Äîêóìåíò âçÿò èç êýøà ïîèñêîâîé ìàøèíû. Àäðåñ îðèãèíàëüíîãî äîêóìåíòà : http://shamolin2.imec.msu.ru/FPM.pdf Äàòà èçìåíåíèÿ: Wed Oct 12 14:18:34 2011 Äàòà èíäåêñèðîâàíèÿ: Mon Oct 1 19:40:57 2012 Êîäèðîâêà:

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. .
. . . e-mail: shamolin@imec.msu.ru, shamolin@rambler.ru 517.925+531.01+531.552 : , , , . , , , , , , . , , , . , . , . , . (, ). . . , , . Abstract M. V. Shamolin, Dynamical systems with variable dissipation: Approaches, methods, and applications, Fundamentalnaya i prikladnaya matematika, vol. 14 (2008), no. 3, pp. 3--237. This work is devoted to the development of qualitative methods in the theory of nonconservative systems that arise, e.g., in such fields of science as the dynamics of a rigid body interacting with a resisting medium, oscillation theory, etc. This material can call the interest of specialists in the qualitative theory of ordinary differential equations, in rigid body dynamics, as well as in fluid and gas dynamics since the work uses the properties of motion of a rigid body in a medium under the streamline flow around conditions. , 2008, 14, 3, . 3--237. c 2008 , « »


4

. . The author obtains a full spectrum of complete integrability cases for nonconservative dynamical systems having nontrivial symmetries. Moreover, in almost all cases of integrability, each of the first integrals is expressed through a finite combination of elementary functions and is a transcendental function of its variables, simultaneously. In this case, the transcendence is meant in the complex analysis sense, i.e., after the continuation of the functions considered to the complex domain, they have essentially singular points. The latter fact is stipulated by the existence of attracting and repelling limit sets in the system considered (for example, attracting and repelling foci). The author obtains new families of phase portraits of systems with variable dissipation on lower- and higher-dimensional manifolds. He discusses the problems of their absolute or relative roughness, He discovers new integrable cases of the rigid body motion, including those in the classical problem of motion of a spherical pendulum placed in the over-running medium flow.


1. , 1.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. . . . . . . . . . . 1.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5. . . . . . . . . . . . . . . 1.6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8. , . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9. . . . . . . . . . 2. 2.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5. S1 { mod 2 }â R1 { }, 2.6. S1 { mod 2 }\{ = 0, = }â R2 {z1 ,z2 }, . . . . . . . . . . 2.7. , . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 8 8 10 12 13 15 16 17 20 24

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

26 . . . 26 . . . 29 . . . 33 . . . 34 . . . 39 . . . 48 . . . 51


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5

3. : 3.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. , . . . . . . . . . . . . . . . . .



56 . . . 57

. . . 58 . . . 61

4. 4.1. ---- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4. , 4.5. . . . 4.6. , . . . . . . . . . . . . . . . 4.7. . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. 5.1. ( ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. ( ) . . . . . . 5.3. , , . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67 . 67 . 72 . 75 . 77 . 81 . 88 . 92 . 93 95

. . . . . 96 . . . . . 99 . . . . . 100 106

6. 6.1. . . . 6.2. . . . . . . . . . 6.3. . . . .

. . . 107 . . . 108 . . . 111


6 6.4. 6.5. 6.6. 6.7. 6.8. 6. 9. 6.10. 6.11. 6.12. 6.13. 6.14. 6.15.

. .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , . . , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

113 116 118 119 124 12 6 12 9

. 13 1 . 13 3 . 13 4 . 13 7 . 140 141 . 142 . 146 . 148 . 15 5 . 15 7 159 . 15 9 . 162 . 166 . 170 174 . 17 7

7. 7.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2. , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3. . . . . . . . . . . . . . . 7.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8. 8.1. . . . . . . . 8.2. . . . . . 8.3. . . . . . . . . . . . 8.4. 8.5. 8.6. . . . . . . . . . . .


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7

9. 9.1. . . . . . . . . . . . . . 9.2. , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3. . . . . . . . . . . 10. , 10.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2. . . . . . . . . . . . . 10.3. . . 10.4. . . . .

177 . 18 0 . 18 3 . 18 6

190 . 191 . 195 . 197 . 204 207 209


. , .


, , , , , , . , , , .


8

. .

, . , . , . (, ). . . , , .

1. ,
1.1.
(, ) : . . , (1669 .). (. , . ) , XVIII . , . , . , . . . , . , 1745 . : , -- . , . , , . , , .


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9

XVIII . , . , XIX . . , . . . , , . 1.1.1. . . . . . . , , , , . . , , , . , . , . . . . [135, 136] ( « »). , . [136]. . . « » , - ( ) , . . . , . , . . . . [266, 267]. [266]. , .


10

. .

1.1.2. , . , , . . . [388, 389, 391--395, 399, 401, 461]. . -- , . , ( ), [164] - (, , , ). , XIX ., . [164], ( (, ) ). , , , . , , , , , . . : [206] ( L-A-), [157] (. [24, 54--56, 72, 73, 83, 199, 219, 220, 244]). , , ( , , . .). , . , .

1.2.
. , [152, 154] , . , [148, 149]


: , ,

11

. [173--176] . ( [213], . [60]). , , . . , . [152, 154]. , , . [173--176]. . [39--42]. . , , [41], -- [40]. [202] . , . , , , . , , , . [203], , . [201] . . . .


12

. .

1.3.
, «» . , . , , . . , , , . , . . , , , . , , , , , (. . ) . , -- . « » . . , , , , , , . , , «» ( , , , , ) [113, 238, 266, 267] [250] ( ). , , , .


: , ,

13

. , [132, 178--180, 229] , . , , , . [130, 227] . . , [132--134, 228, 231], .

1.4.
, m , . , S ( N ), . , , , . , , . , . , : 1) AB ; 2) , C , S (. 1).

. 1. ( )


14

. .

1.4.1. Dxy z , z , Dz x . 2) , 1) (. 2).

B x v D N A y
. 2.

C S

: v = |v| -- v D (. . 2), -- v x, -- z . , S v s1 (S = s1 v 2 ). s1 s1 = 1 P cx , 2

cx ( -- , P -- ). , , . « », = D , v

D -- ( D). cx (, ), . . s1 (, yN ) (, ). ( ) s1 yN N (, ). (t) 0, (t) 0.


: , ,

15

yN (, ) yN (0, 0) = 0, , yN = D(k - h ), k h -- . s1 , , . S s(, ) = s1 (, ) sign cos . 1.4.2. s, k , h, . , -- s -- . k , h . , s, k - . [113, 400] (. [122, 129, 131, 137, 246, 384]). , k > 0. h, .

1.5.
Dx, Dy , ( -- DC , I -- ): v=- v - sv 2 , m (1) (2) (3)

sv 2 + v - = 0, m hD I = sDv 2 k - . v

v = 0, 1 (vdt = Dd1 ), = D/v (. ) d () = v () D() = v d1


16

. .

sv D, m Ds I = (I - mD2 h) + sD3 k, m 1 k D s D2 = - 1+ h + sD + I m I v =-

(4) (5) , (6)

, (5), (6), . : , = , - I + 2 kmD D + 1+ Is hsD s + - 2D m km km = b = const,

I + sD D2 h - D k - 2I m + sD
3

k+

Is hsD k s +2- m mD m

= ksD3 b.

, , , b . h = 0 , , = . , h = , . , h = , .

1.6.
. . . . . . . . k , h , , , 3. .


: , ,

17

: ( ) , . , , : , . . . [123, 124]. . , , , . (, ) , [46--48]. , , . , , , . , . , , , .

1.7.
, , . (0, /2), , /2, . , yN s , . . (0, /2). , .


18

. .

, . (, ), (), . , . [200]. , -- [79, 80, 200]. ( ) () , «» , . . , /2, . , . 1.7.1. , (7) mwc = F, I = M, (. (1)--(3)), : Fx , (8) v cos - av sin - v sin + 2 = m v sin + av cos +v cos - = 0, (9) D I = yN (, )Fx , = . (10) v , , Fx , , (v, ) s(, ) (, Fx (, v , ) = -s(, )v 2 ). , s(, ), yN (, ) , . 1.7.2. , ( , h = 0). , .


: , ,

19

, (yN ,s) . . . , 2 - (yN () , s() ), : yN () > 0 (0, ), yN (0) > 0, yN ( ) < 0 ( {yN } = Y ); s() > 0 (0, /2), s() < 0 (/2, ), s(0) > 0, s (/2) < 0 ( {s} = ). yN , s + . , y
N

Y,

(11) (12)

s . , yN () = y0 () = A sin Y, s() = s0 () = B cos , A, B > 0,

(13) (14)

, . . . F () = yN ()s(). , F -- - , : F () > 0 (0, /2), F (0) > 0, F (/2) < 0 ( {F } = ). , F . , F = F0 () = AB sin cos (16) (15)

( . . ). Y . , . . , , , - ( ). . , ,


20

. .

. , . , , , . , , . .

1.8. ,
, . . 1. . , : yn s , , ? 2. . , , . . , , . , . . 3. . 1.8.1. . , yN s , ,


: , ,

21

. , , , yN s , yN () s() (0, /2) - . 4. , . , 10, , , , . , . 1.8.2. 3, (8)--(10) , , . , , , «» , . , . . 1.8.3. , . . , (16)


22

. .

[218, 230, 232, 233, 407]. (16) ( (13), (14)) , ( . 5, 6, 8). 1.8.4. , , , , ( . 6 8, [269, 270, 274, 275, 279--282, 284--287, 291--294, 296, 300--302, 304, 306, 308, 311, 315, 320, 323--325, 329, 331, 336, 337, 347, 349, 353, 360, 368, 402, 404, 406, 408, 409, 423, 429, 433, 440, 449, 455]). -- . , , . , , ( . 3). . , . , , . , , . , ( . 3) [236]. , 3 , .


: , ,

23

, , . 1.8.5. , (. 3), -- . , , , . . [9--21, 43, 49, 51, 70, 71, 78, 82, 85--87,102,103,106,110--112,114,139,143,146,147,159--162,165--172, 182, 183, 197, 198, 207--211, 214--217, 237, 240, 244, 248, 258, 264, 265, 386], , [22, 23, 25--31, 35--38, 44, 45, 52, 53, 58, 59, 68, 69, 101, 109, 115--117, 119, 119, 120, 138, 142, 144, 145, 150--158, 163, 181, 184--196, 204, 205, 241--243, 251--257, 261--263, 268, 385, 387, 390, 396--398]. [23] ( , ) . , , ( ). , -- [241, 242] , [241] , , , ( 4). , , , . [214, 215], , .. , . . 4 ,


24

. .

. , . . . .

1.9.
5 ( ) ( ) . , , . 6 , . . , . , . , , 7. -- . . () . 8 . , , . , . , , . .


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25

9 . () ( ) --. 10 . . , , , ( --). . . () . , . . . (), , , . , , , . , -, , , . , , . , : . , ! , .


26

. .

2.
1, [178, 179], , . , . . , . , , , . , ( , , « »), . . (. [1, 25, 28, 49, 70, 81, 84, 88, 89, 95, 96, 99, 103, 105, 108, 114, 119, 138, 147, 150, 156, 177, 182, 197, 215, 225, 228, 230, 239, 244, 245, 256, 262, 272, 291, 292, 295, 303, 309, 312, 313, 322, 330, 335, 338, 340, 343--347, 356--359, 361, 365, 366, 371--375, 420, 425, 426, 433, 444, 458--460]). , , . (, ), ( , , ). . , , (. [3, 4, 25, 70, 214, 230, 234, 303, 330, 332, 351, 354, 358, 359]).

2.1.
, - ( ) . , , . , , (. [359, 361]).


: , ,

27

, . , , . , () ( ) [147, 150]. - ; -- - , - , , . , . ( ) . , ( ), ( ). , (., , [246]). , , ( ) : , , , [292, 295, 324]. , , -- . , , , . , (. . ). , , , , , , , .


28

. .

, ; (. [12, 23, 32--34, 65, 85, 110, 112, 204, 230, 241, 242, 275, 279, 281, 282, 288, 299, 310, 317, 339, 364, 380, 396--398, 403, 410, 427, 428, 437, 443, 451--454]). , ) , , . . ( ) (. [247, 259, 260, 271, 276, 277, 289, 290, 297, 318, 334, 336, 359, 378, 379, 405, 406, 408, 409, 411, 414--417, 421, 438, 439, 441, 442]); ) , ( ) , . , (. [5, 6, 90, 91, 228, 230, 235, 295, 298, 303, 307, 309, 326--328, 346, 347, 412, 419, 422, 431, 432, 436, 445, 448, 450, 456, 457]); ) , . () (. [232, 234, 273, 278, 283,305,316,333,348,350,376,413,418,424,434,435]); ) , , , . , , (., , [61--67, 321, 338, 361, 379, 381--383, 439, 442, 446]). , « » . . . . . . . . , . .


: , ,

29

2.2.
2.2.1. , , , , , ( ). , , -- -- . , , () . . () -- [19]. , , . , «» , ( «»). («» ), ( ), . ( «» ). , , . , . .


30

. .

, , , ( . [178, 230, 232, 292, 295, 309, 327, 370]). 2.2.2. , ( ) . , , , , : = a sin + b + 1 sin5 + 2 sin4 + 3 2 sin3 + 4 3 sin2 + 5 4 sin , = c sin cos + d cos + 1 sin4 cos + 2 2 sin3 cos + + 3 3 sin2 cos + 4 4 sin cos + 5 5 cos . ( ) ( ) . , , , , [336, 359]. , () (, () ), , , , (() ), (, , ) (), ( ). . ( ) , . , [232] , . ( ). , = + sin , = - sin cos


: , ,

31

. 3.

( ) , , [230] ( . 3). , ( , ) . , R2 {, } . ( ) . -- ( (. . 3)) -- . (2k, 0) (2k + 1), 0 , k Z. (k, 0) , (2k, 0) S2k S2k+1 , S2k+1 S2k+2 (2k +1), 0 . + k, (-1)k . 2 -- ( (. . 3)) -- , . . Sk = -


32

. .

, R2 {, } . . (, , (-/2, ) (3/2, )) , . , , , . , , . , . , , , , [230]. 2.2.3. , . , (., , [292, 295, 309, 327, 370]) , . , ( ). , , . . , [304, 316, 336, 337, 348, 359, 413, 418, 424, 434, 435, 445] . , . . , . , 1/. [318].


: , ,

33

.

2.3.
, . , . , , T V(, ) = - + f (),
T T

= g (),

f ( + T ) = f (), g ( + T ) = g (),
T

T : div V(, ) d =
0 0

g () d = - + f () +
0

f () d = 0.

- f () + g () = 0, ¨ f () . , , (. [306, 336, 339, 354, 359, 438, 447]). . (n + 1)- , Rn {x} â S1 { mod 2 }, -- T > 0. (, , ) div(x, ). () ,
T

div(x, ) d
0

( ) . (, S1 { mod 2 } ) . , () . ( , ).


34

. .

2.4.
( ) = f (, sin , cos ), k = fk (, sin , cos ), k = 1,...,n, (17)

S1 { mod 2 }\K âRn { }, = (1 ,...,n ), f (u1 ,u2 ,u3 ), = , 1,... ,n, u1 , u2 , u3 : f (-u1 , -u2 ,u3 ) = -f (u1 ,u2 ,u3 ), f (u1 ,u2 , -u3 ) = f (u1 ,u2 ,u3 ), fk (u1 ,u2 , -u3 ) = -fk (u1 ,u2 ,u3 ). K , S1 { mod 2 }. u2 , u3 f (u1 ,u2 ,u3 ) , . -, , -, , -- , - (17). fk (, sin , cos ) dk = , d f (, sin , cos ) = sin (k = 1,...,n) dk fk (, , k ( )) = , d f (, , ( )) (- ) = ( ), = , 1,... ,n.

, , (. . ), . (17) . , , . 2.1. (17) . (17). , , , , , . , f , , k ( ) ( = , 1,...,n) -- , .


: , ,

35

S1 { mod 2 }â R1 { }. , , ( , ) > 0 [230, 334, 377] (. . 3 , -) = - + sin , = sin cos , (18) (19)

= - + sin cos2 + 2 sin , = sin cos - sin2 cos + 3 cos

(, ) d = , d - + d + [ 2 - 2 ] = d - + + [ 2 - 2 ] . (18) (19) , . , , ( ) , [230, 232]. , (18) ( , , ): 2 - 4 < 0: [2 + sin +sin2 ] â â exp 2 - 4 > 0: 2 + + 2 - +4
2

arctg

2 + sin sin 2 - 2 +4 â
-4 -
2

= const;

2 - 4sin

â 2 + - 2 - 4 = 0 :

2 - 4sin

-4+

= const;

|2 + sin |â exp -

sin 2 + sin

= const.

(19) (. 4, 5, 6, , -). , , . ´ = 2 n2 , 0


36

. .

. 4.

. 5.

. 6.


