Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://shamolin2.imec.msu.ru/art-130-1.pdf Дата изменения: Thu Aug 2 18:51:29 2012 Дата индексирования: Mon Oct 1 20:37:53 2012 Кодировка: Windows-1251

Современная математика и ее приложения. Том 78 (2012). С. 126134

УДК 517.957.6

КВАЗИСТАЦИОНАРНАЯ ЗАДАЧА СТЕФАНА СО ЗНАЧЕНИЯМИ НА ФРОНТЕ, ЗАВИСЯЩИМИ ОТ ЕГО ГЕОМЕТРИИ1
c 2012 г.

Н. Ю. СЕЛИВАНОВА, М. В. ШАМОЛИН

Аннотация. Приводимая ниже задача является сингулярно предельной задачей расширения модели КанаХилларда посредством введения несимметрии тензора поверхностного натяжения при одном из усечений (аппроксимаций) внутренней энергии [2, 3, 6, 7, 1013].

СОДЕРЖАНИЕ
1. 2. 3. 4. Разложение удельной энергии в трехмерном случае Исследование межфазной зоны в двумерном случае Переход к двумерной задаче со свободной границей Более общий случай матрицы A . . . . . . . . . . . . Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 127 129 131 134

1.

Разложение удельной энергии в трехмерном случае

Для начала привед?м уже известную постановку задачи в тр?хмерном случае. В соответствии с работами [5, 8, 9], будем считать, что двухкомпонентная среда заполняет область R3 , разделенную на три части: области, заполненные разными фазами ( и ) и межфазной зоной (так называемой зоной фазового перехода). Предполагается, что фаза имеет кубическую симметрию, а фаза четырехугольную. Требуется определить распределение концентраций чистых веществ c (x, t), c (x, t) в области . В силу предположения о сохранении масс в двухкомпонентной смеси выполнено равенство

c (x, t) + c (x, t) = 1.
Тогда достаточно определить распределение только одной концентрации, например, c(x, t) = c (x, t). При этом будем считать, что эволюция распределения концентрации c(x, t) описывается уравнением диффузии (см. [1, 5, 8, 9])

c+ Ji = 0. t xi
Функция Ji может выбираться в двух видах (два случая разложения удельной энергии):
(1) i

(1.1)

c (c) - 2 c Aj l (c)xj xl c - 2 c Aj l (c; rs )xj cxl c , (1.2) xi (2) Ji = -M (c) c (c) - 2 c Aj l (c)xj xl c . (1.3) xi Параметр > 0 малый, 1. Функция M является скалярным коэффициентом мобильности, который характеризует подвижность фаз и : J = -M (c) M (c) = M + (M - M ) c(x, t) - c , c - c M , M > 0,

1 РАБОТА ВЫПОЛНЕНА ПРИ ПОДДЕРЖКЕ РОССИЙСКОГО ФОНДА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ, ПРОЕКТ 08-01-00231A.

ISSN 15121712

c Ин-т кибернетики АН Грузии, 2012


КВАЗИСТАЦИОНАРНАЯ ЗАДАЧА СТЕФАНА СО ЗНАЧЕНИЯМИ НА ФРОНТЕ

127

а c и c являются концентрациями и фаз в равновесном состоянии соответственно. Тензор поверхностных напряжений

akl (c) = al + (al - al ) k k k

c(x, t) - c , c - c

(1.4)

где al , al > 0 постоянные такие, что выполняется условие эллиптичности k k

akl (c)k l > d0 > 0 R3 ,
Предположим, что (см. [5, 8, 9]) a 00 a = 0 a 0 , ij 0 0 a

| | = 1,

c [0, 1].

a 0 0 1 a = 0 a 0 , ij 1 0 0 a 3

т.е. фазы обладают существенно разными симметриями. Чтобы можно было гарантировать сосуществование обеих фаз, плотность свободной энергии Гиббса должна быть невыпуклой функцией концентрации, например, (см. [8])

= 0

[c - c0 ]2 - [c - c0 ]2

2

- b[c - c0 ] ,

1 c0 = (c + c ), 2

где 0 и b являются постоянными. Тогда постоянные c , c (0, 1) являются классическими равновесными концентрациями, определяемыми однозначно по схеме Максвелла [8] системой уравнений: c (c ) = c (c ),

