Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://shg.phys.msu.ru/educat/nlo/nlo_2/15-16.pdf Дата изменения: Wed Mar 12 16:11:45 2008 Дата индексирования: Mon Oct 1 21:12:41 2012 Кодировка: Windows-1251

Лекции 15-16

Интерферометрия второй гармоники
В вакууме амплитуда E плоской электромагнитной волны E exp(ikR - it) полагается вещественной. При рассмотрении распространения волны в среде, амплитуда волны E задается в виде

E exp(ikR) =

G(R, r , )P(r , )d r ,




(1)

и трактуется как комплексная величина. Здесь, аналогично выражению (??), G - тензорная функция Грина на частоте , а P - вектор поляризации в среде, являющейся суммой линейной и нелинейной поляризаций: P = PL + PN L . В данном разделе рассматриваются экспериментальные нелинейно-оптические методики измерения фазы амплитуды E = |E |ei .

Фаза волны второй гармоники
В линейной среде комплексность амплитуды E отражает запаздывание распространения волны в среде относительно вакуума из-за поглощения, т.е. напрямую определяется дисперсией линейной восприимчивости среды (1) , входящей как в линей ную поляризацию PL , так в функцию Грина G. В случае нелинейной среды природа комплексности E более сложная, поскольку параметрические нелинейно-оптические процессы (и, в частности, генерация квадратичной поляризации на частоте второй гармоники) напрямую с поглощением среды не связаны. Физический смысл фазы амплитуды нелинейной волны состоит в запаздывании нелинейной волны относительно волны накачки в вакууме. Причины комплексности амплитуды E нелинейной волны (в дальнейшем - волны ВГ) следующие: (i) Комплексность тензора квадратичной восприимчивости (2) . Наличие в нелинейной среде уровней (газы) или зон (твердые тела) электронных состояний приводит к резонансам в (2) , однофотонным (разница между энергиями состояний E = h ) и ? (или) двухфотонным (E = 2? ). Вблизи резонансов Im(2) = 0. Смысл комплексноh сти (2) - резонансность двух из трех виртуальных уровней, участвующих в генерации ВГ означает метастабильность (большое время жизни) этого виртуального состояния, что приводит к появлению разности фаз между амплитудами накачки и квадратичной поляризации. Такой механизм появления фазы в PN L будем называть запаздыванием генерации. (ii) Запаздывание распространения. Пространственное распределение нелинейной поляризации, выражаемое интегралом в свертке (1), приводит к появлению дополнительной разности фаз между амплитудами волн нелинейной поляризации и ВГ. Например, рассмотрим поле ВГ, генерируемое на просвет однородной нелинейной пластиной вдоль ее нормали, совпадающей с осью z. Выражение (1) для амплитуды ВГ непосредственно после пластины примет вид:
L

E2 = T

2 0

P2 ei

kz

dz ,

(2)

1


где L - толщина пластины, k = k2 - 2k , и T2 - френелевский фактор на прохождение волны ВГ через границу раздела пластина-вакуум для соответствующей поляризации волны ВГ. Амплитуда поля E2 становится комплексной величиной даже в отсутствие поглощения (P2 - действительна)

E2 = T2 P2 (ik )-

1

ei

kL

-1 .

(3)

Физический смысл такой комплексности E2 - деструктивная интерференция волн ВГ, прогенерированных в разных областях нелинейной пластины, описываемая комплексными "пропагаторами"функций Грина eik2 z и eik z . (iii) Влияние поглощения. Поглощение в нелинейной среде приводит к дополнительной комплексности амплитуды волны ВГ и учитывается через функции Грина на обеих частотах и 2 . Дополнительная, по сравнению с фактором eik r , ком плексность G (R, r , ) приводит к разности фаз между амплитудами квадратичной поляризации P2 и поля накачки в вакууме E . Комплексность G (R, r , 2 ), выражаемая комплексностью k2 и френелевских факторов для волны ВГ E2 , обуславливает дополнительную разность фаз между P2 и E2 . Можно сказать, что поглощение приводит к дополнительному запаздыванию распространения волны ВГ. Итак, разность фаз между амплитудами волн накачки и ВГ обусловлена эффектами запаздывания генерации нелинейной поляризации и запаздывания распространения волн накачки и ВГ, выражаемых через комплексность тензора квадратичной восприимчивости (2) , а также функций Грина G (R, r , ) и G (R, r , 2 ), соответственно.

