Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://qsft.phys.msu.ru/biblioteka/lecturesPS/presentations/presentation2.pdf Дата изменения: Thu Mar 10 19:50:58 2016 Дата индексирования: Sat Apr 9 22:47:46 2016 Кодировка: Windows-1251

Сходимость случайных величин

Содержание

1

Сходимость случайных величин Неравенство Чебышева Закон больших чисел Пуассоновский предел Теорема МуавраЛапласа Предельные теоремы для экстремальных событий

А.М. Чеботарев, Физический факультет МГУ

Кафедра Квантовой статистики и теории поля


Сходимость случайных величин

Неравенство Чебышева Закон больших чисел Пуассоновский предел Теорема МуавраЛапласа Предельные теоремы для экстремальных событий

Неравенство Чебышева
Для действительных случайных величин, имеющих конечную дисперсию, доказательство закона больших чисел использует неравенство Чебышева, утверждающее, что

P (|x - x | a)

2 , a2

(1)

где x и 2 среднее и дисперсия действительной случайной величины x . Поскольку I|x -x |/a1 (x ) |x -x | , то из определения a дисперсии следует, что

P (|x - x | a) =
X

p (dx ) I

|x -x | a

1

(x ) E

2 (x - x )2 = 2, a2 a

где IA (x ) индикаторная функция множества A.
А.М. Чеботарев, Физический факультет МГУ Кафедра Квантовой статистики и теории поля


Сходимость случайных величин

Неравенство Чебышева Закон больших чисел Пуассоновский предел Теорема МуавраЛапласа Предельные теоремы для экстремальных событий

Аналогично можно доказать неравенство

P (|x | a) E F (|x |) F (a)

(2)

для любой монотонной неубывающей функции F : R+ R+ . Заменив модуль на норму, можно распространить неравенство (1) на случайные величины, принимающие значения в векторном нормированном пространстве. Пусть x д. с. в. со средним E x = x и дисперсией 2 . Рассмотрим последовательность независимых реализаций {xn }N . Сумма SN = N=1 xn имеет среднее 1 n E SN = N E x = N x и дисперсию N 2 , поэтому из (1) следует

P (|SN - N E x | a) N
А.М. Чеботарев, Физический факультет МГУ

2

a2 .

(3)

Кафедра Квантовой статистики и теории поля


Сходимость случайных величин

Неравенство Чебышева Закон больших чисел Пуассоновский предел Теорема МуавраЛапласа Предельные теоремы для экстремальных событий

Закон больших чисел

Пусть x N = SN выборочное среднее значение д. с. в. x . Для N сколь угодно малого > 0, полагая a = N в неравенстве Чебышева (3), получаем закон больших чисел

P (| x - Ex

N

| )

2 0 при N , 2 N

(4)

утверждающий, что если 2 < , то последовательность выборочных средних x N = SN при N сходится к N математическому ожиданию E x .

А.М. Чеботарев, Физический факультет МГУ

Кафедра Квантовой статистики и теории поля


Сходимость случайных величин

Неравенство Чебышева Закон больших чисел Пуассоновский предел Теорема МуавраЛапласа Предельные теоремы для экстремальных событий

Если 2 = бесконечна, но supn E |n | < , то закон больших чисел сохраняет силу ( см. учебник, стр. 3638). Теорема 1 Пусть xn выборочные значения действительной случайной величины, имеющей конечный абсолютный момент m1 . Тогда P (| x N - E x | ) 0 при N . Такая сходимость является частным случаем сходимости по вероятности: последовательность д. с. в. N сходится по вероятности к случайной (или неслучайной) величине , если

P (|N - | > ) 0,

N для любого > 0
P

Сходимость по вероятности обозначается N . Сходимость почти наверное (синонимы: почти всюду, с вероятностью единица) является более сильной:

N ,

a. s .

если P (

N

) = 0.