(c ) - (c ) = c (c )(c - c ).
Рассматриваемая модель описывает процесс кристаллизации, когда первая стадия разделения фаз завершена, и существуют области с двумя разными фазами. Будем считать, что в рассматриваемом случае имеются две связные области + . Они разделены зоной фазового перехода, t, являющейся в любое время окрестностью поверхности t, фронта фазового перехода. Такие процессы называются жестко фронтовыми. Здесь можно выделить два случая. Первый случай. Здесь обычные граничные условия завершают постановку задачи:

N c = 0,

N c (c) - 2 c Aj l (c)xj xl c - 2 c Aj l (c; rs )xj cxl c = 0

(1.5)

(соответствуют случаю (1.2)). Второй случай. Во втором случае имеем:

N c = 0,

N c (c) - 2 c Aj l (c)xj xl c = 0 на множестве T

(1.6)

(соответствуют случаю (1.3)). Здесь N вектор нормали к фиксированной границе T = Ч (0, T ). Также задано начальное значение концентрации:

c(x, t; )|t=0 = c0 (x; ).
Для определенности будем считать, что

(1.7) (1.8)

0 < c < c < 1.
2. Исследование межфазной зоны в двумерном случае

Для простоты расмотрим двумерный случай x = (x1 , x2 ) = (x, y ). Пусть r( , s) = (r1 ( , s), r2 ( , s)) параметризация кривой ( ), s длина дуги. Тогда в достаточно малой окрестности i, кривой ( ) можно ввести быстрые (внутрение) координаты ( , s, z ):

x( , s, z ) = r( , s) + z ( , s),


128

Н. Ю. СЕЛИВАНОВА, М. В. ШАМОЛИН

где ( , s) = (-s r2 ( , s), s r1 ( , s)) главная нормаль и t( , s) = (s r1 ( , s), s r2 ( , s)) вектор, направленный против часовой стрелки, так что по формулам Френе:

dt/ds = , ( ) кривизна кривой ( ). Отсюда,
2 2 (s, ) = s r1 s r2 - s r2 s r1 ,

d /ds = - t,
2 2 s r1 s r1 + s r2 s r2 = 0,

(s r1 )2 + (s r2 )2 = 1,
2 s r2 = s r1 .

2 s r1 = - s r2 ,

(2.1)

Тогда

s x = (1 - z )t, z x = , det M = (1 - z ), и для градиента функции u( , x, y ) = u( , s, z ) получаем следующие соотношения: (s u, z u, u) = M (x u, y u, u) s x s y 0 M = z x z y 0 , x y 1 (1 + z )s r1 --1 s r2 0 s x u y u = (1 + z )s r2 --1 s r1 0 z u -(1 + z )V t --1 V 1 ,

u u + O(2 ). u



(2.2)

Здесь используем, что 1/(1 - z ) = 1 + z + O(2 ) и касательная и нормальная скорости равны соответственно V t = x ћ t, V = x ћ . Можно подсчитать и вторые производные:
2 x u = -2 2 (s r2 )2 z u - -1

(s r1 )2 z u + 2s r1 s r2 s z u + (s r1 )2 -

-2s r1 s r2 s u - z (s r1 )2 z u + 2s r1 s r2 s z u,
2 y u = -2 2 (s r1 )2 z u - -1

(s r2 )2 z u - 2s r1 s r2 s z u + (s r2 )2 +

+2s r1 s r2 s u - z (s r2 )2 z u - 2s r1 s r2 s z u, x y u = -
-2 2 s r2 s r1 z u - -1 2 s r1 s r2 z u + (s r2 )2 - (s r1 )2 s z u + s r1 s r2 s u- 2

- (s r2 )2 - (s r1 )2 s u - z s r1 s r2 z u + (s r2 )2 - (s r1 )
2 2 ч = -2 z ч - -1 z ч + s ч - z 2 z ч.

s z u ,
(2.3)

Здесь также справедливо равенство ч( , x, y ) = ч( , s, z ). В этих координатах межфазной зоны градиентную часть свободной энергии будем представлять в виде:

2Akl (u)xk xl u + Akl (u)xk uxl u = +
-1

-2

h-2 (u, k u, k l u)+ k , l {s, z },

h

-1

(u, k u, k l u) + h0 (u, k u, k l u), u( , x, y ) = u( , s, z ).