Однолучевая интерферометрия второй гармоники
Основная проблема фазовых измерений состоит в том, что экспериментально измеряемой величиной является интенсивность волны I = 8c E E , в которой информация о фазе волны полностью утеряна. Методы интерферометрии в нелинейной опти(1) (1) (2) (2) ке основаны на сложении двух волн, E = |E | exp(i1 ) и E = |E | exp(i2 ). (1) (2) Интенсивность суммарной волны E = E + E имеет вид

I =

c (1) (2) (1) (2) |E |2 + |E |2 + 2ReE E . 8

(4)

Последний член в выражении (4) - интерференционный, он пропорционален cos(2 - 1 ) и несет в себе информацию о фазах 1 и 2 (более корректно - о разности фаз 2 - 1 ). Наиболее простой и точный метод интерферометрии ВГ - однолучевая интерферометрия, основанная на использовании разности фаз между волнами ВГ и накачки, появляющейся из-за дисперсии фазосдвигающего элемента. Рассмотрим систему двух нелинейных образцов, нелинейно-оптические параметры одного из которых считаются заданными (их мы оговорим позднее). Этот образец будем называть эталонным или референсным. Второй образец - исследуемый. Пусть излучение накачки E e(it-ik z ) проходит через оба образца вдоль оси z с z = 0 совпадающим с референсом. Проходя 2


через эталон, излучение накачки генерирует волну ВГ |ER |eiR e(i2t-ik2 z ) Пусть ис2 следуемый образец находится в точке z = z0 . Непосредственно над его поверхностью (для геометрии на отражение) или за ним (в случае геометрии на просвет) поле волны ВГ от исследуемого образца имеет вид |ES |eiS e(i2t-i2k z0 ) (поскольку ES E2 ). 2 2 Суммарное поле ВГ от эталона и образца имеет вид:

Etotal (z , t) = |ER |ei 2 2

R

-ik2 z

0

+ |ES |ei 2

S

-i2k z

0

ei2

t-ik

2

(z - z 0 )

.

(5)

Детектируемая интенсивность ВГ от такой системы имеет вид
to I2tal =

c |ER |2 + |ES |2 + 2|ER ||ES | cos ((k2 2 2 2 2 8

- 2k



)z0 - (R - S )) .

(6)

R S Поскольку I2 8c |ER |2 и I2 8c |ES |2 - "парциальные"интенсивности ВГ от эта2 2 лона и образца, зависимость детектируемой интенсивности ВГ от расстояния между референсом и образцом, называемая интерферограммой ВГ, задается как to R S RS I2tal (z0 ) = I2 + I2 + 2 I2 I2 cos 2

z0 - (R - S ) , L

(7)

где период интерференционной картины L = 2 (n2 - n )-1 определяется дисперсией R среды в зазоре между образцами. "Парциальные"интенсивности ВГ, Величина I2 и S I2 могут быть измерены независимо вставлением в зазор фильтров, блокирующими to либо излучение ВГ, либо излучение накачки. Интерференционная картина I2tal (z0 ) получается при перемещении образца или референса (чаще всего) вдоль луча накачки. to Величина I2tal (0) одназначно определяет разность фаз = R - S . Сделаем несколько замечаний о выражении (7). (1). Выражение (7) получено в приближении плоских волн. При более сложной пространственной конфигурации волнового фронта луча накачки необходимо учитывать дополнительные набеги фаз, возникающие при проектировании волнового фронта на плоскость фотодетектора (фотокатода ФЭУ, например) и зависящие от координаты в поперечной к пучку плоскости. Суммирование этих фазовых сдвигов эффективно приводит к уменьшению контраста интерференционной картины и зависимости ее периода от координаты. Дополнительно, в расходящихся (как, впрочем, и в фокусирующихся) пучках, наряду с эффектами неплоского волнового фронта необходимо R S учитывать изменение интенсивностей I2 и I2 сигналов от референса и образца из-за изменения интенсивности накачки I . Проще всего это сделать в случае гауссова пучка с распределением интенсивности в поперечном направлении, что и будет рассмотрено ниже. (2). При выводе выражения (7) подразумевалось, что излучения накачки и ВГ полностью когерентны. В реальности, лишь излучение одномодового лазера можно считать близким к полностью когерентному. Оптическая неидеальность референса или образца (шероховатость) также приводит к сбою некогерентности излучений накачки и ВГ. Частичная когерентность излучений накачки и ВГ эффективно приводит к уменьшению контраста интерференционной картины и феноменологически учитывается введением в интерференционном члене множителя < 1. Подробнее влияние когерентности излучения лазера на интерферометрию ВГ будет рассмотрено ниже. 3


