в пределе
малых мощностей накачки или малого коэффициента параметрического преобразования. Основное свойство поляризационно-скалярного света - это то, что для него должно наблюдаться подавление флуктуаций всех параметров Стокса. Легко рассчитать флуктуации параметров Стокса для всех четырех поляризационно-частотных белловских состояний. В результате оказывается, что в состоянии + подавлены флуктуации третьего параметра Стокса, S32=0, в состоянии - - S22=0, в состоянии + - S12=0, а в синглетном состоянии



-

подавлены

флуктуации

всех

трех

параметров

Стокса:

S12=S22=S32=0. Однако для измерения флуктуаций параметров Стокса для двухфотонного света понадобились бы очень быстрые детекторы (с временным разрешением порядка обратной ширины спектра параметрического рассеяния, т.е. сотен фемтосекунд). Таких детекторов в настоящее время не существует. Подавление флуктуаций параметров Стокса можно наблюдать и с помощью

6


детекторов с наносекундным временным разрешением, но лишь для случая параметрического генератора света, когда спектр излучения существенно уже, чем для спонтанного параметрического рассеяния. В настоящей работе использовался интенсивности. 5. Приготовление и анализ поляризационно-частотных белловских состояний Схема эксперимента по получению четырех поляризационно-частотных белловских состояний показана на Рис.2. Непрерывная накачка (излучение гелий-кадмиевого лазера с длиной волны 325 нм) через неполяризационный светоделитель направляется в интерферометр, в оба плеча которого помещен кристалл йодата лития. В кристалле происходит СПР с невырожденным коллинеарным синхронизмом типа I, в результате чего в обоих плечах после кристалла присутствует двухфотонное излучение в состоянии режим спонтанного рассеяния; в соответствии с этим, измерялись не флуктуации параметров Стокса, а корреляционные функции

H H

'

.

Длины волн сигнального и холостого излучения составляют, соответственно, 635 и 665 нм. Излучение накачки после кристалла отсекается фильтром F. Полуволновая пластинка в одном из плеч поворачивает поляризацию на /2, превращая состояние пучка в VV ' , и оба пучка без потерь сбиваются на поляризационном светоделителе PBS1. Зеркало М в интерферометре может смещаться с помощью пьезоэлектрической подачи, так что на выходе из интерферометра состояние бифотонного поля имеет вид

=

1 H H 2

(

'

+ e i V ,V

'

)

,

(7)

где фазу можно менять смещением зеркала M. При =0 образуется белловское состояние + , а при = - белловское состояние - -. Состояние



+

легко

получается

из



-

с

помощью

полуволновой

пластинки,

ориентированной под углом /8.

7


Белловские состояния + , - и + - аналоги состояний, полученных в [18] в той же экспериментальной схеме, но для вырожденного режима параметрического рассеяния. При переходе к вырожденному режиму состояние + переходит в пару коррелированных фотонов, поляризованных правоциркулярно и левоциркулярно; состояние



-

- в пару фотонов,

поляризованных линейно под углами + /4; состояние + - в пару фотонов, поляризованных вертикально и горизонтально. Синглетное состояние - не имеет аналога в вырожденном режиме, так как оно антисимметрично по отношению к перестановке фотонов в паре. Для приготовления этого состояния в эксперименте использовалась специальная фазовая пластинка из кристаллического кварца (QP), толщина которой удовлетворяла следующему условию: набег фаз между обыкновенной и необыкновенной волной на частоте отличается от соответствующего набега фаз на частоте ? на . Если на входе в такую пластинку имеется состояние = H V ' + V H ' , а ее оптическая ось ориентирована вертикально или горизонтально, то состояние после пластинки, с точностью до несущественной общей фазы, будет = H V ' - VH ' . Для получения состояния - фаза в интерферометре устанавливалась равной , так что на выходе из интерферометра получалось состояние = H H ' - V V ' . В базисе XY, повернутом на /4 относительно базиса HV, состояние - переходит в
- - +

+ :

H H

'

- VV ' = XY ' + Y X ' . Пластинка QP

устанавливалась на выходе из интерферометра так, что ее оптическая ось была ориентирована по направлению X. После пластинки состояние в базисе XY превращалось в - ; следовательно, в силу своей инвариантности к преобразованиям поляризации, оно оставалось таковым в любом поляризационном базисе.