где, также как и выше, При этом

h

-2

2 (u, k u, k l u) = 2 A z u + A

z u

2

,

h-1 (u, k u, k l u) = -2 t A t z u + 2(t A + A t )s z u + 2(t A + A t )s uz u,
2 h0 (u, k u, k l u) = 2 t A t s u + 2(t A + A t )s u+ 2

+t A t

s u

+ z h

-1

(u, k u, k l u).


КВАЗИСТАЦИОНАРНАЯ ЗАДАЧА СТЕФАНА СО ЗНАЧЕНИЯМИ НА ФРОНТЕ

129

Штрихом обозначена производная по u: A = dA/du и

A(u) =
Отсюда следует, что если

A11 (u) A12 (u) . A21 (u) A22 (u)

ч( , s, z ) = F (u) - h-2 (u, k u, k l u) + O(),
то

k , l {s, z },

ч = --
1

-2 2 z

F (u) - h-2 (u, k u, k l u) -
-2

2 z h-1 (u, k u, k l u) - z F (u) - h

(u, k u, k l u) -

-h0 (u, k u, k l u) - z h

-1

(u, k u, k l u) +
(2.4)

2 +s F (u) - h-2 (u, k u, k l u) - z 2 z F (u) - h-2 (u, k u, k l u) + O().

3.

Переход к двумерной задаче со свободной границей

В двумерном случае эта задача со свободной границей определяется в зависящих от времени областях

+ (t) , - = (t),
следующими уравнениями:

+ (t) - (t) (t) = , + = (t), x + (t), ч- t (0, T ),

ч+ = 0,
+ -

t (0, T ), t (0, T ),

ч = ч = b1 (t, x), V = ч+ u+ 0 - , - u- 0 (t)|t

x (t),

x (t), t (0, T ),
=0

= 0 ,

(3.1)

где

b1 (t, x) =

K 2 u+ - u- 0 0
u+ 0

u+ 0

t A(v )t

F (v ) dv - A(v ) F (v ) dv , ( A(v ) )3 x (t), t (0, T ).
(3.2)

u- 0 2

1 - 2

t A(v ) + A(v ) t
u- 0

F (v ) := F (v ) - F (u- ) - F (u- )(v - u- ), 0 0 0
На фиксированной границе ставим условия Неймана

nћ

ч+ = 0,

x ,

t (0, T ).

1 1 Для простоты выберем u+ = 1, u- = -1 и F (v ) = (v 2 - 1)2 . Тогда F (v ) = (v 2 - 1)2 . Для A(v ) 0 0 4 4 выберем следующее представление A(v ) = a v+1 10 + 01 2 a 0 1 0 a 2 ,


130

Н. Ю. СЕЛИВАНОВА, М. В. ШАМОЛИН

где a a a . Линеаризация граничных условий на начальном приближении нормального и 1 2 касательного векторов = (0, -1), t = (1, 0) дает следующее: 1 1 12 2 t A(v ) t b1 ( , x) = (v - 1)dv - 2 A(v ) 2 -1 12 1 2 (v - 1) 2 1 4 - dv . (3.3) t A(v ) + A(v ) t 2 ( A(v ) )3
-1

Так как матрица A диагональная, то члены t A(v ) и A(v ) t следующему результату (случай первый, ((1.2),(1.5))):

равны нулю, что приводит к (3.4)

b1 ( , x) = ,
1

=
-1

A11 (A22 (v ))-1 v+1 2

/2

12 (v - 1)dv = 2 v+1 2
-1/2

1 = 2

1

a + (a - a ) 1
-1

(v 2 - 1) a + (a - a ) 2

dv

=
(3.5)

16 =- -28(a )5/2 a + 4(a2 )7/2 a + 3(a )7/2 a + 35a (a )3/2 (a )2 - 2 2 1 12 105 5/2 7/2 -14(a2 ) a1 a - 28(a )5/2 a1 a2 + 4a1 (a ) - 14(a )7/2 a + 2 1 +35(a )5/2 (a )2 + 3(a )9/2 . 2 (a - a )4 2
Во втором случае ((1.3),(1.6)) линеаризация нормального и касательного векторов вида 0 = (0, -1), t0 = (1, 0), 1 = (x , 0), t1 = (0, x ) приводит к следующему:

b1 ( , r) = + 2 2
1

1

(2t1 A(v ) t0 )(0 A(v ) 0 )-1/

2

-1 3/2

12 (v - 1)dv + 2 12 (v - 1)dv - 2 12 (v - 1)2 4 dv - (0 A(v ) 0 )3
5/2

+2
-1

1 (t0 A(v ) t0 ) - (21 A(v ) 0 ) (0 A(v ) 0 )- 2

1 - 2 - 1 2
1

1

(t0 A(v ) 0 + 0 A(v ) t0 )2(t1 A(v ) 0 + t0 A(v ) 1 )
-1 2

(t0 A(v ) 0 + 0 A(v ) t0 )
-1

-

3 1 (21 A(v ) 0 ) (v 2 - 1)(0 A(v )0 )- 2 2

dv .