(3). В выражении (5) для полного поля ВГ пренебрегалось отражением (для геометрии на отражение) или прохождением (для геометрии на просвет) волны ВГ от эталона ER . Если поглощение на частоте ВГ в образце существенно, то френелев2 ские факторы становятся комплексными, приводя к дополнительному сдвигу фаз. Для его учета в выражениях (5 - 7) необходимо сделать замены |ER | |ER ||F2 | и 2 2 R R - ArgF2 . Сформулируем требования к эталонному образцу. (1) Он должен быть оптически неакивным. Из-за двулучепреломления в эталоне поляризация накачки может меняться при прохождении через референс, что недопустимо для интенферометрии ВГ, поскольку генерация ВГ существенно зависит от комбинации поляризаций излучений накачки и ВГ. (2) Для спектроскопической интерферометрии ВГ эталон должен быть существенно тоньше длины волны для избежания мейкеровских биений при перестройки длины волны накачки. (3) Парамеры отклика референса - |ER | и R счи2 таются известными. Амплитуда волны ВГ от эталона |ER | может быть определена из 2 R независимо измеренной интенсивности I2 , а фаза R считается либо известной, либо требует независимой калибровки. Для воздуха при 2 = 532 нм дисперсия n = n2 -n 4, 3ћ10-6 , и период интерференционной картины L 13 см. Достоинством воздушного варианта однолучевой интерферометрии ВГ является его высокая точность и отсутствие требования субмикронной стабильности расстояния z0 между эталоном и референсом, являющимся ключевым в линейной интерферометрии. Основным источником погрешности в воздушной интерферометрии ВГ является перемещение на большие расстояния эталона или образца. Этого недостатка лишена другая модификация метода однолучевой интерферометрии ВГ, в которой разность фаз между волнами ВГ от референса ER и образца ES 2 2 создается задержкой волны ER относительно волны накачки E в прозрачной линей2 ной среде (обычно плоскопараллельной пластине плавленного кварца), помещенной в зазор между эталоном и образцом. Если плоские волны накачки и ВГ падают под углом на плоскопараллельную плсатину толщиной D, то разность хода между ними складывается из разности хода внутри пластины и компенсирующей разности хода вне пластины: n 2 n D = D - - D (tg2 - tg ) sin , (8) cos 2 cos где углы внутри пластины = Arcsin n-1 sin и n - диэлектрическая проницае мость кварца на частоте . Тогда, аналогично выражению (7), полная интенсивность ВГ имеет вид: D to R S RS (n2 cos 2 - n cos ) - (R - S ) , (9) I2tal () = I2 + I2 + 2 I2 I2 cos 2 2 где углы и - функции угла . Поворот пластины вокруг оси, перпендикулярной to лучам накачки и ВГ, позволяет измерить инетерферограмму I2tal () и определить разность фаз R - S . "Кварцевая"методика интерферометрии ВГ оставляет неподвижными эталон и образец. Недостатком ее является параллельное смещение лучей накачки и ВГ от референса, что может оказаться критичным при исследовании неоднородных образцов. 4


Этого недостатка можно избежать, если создавать оптическую разность хода не в наклонной плоскопараллельной пластине, а при помощи двух клинов с иммерсированной внутренней границей раздела для уменьшения потерь. Если внешние грани клинов остаются перпендикулярными лучам накачки и ВГ, то изменение общей толщины кварца в лучах не приводит к их сдвигам. Сдвиг фаз между волнами ER и E можно изменять, контролируемым образом 2 варьируя давления газа в зазоре между эталоном и образцом. Для этого в зазор помещается кювета с газом (для уменьшения потерь на окнах кюветы эталон и образец по возможности также помещаются в кювету). В приближении линейной зависимости дисперсии газа n = n2 - n от давления p:

n(p) = n(p0 )

p , p0

(10)

где p0 - давление калибровки. Если в качестве рабочего газа используется воздух, то обычно p0 - атмосферное давление. Интерферограммой ВГ является зависимость полной интенсивности ВГ от давления газа в кювете:
to R S RS I2tal (p) = I2 + I2 + 2 I2 I2 cos 2

p - (R - S ) . p

(11)

Период интерференционной картины определяется величиной

p =

p0 2 , n(p0 )z0

(12)

где z0 - по-прежнему, расстояние между эталоном и образцом. При использовании в качестве накачки ИК излучение ИАГ-Nd3+ лазера, а воздуха как рабочего газа при нормальных условиях, то n(p0 ) = 4, 3 ћ 10-6 и p 9150/z0 Торр, если z0 измеряется в сантиметрах.

