Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес
оригинального документа
: http://theory.sinp.msu.ru/~tarasov/quant/obzad/z8.html
Дата изменения: Fri Jan 11 17:35:28 2008 Дата индексирования: Mon Oct 1 23:42:46 2012 Кодировка: koi8-r |
Задача 8.
В основном состоянии атома водорода радиальная волновая функция электрона имеет вид:,
где - константа; - первый боровский радиус. Найти наиболее вероятное расстояние электрона от ядра и среднее расстояние электрона от ядра.
Решение.
Плотность вероятности обнаружить электрон в тонком шаровом слое радиуса не зависит от углов и , и выражается формулой . Наиболее вероятному расстоянию от ядра до электрона соответствует , при котором имеет максимум. Для нахождения расстояния, соответствующего максимуму, приравниваем нулю производную от
,
где - постоянная. Получим:
.
Находим , то есть наиболее вероятное расстояние равно радиусу первой боровской орбиты. Среднее расстояние найдем, пользуясь формулой для нахождения среднего
,
где интегрирование проводится по всему бесконечному объему, а волновая функция нормирована:
.
Получаем формулу для среднего значения радиуса:
;
и условие нормировки
.
Для вычисления интегралов можно воспользоваться табличным интегралом:
.
Из условия нормировки получаем
.
Подставив найденное значение в интеграл для <>, найдем
.