А.М. Чеботарев, Физический факультет МГУ

Кафедра Квантовой статистики и теории поля


Сходимость случайных величин

Неравенство Чебышева Закон больших чисел Пуассоновский предел Теорема МуавраЛапласа Предельные теоремы для экстремальных событий

Существуют примеры последовательностей, которые сходятся по вероятности, но не сходятся почти наверное (см. стр.35 в нашем учебнике). Для физических приложений во многих случаях оказывается достаточной слабая сходимость:

N ,

w

если E f (N ) E f ( )

w

на множестве финитных непрерывных функций f C0 (X ). Однако, существует достаточное условие, при котором из сходимости по вероятности следует сходимость п. в. (см. Ширяев А.Н. Вероятность. М.: Наука, 1980., c. 271).

А.М. Чеботарев, Физический факультет МГУ

Кафедра Квантовой статистики и теории поля


Сходимость случайных величин

Неравенство Чебышева Закон больших чисел Пуассоновский предел Теорема МуавраЛапласа Предельные теоремы для экстремальных событий

Теорема 2 Если {An } 1 такое множество событий, что n= P (An ) < , то не существует такого события A , n P (A ) > 0, которое принадлежит бесконечно многимa An . Если n P (|n - | > ) < для любого > 0, то P (n ) = 0.
Событие, принадлежащее бесконечно многим An , можно записать в виде A = N n>N An .
a

Справедливость утверждений теоремы очевидна, так как в противном случае ряд n P (An ) n P (A ) = расходится, поскольку A An .
А.М. Чеботарев, Физический факультет МГУ Кафедра Квантовой статистики и теории поля


Сходимость случайных величин

Неравенство Чебышева Закон больших чисел Пуассоновский предел Теорема МуавраЛапласа Предельные теоремы для экстремальных событий

Пуассоновский предел
Рассмотрим вероятность редких событий. Предположим, что число независимых испытаний N и вероятность p = P (A) события A таковы, что p = N . Вероятность того, что в серии из N независимых испытаний событие A произойдет n N раз, описывается биномиальным распределением:
n CN p n (1 - p )N

n N -n N! 1- = n!(N - n)! N N N -n+1 N n exp (N - n) ln 1 - ... = = n! N N N
-n

=

(5)

=

n exp (N - n) ln 1 - n! N

n -1

exp
k =1

ln 1 -

k N

.

А.М. Чеботарев, Физический факультет МГУ

Кафедра Квантовой статистики и теории поля


Сходимость случайных величин

Неравенство Чебышева Закон больших чисел Пуассоновский предел Теорема МуавраЛапласа Предельные теоремы для экстремальных событий

Используя разложение ln(1 + x ) = x - x = -/N и x = k /N , получим

x2

2

+ O (x 3 ) для 2 , N

(N - n) ln 1 -
n -1

N

= - + O k N =O

n N

+O

ln 1 -
k =1

n2 . N

Подставляя в (5) разложения логарифма, имеем

PN ( n ) =

n e n!

-

1+O

n2 + 2 N



n e n!

-

(6)

при max{n2 , 2 } = o (N ). Доказана первая часть следующей теоремы.
А.М. Чеботарев, Физический факультет МГУ Кафедра Квантовой статистики и теории поля


Сходимость случайных величин

Неравенство Чебышева Закон больших чисел Пуассоновский предел Теорема МуавраЛапласа Предельные теоремы для экстремальных событий

Теорема 3 При всех n O (N (1-)/2 ), p O (N -(1+)/2 ), и любого (0, 1) биномиальное распределение PN (n) сходится к n пуассоновскому P (n) = ! e - для = Np : n

PN ( n ) =

def

N! p n (1 - p )N n!(N - n)!

-n

=

()n e n!

-

1 + O (N

-

).

Если n пуассоновская с. в. со средним д. 1, то в области n { - O ( ), + O ( )} распределение нормированной д. с. в. x = -n аппроксимируется стандартным нормальным распределением:

n e n!