Интерферометрия второй гармоники в гауссовых пучках
Пусть пучок излучения накачки на частоте распространяется вдоль оси z, а = (x, y) - радиус-вектор в плоскости: перпендикулярной пучку, = 0 соответствует оси пучка. При z = 0 распределение амплитуды поля накачки по сечению имеет вид:

E (, z = 0) = E0 exp -

2

2 2 0

,

(13)

будучи действительной величиной, а волновой фронт - плоскость. Введем дифракци2 онную длину пучка zd = k n 0 и k - волновой вектор в вакууме. При распространении пучок дифрагирует на своей апертуре и амплитуда поля записывается в виде:

E (, z ) = E
где
2

0 0

(z )

exp -


2

2

2 (z )
z zd

exp -i

z + i(z ) , 2 (z ) zd
2



2

(14)

(z ) =

2 0

1+

z z

2 2 d

и (z ) = Arctg

. 5


В дальнейшем выберем масштаб z и в единицах zd и примет вид:

0

. Тогда выражение (14)

E (, z ) =
с
2

E0 2 2 exp - 2 exp -i 2 z + i(z ) , (z ) 2 (z ) 2 (z )

(15)

(z ) = 1 + z 2 и (z ) = Arctgz . Отметим следующие особенности дифракции гауссова пучка. (1) При распространении пучка он сохраняет гауссов профиль в сечении, перпендикулярном направлению его распространения I (, z ) = I0 2 exp - 2 . 2 (z ) (z )
(16)

(2) Эффективный радиус пучка возрастает по закону 1 + z 2 . (3) Амплитуда волны в пучке становится комплексной величиной. Смысл этой комплексности - изменение профиля волнового фронта. Если при z = 0 волновой фронт - плоскость, то по мере распространения пучка волновой фронт становится отличным от плоского. Форма волнового фронта определяется конкуренцией двух фазовых множителей - exp -i2 z /(2 2 ) и exp(i). Первый из них описывает сферический волновой фронт с радиусом кривизны R = k 2 /z (поскольку фаза сферической волны задается множителем exp(-ik 2 /(2R))). Вблизи оси пучка волновой фронт отличен от сферического и определяется фазовым множителем exp(i). В случае дифракции гауссова пучка на частоте 2 амплитуда поля ВГ задается аналогично выражению (14): E2 (, z ) = E
где
(2) (2) 0 0 (2) (z

)
2

exp -

2

2

(2)2

(z )

exp -i

2

2

z (z ) z
(2) d

(2)2

+ i

(2)

(z ) ,

(17)

(2)2

(z ) =

(2)2 0

1+

z z

пучком накачки при z = 0, то

(2)2 d

и

(2)

(z ) = Arctg

z z
(2) d

. Если пучок ВГ был прогенерен

E2 (, z = 0) = E
Тогда
(2) 0

(2) 0

exp - 2



2

(2)2 0

2 E0 exp -



2 2 0

.

(18)

=

0

/ 2иz

(2) d

= k2 n

(2)2 2 0

= 2k n

2 2 0

/2 = zd n2 /n
(2)2



= zd / , где k2
2 z zd 2



- волновой вектор изучения ВГ в вакууме. Значит,

(z ) =

2 0

/2 1 +

и
0

(2) (z ) = Arctg zd примет вид

z z
(2) d

. Тогда выражение для амплитуды волны ВГ в единицах
(2)

и

2 E exp - E2 (, z ) = 0 1 + 2z 1 + 2z2

2

exp -i

2 z + i 1 + 2z2

(2)

(z ) .