Так как в этом случае 1 A(v ) 0 = 0, t1 A(v ) t0 = 0 и t0 A(v ) 0 + 0 A(v ) t0 = 0, то получим результат, аналогичный предыдущему. Таким образом, в этом случае получим модельную задачу:

W + W - ч = W - ч- 1 t + 2 (x2 W + - x2 W - ) |t=0
+ + -

= = = =

0, (x, t) + g (x1 , t) , (x1 , t) h(x1 , t) , (x1 , t) 0, x1



R R R R

2 +

Ч (0, T ), Ч (0, T ), Ч (0, T ), ,

(3.6)


КВАЗИСТАЦИОНАРНАЯ ЗАДАЧА СТЕФАНА СО ЗНАЧЕНИЯМИ НА ФРОНТЕ

131

где x = (x1 , x2 ), ч+ = ч+ (0, P 0 чи (3.1): ч+ 0 n ћ x ч- 0 ч+ = ч- 0 0

), и функции ч+ определяются начальным приближением зада0 = 0, (x, t) + (t) Ч (0, T ) , 0 = 0, (x , t) 0 (t) Ч (0, T ) , = b (t, x) , (x , t) 0 (t) Ч (0, T ). 0
(3.7)

Здесь функция b (t, x) вычисляется по начальному положению свободной границы 0 и 0 16 = -28(a )5/2 a + 4(a )7/2 a + 3(a )7/2 a + 35a (a )3/2 (a )2 - 2 2 2 1 12 105 -14(a )5/2 a a - 28(a )5/2 a a + 4a (a )7/2 - 14(a )7/2 a + 2 1 12 1 2 1 +35(a )5/2 (a )2 + 3(a )9/2 . 2 (a - a )4 2 Решая задачу Дирихле, мы сведем модельную задачу к системе уравнений для W
+

(3.8)

на границе: (3.9)

W t

- =W - = + g (x1 , t) , (x1 , t) R Ч (0, T ), + + W - ) = h(x , t), (x1 , t) R Ч (0, T ), + -x (W 1 |t=0 = 0 , x1 R. g Lp ((0, T ), W h L ((0, T ), W
p m+2-1/p p m+1-1/p p

+

ч+

-

ч-

Теорема 1. Для любых
(R (R
n-1 n-1

)) , ))

при справедливости условий устойчивости 0, ч+ + ч- 0, ч+ + ч- + > 0, существует единственное решение (u, ) начально-краевой задачи (3.6) такое, что
W Lp ((0, T ), W t
4.
m+2 (Rn )), p + p m+4-1/p L ((0, T ), Wp (Rn-1 )), m Lp ((0, T ), Wp +1-1/p (Rn-1 ))

.

Более общий случай матрицы A

Рассмотрим в заключение более общий случай матрицы A. Положим v + 1 a - a 10 ч 1 A(v ) = a + 01 2 ч a2 - a



,

выбрав постоянную ч с сохранением условия эллиптичности (A(v ) , ) c0 | |2 и так, что t0 A(v ) 0 + 0 A(v ) t0 = 0. Если просчитать это условие точно, получим неравенство

2ч

A11 (v )A22 (v ) v [-1, 1]. 1 2 (a + a )(a + a ). 1 2

Максимизируя эту функцию по v на [-1, 1], окончательно получим ч При таком выборе A мы имеем в первом случае, ((1.2),(1.5)), следующее:

b1 = ( + ) , 1 =- 4 =- ч2 8
1 1

(-A12 - A21 )2
-1

(v 2 - 1) A3 22

dv =
-3/2

(v + 1)2 (v 2 - 1) a + (a - a ) 2
-1 16ч2

v+1 2

dv

=

=-

35

(35(a )1/2 (a )3 - 7(a )5/2 a + 35(a )3/2 (a )2 + 2 2 2


132

Н. Ю. СЕЛИВАНОВА, М. В. ШАМОЛИН

+(a )7/2 - 56a (a )5 2 2

/2

- 8(a )7/2 )

