Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.cmc-online.ru/contest/school/problems/Prob_02m.pdf Дата изменения: Thu Apr 26 16:33:39 2007 Дата индексирования: Fri Feb 28 20:18:43 2014 Кодировка:

1 NATURALXNYH ^ISEL (a1 b1 c1) I (a2 b2 c2) TAKIH, ^TO a2 + b12 = c12 , a > b , a1b2 6= a2b1 (i 2f1 2g)? 2. zOLOTOaLI-bABY. aLI-bABA I 40 RAZBOJNIKOW VIWUT W PE]ERE I STEREGUT SWOINESMETNYE BOGATSTWA. kAPITALY 40 RAZBOJNIKOW SOSTAWLQ@T 41-ZNA^NYE ^ISLA MONET, SOSTOQ]IE IZ 40 DWOEK I ODNOGO NULQ (WSE ^ISLA RAZNYE). eSLI aLI-bABA PROSYPAETSQWDURNOM NASTROENII, TOONSOBIRAET SEBE SO WSEH RAZBOJNIKOWODINAKOWU@ SUMMU (KAKU@ ZAHO^ET), AESLIWHORO EM | LIBO ZASTAWLQET ODNOGO IZ RAZBOJNIKOW RAZDATX ^ASTX SWOEGO KAPITALA POROWNU DRUGIM RAZBOJNIKAM, LIBO WYBIRAET S^ASTLIW^IKA, KOTOROMU WSE OSTALXNYE RAZBOJNIKI DOLVNY OTDATX PO ODINAKOWOMU ^ISLU MONET. nEWYPOLNIMYH PRIKAZOW aLI-bABA NEDAET. sMOVET LI aLI-bABA TAK UPRAWLQTX RAZBOJNIKAMI, ^TOBY KOGDA-NIBUDX IH KAPITALY URAWNQLISX? aLI-bABU RAZBOJNIKOMNE S^ITATX. 3. oKRUVNOSTI. ~ETYRE OKRUVNOSTI PERESEKAA @TSQ TAK, KAK POKAZANONA RISUNKE. dOKAZATX, ^TO ESLI TO^KI A, B , C , D LEVAT NA ODNOJ OKRUVNOSTI, TO I KL B TO^KI K , L, M , N LEVAT NA ODNOJOKRUVNOSTI. N 4. rEPKA. nA BESKONE^NOMPOLEW KLETKUW NEKODC TORYH KLETKAH WYROSLOPOODNOJ rEPKE. ~ASTX OSTALXNYH KLETOK ZANIMA@T ODNA mY KA I DOSTATO^NOBOLXM OE ^ISLO kO EK, vU^EK, wNU^EK, bABOK I dEDOK TAK, ^TO W KAVDOJ KLETKE NAHODITSQ NE BOLEE ODNOGO PERSONAVA, PRI^EM IM NE RAZRE AETSQ PEREHODITX W DRUGIE KLETKI WO WREMQ UBORKI UROVAQ. zATEM mY KA TQNET ZA WSEH SOSEDNIH (TO ESTX NAHODQ]IHSQ W SOSEDNIH KLETKAH) kO EK, KAVDAQkO KA | ZA WSEH SOSEDNIH vU^EK I T. D. W UKAZANNOM WY E PORQDKE. nAKONEC, KAVDYJ dEDKA TQNET ZA WSE SOSEDNIE rEPKI. kAKOE NAIBOLX EE ^ISLO rEPOK MOVET BYTX WYTA]ENO? sOSEDNIMI S^ITATX KLETKI, IME@]IE OB]U@ STORONU. 5. cIFRY. iSPOLXZUQ WSE CIFRY 0, 1, 2, ..., 9 ROWNOPOODNOMU RAZU, ZAPISATX KAK MOVNO BOLX E ^ISEL TAK, ^TOBY DLQ L@BYH DWUH ^ISEL SUMMA CIFR MENX EGO BYLA BOLX E SUMMY CIFRBOLX EGO. 6. lIFT. w OLIMPIADEFAKULXTETA wmIk mgu U^ASTWU@T KOLXNIKI OB]EJ MASSOJ NE BOLEE 41400 KG. iZWESTNO, ^TO KAVDYJ KOLXNIK WESIT NE BOLEE 60 KG. gRUZOPOD_EMNOSTX LIFTA 900 KG. A) dOKAZATX, ^TOLIFTZA 49 POEZDOKMOVET PODNQTX WSEH KOLXNIKOWNA ESTOJ \TAV. B) mOVNO LI GARANTIROWATX, ^TO HWATIT 48 POEZDOK?
i i i i i

1.