(19)

6


Рассмотрим схему однолучевой интерферометрии ВГ, при которой референс находится в плоскости z = 0, а образец - в плоскости z = z0 . Тогда поле ВГ от референса в плоскости z = z0 имеет вид выражения (19):

E (, z0 , t) = 2 2 z0 + i 1 + 2 z0
(2)

R 2

E

(2) 0 2 0

exp -

1 + 2z

2 1 + 2z

2 0

Ч

(20)

Ч exp -i

(z0 ) - ik2 n2 z0 + i2 t + i

R

.

S 2 Поле ВГ от образца в плоскости z = z0 E2 (z0 ) E (z0 ) и, следуя (15), имеет вид: S E2 (, z0 , t) =

E0 2 exp - 2 1 + z0 1+z

(2)

2 0 S

Ч .

(21)

Ч exp -i

2 2 z0 + i2(z0 ) - i2k n z0 + i2 t + i 1 + z0
S 2

R Интерференционный член E2 E

запишется в виде:

E (, z0 )E

R 2

S 2

(, z0 ) =

E

(2)2 0 2 0

exp -

2 (1 + z0 ) 1 + 2 z (2)

2 2 - 2 1 + z0 1 + 2z

2 0

Ч (22)

Ч exp -i

2 2 z0 + i 2 2 z0 + i 1 + 2 z0 1 + z0

(z0 ) - i2(z0 ) - ik2 n2 ( - 1)z0 + i ,

где = R - S . Выражение (23) может быть записано как
R E2 (, z0 )E S 2

(, z0 ) =

E
2 0

(2)2 0 2z2 0

exp -2 ( (z0 ) + i (z0 )) + i(z0 ) ,

(23)

(1 + z ) 1 +

где

(z0 ) =
и

2 2 + (1 + 2 )z0 2 2, (1 + z0 )(1 + 2 z0 ) 2 ( - 1)(1 - z0 ) 2 )(1 + 2 z 2 ) , (1 + z0 0

(24) (25)

(z0 ) = z

0

а независящая от поперечной координаты относительная фаза

(z0 ) =

(2)

(z0 ) - 2(z0 ) - k2 n2 ( - 1)z0 + .

(26)

C учетом выражений (21),(22), и (23), интенсивность суммарного поля ВГ запишется в виде
to I2tal (, z0 ) =

c E 8

(2) 2 0

1 2 2 exp - 2 1 + 2 z0 1 + 2z 1 (1 + z ) 1 +
7
2 0 2z2 0

2 0

+

1 2 2 exp - 2 (1 + z0 )2 1+z

2 0

+ (27)


c + E 8


(2) 2 0

2Re

exp -2 ( (z0 ) + i (z0 )) + i(z0 ) .


Полная интенсивность ВГ задается интегралом
to I2tal (z0 ) = + 0 to I2tal (, z0 )2 d,

(28)

имеющим смысл мощности суммарного излучения ВГ. Интегрирование выражения (28) приводит к следующей зависимости полной интенсивности от z0 в единицах

c/(8 ) E
to I2tal

(2) 2 0

:

2 1 + 2 z0 (z0 ) = + 2 + 2 Re (2 + (1 + 2 )z 2 ) + iz ( - 1)(1 - z 2 ) exp (i) . (29) 2 2(1 + z0 ) 0 0 0

Отметим, что выражение (29) получается при перемещении образца, а не эталона, который должен всегда находится в плоскости z = 0, где волновой фронт - плоский. Первый член в выражении (29) отражает постоянство "парциальной"интенсивности ВГ от эталона; второй член есть "парциальная"интенсивность ВГ от образца, зависящая от его координаты из-за расплывания пучка накачки. Перепишем выражение (29) для интерферограммы в виде, наиболее близком к традиционной записи для случая параллельных пучков:
to R S RS I2tal (z0 ) = I2 + I2 (z0 ) + 2ч(z0 ) I2 I2 (z0 ) cos 2

z0 + (z0 ) + , L

(30)

R S 2 где I2 = /2, I2 (z0 ) = / 2(1 + z0 ) , L = 2 /(k2 n2 ( - 1)), а 2 2 (1 + z0 )(1 + 2 z0 )

ч(z0 ) = 2

2 + (1 + 2 )z

22 0

2 + z0 ( - 1)(1 - z0 )

2

,

(31)