-

=e

1 - 2 x2

x 1 1+O 2

,

1 x = .

А.М. Чеботарев, Физический факультет МГУ

Кафедра Квантовой статистики и теории поля


Сходимость случайных величин

Неравенство Чебышева Закон больших чисел Пуассоновский предел Теорема МуавраЛапласа Предельные теоремы для экстремальных событий
Err Bi
0.004 0.003 0.002 0.001 0.000

Poisson & binomial dist., 20
0.08 0.06 0.04 0.02 0.00 0 10 20 30 40

, 20, N 200

0

10

20

30

40

Poisson & normal dist., p 0.1, N 200
0.007

Err N
0.006 0.005 0.004

, p 0.1, N 200

0.08 0.06 0.04 0.02

0.003 0.002 0.001

0.00 0 10 20 30 40

0.000 0 10 20 30 40

Рис. 1: В верхнем ряду: (), = 20 (кружочки) и Bi (n, p ), n = 200,
p = 0.1 (точки). В нижнем ряду - N (, ) (непрерывная кривая) и (), = 10 (кружочки). Справа погрешность аппроксимации.
А.М. Чеботарев, Физический факультет МГУ

Кафедра Квантовой статистики и теории поля


Сходимость случайных величин

Неравенство Чебышева Закон больших чисел Пуассоновский предел Теорема МуавраЛапласа Предельные теоремы для экстремальных событий

Доказательство . Поскольку n { - O ( ), + O ( )}, то n 1 =1+O , 1 =1+O . n

Поэтому из формулы Стирлинга и тейлоровского разложения 2 log(1 + x ) = x - x2 + O (x 3 ) имеем

n e n! =

-

=

1 1+O e 2 n 1+
-n n

(n-)+n log

n

=
O
1

1 1 + O (n-)+ n+ 1 log 2 e 2 (n-)2 1 x = e - 2 1+O 2

1 1+O (n-)2 - + e 2n 2 x - 1 x 2 1 = e 2 1+O 2

=

.

Теорема доказана.
А.М. Чеботарев, Физический факультет МГУ Кафедра Квантовой статистики и теории поля


Сходимость случайных величин

Неравенство Чебышева Закон больших чисел Пуассоновский предел Теорема МуавраЛапласа Предельные теоремы для экстремальных событий

Обозначим через N последовательность случайных величин, имеющих биномиальное распределение PN (n) (см. (5)). Пусть для определенности p = N , = const. О каком типе сходимости случайных величин может идти речь в первой (и второй) части Tеоремы 3? Это сходимость по распределению биномиально распределенной с. в. N к случайной величине с n пуассоновским распределением P (n) = ! e - . Для n случайных величин с дискретным множеством значений сходимость по распределению означает поточечную сходимость кумулятивных вероятностей1 :

N , если lim |P (N < a) - P ( < a)| = 0
N

D

при каждом фиксированном a R+ .
1
А.М. Чеботарев, Физический факультет МГУ

CDF или cumulative distribution function (англ.).
Кафедра Квантовой статистики и теории поля


Сходимость случайных величин

Неравенство Чебышева Закон больших чисел Пуассоновский предел Теорема МуавраЛапласа Предельные теоремы для экстремальных событий

Действительно, в случае сходимости биномиального распределения 1 - > 0 (см. Теорему 3). Поэтому 1- a < N 2 при достаточно больших N = N (a) и из (6) следует
[a ]

|P (N < a) - P ( < a)|
n=0
1- N2 1- N2

PN (n) - P (n) n e - n2 + O n! N
1- 2


n =0

|PN (n) - P (n)| e n!
n -


n =0

O

N

1- 2

2

n=0

N

=O

N

N

=O

1 N

0.