1 (a - a ) 2
5

,

(4.1)

тогда как во втором случае ((1.3),(1.6)) получим

b1 ( , r) = ( + ) + H0 x1 , H0 x
1
1

= 2 2

1

(2x1 A21 )(A22 )-

1/2

-1

12 (v - 1) dv + 2

+2
-1

1 A11 (v 2 - 1) 2

-

1 (-2x1 A12 ) (A22 )-3/2 dv - 2 12 (v - 1) (A22 )-3/2 dv - 2
/2

-

1 2

1

2 (-A12 - A21 )(2x1 (A11 - A22 ))
-1

1 - 2

1

A12 + A21
-1

2

1 3 (2x1 (A12 )) (v 2 - 1)(A22 )-5 2 2

dv ,

где H0 (P , 0) средняя кривизна свободной границы в точке локализации (P , 0), и задается следующей формулой:

=ч -

32 (3(a )7/2 - 14(a ) 2 2 105

5/2

a+

+35(a )2 (a )3/2 + 4(a )7/2 - 28(a )5/2 a )Ч 2 2 Ч((a )4 - 4a (a )3 + 6(a )2 (a )2 - 4a (a )3 + (a )4 )-1 - 2 2 2 2 16 - (-3(a )7/2 a - 4(a )7/2 a - 105a (a )3 (a )1/2 + 2 1 2 1 2 105 3/2 3 5/2 2 5/2 +140(a2 ) (a ) + 21(a2 ) a1 a + 56(a ) (a2 ) - -105a (a )2 (a )3/2 + 24a (a ) 1 2 1
7/2

+ 4(a )9/2 + 168a (a )5/2 a - 140(a )5/2 (a )2 - 56a (a ) 1 2 2 2

7/2

)Ч

Ч(-(a )5 + 5a (a )4 - 10(a )2 (a )3 + 10(a )2 (a )3 - 5(a )4 a + (a )5 )-1 + 2 2 2 2 2 4 + (3a (a )2 - 3a (a )2 - 8(a )3/2 (a )1/2 a + 8(a )3/2 (a )3/2 + 1 2 2 1 2 3 2 2 3 +6a1 a a2 - 6a (a2 ) - (a2 ) a1 + (a2 ) )Ч Ч((-(a )3 + 3a (a )2 - 3a (a )2 + (a )3 )/(a ) 2 2 2 2 +ч3
1/2 -1

)

+
3/2

16 (35(a )4 - 192(a )7/2 (a )1/2 + 420a (a )3 - 448(a )5/2 (a ) 2 2 2 35 +210(a )2 (a )2 - 28a (a )3 + 3(a )4 )Ч 2 2 2 Ч(((a )6 - 6a (a )5 + 15(a )2 (a )4 - 20(a )3 (a )3 + 2 2 2 2 +15(a )4 (a )2 - 6a (a )5 + (a )6 )/(a )1/2 )-1 . 2 2 2

+


КВАЗИСТАЦИОНАРНАЯ ЗАДАЧА СТЕФАНА СО ЗНАЧЕНИЯМИ НА ФРОНТЕ

133

Таким образом, при таком выборе матрицы A, мы получаем новую модельную задачу

u+ - ч - ( + ) u- - ч- - ( + ) 1 t + 2 (x2 u+ - x2 u- ) |t=0 u+
+

= = = = =

0, (x, t) H0 x1 + g (x1 , t) , (x1 , t) H0 x1 + g (x1 , t) , (x1 , t) h(x1 , t) , (x1 , t) 0, x1



R R R R R

2 +

Ч (0, Ч (0, T Ч (0, T Ч (0, T ,

T), ), ), ),

(4.2)

где ч+ определяются по аналогии со случаем ( + ). Получим определитель системы задачи Коши в следующем виде:

S (, ) = + ( + )| |3 + (ч+ + ч- )| | + iH0 1 | |.
Оценка этого символа приводит к условиям устойчивости:

( + ) > 0,

(ч+ + ч- )