: , ,

37

(19) d -n2 + [ 2 - n2 2 ] 0 0 = , = - sin . d + n2 + [ 2 - n2 2 ] 0 0 C1 = 2 - n0 , - n0 = u1 , C2 = n0 , C3 = -2 - n0 . u 1 = v1 t 1 ,
2 v1 = p1 ,

+ n0 = v1 , 2 t1 p n0

v1 = 0, : 2p
1

C1 t1 + C2 +

1

=

dp1 [C3 - C1 t2 ]. 1 dt1

p

-1

= q1 p1 = 0 q1 = a1 (t1 )q1 + a2 (t1 ),

a1 (t1 ) = 2(C1 t1 + C2 ) , C1 t2 - C3 1 a2 (t1 ) = 4t1 . n0 (C1 t2 - C3 ) 1

( t1 .) q
1

(t1 ) = k (C1 t2 - C3 )Q(t1 ), 1

k = const,

Q C1 t C1 = 0, e 1 , 2 C2 arctg - C1 t1 C3 , C1 > 0, Q(t1 ) = e -C1 C3 C2 C1 C3 -C1 t1 +-C3 , C1 < 0. -C t - -C
11 3

k t1 , k (t1 ) = 4 n0 Q-1 (t1 ) (C1 t2 1 t1 dt1 . - C3 )2

, (19) Q
0 -1

(t1 )q

2 1 (C1 t1

- C3 )

-1

4 - n0

t1

Q-1 (1 )
t0

1 d1 = C 0 , 2 (C1 1 - C3 )2

C = const. , C1 , . .


38

. .

. C1 = 0. e-
u1 v1

v

-2 1

+

2 2

u1 +1 v1

= const.

, (19) C1 = 0 . . C1 > 0. - = arctg - C1 t1 . C3 - e 4n0
2
C2 -C1 C3



C 2 sin 2 +cos 2 -C1 C3

+const,

, C1 > 0 . . C1 < 0. C1 C2 n0 = C2 > 1, C1 C3 2 - -1 - 1 - -3 + -1 +1 +const,

-C1 t1 + -C3 = . -C1 t1 - -C3

C1 < 0 . , , : 1) (17) ; 2) ( ), «» ; 3) ( ) , , . , . cos 2 cos = -z2 + sin , z2 = sin cos - z1 , z1 = z1 z2 , (20) sin sin S1 { mod 2 }\{ = 0, = }â R2 {z1 ,z2 }


: , ,

39

( ) [359],
2 - z1 / dz2 = , d -z2 +

dz1 z1 z2 / = . d -z2 +

(21)

, (20) ; , z1 = ln |z1 |. , (. . ), [295, 309], , , ( , ) () (21). , (17) , , . (18), (19) . , (17) , . : , .

2.5. S1 { mo d 2 } â R1 { },
( ) x = ax + by + f1 x3 + f2 x2 y + f3 xy 2 + f4 y 3 , y = cx + dy + g1 x3 + g2 x2 y + g3 xy 2 + g4 y
3

R2 {x, y }. , , - a- c b d-


40

. .

. , b = 0. - , ad - bc = 1. y = tx, , [at + bt2 + f1 tx2 + f2 t2 x2 + f3 t3 x2 + f4 t4 x2 - c - dt - g1 x2 - g2 tx2 - - g3 t2 x2 - g4 t3 x2 ] dx +[ax + btx + f1 x3 + f2 tx3 + f3 t2 x3 + f4 t3 x3 ] dt = 0. , . : g1 = 0, f1 = g2 = 1 , f2 = g3 = 2 , f3 = g4 = 3 , f4 = 0. 2.2. R2 {x, y } x = ax + by + 1 x3 + 2 x2 y + 3 xy 2 , y = cx + dy + 1 x2 y + 2 xy 2 + 3 y
3

( , ) , .
. [at + bt2 - c - dt] x- -
3

dx +[a + bt]x +[1 + 2 t + 3 t2 ]x3 = 0, dt = u du +[a + bt]u = -1 - 2 t - 3 t2 . dt

at + bt2 - c - dt 2

a bt at+bt+-c-dt 2 , . , b = 0, . .

x y

·

= (a - d)

x +b-c y

x y

2

.

2.1. = a sin + b + 1 sin3 + 2 sin2 + 3 2 sin , = c sin cos + d cos + 1 sin2 cos + 2 2 sin cos + 3 3 cos


: , ,

41

a, b, c, d, 1 , 2 , 3 , . , (18)
a = , b = -1, c = 1, c = 1, d = -, d = 1 = 2 = 3 = 0, 1 = -, 2 = 0, 3 = .

(19) --
a = , b = -1, . ( ) . 2n - 1. , 2.2. 2.3. (2n +3)- R2 {x, y } x = ax + by + 1 x2 y = cx + dy + 1 x
n-1

+ 2 x2

n-2

y + ... +

2n-2

x2 y

2n-3

+

2n-1

xy y

2n-2

,

2n-2

y + 2 x

2n-3 2

y + ... +

2n-2

xy

2n-2

+

2n-1

2n-1

(22)

( , ) , .
(22) 2n - 1+4 , 4n , 2n + 1 ( ). 2.2. = a sin + b + 1 sin2 +
2n-1 n-1

+ 2 sin2
2n-2

n-2

+ ... +
2

2n-1



2n-2

sin ,

= c sin cos + d cos + 1 sin
2n-1

cos + 2 sin

2n-3

cos + ... +

cos

a, b, c, d, 1 ,...,2n-1 , .
. (18), (19), , , (, ), (17), . , , , «» (19), (., , . 7--16 -- . 17--24 -- ,


42

. .

) [286, 305].

. 7.

. 8.

. 9.


: , ,

43

. 10.

. 11.

. 12.


44

. .

. 13.

. 14.

. 15.


: , ,

45

. 16.

. 17.

. 18.


46

. .

. 19.

. 20.

. 21.


: , ,

47

. 22.

. 23.

. 24.


48

. .

2.6. S1 { mo d 2 } \ { = 0, = } â R2 {z1 ,z2 },
(20), (21),
2 2 = -z2 + (z1 + z2 )sin + sin cos2 , 2 2 z2 = sin cos + z2 (z1 + z2 )cos - z2 sin2 cos - z 2 2 z1 = z1 (z1 + z2 )cos - z1 sin2 cos + z1 z 2 2 1

cos , sin , , :
2 2 2 dz2 + z2 (z1 + z2 ) - z2 2 - z1 / = , 2 2 d -z2 + (z1 + z2 )+ (1 - 2 ) 2 2 dz1 z1 (z1 + z2 ) - z1 2 + z1 z2 / = . 2 2 d -z2 + (z1 + z2 )+ (1 - 2 )

cos , sin

(23)

uk , k = 1, 2, zk = uk . (21) du1 - u2 u1 u2 du2 1 + u2 = , + u1 = , d -u2 + d -u2 + , , du2 1 - u2 + u2 - u2 2 1 = . du1 2u1 u2 - u1 (24)

, 1 - u2 + u2 2 d + du1 = 0, u1 (, z1 ,z2 ) (. [328, 331])
2 2 z1 + z2 - z2 + 2 = const. z1

(23) + u2 3 (u2 + u2 ) - u2 3 - u2 du2 1 2 1 + u2 = , d -u2 + 3 (u2 + u2 )+ (1 - 2 ) 1 2 du1 u1 3 (u2 + u2 ) - u1 3 + u1 u2 1 2 + u1 = , d -u2 + 3 (u2 + u2 )+ (1 - 2 ) 1 2

(24).


: , ,

49

. 25.

(20) T S2 ( - ): ¨ sin = 0, + cos +sin cos - 2 cos 1 + cos2 ¨ + cos + = 0. sin cos sin . 25 ( = , z1 = cos ). : ax + by + cz + c1 z 2 /x + c2 zy /x + c3 y 2 /x dz = , dx dx + ey + fz dy gx + hy + iz + i1 z 2 /x + i2 zy /x + i3 y 2 /x = , dx dx + ey + fz

(25)

(21), (23), 1/x. , , y = ux, z = vx, , (25) x dv ax + bux + cv x + c1 v 2 x +v = dx dx + eux + gx + hux + iv x + i1 v 2 x du +u= x dx dx + eux + + c2 vux + c3 u2 x , fv x + i2 vux + i3 u2 x , fv x

dv a + bu + cv + c1 v 2 + c2 vu + c3 u2 - v [d + eu + fv ] = . du g + hu + iv + i1 v 2 + i2 vu + i3 u2 - u[d + eu + fv ]


50

. .

[g + hu + iv + i1 v 2 + i2 vu + i3 u2 - du - eu2 - fuv ] dv = = [a + bu + cv + c1 v 2 + c2 vu + c3 u2 - dv - euv - fv 2 ] du. (26) , , 15- (26). : g = 0, i3 = e, h = 1 , i1 = 0, i1 = 0, i = 0, c2 = e, i2 = 2 , c = h, 2c1 = i2 + f. (27)

1 ,...,8 : i3 = 3 , d = 4 , e = 3 , 2 + 5 , c2 = 3 , c3 = 8 . f = 5 , a = 6 , b = 7 , c = 1 , c1 = 2 , (26) (27) 6 + 7 u +(1 - 4 )v +(2 - 5 )v 2 /2+ 8 u2 dv = , (28) du (1 - 4 )u +(2 - 5 )vu . , (26), d (1 - 4 )v (2 - 5 )v +d u 2u
2

g = 0,

i = 0,

+d

6 - d[7 ln |u|] - d[8 u] = 0, u

(x, y , z ) y (2 - 5 )z 2 /2 - 8 y 2 +(1 - 4 )zx + 6 x2 = const. - 7 ln yx x (29)

, , , , : dz 6 x + 7 y + 1 z +(2 - 5 )z 2 /2x + 3 zy /x + 8 y 2 /x = , dx 4 x + 3 y + 5 z dy 1 y + 2 zy /x + 3 y 2 /x = . dx 4 x + 3 y + 5 z 2.3. = 4 sin + 3 z1 + 5 z2 , z2 = 6 sin cos + 7 z1 cos + 1 z2 cos + cos 2 + 5 2 cos 2 cos z2 + 3 z1 z2 + 8 z1 , + 2 sin sin sin cos 2 cos z1 = 1 z1 cos + 2 z1 z2 + 3 z1 sin sin (30)


: , ,

51


S1 { mod 2 }\{ = 0, = }â R2 {z1 ,z2 },

, , , , . , (30)
1 = 3 = 7 = 0, 2 = 6 = 1, 5 = 8 = -1, 4 =

(20).
(25) (29), .

2.7. ,
2.7.1. [230, 232] (. . E2 ) , , ( , ) . , , () . [295, 296, 309] () (. . E3 ), . , , () . . , (. [28, 53--56, 92--99, 199]) ( , n-) . ( . . . . ) . , « » . , () ( )


52

. .

, () . , . 2.7.2. so(4) , E4 ( ) , D3 . N D -- , v D , C , (. [312--314, 319, 320, 322, 324, 325, 329, 336, 343--345, 351, 357, 362, 367, 372, 375, 440, 457]). D3 , S = s1 ()v 2 , s1 -- CD, Dx2 , Dx3 , . Dx1 x2 x3 x4 , Dx1 Dx4 . Dx1 x2 x3 x4 diag{I1 ,I2 ,I3 ,I4 }, -- , so(4), , so(4), (. [253, 256]) + +[, + ] = M, (31) = diag{1 ,2 ,3 ,4 }, -I1 + I2 + I3 + I4 I1 - I2 + I3 + I4 , 2 = , 1 = 2 2 I1 + I2 - I3 + I4 I1 + I2 + I3 - I4 3 = , 4 = , 2 2 M -- , so(4), [... so(4) : 0 -6 5 6 0 -4 -5 4 0 3 -2 1 R4 , ] -- so(4). -3 2 , (32) -1 0


: , ,

53

1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 -- so(4). s1 s1 () = s() sign cos . (0,x2N ,x3N ,x4N ) -- N Dx1 x2 x3 x4 , {-S, 0, 0, 0} -- , (33) R4 â R4 - so(4), R4 so(4). so(4) (34) (0, 0,x4N S, 0, -x3N S, x2N S ) R6 M so(4), = , (v, , 1 ,2 ) -- D R4 , x2
N

= R()cos 1 ,

x3

N

= R()sin 1 cos 2 ,

x4

N

= R()sin 1 sin 2 .

: (4 + 3 )1 +(3 - 4 )(3 5 + 2 4 ) = 0, (2 + 4 )2 +(2 - 4 )(3 6 - 1 4 ) = 0, (4 + 1 )3 +(4 - 1 )(2 6 + 1 5 ) = x4N S, (3 + 2 )4 +(2 - 3 )(5 6 + 1 2 ) = 0, (1 + 3 )5 +(3 - 1 )(4 6 - 1 3 ) = -x3N S, (1 + 2 )6 +(1 - 2 )(4 5 + 2 3 ) = x2N S. 2.7.3. R4 , : A B (41) vB = vA +AB, wB = wA +2 AB + E AB, so(4), E = so(4). E ( ) . (41) R4 . (35) (36) (37) (38) (39) (40)


54

. .

2.7.4. , v = |v| = const. (42)

, () , (42) (. [230, 309]). CD (42) (. [232]). 2.7.5. I2 = I3 = I4 . (43)

(35)--(40): 0 0 0 1 = 1 , 2 = 2 , 4 = 4 . :
0 0 0 1 = 2 = 4 = 0.

(44)

R(),s() , . [230, 266, 267] , R() = A sin , A > 0, s() = B cos , B > 0. (45)

, so(4), ( n2 = AB /2I2 ) 0 3 = n2 v 2 sin cos sin 1 sin 2 , 0 5 = 6 = -n2 v 2 sin 0 22 n0 v sin cos sin 1 cos 2 , cos cos 1 . (46) (47) (48)

z1 = 3 cos 2 + 5 sin 2 , z2 = -3 sin 2 cos 1 + 5 cos 2 cos 1 + 6 sin 1 , z3 = 3 sin 2 sin 1 - 5 cos 2 sin 1 + 6 cos 1 , (49) (50) (51)

so(4) â R4 ( (42) (44)) :


: , ,

55

= -z3 + n2 v sin , 0
2 2 z3 = n2 v 2 sin cos - (z1 + z2 ) 0

cos , sin (52)

cos 2 cos + z1 sin sin cos cos - z1 z2 z1 = z1 z3 sin sin cos , 1 = z2 sin cos 2 = -z1 . sin sin 1 z2 = z2 z
3

cos 1 , sin 1 cos 1 , sin 1

(53)

(52), (53) (52). , , . z1 , z2 - z = (52), (53) = -z3 + n2 v sin , 0 z3 = n2 v 2 sin cos - z 0 cos z = zz3 , sin z =
2 1+ z z 2 2 2 z 1 + z 2 , z =

z z

2 1

(54)

cos , sin

(55)

cos cos 1 , sin sin 1 zz cos , 1 = 2 1+ z sin cos 2 = -Z1 (z, z ) . sin sin 1

(56)

(57)

, (52) : (55) (56) (, ) -- . , (55)--(57) (55), -- (56) , «» (57). (55) [309]. :
2 z 2 + z3 - n2 vz3 sin + n2 v 2 sin2 0 0 = C1 = const, z sin z3 z , , sin = C2 = const. G sin sin

(58) (59)


56

. .

(56)
2 1+ z = C3 = const, sin 1

(60)

, , , «» (57), ± cos 1
2 C3 - 1

= sin{C3 (2 + C4 )},

C4 = const.

(61)

2.7.6. , M 0 ( . so(4) â R4 (M ) . so(n) â Rn n- . , . , , . , , ( ) , , .

3. :
, , , . , ( ) .


: , ,

57

, (. . 1), , . . : . , . 1, , (8)--(10). , . .

3.1.
. , [178, 179] . . , . . . [130] , -- . , , . . , , D (. . 1 2) , . . a, . , ( ),a( ) . a( ) , a(0) = 0,


a( ) =
0

(q )+ (q ) dq .

(62)


58

. .

, - . , k , h. .

3.2.
, s, k , h, . -- s -- . -- k h -- . . . . (. [134, 140, 141, 227, 236]) . . . . : m = 178 , 2 = 35 , D = 30 m = 178 , 2 = 60 , D = 30 , ( ), ( ) (63) (64)

v 150--250 / ( cx = = = 0,82). 0 < < 45. i D L1 ( ) , ai = a(i ) D i = (i ) L1 . . 26--29 ( ). . : 0 = 0, = 0 , 0 = 0 /D. (i ) , . , , , , . « ». , , . 26--29 ,


: , ,

59

. 26.

. 27.

, . , . [126] (. [121]), k k = 0,1, -- 0. h = 0, h = 0,1, h = 0,2. 10-2 --10-3 . . , , , 0 = 00 ; -0,50 ; -10 ; -1,50 ; 0 = 00 ; 0 = 00 ; 0 = -0,02; 0 = 00 .

, 0 = -0,01; -0,015; -0,02


60

. .

. 28.

. 29.

0 = 00 ; 0 = -0,017; 0 = -10 ; -0,50 ; 00 ; 0,50 .

. . 27, 29 ( ) , «» a(i ). (i ) (. 26, 28) h, h = 0,1.


: , ,

61

, , «» «» , , , «» [134, 236]. , , . . , .

3.3. ,
. , , (8)--(10) (11), (13) ( (15)). , (, ) (yN ,s) , «» . (, ), (8)--(10). , v (, ) . v , T, , , CD (. . 2). (8)--(10). , T = 1 ()v 2 + 2 ()v + 3 ()2 , i (), i = 1, 2, 3, -- . (8)--(10) (,v ) 2. , ( t) dq = vdt, v ¯ , (8)--(10)


62 = , v = v (, ), = - + = (, ) =

. .