(z0 ) + Arctg( z0 ) - 2Arctg(z0 ). (32) (z0 ) Итак, при однолучевой интерферометрии ВГ в расходящемся гауссовом пучке полная интенсивность ВГ, аналогично случаю параллельных пучков, осциллирует как функция расстояния между эталоном и образцом, однако контраст и период интерференционной картины становятся зависящими от положения образца. Оценим характерные масштабы величин, описывающих дифракцию гауссова пучка. При начальном диаметре луча ИК накачки ИАГ-Nd3+ лазера ( = 1064 нм) (2) 2 0 0, 1 см, дифракционные длины пучков накачки и ВГ в воздухе zd zd 6 ћ 10 см, а = 1 - 4, 3 ћ 10-6 . При L 101 см, можно считать, что для воздушного варианта однолучевой интерферометрии при всех разумных экспериментальных величинах зазора между эталоном и образцом z << 1 в единицах zd . Поскольку (z0 ) = Arctg
2 ( - 1)(1 - z0 ) (z0 ) = z0 2, (z0 ) 2 + (1 + 2 )z0 3 или, с точностью до членов z0 :

(33)

z0 ( - 1) 1+ (z0 ) = 1- + (z0 ) 2 2
8

2

z

2 0

.

(34)


Раскладывая первый член в выражении (32) до линейного члена, а второй и третий - до кубичного, получим следующее приближенное выражение для дополнительного фазового сдвига (z0 ):

(z0 ) =
Окончательно,

z0 ( - 1) 1+ 1- + 2 2

2

z

2 0

+z

0

( - 2) -

2 z0 3 ( - 2) . 3

(35)

(z0 ) =

z0 2

(3 - 5) -

2 z0 -1 + 6 + 3 2 + 2 3

3

.

(36)

4 Подкоренное выражение для ч(z0 ) с точностью до членов z0 запишется в виде: 2 4 1 + z0 (1 + 2 ) + 2 z0 ч2 (z0 ) = 2 4. 4 4 + (4(1 + 2 ) + ( - 1)2 ) z0 + ((1 + 2 )2 - 2 ( - 1)2 ) z0

(37)

Для воздуха ( - 1) получим:

4 1, поэтому, пренебрегая в выражении (37) членами ( - 1)2 z0 ,

2 ч2 (z0 ) = 1 + z0 (1 + 2 ) + 2 z

4 0

(38) 4 4 Тогда выражение для ч(z0 ) с точностью до z0 и с пренебрежением членами ( - 1)2 z0 примет вид: 2 1 1 1 2 4 ч(z0 ) = 1 - ( - 1)2 z0 + 2 - 1 + 2 z0 . (39) 8 2 4 Выражения (36) и (39) показывают, что в первом приближении дополнительный фазовый сдвиг (z0 ) линеен по z0 , давая постоянную добавку в период интерференционной картины. Изменение контраста интерферограммы ВГ в основном определяется S зависимостью I2 от z0 , будучи более сильной зависимостью, чем ч(z0 ) из-за малости множителя ( - 1)2 для последнего. Отметим, что мы рассмотрели самую простую конфигурацию интерферометрии ВГ в гауссовом пучке, а именно, предполагалось, что эталон находится в поле накачки с плоским волновым фронтом. При более общем подходе необходимо рассматривать генерацию ВГ в дифрагирующем пучке с неплоским волновым фронтом как для образца, так и для эталона. Однако, учет дифракции в выражении для интерферограммы, полученном в (30) как появление поправок к периоду осцилляций и контрасту интерференционной картины, остается верен. Рассмотрим интерферометрию ВГ в пучке накачке, фокусирующимся тонкой сферической линзой. Предположим, что линза находится в плоскости z = 0. Тонкая сферическая линза преобразует плоский волновой фронт в сферический с радиусом кривизны, равном его фокусному расстоянию f , оставляя неизменным пространственное распределение интенсивности в плоскости z = 0. Тогда поле накачки сразу после линзы имеет следующий вид (сравните с выражением (13)):

1 1 2 1 - (1 + 2 ) + ( - 1)2 z0 - (1 + 2 )2 z 4 4

4 0

.

E (, z = 0) = E0 exp -
9

2

2 2 0

+ ik n



2 2f

.