А.М. Чеботарев, Физический факультет МГУ

Кафедра Квантовой статистики и теории поля


Сходимость случайных величин

Неравенство Чебышева Закон больших чисел Пуассоновский предел Теорема МуавраЛапласа Предельные теоремы для экстремальных событий

В общем случае обозначим B c = \ B . Тогда

P (A) = P (A B ) + P (A B c ) P (A B ) + P (B c ).

(7)

Пользуясь этим неравенством покажем, что в общем случае сходимость по распределению limN |P (N < a) - P ( < a)| = 0 вытекает из сходимости по вероятности: limN P (|N - | > )| = 0 . Положим A = An = { : a < a + | - n |} и заметим, что при всех n реализуется одна из двух альтернатив: либо B = B = { : | - n | < }, либо B c = { : | - n | }, т.е. B B c = и B B c = .
А.М. Чеботарев, Физический факультет МГУ Кафедра Квантовой статистики и теории поля


Сходимость случайных величин

Неравенство Чебышева Закон больших чисел Пуассоновский предел Теорема МуавраЛапласа Предельные теоремы для экстремальных событий

Пользуясь неравенством (7), получаем

P (n < a) - P ( < a) = P ( < a + - n ) - P ( < a) P ( < a + | - n |) - P ( < a) = P (a < a + | - n |) = P (An ) P (An B ) + P (B c ) P (| - n | ) + P (a < < a + ) 0,
где P (B c ) = P (| - n | ) 0 в силу - n 0, а An B { : a < < a + } при 0. Поэтому P (An B ) P (a < < a + ) сколь угодно мало при достаточно малых , так как P -вероятностная мера и поэтому P () = 0. Следовательно, P (n < a) P ( < a) D при 0, то есть n (сходится по распределению).
А.М. Чеботарев, Физический факультет МГУ Кафедра Квантовой статистики и теории поля

def

P


Сходимость случайных величин

Неравенство Чебышева Закон больших чисел Пуассоновский предел Теорема МуавраЛапласа Предельные теоремы для экстремальных событий

Теорема МуавраЛапласа
Сходимость биномиального распределения к нормальному была доказана де Муавром в 1738 г., а спустя сто лет Лапласом. Этот факт, играющий важную роль в теории вероятности и математической статистике, получил название теоремы МуавраЛапласа. В отличие от сходимости биномиального распределения к пуассоновскому при N для относительно малого n = O N (1-)/2 = O ( N ) и p = O N -(1+)/2 , таких что

np = O N



= o (N ),

= Np = O N

(1-)/2

= o (N ),

(0, 1)

теорема МуавраЛапласа описывает сходимость Bi (p , N ) к N (pN , pqN ), q = 1 - p в окрестности среднего n = Np = O (1).
А.М. Чеботарев, Физический факультет МГУ Кафедра Квантовой статистики и теории поля


Сходимость случайных величин

Неравенство Чебышева Закон больших чисел Пуассоновский предел Теорема МуавраЛапласа Предельные теоремы для экстремальных событий

Теорема 4

- Пусть x = nNp = O (1) нормированное на N N отклонение от среднего, x = 1N дискретный аналог меры Лебега. Тогда при n [Np - O (N 1/2 ), Np + O (N 1/2 )] x PN (n, p ) = e 2 pq
x - 2p

2
q

1 + O (x )) ,

1 x = . N

(8)

С точки зрения типа сходимости, это утверждение является теоремой о сходимости по распределению для правильно нормированных и скомпенсированных д. с. в. nNp - = O (1). N
А.М. Чеботарев, Физический факультет МГУ Кафедра Квантовой статистики и теории поля


Сходимость случайных величин

Неравенство Чебышева Закон больших чисел Пуассоновский предел Теорема МуавраЛапласа Предельные теоремы для экстремальных событий

