Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://vestnik.math.msu.su/DATA/2002/1/node13
Дата изменения: Unknown
Дата индексирования: Sun Apr 10 22:09:31 2016
Кодировка: Windows-1251
Вестник МГУ. Математика. Механика
Вестник Московского Университета. Математика, Механика - Содержание


Научно-исследовательский семинар по общей топологии имени П.С. Александрова (заседания 1998/99 учебного года) // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1, Математика. Механика. 2002. N.1 C. 62-69.

НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ СЕМИНАР ПО ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ
ИМЕНИ П.С. АЛЕКСАНДРОВА
(основан П.С. Александровым в 1924 г.)

Руководители: П.С. Александров (1924-1982), Ю.М. Смирнов (1982-1983), В.В. Федорчук (с 1983 г.)

Заседания осеннего семестра 1998/99 учебного года

24 сентября

1. А. Белла (Италия), В.И. Малыхин. Большие и малые подмножества групп. Подмножество $A$ группы $G$ называется большим, если найдется конечное подмножество $H$, такое, что $AH=G$ и $HA=G$. Это понятие имеет свое очевидное происхождение из теории вполне ограниченных групп. Далее, подмножество $B$ группы $G$ называется малым, если для любого конечного подмножества $H$ дополнение множества $HBH$ является большим. Получены результаты о свойствах этих подмножеств в абстрактных группах и группах топологических. Остались интересные нерешенные вопросы, например, всякая ли топологическая группа имеет малую тесноту?

2. Е.Е. Скурихин (Владивосток). Общетопологические методы в теории пучков. Предлагаются конструкции, позволяющие применять методы общей топологии к предпучкам множеств на произвольной категории. Приводятся некоторые общетопологические понятия и построения, которые в контексте упорядоченных множеств, снабженных топологией Гротендика, играют важную роль в абстрактной теории пучков.

1 октября

1. С.А. Богатый. Цветная теорема Тверберг. Дан вариант цветной теоремы Тверберг с контролируемым появлением цветов. Полученный результат усиливает теорему Живаевича-Вречицы уже в случае запрещения повтора цветов (в случае когда число цветов не является простым, количество точек каждого цвета уменьшается на 1 по сравнению с оригинальной теоремой Живаевича-Вречицы).

2. А.В. Одиноков. Бесконечномерный компакт, разложимый в обратную последовательность индуктивно одномерных пространств. Для каждого $p=2, 3,\dots, \omega, \infty$ построен совершенно нормальный наследственно сепарабельный компакт $Y_p$ с ${\rm tr}{\rm Ind}Y_p=p$, являющийся пределом обратной последовательности периферически счетных змеевидных компактов.

8 октября

С.А. Богатый, В.В. Федорчук, Я. ван Милл (Нидерланды). Разложение Урысона и вложения (малократные отображения) компактов. Для $\sigma$-компактного подмножества $A\subset X$ изучается проблема существования отображения $f: X\to {\bf R}^m$, взаимно однозначного на некотором $G_\delta$-подмножестве $B\supset A$. Построен такой пример $\sigma$-компактного нульмерного подмножества $A$ одномерного компакта $X$, что для всякого непрерывного отображения $f: X\to {\bf R}$ и всякого объемлющего $G_\delta$-множества $B\supset A$ для некоторой точки $t\in{\bf R}$ множество $f^{-1}\cup B$ бесконечно.

15 октября

А.В. Архангельский. Нормальность и всюду плотные подпространства. Показано, что пространство $C_p(\omega_1+1)$ не содержит никакого всюду плотного нормального подпространства. Подмножество $A$ пространства $X$ называется сконцентрированным на подпространстве $Y\subset X$, если $A\cap Y$ всюду плотно в $A$. Скажем, что $X$ нормально на $Y\subset X$, если любые непересекающиеся замкнутые в $X$ множества, сконцентрированные на $Y$, могут быть отделены непересекающимися окрестностями в $X$. В $C_p(\omega_1+1)$ нет никакого всюду плотного подпространства, на котором $C_p(\omega_1+1)$ нормально. Показано также, что в ${\bf R}^{\fam\gothicfambf c}$ (где ${\fam\gothicfambf c}=2^\omega$) существует счетное всюду плотное подпространство $Y$, на котором ${\bf R}^{\fam\gothicfambf c}$ не нормально.