8


Для четырех полученных поляризационно-частотных состояний Белла проводились измерения по схеме, предложенной в [15]: величина GHV измерялась в зависимости (Рис.1). Для от преобразования выделения поляризации перед светоделителем коллинеарного рассеяния
(2)

использовалась апертура. Поскольку на входе в регистрирующую часть установки присутствовало, кроме излучения СПР, также шумовое излучение, использовался интерференционный фильтр с шириной 40 нм и максимумом пропускания на длине волны 650 нм. Фильтр пропускал как сигнальное, так и холостое излучение. Детекторами служили лавинные фотодиоды, работающие в режиме счета фотонов, а разрешение схемы совпадений составляло 1.5 нс. В качестве преобразователя поляризации использовались пластинки /2 и /4. На Рис.3 а,б,в представлены зависимости, полученные для GHV при вращении пластинки /2 для белловских состояний - , + и - , соответственно. Зависимость для состояния + состояние переходит в не приведена, т.к. это
(2)



-

поворотом базиса на /4, и поэтому угловая

зависимость для него оказывается такой же, как для - , с точностью до сдвига по оси абсцисс на /8. Сразу же заметим, что все полученные в эксперименте перепутанные состояния были неполяризованы во втором порядке по полю: при поляризационных преобразованиях пластинками /4 и /2 интенсивность пучка, регистрируемого каждым менялась3. Видно, что состояние - обладает "скрытой поляризацией" (Рис.3а): при повороте пластинки /2 число совпадений Rc осциллирует с высокой видностью (94%). Зависимость состояние - в виде Rc от угла поворота пластинки легко получить, используя выражение (4) для корреляционной функции и записав из детекторов на Рис.1, практически не

9


- = H H


'

- VV ' = a ( ) a H ( ') - aV ( )aV ( ') vac , (8) H

{

}

где a H ,V ( , ') - операторы рождения фотонов в поляризационных модах H,V и частотных модах , ?. Далее, выразим поля в соотношении (4) через операторы рождения и учтем, что левая часть (4) эрмитово сопряжена правой. Усреднение в (4) следует проводить по состоянию (), которое получается из - в результате действия пластинки.

G

(2 ) HV

( ) =

??d 1d2a H (1)e

- i1t aV

( 2 ) e

- i2 ( t +)

( )

2

.

(9)

Используя матрицу Джонса для пластинки /2, ориентированной под углом [15],

i sin(2 ) ? i cos(2) D=? ? - i sin(2 ) -i cos(2 )
после пластинки,

? ?, ?
для состояния (), с точностью до

и выражая операторы рождения до пластинки через операторы рождения получим несущественного фазового множителя,

( ) = cos(4 ){ H H

'

- VV' } - sin(4 ) { H V ' + V H

'

}

, (10)

При интегрировании в (10) останутся только частоты и ?; подставляя (10) в (9), получим (вклад при усреднении дает только второе слагаемое в (10))

G

(2) HV

() = 4co s

2

- ' sin 2 (4). 2

(11)

Скорость счета совпадений в схеме на Рис.1 определяется интегралом
(2) GHV ( ) по в пределах, определяемых временем разрешения схемы

совпадений T, которое значительно превышает период осцилляций первого множителя в (11). В результате получим

Rc ( - , /2 ) : sin 2 ( 4),
(12)
3

Модуляция интенсивности не превышала 15%. Ее наличие связано с несбалансированностью интенсивностей пучков двухфотонного света в двух плечах интерферометра.

10


что хорошо согласуется с результатами эксперимента (Рис.3а). Если на входе преобразователя поляризации имеется состояние + , то скорость счета совпадений не будет зависеть от угла поворота полуволновой пластинки: как легко проверить, состояние + при этом не меняется.

Скорость счета совпадений остается близкой к нулю, поскольку имеет место поляризационный эффект антикорреляции [19]. В соответствии с этим, скорость счета совпадений на Рис.3б более чем на порядок меньше скорости счета для состояния - (Рис.3а). Наблюдаемая модуляция, видимо, связана с тем, что пучки бифотонов в различных плечах интерферометра имели немного различающиеся интенсивности. Полагая, что вклады в скорость счета совпадений от разных плеч отличались на 20%, можно получить для Rc зависимость, аналогичную (12), но с амплитудой, меньшей в 20 раз. Для случая, когда перед пластинкой было состояние - , наблюдалась высокая, не зависящая от , скорость счета совпадений (Рис.3в). Расчет, аналогичный приведенному выше, дает в этом случае для Rc постоянную величину, равную максимуму зависимости (12). Результаты, представленные на Рис.4, получены при использовании в качестве преобразователя поляризации пластинки /4. В этом случае расчет дает для состояния
-

на входе в пластинку зависимость (13)

Rc ( - , /4 ) : sin 4 ( 2).
Эта зависимость хорошо согласуется с экспериментальной (Рис.4а).

Для состояния + на входе в пластинку изменение приводит к полной модуляции скорости счета совпадений (Рис.4б). Расчет дает для этого случая зависимость

Rc ( + , /4 ) : sin2 ( 2 ).
Наконец, для состояния - (Рис.4в).