Доказательство . Центральную роль в доказательстве теоремы МуавраЛапласа играет формула Стирлинга для асимптотики гамма-функции 1 1 -3 (x + 1) = t x e -t dt = 2 x x + 2 e -x + 12x +O (x ) . (9)
0
- Из определения д. с. в. x = nNp вытекают следующие N соотношения: n 1 n-x N p= = +O , N N N N -n 1 N -n+x N 1-p = = +O . N N N

Параметр p (0, 1) будем считать постоянной величиной и воспользуемся оценкой (9) для доказательства (8).
А.М. Чеботарев, Физический факультет МГУ Кафедра Квантовой статистики и теории поля


Сходимость случайных величин

Неравенство Чебышева Закон больших чисел Пуассоновский предел Теорема МуавраЛапласа Предельные теоремы для экстремальных событий

Используя выражение PN через n, N и x , получим:

=

N ! p n q N -n PN (n, p ) = = n!(N - n)! n 1 1 + O( N ) N -n+x N n-x N n N -n n- 2 N N NN n =
1 1 + O( N )

N -n

=

e e

n ln

n-x N n

+(N -n) ln

N -n+x N N -n

=

2 N

n N -n NN

=

1+O

1 N 1
N

- x2

2

N n

+

N N -n

x
1

2 p + O

1-p+O

,

1 x = . N

N

А.М. Чеботарев, Физический факультет МГУ

Кафедра Квантовой статистики и теории поля


Сходимость случайных величин

Неравенство Чебышева Закон больших чисел Пуассоновский предел Теорема МуавраЛапласа Предельные теоремы для экстремальных событий

Учитывая, что показатель экспоненты содержит сумму

N N 1 1 1 + =+ +O n N -n p 1-p N

=

1 1 , +O p (1 - p ) N

получаем формулу, связывающую нормальное и биномиальное распределения:

PN (n , p ) =

x
2 p (1 - p )

e

- 2p (x -p 1

2

)

1 1+O N

,x=

n - Np . N

Теорема доказана.

А.М. Чеботарев, Физический факультет МГУ

Кафедра Квантовой статистики и теории поля


Сходимость случайных величин

Неравенство Чебышева Закон больших чисел Пуассоновский предел Теорема МуавраЛапласа Предельные теоремы для экстремальных событий
Err N
0.00020

Binomial & normal dist., p 0.5, N 100
0.08

Bi , p 0.5, N100

0.06

0.00015

0.04

0.00010

0.02

0.00005

0.00 0 20 40 60 80 100

0.00000 0 20 40 60 80 100

Binomial & normal dist., p 0.5, N 200
0.00007

Err N
0.00006 0.00005 0.00004 0.00003

Bi , p 0.5, N 200

0.05 0.04 0.03 0.02

0.00002

0.01 0.00 0 50 100 150 200

0.00001 0 0 50 100 150 200

Рис. 2: Распределение Бернулли и ошибка нормальной аппроксимации для p = 0.5, N = 100, 200
А.М. Чеботарев, Физический факультет МГУ Кафедра Квантовой статистики и теории поля


Сходимость случайных величин

Неравенство Чебышева Закон больших чисел Пуассоновский предел Теорема МуавраЛапласа Предельные теоремы для экстремальных событий

Замечание 1 Если
ni Np - N

= O (1), i = 1, 2 при N и n2 > n1 , то
n2 -Np N n1 -Np N

n2 n=n1

1 PN (n, p ) = 2 p q

dx e

x - 2p

2
q

1 + O (N

-1 2

),

где q = 1 - p , ni = N + O ( N ).