(65) (66) (67) (68) s() - (, ) ¯ F ()cos + 2 sin + sin , I m

1 F () - (, ), I (, ) - s() ¯ F ()sin - 2 cos + cos , I m (, ) = 1 ()+ 2 () + 3 () 2 . ¯

(66)--(68) (67), (68) , . 3.3.1. , v = v0 = const. (8) ( , , . (69) 0 = (69)

Fx = T - s()v 2 ) v = const.

T ( ), (69). (69) (8)--(10) v cos +v cos - = 0, I = F ()v 2 , (70)

, , v (. [177, 218, 230--233, 259, 260, 269--271, 273, 275, 279, 282]). (70), O=
iZ

i ,

i = (, ) R2 : =

+ i 2

(71)

. , , O .


: , ,

63

, (70) O F () , = A2 F (), (72) = -+ A1 cos 2 v v A1 = , A2 = , I I (15) ( O ). , (16), (72) : = -+ A1 sin , = A2 sin cos , (73) vAB v 2 AB , A2 = . I I (70) O : O (70), O , , . , T. . (69) T m F ()tg . (74) Tv (, ) = m2 + v 2 s() - I ( O .) F () lim = L. /2 cos , |L| < + , F < +. 2 = /2 m 2 Tv , = m2 - Lv , 2 I . , T W , A1 = T
v

mv 2 , = , 2 R0

(75)

R0 -- CW . (74) (75) , , T = Tv O, .


64

. .

3.3.2. (8)--(10) , [231--233, 269, 270, 272]. , , T = -S. (76) (76) (8)--(10), = , v = v (, ), = - + F ()cos + 2 sin , I 1 = F () - (, ), I (, ) = F ()sin - 2 cos . I (77) (78) (79) (80)

(77) ( (65)) , (78)--(80) ( (66)--(68)) -- , . F , (78)--(80), - (15). , (16), (78)--(80) v = v (, ), AB sin cos + 2 sin , = - + I AB = sin cos - (, ), I (, ) = AB sin2 cos - 2 cos . I (81) (82) (83)

3.3.3. (. [132--134, 178, 179, 234, 236, 269, 270, 274, 280, 283, 286]). T 0. (84)

(84) ( (74), (75), (76)) (8)--(10),


: , ,

65

= , v = v (, ), = - + = s() F ()sin - cos . I m (86), (87) . , F , s, (85)--(87), (15), (13). , (16), (14), (85)--(87) (, ) = - 2 cos + v = v (, ), B = - + AB sin cos2 + 2 sin + sin cos , I m 1 = AB sin cos - (, ), I (, ) = - 2 cos + B AB sin2 cos - cos2 . I m (88) (89) (90) s() F ()cos + 2 sin + sin , I m (85) (86) (87)

1 F () - (, ), I

3.3.4. (72) . F () cos ( O ). (15) g . R2 {, } g () = y2 = -+ A1 g (), y1 =

(72) y1 = y2 , y2 = -A2 g (y1 )cos y1 + A1 y2 g (y1 ), . : A2 g (y1 )cos y1 y2 , A1 g (y1 ) , , . , A1 g (y1 ) , .


66

. .

, , y2 , , , , , . , ( , ). R2 {, } , . 3.3.5. (72); (73); (79), (80); (82), (83) . . . , . , (73) = (, ) R2 : - < < 2 2 , = (, ) R2 : < < 3 2 2 : -- (. . ), -- (. . ). . , (73) A1 cos , «» , , «» (. 6). ,
2

A1
0

cos d = 0.

, , , . (86), (87) (89), (90) , . (. 7), .


: , ,

67

. , , . ( ) 8 9.

4.
, , , , , , , . , ; ; , , , ; ; , ; , . .

4.1. ----
4.1.1. -- , , , , , . . [214, 215] (1892 .). . . [9--19] 1930 . 1942 . « ----» ( )


68

. .

, « ». , -- . -- («») . , . , [9--19]. 4.1 ([69,214,215,359]). x1 = X1 (x1 , x2 ,µ), (91) x2 = X2 (x1 , x2 ,µ),

X1 (x1 , x2 ,µ), X2 (x1 , x2 ,µ), µ. µ . i (µ) (i = 1, 2) - ( µ = µ0 ),
d Re i (µ) dµ > 0 (< 0).
µ=µ0

, µ = µ0 . 1) µ = µ0 -- ; 2) µ1 < µ0 (µ1 > µ0 ), µ (µ1 ,µ0 ) (µ (µ0 ,µ1 )) -- ; 3) µ2 > µ0 (µ2 < µ0 ), µ (µ0 ,µ2 ) (µ (µ2 ,µ0 )) -- , , () µ µ0 µ2 |µ - µ0 |.
( ) [69]. , , -- . . 4.1, . 4.2. (91) µ. i (µ) (i = 1, 2) -- - (


: , ,

69

µ = µ0 ), d Re i (µ) dµ < 0 (> 0).
µ=µ0

, µ = µ0 , . 1) µ = µ0 -- ; 2) µ1 < µ0 (µ1 > µ0 ), µ (µ1 ,µ0 ) (µ (µ0 ,µ1 )) -- ; 3) µ2 > µ0 (µ2 < µ0 ), µ (µ0 ,µ2 ) (µ (µ2 ,µ0 )) -- , , () µ µ0 µ2 |µ - µ0 |.
4.2 , 4.1, (91) t -t µ -µ, 4.1. . , , . , , , . , m , , , m - 1 . . ( -- ). , , : , . . (. [69, 359]). 4.1.2. (72) = -+ A1 F () , cos = A2 F () - h, (92)

<< . 2 2 h = 0 (92) (72). h = 0 [273] (. 10). = (, ) R2 : -


70 4.1.

. .

1) A1 > 0, F (0) > 0, F (-) = -F (), F (0 ) > 0 0 0, , 2 A2 F (0) - A2 < 0; 1 2) F C 2 - , , |F ()| < F (0)|| cos (|F ()| > F (0)|| cos ) 22 ( F (0) + 3F (0) < 0 (F (0) + +3F (0) > 0)); d 3) d F () 0 - , . cos 22


1) h 0 ; 2) h = h0 = A1 F (0) -- ; 3) h1 < h0 , h (h1 ,h0 ) (0, 0) -- , , h h0 h1 ( h (h1 ,h0 ) (0, 0) -- ); 4) h2 > h0 , h (h0 ,h2 ) (0, 0) -- ( h (h0 ,h2 ) (0, 0) -- , , h h0 h2 ). [43], . . 3) 4.1 , . 4.1. F = F0 = AB sin cos , AB > 0 (. (16)), 4.1. . 4.2. (92) 4.1, , = (, ) R2 : < < 3 2 2 F ( + ) = -F (). 1) h 0 ; 2) h = h0 = -A1 F (0) -- ; 3) h1 > h0 , h (h0 ,h1 ) (, 0) -- , , h h0 h1 ( h (h0 ,h1 ) (, 0) -- ); 4) h2 < h0 , h (h2 ,h0 ) (, 0) -- ( h (h2 ,h0 ) (, 0) -- , , h h0 h2 ). 4.2 4.1 .


: , ,

71

4.1.3. (86), (87) , , (15), (13). F (0) , B = s(0), n2 = 0 I µ1 = 2 µ = µ1 - µ2 . , . 4.3. (86), (87) , s C 2 - , F C3 - , 22 2 s2 n0 < 2, In = - f3 +4 - 4n2 , f1 = F (0), f3 0 I m . , 2 = F (0), s2 = s (0). B > 0, mn0 µ2 = n0 > 0.

1) In < 0, ) µ1 = µ2 ; ¯ ) µ0 < 2. µ1 < 0, 2 µ = µ1 - µ0 (¯1 , 0) (, 0) -- ; ¯ µ 2 µ2 > 0, µ = µ1 - µ0 (0, µ2 ) (, 0) -- ¯ ¯ ¯ 2 , , ¯ ¯ µ 0 µ2 ; 2) In > 0, ) µ1 = µ2 ; ¯ ) µ0 < 2. µ1 > 0, 2 µ = µ1 - µ0 (0, µ1 ) (, 0) -- ; ¯ ¯ 2 µ2 < 0, µ = µ1 - µ0 (¯2 , 0) (, 0) -- ¯ ¯ µ 2 , , ¯ ¯ µ 0 µ2 . 4.3 µ1 µ2 . 4.2. (16), (14) n0 < 2. 1) 2
B mn0

= n0 ;


72

. .

2) n0 = µ0 < 2. µ1 < 0, ¯ 2 µ = µ1 - µ0 (¯1 , 0) (, 0) -- ; µ2 > 0, ¯ µ ¯ 2 ¯ ¯ µ = µ1 - µ0 (0, µ2 ) (, 0) -- 2 , , ¯ ¯ µ 0 µ2 . . µ1 = µ2 , In = 0,. . . F s . µ1 = µ2 In = 0 (, 0), µ = µ1 - µ2 In . , µ = 0 In = 0 , , [214].

4.2. ,
. . , , . , , , , . , [38]. ( ), . , , , [38]. , . 4.2.1. 1 - . , , , .


: , ,

73

, 1, . , (). , . . . . . . , , , . , , . . . . , . , . . , . (72) . . 4.4. F () = 0 = 0, . 4.3. (15), 4.4 R2 {, }, . . , A1 A2 = 0 (72) ( F ). , . 4.3. ( v ) D , indD v = 1.


74

. .

,

L, D, v |L , , L.

4.3 . 4.2.2. , . , . (. [119, 359]). 4.4. N 2 R3 v . w -- , (w,v )|N 2 = 0.

F ,
(rot F w,n)|N
2

, N 2 , v , [271] ( n -- ).
, , F , Fv . . . 4.5. (72) . A1 = 0, F C
1

-, 22



d F () d cos
2

- , 2 .

,


: , ,

75

. , F (72) . . , (72). . 4.5 . Rn , 1- [103].

4.3. ,
4.3.1. , , , , . . . , , , , . , . , , . . . «, ». . . , . , , , . . , (x, y ), (x0 , y0 ), x0 - x y0 - y x0 +x y0 +y

.


76

. .

[38, 359]. 4.5. = (, y), y = Y (, y) (93)


G = S1 { mod 2 }â R1 {y},

, Y C 1 (G). M : G R, div M v(, y) ( v(, y) = = ((, y),Y (, y))) , . (93), . x0 (93), x0 , (93) (93).
, , , ( ). 4.3.2. , , , (. ), 4.5. 4.4. (92) . |h| A1 max d F () , d cos

(92) , . F , .
, , F , (92) h = 0 , (. 10). h = 0 . . [214, 215, 297], , , ( ), , .


: , ,

77

4.4. ,
, , , ( ) () [214, 215, 297]. 4.4.1. ( ) (91). « ». F (x1 , x2 ), 1) , , ; 2) x1 = x2 = 0 ; 3) , x1 = x2 = 0; 4) , x1 = x2 = 0 X1 2 F - x2 x2 1 +4 X1 X2 - x1 x2 2F X2 2 F - x1 x2 x1 x2 2 2F x1 x2
2

+
2

X1 X2 X1 X2 - x1 x2 x2 x1

-

2F 2F x2 x2 1 2

< 0.

, ( . [214, 215, 297]); 5) , , X
1

F F + X2 = 0, x1 x2

. 1)--5) F (x1 , x2 ) = k , . , 1)--5) . , .


78

. .

(72); (92); (86), (87); (79), (80) S1 { mod 2 }â R1 { } ( S1 { mod 2 }â R1 {}) R2 {, } ( R2 {, }). , , (15), (13). , , , . «» : , , , . , F F X1 + X x1 x2
2

( )0.

F (x1 , x2 ) = const -- , X = {X1 ,X2 } -- . , . , . , , . , . 4.4.2. , . . F (x1 , x2 ) = const -- , , , x1 = - F , x2 x2 = F , x1

, . X1 Y2 - X2 Y1
F x2 F x1

( )0,

Y1 = - , Y2 = -- . . . X = {X1 ,X2 } Y = {Y1 ,Y2 } . = X1 Y2 - X2 Y1 ,


: , ,

79

X Y . , = 0 , X Y . : (X, Y ) = -(Y, X ), (X, Y ) = (X, Y )

. . , = 0 X Y . , , , (72) . ( 4.2) , . , , . 4.6. A1 A2 = 0. F () = 0 = 0 , (72) , F (0) > 0, F (0) = 0. . (72) A1 = 0 (72) . (72) , . , , ,0 . - ,0 , 2 2 , (72) (72) , F 2 () . cos -- A1 A2 {(, ) R2 : = 0}. . . 0 , S0 . (0 , 0) 0 , 0 < 0 < . 2 (0 + , 0), . , S . , , (0 , 0), 0 S . (0 , 0) S . . .


80

. .

4.5. F , (72). (79), (80) . 4.7. (79), (80) = 0 , F () = 0 = 0, F (0) > 0, F (0) = 0. 4.6. F , (79), (80). (86), (87) . 4.8. (86), (87) = 0 , F () = 0 = 0, s()| 0, F (0) > 0, F (0) = 0. 4.7. F , s , (86), (87). . , (86), (87) . (86), (87) O = {(0
, )

{(, ) R2 : > 0}}.

s( ) = F ( ) = 0, 2 2 1 , 2 (0
, )

.

= {(, ) R2 : 0 < < }.

4.9. (86), (87) O . 1 F , s . , O 2 , 2 s()cos - 1 F ()s()+ F ()s()sin = 0 I I (94)

O = . 2
, (94) () (86), (87). . 6. , (86), (87), , (79), (80) (79), (80) . (79), (80) -- (79), (80) = 0.


: , ,

81

4.5. .
4.5.1. , 4.4, . , , , . , . , , , [276, 297]. , . . , . (72) ; (86), (87); (79), (80). 4.1. (79), (80) (86), (87) . (79), (80) (86), (87) : 0 , 4.9. , F , s , 4.9 . . (16), (14), (86), (87) (79), (80) µ1 = B . 2mn0

, µ1 = 0 . . (79), (80) [272], (86), (87) (. 6).


82

. .

(86), (87) (79), (80) , -- . . (86), (87) , , 4.1. 4.2. (86), (87) (79), (80) . (79), (80) (86), (87) : 0 , , F () s() 0, , m cos I sin 2 , . . , F , s , -- . (, 0) cos F () I
2

+

4

=

s() s() 1 F () sin + 2 cos . I m m

(95)

(95) , , 2 : 2 2 = s() ± m s2 () F () sin +4 m2 I s() F () - . m cos I sin (96)

(96), -- (0, 0) ( ( .

, (0, 0), . ), ).

4.5.2. ( .) . , -1 0 ( 0 1 ) , ( (79), (80) ). k = (, ) R2 : = + k . 2


: , ,

83

(86), (87) . , 4.6, 4.7, 4.8, 4.9. 4.6. D , x0 , x0 v1 , A, B D ( A, B ), x0 , V , A B , K D (v1 ,v2 )|R2 > 0 ( v2 = grad V ) K, , , , x0 . ( V = const -- .) D x0 v1 . . . 0 , x0 . {N1 ,N2 } = 0 = ( x0 ) S0 N1 -- 0 . ¯ ¯ ¯ N1 , K. ¯ S , > 0 ( ), ¯ ¯ 1) N , -- ; 2) N N1 ; ¯ ¯ 3) S S . ¯ , , ¯ ¯ 0 N1 , S . S K (v1 ,v2 )|R2 > 0 K, , , , x0 , ¯ N1 S K D . ¯ ¯ S S , 0 . , (86), (87) (, 0), ( , 0) (3 , 0). 2 2 () (86), (87) , . , 4.6 . 4.10. (86), (87) , (79), (80) (86), (87) , , , 0 , 2 3 , 0 . 2 (86), (87).


84

. .

. (86), (87) (15), (13). , . . , (, 0). (86), (87), . , , , 1. , (k, 0), k Z. - +2k, 0 , +2k, 0 (2k, 0), 2 2 -1. (k, 0) ( (k +1), 0), (86), (87) (k, 0) . , . k = 0. (0, 0), - ,0 , 2 ,0 , 2 1 - ,- 2 , 1 , 2 ,

1. 4.9 , , , - 1 ( , ), - 2 (. ). , (86), (87), , 4.9 (, 0). 4.1, . 4.5.3. -- -- (, 0) (86), (87) (15), (13), µ1 = µ2 0 < µ2 < 2 (. 4.1). 4.1 In = 0 . , (, 0) - (, 0) t +, t - ( t -- ). (, 0) ( R2 {, }). (, 0). (86), (87) ( )


: , ,

85

s() F ()cos - 2 sin + sin , I m 1 = - F () - 3 cos + F ()sin + s()cos . I I m (97) (16), (14), F = F0 (), s() = s0 (). = sin , | (97) n2 -n2 - 3 + n2 2 + 2 0 1 - 2 d 0 0 = . d - n2 (1 - 2 ) - 2 + n0 1 - 2 0 2 =-

(97) () = | < 1,

(98)

(98) µ1 = µ2 , B n0 . = mn0 2 = x, = y. (97), (98) {(x, y) R2 : - 1 < x < 1}, x = y - n2 x+ n2 x3 - y2 x+ 0 0 y = -n2 x - y3 + n2 yx2 + 0 0 3n2 3 n2 0 0 x+ x - y2 x, 2 4 (100) n2 3n2 2 0 0 2 3 y = -n0 x+ y - y + yx , 2 4 (99). (99) (100) , , . X Y (X, Y). x =y- 4.3. ((99), (100)) n0 < 2 {(x, y) R2 : - 1 < x < 1} ( ). , ((99), (100)) = n2 2 0 [y - n2 xy + n2 x2 ] 0 0 2 1- x2 2 - 1 - x2 . n0 x 1 - x2 , 2 1 - x2 . (99)

n2 0 y 2

, (100) (99) = (x2 + y2 )1/2 , . .