22 октября

1. В.В. Федорчук, А.Ч. Чигогидзе (Канада). О реализации размерности многообразиями. Доказано, что если $n\geq 4, L$ -- симплициальный комплекс типа $\vert L\vert\geq \vert S^n\vert$ и $B$ -- метризуемый компакт экстензорной размерности ${\rm ed}(B)=\vert L\vert$, то в предположении принципа Йенсена существует гладкое, счетно компактное, совершенно нормальное, сепарабельное $n$-многообразие $M^{n, \vert L\vert}$ размерности ${\rm ed} (M^{n, \vert L\vert})=\vert L\vert$.

2. Д.В. Малыхин. Об индуктивной размерности произведения бикомпактов. Построены два примера, касающиеся индуктивной размерности произведений: 1) такой линейно упорядоченный континуум и такой двумерный во всех смыслах бикомпакт, что их произведение индуктивно четырехмерно; 2) такое индуктивно двумерное регулярное пространство, что его произведение на отрезок действительной прямой индуктивно четырехмерно.

29 октября

Е.А. Резниченко, О.В. Сипачева. Локально выпуклые пространства Фреше-Урысона. Введены новые классы пространств, обладающих свойством Фреше-Урысона относительно конечных подмножеств ($FU_f$-пространства), сходящихся последовательностей ($FU_s$-пространства) и метризуемых компактных подпространств ($FU_c$-пространства). Доказано, что всякое $FU_f (FU_s-)$ пространство вкладывается в (полное) ЛВП Фреше-Урысона. Если пространство $C_\lambda(X)$ непрерывных функций на $X$ с топологией равномерной сходимости на элементах (произвольного) семейства $\lambda$ ограниченных подмножеств $X$ обладает свойством Фреше-Урысона, то оно является $FU_f$-пространством, а если оно вдобавок секвенциально полно, то $FU_c$-пространством.

5 ноября

1. А.В. Архангельский. Вокруг теоремы Комфорта-Росса о псевдокомпактных группах. Обсуждается роль понятия московского пространства в альтернативном доказательстве известной теоремы Комфорта и Росса о псевдокомпактных топологических группах. Пространство называется московским, если замыкание каждого открытого множества является объединением $G_\delta$-множеств. Показано, что каждая топологическая группа счетной тесноты и каждая топологическая группа со счетным числом Суслина являются московскими пространствами. Почти метризуемые группы также московские. Важная роль понятия московского пространства объясняется, с одной стороны, широтой класса (к нему принадлежат все экстремально несвязные пространства и все пространства счетного псевдохарактера), а с другой -- исключительно удачным их взаимодействием с понятием $C$-вложенности.

2. В.В. Федорчук, А.Ч. Чигогидзе (Канада). О размерностных свойствах многообразий. В предположении принципа Йенсена строятся $4$-многообразия $M_1$ и $M_2$ с $\dim M_1\times M_2 <\dim M_1 +\dim M_2$. Показано, что экстензорные размерности открытых подмножеств $4$-многообразий могут принимать достаточно произвольные счетные множества значений $\vert L\vert\geq \vert S^n\vert$.

12 ноября

1. Е.А. Резниченко. Фрагментируемые пространства и аппроксимация топологии метрикой. Получено несколько достаточных условий того, что метрика $d$ на компакте $X$ фрагментирует топологию $X$. Например, если $X$ -- монолитный компакт и метрика $d$ полунепрерывна сверху, то $d$ фрагментирует топологию $X$ в том и только в том случае, если для любого сепарабельного подмножества $Y\subset X$ пространство $(Y, d)$ сепарабельно.

2. А.Н. Якивчик. Субнормальность и подпространства произведений. $T_1$-пространство называется субнормальным, если любые два его замкнутых дизъюнктных подмножества содержатся в некоторых дизъюнктных $G_\delta$-множествах. Доказано утверждение о наследственной субнормальности произведения двух пространств, аналогичное классической теореме Катетова. Показано, что наследственная субнормальность всех конечных степеней бикомпакта не влечет его метризуемости. Найдены некоторые достаточные условия для наследственной субнормальности произведений.