А.М. Чеботарев, Физический факультет МГУ

Кафедра Квантовой статистики и теории поля


Сходимость случайных величин

Неравенство Чебышева Закон больших чисел Пуассоновский предел Теорема МуавраЛапласа Предельные теоремы для экстремальных событий

Предельные теоремы для экстремальных событий Если {xi }n независимые д. с. в. с распределением 1 def def F (x ) = P ( x ), то n = max{1 , . . . , n } имеет функцию распределения Fn (x ) = P ( x )n . Поэтому в любой точке, где F (x ) < 1, предельное распределение тривиально: Fn (x ) 0 при n . Решения уравнений a xa,n : F (xa,n ) = 1 - , a = O (1) n можно рассматривать как типичные значения д. с. в. n , поскольку максимальное значение попадает в интервал (xb,n , xa,n ) с вероятностью, имеющей предел при n :
P (N (x b ,n
, xa,n )) = Fn (a) - Fn (b ) e

-a

-e

-b

,

(10)

где 0 < a < b ,

x

b ,n

< x a ,n .
Кафедра Квантовой статистики и теории поля

А.М. Чеботарев, Физический факультет МГУ


Сходимость случайных величин

Неравенство Чебышева Закон больших чисел Пуассоновский предел Теорема МуавраЛапласа Предельные теоремы для экстремальных событий

Действительно, по определению a xa,n : F (xa,n ) = P ( xa,n ) = 1 - n , для независимых одинаково распределенных выборочных значений {1 , . . . , n } имеем
n

P

n

x

a ,n

=
i =1

P i xa,n ) =

a 1- n

n

e

-a

.

Для монотонно возрастающих функций F (x ) = P ( x ) отсюда следует (10), так как при xb,n < xa,n имеем
P (n (x b ,n , xa,n )) = P (n xa,n ) - P (n x b ,n

)e

-a

-e

-b

при n .
А.М. Чеботарев, Физический факультет МГУ Кафедра Квантовой статистики и теории поля


Сходимость случайных величин

Неравенство Чебышева Закон больших чисел Пуассоновский предел Теорема МуавраЛапласа Предельные теоремы для экстремальных событий

Рассмотрим три класса распределений с экспоненциально и полиномиально убывающими плотностями, характеризуемые предельным поведением кумулятивной вероятности F (x )

(i) lim e
x x x c

x

(1 - F (x )) = ,

x R, x R+ , x c , c : F (c ) = 1,

(ii) lim x (1 - F (x )) = ,


(iii) lim (c - x ) (1 - F (x )) = ,

для некоторых , > 0, c R. В этом случае можно указать три соответствующих класса преобразований случайных величин n , распределения которых сходятся к трем стандартным распределениям. Следующая теорема описывает способы компенсации и нормировки n , используемые в зависимости от класса распределений (i)(iii).
А.М. Чеботарев, Физический факультет МГУ Кафедра Квантовой статистики и теории поля


Сходимость случайных величин

Неравенство Чебышева Закон больших чисел Пуассоновский предел Теорема МуавраЛапласа Предельные теоремы для экстремальных событий

Теорема 5
Если n = max{1 , . . . , n } и F (x ) = P ( < x ) удовлетворяет одному из условий (i)(iii), то последовательность д. с. в. n имеет соответствующее предельное распределение: (a) n = n - ln( n) , lim n = , n

def

def

1

PG ( x ) = e (b) n =
def

-e

-x

, распределение Гумбеля на R, , lim n = ,
n

n

( n)
-x



1

PF ( x ) = e
def

-

, распределение Фреше на R+ ,
(n - c ), lim n = , n

(c) n = ( n) PW ( x ) =
1

1 -

e

(-x )-



, x < 0 распределение Вейбулла на R

-

А.М. Чеботарев, Физический факультет МГУ

Кафедра Квантовой статистики и теории поля


Сходимость случайных величин

Неравенство Чебышева Закон больших чисел Пуассоновский предел Теорема МуавраЛапласа Предельные теоремы для экстремальных событий

Доказательство . (a) В случае (i) имеем e y (1 - F (y )) при y . Поэтому при достаточно больших y выполнено: e ay (1 - F (y )) = + o (1), следовательно, F (y ) = 1 - ( + o (1))e -ay . Поскольку 1 x + ln( n) при n , то для
n = n - ln( n)

def



1

имеем
P (n x ) = P n x + ln( n)


1

=F



x + ln( n)
n



1

n

= =

1 - ( + o (1))e 1-

1 - (x + ln( n))

e

-x

(1 + o (1)) n

n

e

-e

-x

= PG (x ).