86

. .

O(5 ). (99) (0, 0) . 4.4. (0, 0) n0 < 2 (100). : . x = y - n2 x+ n2 x3 - y2 x+ x 1 - x2 , 0 0 y = -n2 x - y3 + n2 yx2 + y 0 0 1 - x2 , (101)

> 0. (101) (. ) n0 < 2 . = 1 (101) (101) , = 2 -- (101) , ((101) , (101) ) = (2 - 1 )[y2 - n2 xy + n2 x2 ] 1 - x2 . 0 0 , 2 > 1 {(x, y) R2 : - 1 < x < 1} ( ). , , (101) « » , (101) . , (101) 2 > 1 (101) . (99), , . , . . . , . D, (), , . () x0 . , x0 . . 4.11. D ( ) x0 (). ((), ()) ()


: , ,

87

D, D ( ) x0 ( ) ().
4.11 . , () () () . . . , () (99) ( ), () -- (100) ( ). D, 4.11. 4.5. (100) n0 < 2 {(x, y) R2 : - 1 < x < 1} , , {(x, y) R2 : - 1 < x < 1} . -- . . 3 3 n0 x - y = u, n0 x+y = v 2 2 (100) du u n0 7 + 2 3 12 - v - uv 12 3n0 + dv
2

+ + u2 v = 0. 3n0

u n0 7 +v - + 12 2 3 12

u = tv, v2 = p, v = 0 dp[C1 t2 + C2 ]+2p C1 t - 1 - u 3 tp = 0. n0 C1 = 7 + 2 3n0 , C2 = 7 - 2 3n0 .

p = q -1 dq [C1 t2 + C2 ] + 2[1 - C1 t]q +8 3 t = 0 dt n0 q0 (t) = C C1 t2 + C2 exp
2 C1

(102)

arctg

C2 t/C1

.


88

. .

C , , (102). u = v = 0, . . t . R2 {x, y}. 4.8. (100) -- {(x, y) R2 : - 1 < x < 1}. 4.9. (99) {(x, y) R2 : - 1 < x < 1} .
B 4.10. n0 < 2, mn0 < n0 2 (86), (87) , , .

4.6. ,
4.6.1. , (91) , - [277]. , . , . (79), (80) (86), (87). 4.12. (79), (80) {(, ) R2 : > 0}.

F , ( - (-0, +)).
. R2 {, } . R2 {, }. {(, ) R2 : > 0} . 1 (, y), y = , . (, y) (79), (80) d = dy
y I
4

y+ y2 F ()cos + sin I F () - ycos + y3 F ()sin I

.

-, (79), (80).


: , ,

89

, (0, 0), (0, +) (79), (80). , (0, 0) , . . 4.13. (86), (87) {(, ) R2 : > 0}

F s , ( - (0, +)).
4.6.2. , (91) . , - ( ). , , . 4.7.
1 1. (x1 , x2 ) (x1 , y), y = x2 , , , (x0 , 0), 1 ,

{(x1 , x2 ) R2 : x1 = x0 } 1

. 1 2. (x1 , x2 ) (y, x2 ), y = x1 , , , (0, x0 ), 2 ,
{(x1 , x2 ) R2 : x2 = x0 } 2

.
. , , . , (79), (80); (86), (87) , , (, , , ).


90

. .

. , , 1 1 . x1 = y1 , x2 = y2 , , , , A1 x1 + A2 x2 + A3 = 0, A1 A2 = 0. , , , . 4.6.3. v D . Tq D q D . . v ( E ) D, q D, 1 E , 2 E Tq D v1 ,v2 Tq D 2 - 1 ; . , , v (. [8, 12, 17, 18, 37, 50, 74--77, 276]). 4.8. v D R2 . x0 -- v E . E , x0 , 0 , {A, B } = 0 , A -- v1 , B -- v2 , 1 < 2 , (1 ,2 ) , C , v , A B . ( -, - .) , . . , 0 - . ( 0 ).


: , ,

91

, . , , . . . M 0 1 , 2 , v1 , v2 M . v , [1 ,2 ], M (- ¯¯ ). , > 0 v+ ( + E ) v . , v+ , , v , . v1 v2 , 1 < 1 < 2 < 2 . . , . 4.14. v ( E ) S2 [277] . (S) (N) . 1 - , , , 2 > 1 - , , . -- , ( N S), , . . = 0 (1 ,2 ), , () , ( ) ( ). . . . , . ¯¯ (¯ ) , ¯ . 4.8, . . = 0 , < 0 , > 0 -- . . = 0 . = 0
U0 = { : | - 0 | < }, U0 . . .


92

. .

. 4.12 4.13. , 4.14, ( ), (- , 0) -- . 2

4.7.
. . « » . [26, 27, 49, 214, 215, 289, 311, 334, 336, 337, 352, 377, 405, 421]. , , . . 4.9. x = f (t, x,µ),
1 n+1

(103)

µ M R D R {x,t}. (x0 ,t0 ) D (x (t),t) µ = µ0 Rn {x} . Uµ0 µ = µ0 M µ, x(t, µ) (x1 ,t1 ) (x (t),t) Rn {x} -- , x (t), t R, Rn {x}, ( ).
. x1 x (t) (103) (x1 ,t1 ) (x (t),t) µ = µ0 . , > 0 t T1 µ1 µ0 T1 , t1 |x (t) - x0 (t)| < . x (t) -- (103) µ = µ0 (x1 ,t1 ), x0 (t) -- (103) µ = µ1 .


: , ,

93

, > 0 - Ux1 x1 Rn {x} (74) µ = µ1 T1 > 0. x (t), Rn {x}, . Rn {x} Rn+1 {t, x}. 4.9 .

. Rn {x} (103) Rn+1 {x,t} Rn {x} [336, 337]. . Z1 x (t) Rn {x}, Z1 . , Z2 Rn {x}, Z2 x (t) . 4.11. Z1 Z2 . , . 6, 8, R3 R4 .

4.8.
4.8.1. . () 1 Rn , [214, 215, 290, 297, 315, 411, 416, 417]. 4.10. D Rn , x0 v1 , x0 , D ( ), x0 , v, , K D (v1 ,v2 )|Rn > 0 (v2 = grad V ) K, , , , x0 . ( v = const -- .) D


94

. .

, v1 , .
. . 0 , {N1 ,N2 } = 0 = N1 -- ¯ 0 . N1 ¯ K. S , ¯ , > 0 ( ), ¯ ¯ 1) N , -- ; 2) N N1 ; ¯ ¯ ¯ 3) S S . , , ¯ ¯ 0 N1 , S . S K K, , , , x0 , ¯ N1 S K D . ¯ S , 0 . ¯ S , . . , . D, (), , . () x0 . . v1 , v2 -- Rn . v1 () n. n , . = (n, v2 ). 4.11 . 4.8.2. . . , . . () , {X1 ,X 1 ,...,Xn ,X n } x = {x1 , x1 ,..., xn , xn } : Xi = -xi + Fi (x), X i = Gi (x) + F i (x), dG(0) 0.


: , ,

95


n

=
i=1

(Xi Y i - X i Yi ),

Y Y = {Y1 ,Y 1 ,...,Yn ,Y n }, Yi = -xi , Y i = Gi (x).

, . 8, 9, .

5.
( ) , , . () . , , , . , , , . ( ) , . , . , , , , [112]. , , . , , . . . , . . , ,


96

. .

. , , , . , «» . , ( ) , . ( «») . , () ( ). ( ) ( ) . , , () , ( . ). [19]. , , , , . 3-, 4-,..., n- . . . , n- , , , n-1, , , n - 1.

5.1. ( )
[9, 15, 17--19], , [188], , . . , ,


: , ,

97

, , , . . , ( ). , , . , , , . , , . . [38]. ( ) [19, 25]. X r (M ) -- C r - 1. X, Y X r (M ) M C r -, r , h : M M , X Y , ; , p M > 0, > 0, 0 < t < , hXt (p) = Yt h(p) t (0,). h X Y . , Xr (M ). , . X Y , h, t; , hXt (p) = Yt h(p) p M t R. . -- , , , ( ) , , [19, 25], , , . , [19], , . , [396--398], . --, . -- . :


98

. .

, . , . V -- X X r (C r ). , , , , V , X Y , C 0 - (. . M ). , , , , -- . , . r. C r [396--398]. . [396]. X r (M ) . , ( ). , . . , , . - , . , . , - . , , [15, 209--211] , [20, 23] -- , . [209--211] , . [241, 242]. . :


: , ,

99

M n (C r ) C r - ( r = 1). ( ), (C r ) , (B ), B C r . . v M n ( X (B ), B ), T 1M n C 0 - U (B ) v, U (B ) T . , C 1 -, -- C 0 -. , . , 1) , ; 2) C 1 - .

5.2. ( )
, , (B ) . . v M n , T 1M n C 0 - U (B ) v, v U (B ), , T . , C 3 -. , n- . C 2n+1 - . . v M n n- , , , n - 1, T


100

. .

1M n U (B ) v, U (B ), , n - 1, T .

C 0 - v

5.3. , ,
, ( ) , . ( ) (8)--(10). , , , . 5.3.1. : , , , , , , . () . , ( ), , . . (72) (15). 5.1. (72) . , (72) . . (), (72); F . . 5.1 . 1. F (72) . 2. ( ) (. . 3) : «» (. 6) «».


: , ,

101

3. , . -- h , -- . : (0, 0) (, 0) ( , ). , (72) F1 (), F2 (). t t g1 , g2 . , h . S1 . (72) F = F1 F = F2 . h(p) = p ( ) p S1 , h(p1 ) = h(p1 ) h(p2 ) = h(p2 ). p1 , p2 , k = 1, 2,-- 1 2 1 2 k k S1 , (72) F = Fk , S-1 S0 ( ). q , t t R, g1 (q ) = p S1 . h(q ) = -t -t t = g2 (p) = g2 g1 (q ). , h . 4. h (, 0) (, 0) . 5.1. (72) (15) ( ) (106), . . (79), (80) (15). . 5.2. (), (79), (80), () = (1 ) (2 ) (3 ),

:
1) (79), (80), (1 ), (3 ) (. . 4, 6), (); 2) (79), (80), (2 ) (. . 5), (); 3) (2 ) (); 4) (1 ), (3 ) (). , (k ), k = 1, 2, 3.


102

. .

5.3.2. . ( 10) (92) (15) . , (92) h = 0 . 5.3. (), (92) h = 0, () = (1 ) ... (N1 ) (1 ) ... (N2 ),

:
1) (92) h = 0, (k ), k = 1,...,N1 , () ; 2) (k ) k (); 3) (k ), k = 1,...,N2 , (). «» ( ) (92) h = 0 . 30--37. , ( (92) h = 0 ) «» -- . . (86), (87) (15), (13) I (. 7). , , F s, (86), (87), (B ).

. 30. ()


: , ,

103

. 31. ()

. 32. ()

. 33. ()


104

. .

. 34. ()

. 35. ()

. 36. ()


: , ,

105

. 37. ()

5.4. (B ), (86), (87), (B ) = (B1 ) (b1 ) (B2 ) (b2 ) ...,

:
1) (86), (87), (Bi ) i N, () ; 2) (86), (87), (bi ), (B ); 3) (bi ) (B ); 4) (Bi ) (B ). , , , , (Bi ) i, . , , ( 7). J2 , (Bi ), (bi ), (0, 0) J2 {µ1 ,µ2 }. . 7--16. . (86), (87) (15), (13) II, III (. 7). , F s, (86), (87), (B ), . 5.4. . 17--24.


106

. .

, () . () , , (. [447]). 5.3.3. , . , -- () . , . ( ) ( , , . 8, 9). , . ( ) . , «» , . () , . (72); (78)--(80); (81)--(83); (85)--(87); (88)--(90), . 8, 9 . , 4, 5.

6.
, , -


: , ,

107

. . , , . , (79). 3.3, (72) (15). x, y , CD . : (x , y , , x, y,), = , x = v cos( + ), y = v sin( + ). (104)

, (x, y,) . . , , , [221--226]. , ( ) . .

6.1.
6.1.1. (70), , . -, , { = 0 mod , = 0}. , CD (. . 1 2). -, O (71). O , W ; CD W . /2.


108

. .

. «» . , . (. ), , , . 6.1.2. (72) (15) : 1) . (k, 0), k Z, - , (, ) k - - k + ;

2) . i , i Z (. (71)), - , - (, ) /2+ i - - . , (, ) R2 : = k, k Z 2 /2+ i + ,

. ¯ L= (, ) R2 : = v F () I cos .

( O .)

6.2.
. (73), , (72) (. 2).


: , ,

109

6.2.1. , . . 2 . . Rn . 6.1. , . , . 6.1. . , (70) . , (72) ( (73)), [303]. 6.2.2. 6.2. (73) , . . (73) O = sin , y = -+ A1 dy A2 =- + A1 , d y =
y



( 2 - A1 + A2 ) d = - d . ( ): 1) A2 - 4A2 < 0. 1 ln( 2 - A1 + A2 )+ 2A1 -A2 +4A2 1 arctg 2 - A1 -A2 +4A2 1 +ln 2 = const;


110 2) A2 - 4A2 > 0. 1 ln | 2 - A1 + A2 | + 3) A2 - 4A2 = 0. 1 A1

. .

A2 - 4A2 1

ln

2 - A1 - 2 - A1 +

A2 - 4A2 1 A2 - 4A2 1

+ln 2 = const;

A1 A1 |- +ln | | = const. 2 2 - A1 , 1) A2 - 4A2 < 0. 1 ln | - [2 + A1 + A2 2 ] â exp 2A1 -A2 1 A2 1 - 4A2 +4A2 arctg 2 + A1 -A2 +4A2 1 = const;

2) A2 - 4A2 > 0. 1 2 + A1 +

A 2 -4 A 2 -A 1

1

â



â 2 + A1 - 3) A2 - 4A2 = 0. 1 |2 + A1 | exp - .

A2 1

- 4A2

A 2 -4 A 2 + A 1

1

= const;

A1 2 + A1

= const.

6.2. A1 = 0 . 6.2.3. 1 dy2 = - A2 g (y1 )cos y1 + A1 g (y1 ). dy1 y2 , , . . [136]. = sin y1 , y1 = k , k Z, cos y1 , 2 1 dg (arcsin ) dy2 = - A2 g (arcsin )+ A1 . d y2 d , (16), , . , . , , .


: , ,

111

6.3.
, . . , . . . . [178]. . AB , OD O, (. 38). . AB . v = 0. , . S , N -- , vD D OD. . , S , vD , N , D vD .

. 38.


112

. .

e = OD/ ( -- OD) . 2 S = s1 ()vD e, s1 (. 1). D s() = = s1 () sign cos (13), N (. . DN = y()) y . -- {yN }, 1 (. (11)). , F () = = y()s() (15). ¨ (105) I = -F ()v2 ,
D

-- (. 38), I -- . , vD cos = v cos , vD sin = +v sin , v = |v|. , (16), (105) ¨ (106) I + h cos +sin cos = 0, I ,h > 0. . (73) - A1 cos + A2 sin cos = 0, ¨ (107)

A1 ,A2 > 0. , (107) (106), = + . , , [230, 232]. , (16) , F , (15). , ¨ I + f ()[v2 sin cos + v cos ] = 0, f (), = arctg 0 < f f () f < + +v sin , vcos


: , ,

113

. 39.

(15). , , . , 4, 5, , (105) . (107) . 39, . , (107), ( ) (. 5).

6.4.
(72) (15) R2 {, }. F (72) . , (72) , - - R2 {, }. 4 ( 4.6) , (k, 0), k Z ( , ), (72), , . - (72) , .


114

. .

6.4.1. (72) (15). 1. (k, 0), k Z, (72) k = 2l, l Z, k = 2l +1. A2 F (0) - 4A2 < 0 1 , A2 F (0) - 4A2 > 0 --, 1 A2 F (0) - 4A2 = 0 -- . 1 2. i O Si (72) (2i +1) , (-1)i A1 . 2 i -- , . - , () ( ) S-1 S0 . , S-1 ( , S0 ), (72). . 6.4.2. , 4) 0 .
2

, . S0 ,

( , . (72),
0

6.1. , < -A1 .



(. 4). 6.4.3. . (72) R2 {, }. (72), 6.1 - - 3 , 0 . 2 . 6.3. 1. , S-1 , - . 2. .


: , ,

115

3. (72) S1 { mod 2 } â R1 {}, , . , , . 4. y1 = , y2 = -+ A1 F () cos

R2 {y1 , y2 } . 39 ( -- y2 , -- -y1 ). 5. (72) . 3 ( -- -).
. , . , , , . , , . , . . . (1988 .), , , , . (72) , (72) (15) (. 5). , (72) . , (72), () . , . 10 , h = 0 (92) . h (92) (15), , , . . . . .


116

. .

: , , . , : , , , . , : , , [289, 377]. . . , , .