0

и условию, порожденному комплексным членом. Заметим, что первое условие не всегда справедливо. Например, беря a = 1 < a = 3/2 < a = 1 2 1 5 31 14 и ч = 5 > Ч , мы получим + -0, 14 < 0. Этот эффект естественен с физической 22 2 точки зрения. Он говорит о том, что кристаллизация бинарных сплавов возможна только для составляющих с близкими кристаллографическими осями. Теперь перейдем к оценке символа S . Имеем

|S |2 = | Re S |2 + | Im S |

2

| Re |2 + | |2 ч+ + ч- - ( + )| |2

2

+

2 +| Im |2 + 2 H0 | |4 - 2| Im ||H0 || |2

| Re |2 + | |2 (ч+ + ч- )2 + ( + )2 | |4 + (1 - 0 )| Im |2
для любых Re

0, , Im R1 и 1 > 0 > 0 таких, что квадратичная форма
2 0 X 2 - 2|| |H0 | X Y + 2 H0 + 2(ч+ + ч- )( + ) Y 2

0

положительно определена, т.е.
2 |2 H0 |2 - 2 H0 + 2(ч+ + ч- )( + ) < 0.

Очевидно, достаточно, чтобы
2 1 > 2 |H0 |2 / 2 H0 + 2(ч+ + ч- )( + ) ,

что справедливо, если выполнены условия устойчивости задачи Коши

(ч+ + ч- )( + ) > 0,
т.е. ч+ + ч- > 0 на начальном положении границы 0 . Таким образом, в этом случае 0 0

(4.3)

|S (, )|

c0 (|| + | | + | |3 ),

Re

0,

R1 ,

что позволяет применить методы, приведенные выше, и получить следующий результат.

Теорема 2. Для любых
g Lp ((0, T ), W
m+2- p
1 p

(R

n-1

)),

h Lp ((0, T ), W

m+1- p

1 p

(R

n-1

))

при справедливости условий устойчивости ( + ) > 0, (ч+ +ч- ) решение (W, ) начально-краевой задачи (4.2) такое, что
W Lp ((0, T ), W L ((0, T ), W t Lp ((0, T ), W
p m+2 (Rn p + m+4-1/p p m+1-1/p p

0, существует единственное

)), (Rn (Rn
-1 -1

)), )).


134

Н. Ю. СЕЛИВАНОВА, М. В. ШАМОЛИН

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Баренблат Г. И., Ентов В. М., Рижик В. М. Поведение жидкостей и газов в пористых слоях. М.: Недра, 1984. 2. Борисов В. Т. О механизме нормального роста кристаллов// Докл. АН СССР. 1963. 151. С. 13111314. 3. Мажукин В. И., Самарский А. А., Кастельянос О., Шапранов А. В. Метод динамической адаптации для нестандартных задач с большими градиентами// Мат. модел. 1993. 5. С. 3356. 4. Мейерманов А. М. Задача Стефана. Новосибирск: Наука, 1986. 5. Радкевич Е. В., Захарченко M. Асимптотическое решение расширенной модели КанаХилларда// Соврем. мат. и ее прил. 2003. 2. С. 121138. 6. Солонников В. А., Фролова Е. В. О справедливости квазистационарного приближения для задачи Стефана// Зап. науч. сем. ПОМИ. 2007. 348. С. 209253. 7. Уманцев А. Р. Движение плоского фронта при кристаллизации// Кристаллография. 1985. 30. С. 153160. 8. Cahn J. W., Hil liard J. E. Free energy of a non-uniform system, Part I: Interfacial free energy// J. Chemical Physics. 1958. 28, 1. С. 258267. 9. Dreyer W. and Mul ler W. H. A study of the coarseing in tin/lead solders// Int. J. Solids Structures. 2000. 37. С. 38413871. 10. Fabbri M., Vol ler V. R. The phase-eld method in the sharp-interface limit: A comparison between model potentials// J. Comput. Phys. 1997. 130. С. 256265. 11. Fix G. Phase eld models for free boundary problems// In: ?Free Boundary Problems: Theory and Application?. Eds. Fasano A., Primicerio M. London: Pittman, 1983. С. 580589. 12. Hohenberg P. C., Halperin B. I. Theory of Dynamic critical phenomena// Rev. Mod. Phys. 1977. 49. С. 435479. 13. Penrose O., Fife P. On the relation between the standard phase-eld model and a ?thermodynamically consistent? phase-eld model// Physica D. 1993. 69. С. 107113.

Н. Ю. Селиванова ВИНИТИ РАН, Москва, Россия E-mail: math@viniti.ru М. В. Шамолин Московский Государственный университет им. М. В. Ломоносова, Институт механики, Москва, Россия E-mail: shamolin@imec.msu.ru