(40)


Задача о распространении такого пучка сводится к учету дифракции гауссова пучка с начальным распределением амплитуды в виде выражения (40) и описывается аналогично выражению (14) с заменой действительного начального радиуса пучка 0 на комплексный радиус в виде:

1
2

=

1
2 0

-i

k n 1 zd = 2 1-i . f f 0

(41)

Распределение амплитуды поля накачки в сечении z фокусирующегося пучка запишется как:

E (, z ) = E
где
2 f

0 0 f

(z )

exp -

2
2 f

2

(z )

exp -i

2
2 f

2

(z )

z zd z - 1- zd f f

+ if (z ) ,
(42)

(z ) =

2 0 0

1-

z f

2

+

z z

2 2 d

, f (z ) = Arctg

1-

z f

-1

z zd

.

(43)

Выражая

единицах

, а z и f - в единицах zd , выражение (43) примет вид:

E (, z ) =
где

E0 2 1 2 z exp -i 2 z- exp - 2 1- f f 2 f (z ) 2 f (z ) f (z )
2 f

+ if (z ) ,

(44)

(z ) = 1 -

z f

2

+ z 2 , f (z ) = Arctg z 1 -

z f

-1

.

(45)

Итак, фокусировка гауссова пучка определяется величиной 1 - z /f . Форма фазового фронта определяется конкуренцией двух сферических фронтов, расходящегося с радиусом кривизны Rd = k n 2 /z , обусловленного дифракцией пучка, и расходяf щегося с радиусом кривизны Rf = -k n 2 f /(1 - z /f ), связанного с фокусировкой f пучка. Из выражения (45) для f можно получить, что перетяжка (caustic) пучка достигается в сечении z = zc , близком к фокусу:

zc =
В сечении перетяжки Rd + R перетяжке
f

f . 1 + f2

(46)

= 0, т.е. волновой фронт плоский. Радиус пучка в
2 c



2 f

(zc ) =

f2 , 1 + f2

(47)

т.е. 2 = f zc (напомним, что в действительности это означает, что 2 = f zc ( 0 /zd )) c c и выражает известный факт близкой к линейной зависимости радиуса перетяжки и фокусного расстояния тонкой линзы. Видно, что ненулевой радиус пучка в перетяжке, а также сдвиг положения перетяжки от фокуса целиком обусловлены дифракцией пучка. 10


В большинстве экспериментальных ситуаций f /zd 1, поэтому вначале рассмотрим интерферометрию ВГ в фокусирующемся пучке, пренебрегая эффектами его дифракционного расплывания. Это эквивалентно пренебрежению в выражениях (42) и (43) z /zd по сравнению с z /f . Выражение (42) для распределения амплитуды поля накачки в рамках этого приближения дается в виде:

E (, z ) =
0

E0 exp - (1 - z /f ) 2

2 0

2 (1 - z /f )2

exp i

2f

0

2 z d + if (z ) , (48) (1 - z /f )

Пусть эталон находится в сечении z = zR . Тогда распределение поля ВГ от эталона непосредственно за ним имеет вид:
R E2 (, zR ) = 2 0 2 E0 exp - (1 - zR /f )2 2 0

2 (1 - zR /f )2

Ч
(49)

exp i
Обозначив

f

0

2 z d + i2f (zR ) . (1 - zR /f )

f

2

(zR ) =

f , (1 - zR /f )

(50)

которая, как станет ясно ниже, имеет смысл локального фокусного расстояния волнового фронта пучка ВГ, запишем выражение (49) в виде:
R E2 (, zR ) = 2 E0 2 (z ) exp - fR

2 f

z 2 1 - i 2d f (zR ) (zR )

(2)

+ i2f (zR ) .

(51)

Из сравнения показателя экспоненты в выражении (51) с выражением (41) видно, что пучок ВГ от эталона будет распространяться как параллельный пучок излучения ВГ, проходящий через тонкую сферическую линзу с фокусным расстоянием f 2 , помещенную в плоскость z = zR . Распределение амплитуды ВГ описывается выражением, аналогичным выражению (42) и, пренебрегая дифракцией, имеет вид:
R E2 (, ) =

f

E (zR )

2 0 f ,R

( )

exp -



2

2 f ,R

( )

Ч
(52)
R

exp i



2

2 f ,R

( ) f

(2) d 2 (z R

z

)

1-

f (zR )
2

+ i2f (zR ) + if ( ) ,

(2)

где = z - zR - координата вдоль оси пучка, отсчитываемая от эталона, z как параметр, а , f ,R ( , zR ) = f (zR ) 1 - 2 f (zR )

входит (53) (54)

f ( , zR ) = Arctg 1 -

(2)

2 (z ) f R

-1

.