6.5.
(72) , (15), , (73): = + sin , = - sin cos . = , x = cos( - ), y = sin( - ). = 2 AB = 2 n2 > 0. 0 I (108)

(109)

(108) > 0 . 3, (0 , 0 ) = 1 (t, 0 , 0 ), = 1 (t, 0 ,0 ) (108). , (109)


: , ,
t

117

= 1 (t, 0 ,0 , 0 ) = 0 +
t0

1 (, 0 ,0 ) d ,
t

x = x1 (t, x0 ,0 , 0 ,0 ) = x0 +
t0 t

cos 1 (, 0 , 0 ) - 1 (, 0 ,0 , 0 ) d ,

y = y1 (t, y0 ,0 , 0 ,0 ) = y0 +
t0

sin 1 (, 0 , 0 ) - 1 (, 0 ,0 , 0 ) d .

, : t0 = 0, , = 1 t, = 1 = , 0 = 2 (t, 0 ), 2 t, 0 , = 2 (t, 0 ), 2
t 1

0 =

, 2

0 = - , 2

x0 = y0 = 0.

t, - , , 0 = 2 (t, 0 ) = - + 22 2
0 t

2 (, 0 ) d ,

x = x1

t, 0, , 0 , - 2 2 t, 0, , 0 , - 2 2

= x2 (t, 0 ) =
0 t

cos 2 (, 0 ) - 2 (, 0 ) d ,

y = y1

= y2 (t, 0 ) =
0

sin 2 (, 0 ) - 2 (, 0 ) d .

(108), (109), . 6.2. 2 (t, 0 ) - , 2 (t, 0 )+ , x2 (t, 0 ) , 2 2 2 (t, 0 ), y2 (t, 0 ) -- t ( 0 R). , 0 (-, +) . 6.4. R2 {x, y} F x2 (t, 0 ), y2 (t, 0 ) = 0 0 R Oy.


118

. .

6.6.
6.6.1. (108) . . (69) {(v,, , x, y,) R6 : v = const > 0}, -- S1 { mod 2 } â R1 {}. (16), (73). - (73). , , . . R3 {x, y,} , , S1 { mod 2 } -- R2 {x, y} . . (69), (108) R3 {v,, }, , , R2 {, }, {(v,, ) R3 : v = const > 0}. (108). , R3 {v,, }. , , «» R3 {v,, } . 6.6.2. R2 {, } (108) . R2 {, }. , . . , - + l, (-1)1 2 3 + l, (-1)1 , l Z, 2


: , ,

119

(. . 3). -- , ( {(, ) R2 : = 0}) -- . (2k, 0) (2l + 1), 0 , l, k Z. (k, 0), , (2k, 0) S2k-1 S2k , S2k S2k+1 (2k +1), 0 . Sk = + k, (-1)k . 2

-- ( ) -- , . . (108) , R2 {, } , , . .

6.7. ,
(109), . 6.7.1. 2 (t, 0 ), 2 (t, 0 ), t 0 (-, ), -- ,
t+

0,

lim 2 (t, ) = .

0
t+

lim 2 (t, 0 ) = 0,

t+

lim 2 (t, 0 ) = .

, , (. [230, 232]). R2 {x, y}, t + . , .


120 6.3.

. .

1. T > 0 (T < 0) 0 (-, ),
+

I1 (0 ) =
0

2 (t, 0 ) dt > T (< T ).

(110)

2. I1 (0 ) 0 . 6.5. r 0 (-, ), I1 (0 ) = r. , I1 : (-, ) R

.
, , 0 (-, ) t ± , Oy: t + -- , t - -- . . , t + I1 (0 ), . . (110). , 0 . 6.3 (, ) I2 : R (-, ). I3 : S1 (-, ),
mo I1 d : (-, ) S1 = R/2 Z. mo I1 I1 d , I2 I3 . I1 0 (-, ) r, 2 , Oy. r 2 , mo ( t +). I1 d Oy t + .


: , ,

121

6.7.2. R2 {x, y}, (108), (109) 2 (t, 0 ), 2 (t, 0 ), 2 (t, 0 ), x2 (t, 0 ), y2 (t, 0 ), . . , 0 . > 0 , I1 (0 ). , 1) ; 2) Oy. . - FT. , I1 -, FT , 0 (-, ). S1 E1 S1 , E1 E2 . E1 E2 (), . . 6.6. E1 = E2 1 (S1 ), Z. E1 = E2 , E2 , - 1 (S1 ) â S1 = Z â S1 . 6.4. FT 1 (S1 ) â S1 = Z â S1 . 6.7. 0 (-, ) R2 {x, y}, FT, , , : , 2 Oy. 6.8. E1 = E2 , FT = 1 (S1 ). , , , t + , Oy. , , . 6.9. I1 (0 ) , (-, ) Z â S1 . : 0 (-, ) R2 {x, y} «» (q, ), q Z, R, mod 2 , «» .


122

. .

6.7.3. 0 , . . Ox. mo {n } (-, ), I1 d (n ) = /2 n N. , n , . Ox L1 . 6.2 t - t +. , 1 (n N) ( - +) (. 40).

. 40.

. Oy. mo {n } (-, ), I1 d (n ) = 0 n N. , n , . Oy L2 . 6.2 t - Oy L2 Oy. , n (n N) ( - +) 2L2 (. 41). (. 6.8) : FT 1 (S1 ). x(t), y(t) R2 {x, y} (


: , ,

123

. 41.

S1 , .

(108), (109)), S1 .

6.7.4. (108), (109) > 0. , Oy > 0. : L2 . L2 :
+

L2 = L2 (0 , ) =
0

cos (t, 0 ) - (t, 0 ) dt.

(t, 0 ), (t, 0 ) -- 2 (t, 0 ), 2 (t, 0 ) (108) > 0. 6.5. > 0 L2 (0 , ) 0 (-, ) L2 (0 , ) = l2 (0 , ) · 2 ,

l2 (0 +0.)

, ) =0

, l2 (0 , )|

=0

. (


124

. .

6.10. (108) l2 (0 , ) 0 -- , L2 (0 , ) R.

6.8. ,
, . 6.8.1. , , . 2 (t, 0 ), 2 (t, 0 ) t 0, 0 ( , +). 2 (t, 0 ) 0 ( , +) -- t T (0 ): 2 (t + T (0 ), 0 ) = 2 (t, 0 ), 2 (t, 0 ) 2 : 2 (t + T (0 ), 0 ) = 2 (t, 0 )+2. T (0 ) 0 ( , +). 2 (t, 0 ) > 0 t R, 0 ( , +), t t = t2 (, 0 ) . t2 (, 0 ) > 0 R, 0 ( , +). T (0 )
5/2

0 < T (0 ) =
/2

d . 2 (t2 (, 0 ), 0 )+ sin

6.6. T (0 ) ( , +),
0 +0

lim

T (0 ) = +,

0 +

lim

= +0,

dT (0 ) < 0 0 ( , +). d0

, T (0 )
T : ( , +) (0, +).


: , ,

125

x2 (t, 0 ), y2 (t, 0 ) 0 ( , +). 6.2 x2 (t, 0 ) -- , y2 (t, 0 ) -- t. (109) d x2 (t, 0 ) = cos 2 (t, 0 ) - 2 (t, 0 ) , dt d y2 (t, 0 ) = sin 2 (t, 0 ) - 2 (t, 0 ) . dt 0 . 2 (t, 0 ) T (0 ) = 2 (T (0 ), 0 ) - 2 (0, 0 ) = 2 (T (0 ), 0 )+ > 0, 2 2 (t, 0 ) > 0 t R, 0 ( , +). = 2 (T (0 ), 0 ) - 2 (0, 0 ), , , = 2 . ( - ) = 2 (T (0 ), 0 ) - 2 (T (0 ), 0 ) - 2 (0, 0 )+ 2 (0, 0 ). 6.3, 6.6 ( - )(0 ) 0 ( , +). ( - )(0 ) - (0 ). - < - (0 ) < 2. , . 6.7. D < 0 0 ( , +), - (0 ) = D. T (0 ), . . t = T (0 ): d x2 (T (0 ), 0 ) = cos z, dt d y2 (T (0 ), 0 ) = sin z. dt

, x2 (t, 0 ) = cos f (t), y2 (t, 0 ) = sin f (t), f T (0 ) = z . 6.8. cos f (t) sin f (t) , z . 6.9. ( , +) K, : 0 K , x2 (t, 0 ) y2 (t, 0 ) (0 ). K ( 0 K) x2 (t, 0 ), y2 (t, 0 ) (0 ), x2 (t, 0 ) y2 (t, 0 ) ,


126
(0 )

. .
(0 )

x2 (t, 0 ) dt =
0 0

y2 (t, 0 ) dt = 0.

(111)

(111) K, y2 (t, 0 ) t, d d y2 t + , 0 = x2 (t, 0 ) 0 K. dt 2 dt . 6.10. (t): {(x, y) R2 : x = x2 (t, 0 ), y = y2 (t, 0 )}

R2 {x, y} , 0 K.
6.11. 0 ( , +) -- . 6.12. (65), , , . 6.8.2. . . 4.9, . 6.11. , R2 {x, y} (108), (109), . , -- . . 42 43 . . , -- , . , .

6.9.
, .


: , ,

127

. 42.

. 43.

«» , . , . : , , . . 1. . , . , .


128

. .

, . 2. . , , . , . 3. . , . . . : , . . , - . . . , , . , . -- () . . , . , . , . «» 2 .


: , ,

129

. , , , . . ( ) . . , . , , () -- , . , , . , , . , , ( ) , . , .

6.10.
6.10.1. , (8)--(10), (104) (76), . -, , , = -, = F ()v2 , , , vD , D -- . 6.3, .


130

. .

-, , (8)--(10), (104), , . , . (8)--(10) -- (8)--(10), (104), , (104). , x, y. , (8)--(10), (104) : vcos( + ) - sin = C1 , vsin( + )+ cos = C2 , C1 ,C2 = const. . , , . , , . , , v, , , . (104) . , v, , . (104) {x, y}. , , (8)--(10) , . 6.10.2. (76) (8)--(10),
2 0 (v,, ) = v2 + 2 2 - 2 v sin = vc

(112)

. (77)--(80) , 2 (113) 1 (v,, ) = v2 (1 + 2 2 - 2 sin ) = vc . (113) , (78)--(80), , vc = 0
2 v2 = vc (1 + 2 2 - 2 vsin )-1 .


: , ,

131

R1 {v} â S1 { mod 2 } â R1 { } + (78)--(80) , , , (113) ( ) (78)--(80) . (112) -- ( ) (8)--(10) . () (78)--(80). (78)--(80) {vc = const} , , v const.

6.11. .
(8)--(10) , . (78)--(80) , . : (78)--(80) R1 {v} â R2 {, } + (79), (80) S1 { mod 2 }â R1 { } R2 {, }. 6.11.1. = 2k, k Z, = (2k +1), = + l, 2 = - +2l, l 2 = +2l, l 2 l Z, Z, Z, = 0, = 0, v = v1 , v = v2 , v = v3 , (114) (115) (116) (117) (118) ((118), (114), k Z, = 0,

1 = - , = 0, v = v4 , 1 = , = 0, v = v5 .

{vi }5=1 -- . (114)--(118)) i R1 {v} â R2 {, } + ), (78)--(80). , (117), (68), W C ; ,


132

. .

(115), . , (116), : , . 6.11.2. (79), (80). R2 {, }, : = 2k, k Z, = (2k +1), = + l, 2 = - +2l, l 2 = +2l, l 2 l Z, Z, Z, = 0, = 0, = 0, (119) (120) (121) (122) (123) k Z,

1 = - , = 0, 1 = , = 0.

, , (119)--(123), . 6.12. (78)--(80) R1 {v} â R2 {, } F , (15), + = 1 (q ) 0 = const, = 1 (q ) 0 = const, v = v1 (q ) v0 = const. 6.12 6.13. 6.13. (79), (80) (15) {(, ) R2 : sin 2 = 0}. , , (119)--(123), (79), (80). . (113) F , 6.13 (79), (80) (15). . , , (79), (80) 6.12 6.13 .


: , ,

133

6.12. ,
6.12.1. . , , n2 = 0 F (0) . I

1. , (119), : n0 < 2 , n0 = 2 -- , n0 > 2 -- . 2. , (120), : n0 < 2 , n0 = 2 -- , n0 > 2 -- . 3. , (121), . 4. , (122), (123), , , . , (122), (123) . [13]. 6.14. (79), (80), (15), , (122), (123), . (82), (83) . , (81)--(83). 6.12.2. (78)--(80) , . , (78)--(80), (, ), R1 {v}â R2 {, }. + . p R3 {p, , } v {(v,, ) R3 : v > 0}. M, : ¯ M = M1 M,


134 M1 =

. .

(p, , ) R3 : =

1 F () , I + i . 2

¯ M, , ¯ M=
iZ

Mi ,

Mi = (p, , ) R3 : =

, , p . M ( ) p . . (79), (80) (15) . (79), (80) ( (72)) . , -/2 - + k -/2+ + k , k Z,

- , - .

6.13.
(78)--(80) (113). ( ) . , , (), . , . , , . (81)--(83) (78)--(80), , [212, 232, 272]. 2. , . (82), (83) -n2 + [ 2 - n2 2 ] d 0 0 = , d + n2 + [ 2 - n2 2 ] 0 0 = - sin .

: C1 = 2 - n0 , C2 = n0 , C3 = -2 - n0 . - n0 = u1 , + n0 = v1 , u1 = v1 t1 ,
2 v1 = p1 ,


: , ,

135

v1 = 0, : 2p
1

C1 t1 + C2 +

2 t1 p n0

1

=

dp1 [C3 - C1 t2 ]. 1 dt1

p

-1

= q1 p1 = 0 q1 = a1 (t1 )q1 + a2 (t1 ),

2(C1 t1 + C2 ) 4t1 . , a2 (t1 ) = C1 t2 - C3 n0 (C1 t2 - C - 3) 1 1 ( t1 .) a1 (t1 ) = q
1

(t1 ) = k (C1 t2 - C3 )Q(t1 ), 1

k = const,

Q C1 t C1 = 0, e 1 , 2 C2 arctg - C1 t1 C3 , C1 > 0, Q(t1 ) = e -C1 C3 C2 C1 C3 -C1 t1 +-C3 , C1 < 0. -C t - -C
11 3

k t1 , k (t1 ) = 4 n0 Q-1 (t1 ) t1 dt1 . (C1 t2 - C3 )2 1

, (82), (83) Q
-1

(t1 )q

2 1 (C1 t1

- C3 )

-1

4 - n0

t1

Q-1 (1 )
t0

1 d1 = C, 2 (C1 1 - C3 )2

C = const. , C1 , . . . C1 = 0. e-
u1 v1

- v1 2 +

2 2

u1 +1 v1

= const.

(124)

, (124) (82), (83) C1 = 0 . , (73) A2 - 4A2 = 0. , 1 (124) {, } n0 = 2 exp - - n0 vsin + n0 vsin 2 2 +2 v sin +v ( + n0 vsin )2
2

= const.

(125)


136

. .

, , (112) (78)--(80). , (-2) (125), , (78)--(80): exp 1 - n0 vsin 2 + n0 vsin [ + n0 vsin ] = const. (126)

(126) e3/2 , . 2 + n0 vsin . + n0 vsin , , Cx vc , vcos = -Vc cos , -vsin = Vc sin - ,

v, , , . , , = y + 2n0 Vc sin , y = -n2 Vc2 sin cos 0 (127)

( , n0 = 2). (127), (73) A2 - 4A2 = 0, 1 exp n0 Vc sin + n0 Vc sin [ + n0 Vc sin ] = const.

(127) 2 + n0 vsin exp [ + n0 vsin ] = const, + n0 vsin (126). . 6.3. , , (82), (83). n0 = 2.
.

C1 > 0.
2
C2 -C1 C3

-

- e 4n0



C 2 sin 2 +cos 2 -C1 C3 - C1 t1 . C3

+const,

= arctg


: , ,

137

, C1 > 0 (. [107]). . C1 < 0. C1 C2 n0 = 2 - -1 - 1 - -3 + -1 +1 +const,

-C1 t1 + -C3 C2 > 1, = . C1 C3 -C1 t1 - -C3 C1 < 0 . , 6.3. 6.13. (82), (83), (122), (123), . 6.14. (82), (83) R1 { } â â S1 { mod 2 } . , (82), (83) S1 { mod 2 } â R1 { }. , , (. [2, 7]).

6.14.
6.14.1. (79), (80). 4.6 ( 4.12) , [277]. - - (k, ±), k Z, . 4.2 , ( 4.7). , (k, 0), k Z, . 2 - , (0, 0), ,0 , 2 - ,0 , 2 1 , 2 , 1 - ,- 2 ,


138

. .

1. (79), (80) . (. 4.2) 4.7, , , , 0 , - 2 . , , - , 0 . . 2 6.14.2. , R2 {, } (2l, 0), l Z, , (2l+1), 0 -- . + l, 0 2 , -- ; -- . i = (, ) R2 : = + i , i Z, 2 [276]. (79), (80) . , , : - (-0, -); {(, ) R2 : = 0} ; , , (- , 0). , 2 [232, 272]. : (
1 ,2 )

= {(, ) R2 : 1 < < 2 },
-/2, /2)

(

= (

/2,3/2)

=.