(14) на входе в пластинку /4 практически

отсутствует модуляция скорости счета совпадений при вращении пластинки

11


Из проведенных измерений видно, что двухфотонный свет в состоянии



-

не имеет "скрытой поляризации", т.е. оказывается неполяризованным как

во втором, так и в четвертом порядке по полю. Во всех остальных белловских состояниях "скрытая поляризация" проявляется. 6. Заключение. Таким образом, двухфотонный свет в синглетном поляризационно-частотном белловском состоянии оказывается полностью неполяризованным, а также поляризационно-скалярным. В эксперименте продемонстрировано получение такого состояния света, а также трех остальных поляризационно-частотных белловских состояний. Использование "однопучковой" геометрии в этом случае представляется удобным, так как позволяет использовать бифотонный свет при передаче информации, посылая сигнальный и холостой фотоны через одно и то же оптическое волокно. Можно ожидать, что такие состояния найдут применение при кодировке и передаче квантовой информации. Работа выполнена при поддержке INTAS, проект ?01-2122, и Российского фонда фундаментальных исследований, проект ?02-02-16664. Литература 1. E.Schrцdinger, Proceedings of the American Philosophical Society, 124, 323 (1980). 2. И.В.Баргатин, Б.А.Гришанин, В.Н.Задков, УФН, 171, 625 (2001). 3. S.L.Braunstein, A.Mann, and M.Revzen, Phys. Rev. Lett., 68, 3259 (1992). 4. Д.Н.Клышко. Письма в ЖЭТФ, 6, 490-492 (1967). 5. A.V.Belinsky and D.N.Klyshko, Laser Physics, 4, 663 (1994). 6. P.G.Kwiat, K.Mattle, H.Weinfurter, A.Zeilinger, A.Sergienko, Y.Shih, Phys. Rev. Lett. 75, 4337 (1995). 7. P.G.Kwiat, E.Waks, A.White, I.Appelbaum, and P.Eberhard, Phys.Rev.A 60, R773 (1999). 8. J.G.Rarity and P.R.Tapster, Phys. Rev. Lett. 64, 2495 (1990).

12


9. Y.Kim, S.P.Kulik, Y.Shih, Phys.Rev.А 63, 060301 (2001). 10. В.П.Карасев, J. Sov. Laser Res. 12, No 5, 147 (1991). 11. D.N.Klyshko, Phys. Lett. A 163, 349 (1992). 12. А.С.Чиркин, А.А.Орлов, Д.Ю.Паращук, Квантовая Электроника, 20, 999 (1993). 13. P.Usachev, J.S цderholm, G.Bjцrk, and A.Trifonov, Optics Communications 193, 161 (2001). 14. D.I.Guzun, A.N.Penin, Proc. SPIE 2799, 249 (1996). 15. Д.Н.Клышко, ЖЭТФ, 111, с.1955 (1997). 16. См., например, "Физика квантовой информации" - сб. под ред. Д.Боумейстера, А.Экерта, А.Цайлингера, М.: Постмаркет, 2002. 17. В.П.Карасев, А.В.Масалов, Оптика и Спектроскопия 74, 928 (1993). 18. A.V.Burlakov, M.V.Chekhova, O.A.Karabutova, D.N.Klyshko, and S.P.Kulik, Phys.Rev A. 60, p.R4209 (1999). 19. A.V.Burlakov, M.V.Chekhova, O.A.Karabutova, and S.P.Kulik, Phys. Rev. A 64, 041803(R) (2001).

13


Подписи к рисункам: Рис.1. Схема наблюдения "скрытой поляризации" [15]. После преобразователя поляризации P пучок делится поляризационным светоделителем PBS и направляется на фотодетекторы D1, D2. Даже если интенсивности, регистрируемые детекторами, не зависят от преобразования поляризации, скорость счета совпадений Rc может проявлять такую зависимость. Рис.2. Схема эксперимента. Излучение гелий-кадмиевого лазера на длине волны 325 нм через неполяризационный светоделитель направляется в интерферометр Маха-Цендера с кристаллом иодата лития, помещенным в оба плеча. В кристалле происходит параметрическое рассеяние в коллинеарном частотно-невырожденном режиме с синхронизмом типа I. На выходе из кристалла лазерное излучение отсекается фильтром F, а в обоих плечах присутствует бифотонное излучение в состоянии |H H ??. В правом плече поляризация поворачивается с помощью пластинки /2, и состояние становится |V V ??. Оба пучка сбиваются с помощью поляризационного светоделителя PBS1, причем фаза между ними регулируется зеркалом M, которое смещается пьезоподачей. В кварцевой пластинке QP набег фаз между необыкновенно ?. Рис.3. Зависимости скорости счета совпадений (числа совпадений за 200 секунд) от угла поворота пластинки /2 а) для -; б) для +; в) для -. Сплошная кривая на Рис.3а соответствует соотношению (12) с добавленным постоянным фоном, что отвечает видности 94%. Сплошная кривая на Рис. 3б построена в предположении, что интенсивности бифотонных пучков в плечах интерферометра отличаются на 20%; при этом расчет дает ту же зависимость, поляризованной волной и обыкновенно поляризованной волной на частоте на превышает соответствующий набег фаз на частоте

14


что и для Рис.3а, но с амплитудой, меньшей в 20 раз. Теоретическая зависимость на Рис.3в представляет собой прямую. Рис.4. Зависимости числа совпадений от угла поворота пластинки /4 а) для -; б) для +; в) для -. Теоретические кривые построены по соотношениям (13) (Рис.4а) и (14) (Рис.4б) с добавленным фоном, учитывающим отличие видности от 100%. Видность составляет 93%. На Рис. 4в теоретическая зависимость - прямая.

15