Пусть образец находится в плоскости z = zS . Рассмотрим геометрию интерферометрии ВГ, при которой образец фиксирован, а интерферограмма ВГ измеряется при 11


перемещении эталона. Тогда положение образца zS явдяется параметром задачи, а переменными являются зазор между эталоном и образцом и положение эталона zR = zS - . Обозначив (z ) = 1 - z /f и ( ) = 1 - /f 2 , запишем выражения для поля ВГ от эталона и от образца в плоскости zS в виде:
R E2 (, , zR , t) = 2 0 2 E0 exp - 2 (zR )( ) (2) f 2 0

2 2 (zR )2 ( )
R

Ч ,
(55)

exp i



2 2 0

zd + i2f (zR ) + i f (zR )( )

( ) - ik2 n2 + i2 t + i

S E2 (, , zS , t) =

2 0

2 E0 exp - 2 (zS )

2 0

2 2 (zS )
S

Ч ,
S 2

exp i



2 2 0

zd + i2f (zS ) - i2k n + i2 t + i f (zS )

(56)

R Аналогично выражению (23), интерференционный член E2 (, , zR )E пишется в виде: R E2 (, , zR )E S 2

(, , zS ) за-

(, , zS ) =

4 0

4 E0 2 2 (zS ) + 2 (zR )2 ( ) exp - 2 2 2 2 2 (zS )2 (zR )( ) 0 (zR ) ( ) (zS )

Ч

exp i

2 zd (zS ) - (zR )( ) (2) 2 f (z )( )(z ) + i(2f (zR ) + f ( ) - 2f (zS )) - ik2 n2 (1 - ) + i . (57) R S 0

Суммарная интенсивность ВГ в единицах c/(8 ) задается в виде интеграла (28):
to I2tal ( , zR , zS ) = R 2 2 S 2 + 0 S 2

d2 Ч (, , zS ) .
(58)

R |E (, , zR )| + |E (, , zS )|2 + 2ReE2 (, , zR )E

Тогда выражение для интерферограммы ВГ примет следующий вид:
to R S R S I2tal ( , zR , zS ) = I2 (zR ) + I2 (zS ) + 2 I2 (zR )I2 (zS )Re

ei , - i

.

(59)

где
R I2 (zR ) =

2
0 2 2

(zR )

S , I2 (zS ) =

2
0 2 2

(zS )

,

(60)

есть парциальные интенсивности ВГ от эталона и образца,

( , zR , zS ) = 2f (zR ) + f ( ) - 2f (zS ) - k2 n2 (1 - ) + ,
есть независящий от поперечной к пучку координаты сдвиг фаз, а

(2)

(61)

( , zR , zS ) - i( , zR , zS ) =

zd 2 (zS ) + 2 (zR )2 ( ) - i ((zS ) - (zR )( )) . (zR )( )(zS ) f
12

(62)


В терминах поправок к контрасту интерференционной картины и добавки к ее периоду, аналогично выражению (30), запишем выражение (59) как
to R S I2tal ( , zR , zS ) = I2 (zR ) + I2 (zS ) + R S +2чf ( , zR , zS ) I2 (zR )I2 (zS ) cos 2 + f ( , zR , zS ) + , L

(63)

где

-1

чf ( , zR , zS ) = f ( , zR , zS ) = Arctg

2 ( , zR , zS ) + 2 ( , zR , zS )

,

(64) (65)

( , zR , zS ) (2) + 2f (zR ) + f ( ) - 2f (zS ). ( , zR , zS )

Выражение (63) собой представляет наиболее полную форму записи интерферограммы ВГ в фокусируемых гауссовых пучках в приближении малости дифракции. В зависимости от того, перемещением каких элементов - эталона, образца или и эталона и образца - меняется зазор между образцом и эталоном, zR или zS являются R S переменными. Видно, что оба сигнала ВГ от эталона и образца I2 и I2 зависят от координаты из-за уменьшения эффективного радиуса пучка. Поскольку в реальной экспериментальной ситуации характерный масштаб фокусировки - фокусное расстояние f , оказывается сравнимым с zR и zS , то поправки к контрасту интерферограммы ВГ чf ( , zR , zS ) и к фазе f ( , zR , zS ) в общем случае не пренебрежимы.

13