6.1. n0 > 0. , - , 0 , = 1 2 = 2 (1 < 2 ) (79), (80). , , 1 2 , = i (), i = 1, 2,


2 () < 1 (). 6.2. (n0 ) (-,0) (79), (80) : , - , 0 , . 2


: , ,

139

n0 > (n0 ) (79), (80) .
6.3. n0 , ¯ ¯ < (79), (80) , - , 0 , 2 (, ) R2 : = (, ) > 0 2 3 2 , 0 . 6.4. F , > (79), (80) (0,) . , F n0 , - , 0 . n0 , 2 , , 0 , = -- 2 , > , 6.2. , , - . . 4. 6.14.3. . (79), (80) . 1. - , - , 0 , 3 , 0 . , 2 2 , 0 , - 3 , 0 . , 2 2 , , . . , , , - (- +0, -), - (-0, -), , 1 - , - . , , 2 , . . 4. 2. - , - , 0 , (-0, -). 2


140

. .

(+0, +) , (0,) , 0 . 2 , , 1 , . 2 . . 5. 3. (-,0) ( 6.4). , () ( ) - (-) . 1 2. . 6. (79), (80) (15) . , n0 . . 6.14.4. : , (n0 ) (. 6.4) (82), (83) , - , 0 . 2 (82), (83) . 6.4. (n0 ) , (82), (83), (n0 ) < 2. 6.15. (82), (83) n . 6.
0

2

, n0 < 2 (82), (83) (. 6).

6.15.
(. . 4--6) , q q0 . ,


: , ,

141

{(, ) R2 : > 0} , q q0 (0, +). q t. = v, {(, ) R2 : > 0} , , v . 6.15. , R1 {v}â S1 { mod 2 }â R1 { }, q , + R1 {v}â S1 { mod 2 }â R1 {} . + R1 {v}â S1 { mod 2 }â R1 {} + t = t0 - , q t = t0 . , R2 {x, y} . , , , S2 { mod 2 }â R1 {} (. . 3). , . vc . -- . , , .

7.
-- . . , . -


142

. .

. , .

7.1. .
R2 {, } (86), (87) . (85)--(87) , . : (85)--(87) R1 {v} â R2 {, } (86), (87) R2 {, } S1 { mod 2 }â R1 { }. 7.1.1. v1 , v2 , v3 : = =- + l, l Z; , 2 = 0; v = v1 , (128) (129) (130)

+2l, l Z; 2 = +2l, l Z; 2

1 = - , = 0; v = v2 , 1 = , = 0; v = v3 .

v1 , v2 , v3 -- . (128)--(130) R1 {v}â R2 {, } + (), (85)--(87) (. [230, 272]). 7.1.2. 1. (128). , . 2. (129), (130).
2 vc (v, ,) = v2 (1 + 2 2 - 2 sin ).


2 vc v2 ,

1 , +2l 2

1 2 = vc v3 , - , - +2l 2

= 0,

l Z,


: , ,

143

. d vk = , dt k = 2, 3,

. 7.1.3. (86), (87) R2 {, }, : = 2k, k = (2k +1), = + l, 2 = - +2l, l 2 = +2l, l 2 Z; = 0, k Z; = 0, l Z; Z; Z; = 0, (131) (132) (133) (134) (135)

1 = - , = 0, 1 = , = 0.

(133), (134), (135) , . , (131), (132) , v(q ) = v0 e- (q ) k, (q ) 0.
B m

q

,

v0 = v(0), (136)

k Z,

(136) : , 0, . , d d v = v v, dt dq t-1 . (131)--(135) . , (85)--(87).


144

. .

. () (86), (87) R2 {, } , {(, ) R2 : sin cos = 0}. 7.1.4. , (89), (90) . (86), (87). = -a sin , cos = -
B m

+

B2 m2

+4a(1 + a)(a2 - n2 ) 0 2 (n2 - a2 ) 0

(137) ,

= -a sin , cos = a = a+ = a = a- = n0 -n0 + 2 2 n2 - 4 , 0 -
B m

-

B2 m2

+4a(1 + a)(a2 - n2 ) 0 2 (n2 - a2 ) 0

(138) ,

n0 (-n0 - 2 n2 - 4). 2 7.1. n0 < 2 .

. (86), (87) , 1 (139) 2 + g ()sin - g () = 0, I I F () g () = . cos , (16), g () = AB sin . g () F () = max = g . max (0, ) sin (0, ) sin cos gI = n2 ( (16) n2 = n2 ). 0 (129) , n < 2. (140)



: , ,

145

, (86), (87) (140), (15), (13) . (16) (140), , n0 < 2. (140), (89), (90) , n0 2. 7.1. 1. n2 B >- 0, m a+

(89), (90) , (137) a = a- . 2.
B m 2 (n2 - a2 ), 0 + B2 m2 4a+ (1 + a+ )(n2 - a2 ), 0 +

(89), (90) , (137) a = a+ . 3.
B > 2 (n2 - a2 ), 0 + m B2 m2 4a+ (1 + a+ )(n2 - a2 ), 0 + n2 B >- 0, m a+

(89), (90) , (137) a = a+ . 4.
B < 2 (n2 - a2 ), 0 + m B2 m2 4a+ (1 + a+ )(n2 - a2 ), 0 + n2 B <- 0, m a+

(89), (90) , (138) a = a+ . 5. 1--4 .
7.2. (86), (87) (15), (13) v(q ) = v0 eq , v = v0 (0), (q ) 0 , 0 = (0), (q ) 0 , 0 = (0). < 0,

7.3. (8)--(10), (104) (15), (13)


146 v(t) =

. .

v0 , v0 = v(0), 1 - v0 t (t) 0 , 0 = (0), (t) = 0 d(t) = , dt 1 - v0 t 0 = (0),


(t) = 0 - 0 ln(1 - v0 t), v0 v0 x(t) = x0 + sin(0 + 0 ) - 0 v0 cos(0 + 0 )+ y(t) = y0 - 0 0 = (0), v0 0 ln(1 - v0 t) , x0 = x(0), sin 0 + 0 + 0 v0 v0 0 ln(1 - v0 t) , y0 = y(0). cos 0 + 0 + 0 v0

7.4. R2 {x, y}, (8)--(10),-- x0 + v0 v0 sin(0 + 0 ), y0 - cos(0 + 0 ) 0 0



v0 0

.

7.2. ,
7.2.1. (0 ,0 ) (89), (90). : µ1 = 2 7.2. 1. (129) : , µ2 < 2; , µ2 > 2; , µ2 = 2. 2. (132) : , µ1 (2µ2 - µ1 ) > 4; , µ2 < µ1 , µ1 (2µ2 - µ1 ) < 4; , µ2 > µ1 , µ1 (2µ2 - µ1 ) < 4, , µ2 < 2, , µ2 > 2. 3. (133) . B , mn0 µ2 = n0 .


: , ,

147

4. (134), (135) : , µ1 µ2 < 4; , µ1 µ2 > 4; , µ1 µ2 = 4. 7.2.2. (85)--(87) (86), (87), R1 {v} â R2 {, } , + . , (86), (87), (, ), R1 {v}â R2 {, }. + . d d = v , dt dq R1 {v}â R2 {, } (8)--(10) + , . , (85)--(87) R1 {v} â R2 {, } + (86), (87) R2 {, }. R1 {v} â R2 {, } - , + {v = const}. R1 {v}â R2 {, } + . . v > 0, = {(, , v) R3 : v > 0} R3 {, , v}. p = ln v, ¯ R3 {, , p} ¯ p, . . ¯ {v = const}. R2 {, } , . . R3 {, , p} p v . ¯ ¯ ¯ M = M0 M, , M0 = {(, , v) : (, )cos-1 = 0}


148

. .

¯ (, cos = 0, ), M, , ¯ M=
sZ

Ms ,

+ s}. 2 , , p . ¯ M ( ) v . . F , s (86), (87) (k, 0), k Z, . . (, ) Ms = {(, , v) : = k + k - , - k Z.



, (85)--(87) {(, , v) : = k, = 0}.

7.3.
7.3.1. (86), (87) (, 0) (. 44). .
2

I = OCD II = OBC III = OAB

1

. 44.


: , ,

149

, (139) . , , (140) F , s . , , n0 < 2, F = F0 , s = s0 . M2 = {(µ1 ,µ2 ) R2 : µ1 > 0, µ2 > 0} J2 = {(µ1 ,µ2 ) R2 : µ1 > 0, 0 < µ2 < 2} M2 . . 1. , - - . 4.13 , . - - (k, ±), k Z. , . 2. - -- , . 4.1 ( 4.9) (86), (87) (79), (80). , (86), (87) , . 3. , . , . , 2 - 1. 4. . . . , . . F , s : I: (µ1 ,µ2 ) J2 : s() m cos F () 0, I sin 2 ;


150 II:

. .

(µ1 ,µ2 ) J2 : 0,

, 2 s() F () < , (, 0) -- ; m cos I sin

III: (µ1 ,µ2 ) J2 : 0, , 2 s() F () < , (, 0) -- ; m cos I sin

IV: {(µ1 ,µ2 ) M2 : (, 0) --}. , F = F0 , s = s0 , I, II, III I, II, III, . 44. 7.3.2. (86), (87) I. M2 . 7.3. - , 0 2 - . 7.3 (. 4). 7.5. . 7.6. (86), (87) , . 7.4. (86), (87) I. F ()sin 0 . s() m g (), ^ I g ^



= 0, 2 (, 0) , (. 4.2). g () = -2F (), ^


: , ,

151

7.7. (16). , I B n2 cos - , . 0 m 22 g () = AB cos2 . , F = F0 ^ 7.4. 7.5. 7.4. I , 2 , 0 , - (, 0). 7.3.3. , - , 0 2 , 0 . , 2 , M2 , ( , J2 ). . . ( isp) k = (k1 , k2 ), 1 k1 N0 1+ , l N0 . 4 k2 k1 - 1 , k1 N, 2 k2 = k1 + 1 , k1 N0 , 2 k1 - 1 , k1 N, 4 1 k2 = k1 + , k1 N0 . / 4 N0 = N {0}. isp = k = (k1 , k2 ), , - , 0 , - 2 , - , 0 2 k1 , 2 , , 0 , - 2 , , 0 2 k2 . 2 , , +2l, 0 , l Z, , 2 , - +2l, 0 , 2 l Z. 7.1. isp = k .


152

. .

7.1, . 7.6 (79), (80) «», (86), (87). 7.6. (79), (80), (86), (87), (79), (80), - , 0 3 , 0 . 2 2 : B = max |s()|,
R

µ = 2

B . mn0

F = F0 , s = s0 B = B, µ = µ1 .

7.7. M > 0 µ2 > 0 > 0, µ < , - , 0 , 2 M . , µ s - , M2 . 7.1. , - , 0 . 2 -1 1 . (, , k = = (, ) R2 : = + k .) , -1 2 1 . (79), (80) (. . 4) , - , 0 {(, ) R2 : > 0}, 2 . 7.8. (86), (87) (, ) (130) : - , 2
1



3 , 2

2

,

1 > 2 .

7.1. , 7.8, µ , µ2 µ . , , - , 0 , 2 , -1 2 k1 , k1 N0 . , (79), (80), 1 - +2 (k1 +1), - . () , 2 (. . 4). µ , 1 - +2 k1 , - - 2


: , ,

153

. «» -- -- 1 1 - +2 k1 , - - +2 (k1 +1), - , 2 2 (86), (87) (79), (80) µ 0. k1 N0 . , k2 (. isp). , k2 , k1 N0 . , (79), (80) (86), (87) (-0, -), (+0, +), ( + 0, -), ( - 0, +), , . 7.9. - - +2 l + 1 - 0, - . 2 4 . [38, 277]. µ , - , - ( ) ( ). , - , ( ) - . - , , µ - . . , , . 4 [277]. 7.1. k1 = l + 1 , l N0 . 4 , , 0 , - 2 , - 1 +2 k2 , - 2 , 1 / k2 = k1 + , k1 N0 . 4

, - 1 - +2l, - . 2 7.1 µ µ2 (86), (87). , k2 , k1 k2 ± 1 ( 2 - ) ( 7.9) k2 + 1 4 ( - ). 7.1 .


154

. .

7.3.4. 7.1 (86), (87), I. , . (79), (80) (86), (87). -- . (86), (87) (79), (80) , . , , (86), (87), . ( isp (0, 1/2), (1/4, 1/2), (1, 1/2), (1, 3/4), (1, 3/2), (5/4, 3/2), (2, 3/2), (2, 7/4), (2, 5/2), (9/4, 5/2)) . 7--16 . F s (15), (13) (140). isp : (3, 5/2), (3, 11/4), (3, 7/2) . . (86), (87) I. , . . I. . : . . , . , . , . .


: , ,

155

. , .

7.4.
7.4.1. . . , . (86), (87) II, III ( -). , . , ( 4). : ) - , 0 ; 2 ) - 32 , 0 (- ) - , 0 ( 2
3 2

,- ) 2
2

; .

- ,- )

3 2

, , . -- , «» . 7.1. )--) . . , , ) ). . k1 ) , r Q : r = m, r = 1 + m, m N0 . 4

, k1 = r, ) - 1 - +2r, , r N0 , - +2r - 0, + , 2 2 r N0 . /


156

. .

. k2 ) j , {j N : j = 1, 2, 3, 4, 5}. , k2 = j , ) - (-, 0) , j = 1; - , 0 , j = 2; 2 (0, 0), j = 3; (- - 0, -), j = 4; (-2, 0), j = 5. , ) k1 k2 , . . ) ). . k1 , k2 , , , . , , k1 k2 . 7.4.2.
k2 k2 , , k1 k2 . k = (k1 ,k2 ).

7.2. k ) ). , , , . : , II, III, , , . ( k (0, 1) , (0, 3) , (0, 4) , (0, 2) , (0, 1), (0, 3), (0, 2), (1/4, 3) ) . 17--24. , [234, 274, 278, 283], , . , µ1 , µ2 ( k1 , k2 ), «» . . , k, . - k


: , ,

157

(, (k1 ,k2 ) : , . 17, (0, 1) ).

7.5.
7.5.1. «» 7.1 (86), (87) «» «» , . . IV, , ((137) (138)), . 45.

. 45.

7.10. (86), (87), IV, , , , . , 7.10 , . (8)--(10), (104), 7.3. , (8)--(10), (104) , .


158

. .

, , (86), (87) IV, , , . . , W = {(, ) : > 0} (86), (87) ( -): , -- -- . 7.11. 1. - , 0 2 - . 2. - , 0 2 1 - - , . 2 3. - , 0 2 - W . 4. - , 0 2 - R2 {, }\ W . 5. (-,-/2) (-, 0) - W . 6. (-,-/2) (-, 0) - W . 7. W - W . 8. W 1 - - , 2 W . , 7.11, (. . 45). 7.5.2. (. . 45) D . ( ), , , : 1) ;


: , ,

159

2) , . , ( ) () . «» .

8.
, , . , , , .

8.1.
, [178, 179] (. [57, 100, 104, 249]) , . . 1. , P (. 46). 2. , S , N -- , v D ( CD). D , C P . , DN = R(). 3. , S S = s1 v2 , v -- D, s1 ( , . (13)) : s1 = s1 ().


160

. .

. 46.

, - «» , 1. 4. , CD T, - « ». ( T -- ). T (. 9). 5. Dxyz. , D, , : diag{I1 ,I2 ,I3 }. , CD ( Dx), Dy Dz P . , , . . I2 = I3 . 6. (x0 , y0 , z0 ) D (, , ), . Dx0 y0 z0 Dxyz T3 ()T2 ( )T1 (), (ex0 , ey0 , ez0 ) ex0 ( T1 ()): -- (ex0 , ey0 , ez0 ) - ex0 , e(1) , e(1) , y0 z0
T1 ( )


: , ,

161

ex0 , ey0 , ez T2 ( )):

(1)

(1)
0

ey
T2 ( )

(1)
0

(-

ex0 , e(1) , e(1) - e(2) , e(1) , ez , --- y0 z0 x0 y0 ex0 , ey0 , ez ez ( T3 ()): e(2) , e(1) , ez - (ex , ey , ez ). -- x0 y0 , (ex0 , ey0 , (ex , ey ,z ) cos cos cos sin +sin sin cos sin sin - cos sin cos (ex , ey , ez ), ez0 ). - cos sin sin cos cos - sin sin sin - sin cos , sin cos +cos sin sin cos cos
T3 () (2) (1)

: (x0 , y0 , z0 ,; ; ;x0 , y0 , z0 ,, ,). D(v,, ), Dy P (DN ), , v Dx, -- P . , (x0 , y0 , z0 ,; ; ; , , ) . (v,, , x , y , z , x0 , y0 , z0 ,, ,), . (x , y , z ) = x ex +y ey +z ez , -- . , (x0 , y0 , z0 ,, ,) . . s() = s1 () sign cos . (x, y, z) , R1 {v}â T2 {, }â + â R3 {x , y , z }:


162

. .

vcos - vsin +y vsin sin - z vsin cos + s() 2 T - v, m m vsin cos + vcos cos - vsin sin +z vcos - - x vsin sin - x y - z = 0, vsin sin + vcos sin + vsin cos + +x vsin cos - y vcos - x z - y = 0, I1 x +(I3 - I2 )y z = 0, + (2 +2 ) = y z I2 y +(I1 - I3 )x z = -zN s()v2 , I3 z +(I2 - I1 )x y = yN s()v2 . N (ex , ey , ez ) 0, yN (, ), zN (, ) , yN (, ) = R()cos , zN (, ) = R()sin . (141) : = 1 [x cos - y sin ], cos

(141)

= x sin +y cos , sin [y sin - x cos ], = z + cos x0 = cos cos cos - cos sin sin cos +sin sin sin , v y0 = (cos sin +sin sin cos )cos + v + (cos cos - sin sin sin )sin cos +sin cos sin sin , z0 = (sin sin - cos sin cos )cos + v +(sin cos +cos sin sin )sin cos +cos cos sin sin .

