|
Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес
оригинального документа
: http://theory.sinp.msu.ru/~tarasov/quant/obzad/z6.html
Дата изменения: Fri Jan 11 17:34:48 2008 Дата индексирования: Mon Oct 1 23:42:39 2012 Кодировка: koi8-r |
Задача 6.
Найти решения уравнения Шредингера для электрона, находящегося в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками и шириной
Решение.
Определим вид потенциального поля в условиях задачи: 
при 
∞ при 
, 
.
Таким образом, все пространство -∞ <
< ∞ разбито на три области: I, II, III. По условию задачи электрон находится в области II. Поскольку потенциальная яма имеет бесконечно высокие стенки, то электрон не может выйти за ее пределы, т.е. вероятность обнаружить электрон в областях I и III равна нулю:
и 
.
Из условия непрерывности волновой функции 
следует, что на границах потенциального поля в точках 
и 
; 
(1)
Соотношения (1) называются граничными условиями. Уравнение Шредингера для движения электрона в области II имеет вид:
. (2)
Уравнение (2) соответствует движению свободной частицы, т.к. в области 
потенциальное поле равно нулю 
. Введем обозначение
(3)
С учетом (3) уравнение (2) запишем в виде:
. (4)
Решением уравнения (4) с граничными условиями (1) будут функции:
, (5)
где 
и 
- некоторые постоянные, определяемые из граничных условий (1). Отсюда при 
, функция 
и константа 
Подставляя в (5) 
, находим 
, т.е. 
. Поскольку 
, то 
. Тогда
, (6)
где 
. Из соотношений (3) и (6) находим возможные значения энергии электрона:
. (7)
Таким образом, граничные условия выполняются лишь для дискретного ряда значений энергии 
. Следовательно, из решения уравнения Шредингера следует, что частица, находящаяся в потенциальной яме, может иметь только дискретный спектр энергий.
Решения уравнения (4) в виде 
, отвечающие значениям энергии частицы 
, можно записать с учётом (6) в виде:
. (8)
Постоянную 
.
Подставляя (8) в это соотношение, будем иметь
.
Следовательно, 
Для волновой функции 
получим нормированное выражение
.
а) б)
Состояния электронов, описываемые этой функцией, являются стационарными состояниями. На рис.2 приведены графики (а) значений энергии 
(б) волновых функций 
и (в) плотностей распределения вероятности 
. График характеризует распределение вероятности обнаружения электрона в том или ином месте внутри ямы при различных значениях энергии электрона. Как видно из рисунка, в низшем энергетическом состоянии n=1 (основное состояние) с наибольшей вероятностью можно найти электрон около середины ямы, а вероятность найти его у стенок равна нулю. Этот результат резко отличается от того, который можно ожидать для макроскопической частицы. Классическую частицу с равной вероятностью можно найти в любом месте пространства, так как кривая распределения плотности вероятности для нее должна идти параллельно оси абсцисс.