19 ноября

1. К.Л. Козлов, Б.А. Пасынков, В.А. Чатырко (Швеция). Об одном методе построения бикомпактов с несовпадающими размерностями $\dim$ и ${\rm ind}$. Изучаются общие закономерности в построении бикомпактов $X$ с $\dim X<{\rm ind}X$. Любому регулярному $T_1$-пространству $X$ ставится в соответствие класс $T(X)$ регулярных $T_1$-пространств. Элементы этого класса $T(X)$ называются охвощениями $X$. Приведены два конкретных типа охвощений. Для любого бикомпакта $X$ с $\dim X={\rm ind}X>0$ приводимые построения позволяют получить бикомпакт $Y$ с $\dim Y=\dim X$ и ${\rm ind}Y>\dim X$. Охвощения позволяют получить, например, бикомпакт с совпадающими размеростями $\dim$ и ${\rm ind}$, у квадрата которого эти размерности не совпадают.

2. Ю.В. Садовничий. О некоторых категорных свойствах функторов $U_\tau$ и $U_R$. Основным объектом исследования является единичный шар $U_\tau(X)$ неотрицательных $\tau$-аддитивных и единичный шар $U_R(X)$ неотрицательных радоновских мер на тихоновском пространстве $X$. Конструкции $U_\tau$ и $U_R$ функториальны. Доказывается, в частности, что функторы $U_\tau$ и $U_R$ обладают основными свойствами нормальности, кроме свойства сохранения точки, которая под воздействием этих функторов переходит в единичный отрезок $[0, 1]$.

26 ноября

1. С.А. Агеев (Белоруссия). Характеризация пространств Небелинга. Дано доказательство известной гипотезы о характеризации универсального $n$-мерного пространства Небелинга. Доказательство опирается на теорему триангуляции многообразий, моделированных пространством Небелинга.

2. В.И. Пономарев. Вокруг теорем П.С. Александрова, Ф. Хаусдорфа, В. Гуревича.
Теорема 1. $A$-множество $E$ в полном по Чеху пространстве $X$ либо $\sigma$-разрежено, либо содержит замкнутое в $E$ множество $\Phi$, допускающее совершенное неприводимое отображение на канторово совершенное множество.
Теорема 2. Если $A$-множество $E$ в полном по Чеху пространстве $X$ не является $\sigma\psi$-разреженным, то существует замкнутое в $E$ множество $\Phi$, допускающее совершенное неприводимое отображение на пространство $P$ иррациональных чисел.

Пространство $X$ называется $\psi$-разреженным, если в каждом замкнутом множестве $F$ имеются точка $x_0\in F$ и окрестность $U_{x_0}$ относительно $F$, такая, что ее замыкание $[U_{x_0}]$ псевдокомпактно.

3 декабря

1. Д.П. Батуров (Орел). О всюду плотных нормальных подпространствах произведений.
Теорема. Если $M$ -- сепарабельное неодноточечное метрическое пространство, то существует подмножество $Z$ пространства $M^{2^{\fam\gothicfambf c}}$, такое, что а) $Z$ плотно в $M^{2^{\fam\gothicfambf c}}$; б) $Z=\cup Z_m$, где $Z_1\subset Z_2\subset\dots$, $Z_i (i\in{\bf N})$ -- дискретное замкнутое подмножество $Z$ и $\vert Z_1\vert={\fam\gothicfambf c}$; в) $Z$ нормально.

2. В.В. Федорчук, Е.В. Щепин, М. Левин (Израиль). О размерности Брауэра. Доказано, что ${\rm Dg}X=\dim X$ для всякого метризуемого компакта $X$, где ${\rm Dg}$ -- индуктивный размерностный инвариант, введенный еще в 1913 г. Что касается малого размерностного инварианта ${\rm dg}$, который можно ввести по аналогии с ${\rm Dg}$, то ${\rm dg}X\leq 2$ для всякого метризуемого компакта $X$.

10 декабря

1. А.В. Архангельский. Об уплотнениях $C_p$-пространств. Уплотнением называется непрерывное взаимно однозначное отображение ``на''.
Теорема. Для каждого $\sigma$-компактного метризуемого пространства $X$ пространство