(142)

- : -- DC , m -- . (141) R(), s(), - (. 1). R() (11), s() -- (13).

8.2.
, , (69), .


: , ,

163

8.2.1. (141) (143) x x0 = const, . . . 8.2.2. (. 6) , . . (141) T , (141) v . (141) vcos cos - vsin sin + +z vcos - x0 vsin sin - x0 y - z = 0, vcos sin + vsin cos + +x0 vsin cos - y vcos + x0 z + y = 0, I2 y +(I1 - I2 )x0 z = -zN s()v2 , I2 z +(I2 - I1 )x0 y = yN s()v2 , (144)

, , v. 8.2.3. (144) (143) x0 = 0. vcos cos - vsin sin +z vcos - z = 0, vcos sin + vsin cos - y vcos + y = 0, 2 I2 y = -F ()sin v , I2 y = F cos v2 . cos +z cos cos - y cos sin - vF () = 0, I sin - y cos cos - z cos sin = 0. (146)

(145)

(12), (14) ( (16)), , n2 , 0 , (146) (n2 = AB /I2 ) 0


164

. .

+z cos - y sin - n2 vsin = 0, 0 sin - y cos cos - z cos sin = 0, y = -n2 v2 sin cos sin , 0 z = n2 v2 sin cos cos . 0

(147)

(148)

(147), (148) . , (147) (146) O = {(, , y , z ) R4 : cos = 0}. (149)
2

Dz1 z ( Dyz - ), z1 = y cos +z sin , z2 = z cos - y sin .

(150)

, z1 = z2 , (146) O = -z2 + v F () , I2 cos cos F () 2 z2 = , v - z2 1 I2 sin cos , z1 = z1 z2 sin cos , = z1 sin

(151)

(152)

O = {(, , y , z ) R4 : sin cos = 0}. (151), (152) (16) : = -z2 + n2 vsin , 0 z2 = n2 v2 sin cos - z 0 cos , sin cos = z1 . sin z1 = z1 z
2 2 1

(153)

cos , sin

(154)

(155)

(145) O (151), S1 { mod 2 }â R2 {z1 , z2 }, (. 2). «» , [359].


: , ,

165

8.2.4. (146), , . -, { = 0 mod 2, y = z = 0}, (156)

, CD . -, O, , 6. 8.2.5. O (145) , . , O . , O (145) (141). O O , O \O (151) (v,, ) D. O ( (151) ) : O (145), O , , . , T ( ). . (69) T Tv (, y , z ) = m(2 +2 )+v y z
2

s() -

m F ()tg . I2

(157)

lim
2

F () = L, cos

=

2

T
v

m 2 , y , z = m(2 +2 ) - Lv , y z 2 I2

y , z . , T W , Tv mv 2 , R0 (158)


166

. .

R0 -- CW . (157) (158), , T, . |L| = +, O . 8.2.6. (151) : 1) . (k, 0, 0), k Z, R2 {, z2 , z1 } , (, z2 , z1 ) k - k + -z2 z2 ; -z1 z1 2) . i , i Z, i = (, z2 , z1 ) R3 : = + i , 2 , - (, z2 , z1 ) /2+ i - /2+ i + , z2 z2 z1 z2 z2 - z1 - ; 3) {(, z2 , z1 ) R3 : z1 = 0}, z2 - - z 2 z 2 , z1 -z1 z1 - .

8.3.
. (154), , (141) [359, 361].


: , ,

167

8.3.1. 8.1. (154) . (154), (155) , (154) [328]. (154) z2 +z2 - n2 vsin 2 1 0 = C1 . z1 sin 8.3.2. (154) = 0 (154) . 8.1. (154) ,
0 0 z1 sin = C1 , z2 +z2 + n2 v2 sin2 = C2 , 1 2 0 0 0 C1 ,C2 = const.

(159)

(160)

8.1, . . , (160) (154) . (160) ( n2 vz2 sin , = 0) 0 (154). (154) . 8.3.3. (154) , . u1 = G=
2 C1 - 4[u2 - n2 vu2 + n2 v2 ], 2 0 0

1 {C1 ±G }. 2

(161)

u1 = z1 , u2 = z2 , = sin

( (159)). , u2 , d = w1 = u2 - (n2 v - u2 )du2 0 . 2[u2 - n2 vu2 + n2 v2 ] - C1 (C1 ±G ) 2 0 0 2 n2 v 0 , 2 (162)


168 (162)

. .

2 2[w1

-

n2 v 0 2 - w1 2 n2 -4 0 n2 v2 4 ] 0

(

)dw1 -
C1 2

(C1 ±G )

.

(163)

(163) : n2 v 0 2
(1)

-
(2)

,

=
(1)

dw1 , G1
(2)

=

1 2

2 dw1 ; G1


2 G1 = 2 w1 - n2 v 0 2

2 n2 - 4 C1 0 (C1 ±G ). - 4 2
2 y2 = C1 - 4(x - a), ¯ ¯

a = n2 v 0
2

2 n2 - 4 0 , 4 =
(2)

2 x = w1 , ¯

1 ln |y+ C1 | +const. ¯ 2 dy ¯
2 (¯ C1 ) C1 - y2 +4a y+ ¯

, =±
(2)

.

2 C1 +4a

0. +const,

=±
(1)

1 n2 v 0
2

4 - 2 n2 0

arcsin

2 ¯ C1 y+ C1 + n2 v2 ( 2 n2 - 4) 0 0 2 (¯ C1 ) C1 + n2 v2 ( 2 n2 - 4) y+ 0 0

n0 < 2; =
(1)

1 C1 (¯ C1 ) y+

2 C1 - y2 +const, ¯

n0 = 2;
(1)

=-

1 2n2 v2 0 1
2 n2 0

-4

ln

n0 v

2 n2 - 4+ G1 0 + y+ C1 ¯ n0 v 2 n2 - 4 -G1 0 + y+ C1 ¯ n0 v

C1 2 n2 - 4 0 C1 2 n2 - 4 0

+

+

2n2 v2 0



2 n2 0

-4

ln

n0 v

+const,

n0 > 2.


: , ,

169

8.3.4. , , (159) (154). (154), (155) . . (. ) C1 (159). (154), (155) , dz1 = z2 , d du1 +[-u2 + n2 v] = u2 . 0 d

du1 = ± 2 n4 v2 - 4[u2 - C1 u1 + n2 v2 ], 0 1 0 d , du1
2 n4 v2 0

(164)

- 4[u2 - C1 u1 + n2 v2 ] 1 0

= + C3 ,

C3 = const.

(165)

(165) ( ) 1 arcsin 2 (u2 -
2 C1 + n2 v 2 0 2) 2 v2 ( 2 n2 n0 0

- 4)

.

(166)

: cos2 [2( + C3 )] = G2 = [u2 - n2 v]2 + 2[u2 - n2 vu2 ][u2 + n2 v2 ]+[u2 - n2 v2 ]2 + 2 n4 v2 u2 . 2 0 2 0 1 0 1 0 0 1 . n0 = 2, (167) cos2 [2( + C3 )] = (z2 - n0 vsin )z1 . (z2 - n0 vsin )2 +z2 1 (168) 1 , G2 (167)

= z2 - n0 vsin z1

= 1 , 1/2.


170

. .

8.3.5. (151), (152) . : F () I2 d F () v I2 d cos

. , . . , . ( ), . , . . (151), (152) , .

8.4.
, . , v = 0. , (. 47). S , N -- , vD D . , S , vD , N , D vD . . e .
2 S = s1 ()vD e,


: , ,

171

. 47.

s1 = s1 () = s() sign cos . Ox0 y0 z0 -- . x0 . Dxyz, x , y, z . N Dxyz (0, yN , zN ). R(), , Dyz. (16). R() . (I1 , I2 = I3 -- Dxyz), (x , y , z ) -- Dxyz, , (148):
2 y = -n2 vD sin cos sin , 0 2 z = n2 vD sin cos cos . 0

(169)

(143), (169) x0 = 0 ( ).


172

. .

(, ), . x0 , Oy0 z0 y0 . cos = cos cos , sin cos = cos sin , sin sin = sin . (170)

8.4.1. , (vD ,, ) (, , y , z ) (l -- ) vD cos = -v cos , vD sin cos = lz +v sin cos , (171) vD sin sin = -ly - v sin sin . (142) sin , = -y cos sin = z +y sin , cos = y cos , , y = , cos sin sin . z = - cos cos (172)

(173)

(170), (173), sin y = sin + cos sin z = cos - cos cos , sin .

(174)

(169), (171), (174) x0 = 0. 8.4.2. , , , . 8.2. (.


: , ,

173

2)
2 ¨ sin = 0, + ln2 v cos + n2 v sin cos - 2 0 0 cos 1 + cos2 ¨ + + ln2 v cos = 0. 0 cos sin

(175)

, (175) . , . 8.2. (175) (154). , , . . , -- . (154) (175) , l = - v = v. . l = - , 0 , 0 . 8.4.3. (154) . . , , . . , , : , C1 s(), C1 > 0 (176) ( -- ), C2 R(), C2 > 0. (177) F () 2 v cos , y = - I2 F () 2 z = v sin . I2

(178)


174

. .

-- , v = const. , z1 = -z cos - y sin , = -z2 , z2 = n2 v2 sin cos - z 0 cos , sin cos . = z1 sin z1 = z1 z
2 2 1

z2 = z sin - y sin ,

(179)

cos , sin

(180)

(181)

8.1. (180), (181) (154) , (155). , , : 1) ; 2) ; 3) .

8.5.
(151) R3 {, z2 , z1 }. F (151) . (151) , - - R3 {, z2 , z1 }. , . 8.5.1. - {, z2 , z1 }. {(, z2 , z1 ) R3 : - < < 0, z1 > 0}. (182)


: , ,

175

v F () , I2 cos cos F () 2 z2 = - , v +z2 1 I2 sin cos , z1 = -z1 z2 sin (16) = z2 + = z2 + n2 vsin , 0 (184) cos z1 = -z1 z2 . sin (184) «» {(, z2 , z1 ) R3 : z2 + n2 vsin = 0}, 0 , u = z2 + n2 vsin , 0 (184) = u, u = -n2 v2 sin cos +z 0 cos + n2 vu cos , 0 sin cos 2 . z1 = -z1 [u - n0 vsin ] sin
2 1

(183)

z2 = -n2 v2 sin cos +z 0

2 1

cos , sin

(185)

= 0 (185) ( (185) ) . . 8.3. {(, u, z1 ) R3 : z1 = 0} (186)

(183).
8.2. (186) «» (. . 3, {(, u) R2 : sin = 0} ). () : (
1 ,2 )

= {(, x1 , x2 ) R3 : 1 < < 2 }.

(187)

8.5.2. 4 , .


176

. .

. , . (185) (160), , , (160) (185) . (185) , ( ) (185). (160) «» (185). g1 = {n2 v2 sin cos , u, z1 }, g2 = {z1 cos , 0, sin } -- 0 (160), k = (gk ,v ), k = 1, 2 (v -- (185)), (. 4). 8.4. k 1 (, u, z1 ) = n2 vcos [u2 +z2 ], 0 1 2 (, z1 ) = n2 vz1 sin cos . 0

8.5.3. (185) : ) (0, 0, 0), ; ) (-, 0, 0), ; ) - , 0,Q1 , Q1 [0,n0 ), , 2 Oz2 , ; ) - , 0,Q2 , Q2 (n0 , +), , 2 Oz2 , . ), ) . . . 8.5.4. 8.4 . 1. - , (-/2,0) , ). 2. - , (-,-/2) , ). 3. - (-) , () ( ) ) (-/2,0) ( . ) ) (-,-/2) )


: , ,

177

4. , ), .

8.6.
8.6.1. , D . 1. , . , ( ) t ±. 2. , . , , . 8.6.2. , x0 = 0. , (175):
2 ¨ sin - I1 x0 sin = 0, + ln2 v cos + n2 v sin cos - 2 0 0 cos I2 cos 1 + cos2 I1 cos ¨ + = 0. + ln2 v cos + x0 0 cos sin I2 sin

(188)

. 1. , ) x0 = 0. . 2. , ) x0 = 0. [328].

9.
( 7) -- . .


178

. .

, . . , . , . (141) (zi = zi v, i = 1, 2; = v; = v; v = v v) v = 1 (, Z1 ,Z2 )v + I1 x0 Z1 sin , I2 (189)

2 2 = -Z2 + (Z1 + Z2 )sin +

I1 s() sin , F ()cos + x0 Z1 cos + I2 vI2 m 1 Z2 = F ()+ I2 + + Z2 -1 (, Z1 ,Z2 ) - Z1 = Z1 -1 (, Z1 ,Z2 ) - = Z1
2 2 1 (, Z1 ,Z2 ) = - (Z1 + Z2 )cos +

(190)

I1 x0 Z1 sin - Z1 2 (v,,Z1 ,Z2 ), vI2 I1 x0 Z1 sin + Z2 2 (v,,Z1 ,Z2 ), vI2

(191) (192) (193)

I1 cos x0 Z2 - + , x0 sin v vI2 sin

s() cos , F ()sin - I2 m

2 (v,,Z1 ,Z2 ) = -

cos I1 Z2 I1 x0 + Z1 + . x0 I2 v sin vI2 sin

(189)--(192) , x0 = 0 (190)--(192) . , F , s, (189)--(192), (15), (13). , (16), (14), (189)--(192) :


: , ,

179 (194)

I1 x0 Z1 sin , I2 2 2 = -Z2 + (Z1 + Z2 )sin + n2 sin cos2 + 0 I1 B sin cos , + x0 Z1 cos + vI2 m Z2 = n2 sin cos + 0 v = 1 (, Z1 ,Z2 )v + +Z
2

(195)

-1 (, Z1 ,Z2 ) -

Z1 = Z1

I1 x0 Z1 sin - Z1 2 (v,,Z1 ,Z2 ), vI2 I1 x0 Z1 sin + Z2 2 (v,,Z1 ,Z2 ), -1 (, Z1 ,Z2 ) - vI2 B cos2 , m

(196) (197)

2 2 1 (, Z1 ,Z2 ) = - (Z1 + Z2 )cos + n2 sin2 cos - 0

2 (v,,Z1 ,Z2 ) = -

cos I1 Z2 I1 x0 + Z1 + . x0 I2 v sin vI2 sin

x0 = 0 ( ) (189)--(192) (194)--(197) v = 1 (, Z1 ,Z2 )v, s() sin , F ()cos + I2 m 1 2 cos , Z2 = F () - Z2 1 (, Z1 ,Z2 ) - Z1 I2 sin cos , Z1 = -Z1 1 (, Z1 ,Z2 )+ Z1 Z2 sin
2 2 = -Z2 + (Z1 + Z2 )sin +

(198) (199) (200) (201)


2 2 1 (, Z1 ,Z2 ) = - (Z1 + Z2 )cos +

s() cos , F ()sin - I2 m (202) B sin cos , m (203) (204) (205)

v = 1 (, Z1 ,Z2 )v,
2 2 = -Z2 + (Z1 + Z2 )sin + n2 sin cos2 + 0 2 Z2 = n2 sin cos - Z2 1 (, Z1 ,Z2 ) - Z1 0

Z1 = -Z1 1 (, Z1 ,Z2 )+ Z1 Z2

cos , sin

cos , sin

B cos2 . m (194)--(197) (202)--(205)
2 2 1 (, Z1 ,Z2 ) = - (Z1 + Z2 )cos + n2 sin2 cos - 0


180

. .

(189)--(192) (198)--(201) R1 {v}â R3 {, Z1 ,Z2 }. + , (189)--(192) (194)--(197) ( (198)--(201) (202)--(205)) .

9.1.
, x0 = 0. (198)--(201) (199)--(201). . , (198)--(201) , . : (198)--(201) R1 {v}â R3 {, Z1 ,Z2 } + (199)--(201) R3 {, Z1 ,Z2 }. 9.1.1. v1 : 2 1 1 2 Z2 - = , + Z1 = , v = v1 . (206) 2 2 4 2 (206) R1 {v}âR3 {, Z1 ,Z2 } + (), (198)--(201). 9.1.2. , (206) , . , (198)--(201): = , v = v0 , = 0, y = y0 , z = z0 . 2 y0 sin , =- cos (207) = y0 cos , sin = z0 +y0 sin cos


: , ,

181

«» (207), . 9.1. (197) y0 sin cos - z0 sin = C1 = const, (208)

, Ox0 (. 8.1) .
9.1 (207) sin = ± y
0

2 (2 0 +20 ) - C1 y z

2 y

0

+20 z

sin

(2 0 +20 )(t + C2 ) - y z

2 y

C1 z0 2 , (209) 0 +z0

C1 = const. (208) (209) . x0 = -v0 cos sin = (209) x0 = v0 [A1 A2 sin(A3 t + A3 )]. y0 v0 [-C1 - z0 sin ] y0

, C1 = 0 ( , z0 = 1/ , = /2) x0 . y0 z0 . , . Z1 = Z2 = 0 ( , ). , . 9.1 Ox0 ( Z1 , Z2 ). Ox0 , D (. . 46) , , . , , Z2 = 1/ , Z1 = 0, .