А.М. Чеботарев, Физический факультет МГУ

Кафедра Квантовой статистики и теории поля


Сходимость случайных величин

Неравенство Чебышева Закон больших чисел Пуассоновский предел Теорема МуавраЛапласа Предельные теоремы для экстремальных событий

(b) В случае (ii) предполагается, что y (1 - F (y )) при y . Поэтому при достаточно больших y выполнено: y a (1 - F (y )) = + o (1), следовательно, F (y ) = 1 - y -a ( + o (1)). 1 Поскольку x ( n) при n , то для

n =
имеем

def

n ( n)



1

P (n x ) = P n x ( n)



1

= F x ( n)



1

n

= =

1-x 1-

-

( n)-1 ( + o (1))
n

n

x

-

n

(1 + o (1))

e

-x

-

= PF (x ).

А.М. Чеботарев, Физический факультет МГУ

Кафедра Квантовой статистики и теории поля


Сходимость случайных величин

Неравенство Чебышева Закон больших чисел Пуассоновский предел Теорема МуавраЛапласа Предельные теоремы для экстремальных событий

Равенство (c) доказываются аналогично. В последнем случае 1 F (x ) = 1 - ( + o (1))(c - x )-a и n = ( n)- a (n - c ). Поэтому
P (n x ) = P n c + x ( n)
1
a

=F =



c + x ( n )

1/
n

n

= e

1-
-(-x )-

+ o (1) n (-x )


n

1-

1 + o (1) n(-x )

= PW (x ).

Отсюда находим плотности распределений Гумбеля и Фреше при x и Вейбулла при x -:

pG (x ) = ae

-x -e

e

-x

, pF (x ) = ax

-a-1 -x

e

-

, pW (x ) = a(-x )-

a-1 -(-x )-

e



Плотности распределений Фреше и Вейбулла имеют степенные хвосты, а распределение Гумбеля - убывает экспоненциально.
А.М. Чеботарев, Физический факультет МГУ Кафедра Квантовой статистики и теории поля


Сходимость случайных величин

Неравенство Чебышева Закон больших чисел Пуассоновский предел Теорема МуавраЛапласа Предельные теоремы для экстремальных событий

Gumbel distribution
0.8 1.5 0.6 1.0 0.4 0.5

Frechet distribution

0.2

0.0 4 2 0 2 4

0.0 0 2 4 6 8
-ax

Рис. 3: Плотности распределений Гумбеля pG (x ) = ae
a = 2 и Фреше pF (x ) = ax
-(a+1) -x

-ax -e

e

e

-a

при

при a = 4.

А.М. Чеботарев, Физический факультет МГУ

Кафедра Квантовой статистики и теории поля


Сходимость случайных величин

Неравенство Чебышева Закон больших чисел Пуассоновский предел Теорема МуавраЛапласа Предельные теоремы для экстремальных событий

Упражнение 1 Плотность распределения максимального выборочного значения Xmax (N ) = maxnN {n } д. с. в. U [a, b ], равна -a N -1 max . Аналогично вычисляется плотность pN (x ) = bN a x -a - b распределения минимального выборочного значения: N -1 min pN (x ) = bN a b-x . Вычислите средние значения Xmax и - b -a Xmin и убедитесь, что они являются асимптотически точными при N , а оценки 1 N Xmin (N ) - Xmax (N ), aN = N -1 N -1 1 N bN = Xmax (N ) - Xmin (N ) N -1 N -1 -несмещенными оценками a и b , т. е. E aN = a и E bN = b .
Упражнение 2.1
А.М. Чеботарев, Физический факультет МГУ Кафедра Квантовой статистики и теории поля