182

. .

9.1.3. (199)--(201) R3 {, Z1 ,Z2 }, : = k, k {0, 1}, = , 2 Z2 - 1 2
2 2 + Z1 =

(210) (211)

Z1 = Z2 = 0, 1 . 4 2

, , , R1 {v} â R3 {, Z1 ,Z2 }. (211) + , . , , , (211), . , (210) , v(q ) = v0 e-
B m

q

,

v0 = v(0), (212)

(q ) k, k {0, 1}, Z1 (q ) Z2 (q ) 0.

(212) : , 0, . t-1 . (210) (211) ( ). , . . () (199)--(201) R3 {, Z1 ,Z2 } , {(, ) R2 : Z2 sin cos = 0}. 9.1.4. , n2 = F (0)/I2 ( ). 0 (203)--(205) . (199)--(201). , {(, Z1 ,Z2 ) R3 : Z1 = 0},


: , ,

183

Z2 =

n2 0 sin ; 2

2 Z1 = n2 1 - 0

2 n2 0 4

sin2 , n0 < 2;

cos = -

n2 m 0 , 2B

{(, Z1 ,Z2 ) R3 : Z1 = 0} n0 < 2, n0 > 2 . , n0 < 2 {(, Z1 ,Z2 ) R3 : Z1 = 0} 2 (. ). n0 {(, Z1 ,Z2 ) R3 : Z1 = 0} . n0 < 2 {(, Z1 ,Z2 ) R3 : Z1 = 0} «» «» {(, Z1 ,Z2 ) R3 : Z1 = 0}. 9.1. (198)--(201) (15), (13) x0 = 0 v = v0 (0), < 0; cos 0 q + 0 , 0 = (0); (q ) 0 , 0 = (0); (q ) = Z10 sin 0 Z1 (q ) Z10 , Z2 (q ) = Z20 , Zi0 = Zi (0), i = 1, 2. 9.2. (141) (15), (13) z0 = 0 v0 , v0 = v(0); v(t) = 1 - v0 t (t) 0 , 0 = (0); (t) = 0 - 0 ln(1 - v0 t); v0 v(q ) = v0 eq ,

, , 0 = 0,
y (t) = 1 [y0 cos (t) - z0 sin (t)], 1 - v0 t 1 [y0 sin (t)+z0 cos (t)], z (t) = 1 - v0 t

.

9.2. ,
9.2.1. , : µ1 = 2 B , mn0 µ2 = n0 .

(198)--(201) n0 < 2.


184

. .

. 48.

9.2. 1. (211) Z2 < 21 (. 48). 2. (211) Z2 > 21 . 3. (210) k = 0 (. 49). 4. (210) k = 1 , µ2 < µ1 , , µ2 > µ1 (. 49).

. 49.


: , ,

185

9.2.2. , R1 {v} â R3 {, Z1 ,Z2 } + , . , (199)--(202), (, Z1 ,Z2 ), R1 {v}â R3 {, Z1 ,Z2 }. + (198)--(201) R1 {v}â R3 {, Z1 ,Z2 } + (199)--(201) R3 {, Z1 ,Z2 }. R1 {v} â R3 {, Z1 ,Z2 } - , + {v = const}. . R1 {v}âR3 {, Z1 ,Z2 } + . . v > 0, = {(, Z1 ,Z2 , v) R4 : v > 0} R4 {, Z1 ,Z2 , v}. p = ln v, ¯ ¯ R4 {, Z1 ,Z2 , p} p, . . ¯ {p = const}. ¯ R3 {, Z1 ,Z2 } , . ¯ ¯ R4 {, Z1 ,Z2 , p} p v . F , s (199)--(201) (k, 0), k {0, 1}, . . (, Z1 ,Z2 ) k + Z1 ,Z2 k - , -Z1 , -Z2 k {0, 1}.

, {(, Z1 ,Z2 ) R3 : Z1 = 0} , : - Z2 - , Z1 - Z1 ,Z2 , -Z1 , -Z2 k {0, 1}.


186

. .

R3 {, Z1 ,Z2 }: (
1 ,2 )

= {, Z1 ,Z2 ) R3 : 1 < < 2 },

, , (- , ) = , ( , 32 ) = . 22 2 , (0,) (, , ).

9.3.
9.3.1. , (199)--(201) (, 0) (0
, )

{(, Z1 ,Z2 ) R3 : Z1 > 0}.

. (199)--(201), {(, Z1 ,Z2 ) R3 : Z1 = 0}. M2 = {(µ1 ,µ2 ) R2 : µ1 > 0, µ2 > 0} J2 = {(µ1 ,µ2 ) R2 : µ1 > 0, 0 < µ2 < 2} M2 . . . 1. , - - . 9.3. (199)--(201) , . - - (+0, +, +) {(, Z1 ,Z2 ) R3 : Z1 = 0} (+0, 0, +) {(, Z1 ,Z2 ) R3 : Z1 = 0}. . (0 2. , , ) .


: , ,

187

, . 9.4. I (. , 7) (199)--(201) (15), (13) . 3. . , . . 9.3.2. (199)--(201) I (. 7). . M2 . 9.5. (211) Z2 < 21 - . 9.6. (199)--(201) I. F ()sin 0 . s() m g (), ^ I g ^



= 0, 2 (, 0) , (. 4.2 ). g () = -2F (), ^ , , ,
2 2 2 (Z1 + Z2 ) =

s() + m

s2 () F () sin +4 m2 I

s() F () - . m cos I sin

9.3. (16). , I B n2 cos - , . 0 m 22


188

. .

g () = AB cos2 . , F = F0 ^ 9.6.
9.7. . I , (211) Z2 < 21 , - (, 0, 0). 9.3.3. , (211) Z2 < 21 . . . ( isp) 1 k N0 1+ , l N0 . 4 isp = k, , (211) Z2 < 21 , - (211) Z2 > 21 (k N0 ) (k l + 1 , l N0 ). 4 (211) (211) l (. 50 l = 0 . 51 l = 2). 9.1. , . . isp = k . 9.1 (. 4). µ = 2 s , mn0 s = max |s()|
R

(. [283], . 7). 9.3.4. 9.1 (199)--(201), I. , . , (211) Z2 < 21 . . () {Z1 > 0} .


: , ,

189

. 50. l = 0

. 51. l = 2


190

. .

, . ( ) - (, 0, 0). , «» ( , ), (211) Z2 > 21 . , , . «» k = isp, «» . I. , . . I. . : , , . () . . , . , . , .

10. ,
, ( h = 0 (. 1)),


: , ,

191

. . . , , , ( --). , , , . , . , , . , , (yN ,s) -- (. [341, 342, 355, 363, 369]). . , . yN , .

10.1.
10.1.1. . , yN () - h . v (10) I = F ()v2 - h s()v, (213)

h -- . , (86), (87),


192 v = v(, ),

. .

(214) (215) (216)

s() sin - h s()cos , = - + F ()cos + 2 sin + I m I h 1 = F () - (, ) - , I I (, ) = - 2 cos + s() F ()sin - cos - h s()sin . I m I

, h = 0 (, ), . . (215), (216) . (. 1 3) , h , . . . , h1 = h s(0) > 0. 10.1. F (0) s2 (0) n2 B2 0 = > = 2, 2 I I m m h = I n2 +2 1 0 B m , (217)

h1 > h (215), (216) 1 .
(. 1 3). (217) 8k DI , (218) < 2 m Cx , , m D mD2 > 2+ k . (219) h I I k , h k = h = 0,1 (. 1). , (218) (219) «» -- , -- . , D, I , m , (218) (219).


: , ,

193

, , , . , (218) , (219) . , , (k = h = 0,1) , F1 (k, h, m, I , , D)|k
=h=0,1

=h

m D mD2 -k -2 I I

= F2 (, D),
k=h=0,1

-3D2 - 12D - 80 2 , ; , I=m 2 D2 + 3 16 .

F1 k h, , , . , k h . 2 5-4 k=h> = 0,157 3 , F1 , . 10.1.2. , . , . I=m 3 D2 + - 2 , 3 16

-- , . 3 2 3 2 + + > . D 80 20 D D , , «» , D1 = k1 D 1 = k2 3


194 (0 < k1 ,k2 < 1), D
2

. .

+

1 3 2 20 1 - k2

2 3 5k1 - 1 - 2 <0 D 80 1 - k2

. 10.1.3. -- (215), (216) h 1 . , 3, In = -2 s2 f3 B 2 +4 + - 5n2 +8A2 +80 +4A 0 1 m m I s2 = s (0), f3 = F (0), , B = s(0), 0 = n2 = 0 n2 - 0
1

n2 +2 0

B m

,

F (0) , I
B m

B n2 + m 0 A1 = 1+ 2 n2 +2 0

B2 m2

B m

1+ 2 n2 +2 0

.

10.2. In < 0, (215), (216) h1 = h , In < 0 -- . 1 In [385] (215), (216) . 10.3. 10.1. In < 0, h1 , 0 < h1 < h1 < h 1 (215), (216) , h1 h h1 . In > 0, h1 , 1 h1 > h1 > h (215), (216) 1 , h1 h h1 . 1 In F s, , , . (16) (14), In , h1 < h . 1 , , , F2 . , , , ,


: , ,

195

. , , , , 1.

10.2.
6 (72) , (8)--(10). (72) , F , (73) . 10.2.1. (73) (. 6). , , . , (16) = -+ A1 sin , = A2 sin cos - h2 . (220)

h2 > 0 , h2 < 0 . h2 - . (73) (72). (220) (92) . 4.1 (92) , . (92) , F . 10.2.2. (92) (15) .


196

. .

(92) ( (220)), , . ( ) , { = 0 mod , = 0}. , . (92) ± arccos A1 h A2 ,± A2 F h arccos A1 h A2 , (221)

A2 . A1 . A2 - < h < 0, A1 ( ) 0
(221) (222) : , 0 , . , , , {x, y} v {sin 0 - sin(0 +0 t)}, x(t) = 0 v {cos(0 +0 t) - cos 0 }, y(t) = 0 (0 , 0 ) -- (221) (222) ( , 0). v v sin 0 - cos 0 . 0 0 10.2.3. (92) (15) :


: , ,

197

1) . (k, 0), k Z, - , (, ) k - - k + ;

2) . S1 { mod 2 }â R2 {,h} (, ,h) R3 : = + i, i Z 2 - , - (, ) /2+ i - /2+ i + , -h h - . (92) (. 6) , h = 0. 10.2.4. , . , 6.1 (92) , , .

10.3.
, (72), (92) h = 0 F . , F1 (0) + 3F1 (0) > 0 (92) F = F1 () ( h > A1 F (0)) F2 (0) + 3F2 (0) < 0 (92) F = F2 () ( h < A1 F (0)). , , .


198

. .

10.3.1. (0, 0) (, 0) (220) , A1 A2 (92) A1 A1 F (0) A2 A2 F (0). (92), (0, 0), 1 1,2 = (A1 - h2 ± [(h2 + A1 )2 +4A2 ]1/2 ), 2 A1 , - A2 , -A1 +2 A1 -A2 , -A1 - 2 -A2 .

(, 0) A1 -A1 . (221) (222) h - A2 A2 , A1 A1 .

(92) . : = A2 , A1
± + = A1 ± 2

-A2 ,

± - = -A1 ± 2

-A2 ,

-- , -- , -- , -- , -- , -- , -- , -- . (0, 0) (, 0) 1--4 .


1 (. 1):
- - + + < - < + < -A1 < 0 < A1 < - < + < -.





2 (. 2):
- - + + - < < + < -A1 < 0 < A1 < - < - < + .





3 (. 3):
- - + + - < -A1 < < + < 0 < - < - < A1 < + .





4 (. 4):
- + - + - < -A1 < - < < 0 < - < + < A1 < + .


: , ,

199

1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

h (-, - ) - (-, - ) -- (- ,+ ) - (+ , -A1 ) (-A1 , 0) (0,A1 ) + (A1 ,- ) ++ (- ,+ ) + (+ , ) (, +)

(0, 0) (, 0)

31 37 37 37 -33 -32 36 36 36 30

2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

h - (-,- ) - (- , - ) - (-, + ) - (+ , -A1 ) (-A1 , 0) (0,A1 ) + (A1 ,- ) + (- , ) + (, + ) + (+ , +)

(0, 0) (, 0)

31 31 37 37 -33 -32 36 36 30 30


200

. .

3

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

h - (-,- ) - (- , -A1 ) (-A1 , - ) - (-, + ) - (+ , 0) + (0,- ) + (- , ) (, A1 ) + (A1 ,+ ) + (+ , +)

(0, 0) (, 0)

31 31 31 35 35 34 34 30 30 30

4

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

h - (-,- ) - (- , -A1 ) + (-A1 ,- ) + (- , - ) (-, 0) (0, ) - (, + ) - (+ ,A1 ) + (A1 ,+ ) + (+ , +)

(0, 0) (, 0)

31 31 31 31 35 34 30 30 30 30


: , ,

201

10.3.2. , (92) (15) h R , ( 4.6). 10.1. (92) ( = ) (15) h = 0 , , d + hd = 0. . ( ), , . 10.2. ( h > 0) ( h < 0) . 10.1. h < 0 ( h > 0) «» (92) - (-) . 10.3.3. (92). , , . . , . 10.3. h = 0 (92) (15) , . . (92) = u, u = A2 F ()+ A1 u F () d F () - h u - A1 d cos cos F () , cos , (223)

, u = + A1

(92) (223). (223) h = 0 (223) .


202

. .

(223) (223) hu u - A1 F () cos . (224)

{(, u) R2 : u > 0} F () . (, u) R2 : u = A1 cos 223 . 39. (223) , - , > 0. (. 2 6), - , 0 3 , 0 . , 2 2 (. . 39), (223) (223) . , {(, u) R2 : = 0} (0, u ),
0

u=
-/2



A2 F ()+ A1 U () U ()

d F () d cos

d,

(225)

u = U () -- , . (225) W1 ,
0

W1 = A1
-/2

d F () d = -A1 F d cos

. 2




-pi/2

A2 F (a) da U (a)

0 0,

, 2

U () u1 (), u = u1 () -- (223) A1 = 0, - , 0 , 0 . 2 2


-A1 F

+ 2

-/2

A2 F (a) F () F () da + A1 > A1 0, , U (a) cos cos 2

,


U () =
-/2

A2 F (a)+ A1 U (a) U (a)

d F (a) d cos a

da > A1

F () . cos


: , ,

203

( ,3 ) 2 2 , , , , . , , . , 4.1 4.2 (92) , . 3) 4.1 , 4.6 (92) (92) , h 0 , h 0 -- . 4.1 ( ), . CH1 = {F : F () < F (0)|| cos , (-, ), = 0} A1 F (0), CH2 = {F : F () > F (0)|| cos , (-, ), = 0} -- A1 F (0) ( ). , , CH1 . , F0 () = = AB sin cos CH1 (A, B > 0). 10.4. F CH1, (92) h > A1 F (0) (92). ( (92) h < A1 F (0), F CH2.) 10.2. F (0) -- d F () d cos - , , , 22 (92), h > A1 F (0). 10.3. , , h > 0, (92) , h h,A1 F (0) . 10.4. , h < 0, (92) ¯ , h (-A1 F (0), h).


204

. .

10.3.4. (220) . (220). 1.1, 1.10, 2.1, 2.2, 2.9, 2.10, 3.1, 3.2, 3.3, 3.8, 3.9, 3.10, 4.1, 4.2, 4.3, 4.4, 4.7, 4.8, 4.9, 4.10 (221) (222) [273]. 1, 2, 3, 4 . 1--4. , (, ), () . (220) h2 = 0. (220) .

10.4.
, , -- . (. 6). (, ) (72) . 3. 10.4.1. 6 . (72) {(, ) R2 : mod 2 }, .


: , ,

205

1. , . , , ( , /2) W , , ( , ). : «» . , . , . 2. . {(, ) R2 : mod 2 } (72) , , , R2 {, }. (72) , , . . . 3. . (. 6) (72) , . (. . 3) «» «» . . , , . , , (. 6). , , -- , . . 10.4.2. (220) {(, ) R2 : mod 2 } h2 > 0, , , (. 1 3).


206

. .

1. , . , h2 = 0, (220) , (. . 32, 34, 36). : ; , /2 (. 10.3). , h2 = 0 , h2 = 0, . 2. . h2 = 0 (220) , , R2 {x, y}. 4, (220) h2 > 0 , : , . 0, . 2 h2 . h2 = A1 , h2 A1 h2 |A1 - h2 |, h2 = h2 . 3. . (220) h2 = 0 . , - . , . , , . 34, 35, , (, 0) . . 32 (, 0) , , . 36, -- (0, 0) (, 0). « » h2 > 0, : , , . . ,


: , ,

207

. . , -, , , . , , . : .


1, , , . , . . , . , , -- -- , . , . . . , , , . , . , , . . , , , -- . , ,


208

. .

. . , , , , , , . , . . ( ) . () --. : · . -- , ; · . . . . . ( ) ( ) ; · . . , . . . () ; · . , . -


: , ,

209

. () --. , , , . . , . , , , -, . , , . : . . , , . ( 08-01-00231-).


[1] . ., . ., . . . . . . « » // . . . 23. -- .: , 2007. -- . 34. [2] . ., . . // . . -. . 1, , . -- 2005. -- 3. -- . 53--55.


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. .

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: , ,

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. .

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: , ,

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214

. .

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