oLIMPIADA FAKULXTETA wmIk mguPOMATEMATIKE 24 MARTA 2002 GODA 8 KLASS pSEWDOPIFAGOR. sMOVET LI MUDREC pSEWDOPIFAGOR NAJTI DWE TROJKI


SWOINESMETNYE BOGATSTWA. kAPITALY 40 RAZBOJNIKOW SOSTAWLQ@T 41-ZNA^NYE ^ISLA MONET, SOSTOQ]IE IZ 40 DWOEK I ODNOGO NULQ (WSE ^ISLA RAZNYE). eSLI aLI-bABA PROSYPAETSQWDURNOM NASTROENII, TOONSOBIRAET SEBE SO WSEH RAZBOJNIKOWODINAKOWU@ SUMMU (KAKU@ ZAHO^ET), AESLIWHORO EM | LIBO ZASTAWLQET ODNOGO IZ RAZBOJNIKOW RAZDATX ^ASTX SWOEGO KAPITALA POROWNU DRUGIM RAZBOJNIKAM, LIBO WYBIRAET S^ASTLIW^IKA, KOTOROMU WSE OSTALXNYE RAZBOJNIKI DOLVNY OTDATX PO ODINAKOWOMU ^ISLU MONET. nEWYPOLNIMYH PRIKAZOW aLI-bABA NEDAET. sMOVET LI aLI-bABA TAK UPRAWLQTX RAZBOJNIKAMI, ^TOBY KOGDA-NIBUDX IH KAPITALY URAWNQLISX? aLI-bABU RAZBOJNIKOMNE S^ITATX. 2. oKRUVNOSTI. ~ETYRE OKRUVNOSTI PERESEKAA @TSQ TAK, KAK POKAZANO NA RISUNKE. dOKAZATX, ^TO ESLI TO^KI A, B , C , D LEVAT NA ODNOJ OKRUVNOSTI, TO I KB L TO^KI K , L, M , N LEVAT NA ODNOJOKRUVNOSTI. N 3. uRAWNENIE W PROSTYH ^ISLAH. rE ITX W DC PROSTYH ^ISLAH URAWNENIE: x + y = z: 4. cIFRY. iSPOLXZUQ WSE CIFRY 0, 1, 2, ..., M 9 ROWNO PO ODNOMU RAZU, ZAPISATX KAK MOVNO BOLX E ^ISEL TAK, ^TOBY DLQ L@BYH DWUH ^ISEL SUMMA CIFR MENX EGOBYLA BOLX E SUMMY CIFR BOLX EGO. 5. fUNKCIQ. iZWESTNO, ^TO FUNKCIQ f (x) DLQ L@BOGO x UDOWLETWORQET SOOTNO ENI@ f (x) = ;f (x2 ; 2): dOKAZATX: A) URAWNENIE f (x) = 0 IMEET BESKONE^NOE MNOVESTWO RAZLI^NYH KORNEJ, B) URAWNENIE f (x) = 0 IMEET KORENX NA INTERWALE (1 999 2). 6. lIFT. w OLIMPIADEFAKULXTETA wmIk mgu U^ASTWU@T KOLXNIKI OB]EJ MASSOJ NE BOLEE 41400 KG. iZWESTNO, ^TO KAVDYJ KOLXNIK WESIT NE BOLEE 60 KG. gRUZOPOD_EMNOSTX LIFTA 900 KG. A) dOKAZATX, ^TOLIFTZA 49 POEZDOKMOVET PODNQTX WSEH KOLXNIKOWNA ESTOJ \TAV. B) mOVNO LI GARANTIROWATX, ^TO HWATIT 48 POEZDOK?
y x

1.

oLIMPIADA FAKULXTETA wmIk mguPOMATEMATIKE 24 MARTA 2002 GODA 9 KLASS zOLOTOaLI-bABY. aLI-bABA I 40 RAZBOJNIKOW VIWUT W PE]ERE I STEREGUT


PRQMYE RASPOLOVENY NA PLOSKOSTI TAK, KAK POKAZANO NA RISUNKE. dOKAZATX, ^TO ESLI OTREZKI AA1 I EE1 PARALLELXNY ILI OTREZKI BB1 I FF1 PARALLELXNY, TOTO^KI C , C1, D1, D LEVAT NA ODNOJOKRUVNOSTI.
A A
2.

1.

oLIMPIADA FAKULXTETA wmIk mguPOMATEMATIKE 24 MARTA 2002 GODA 10 KLASS oKRUVNOSTI I PRQMYE. ~ETYRE OKRUVNOSTI RAZNOGO DIAMETRA I DWE
BC
1

D
1

E E
1

F F
1

B

1

C

D

1

ODNOJ rEPKE. ~ASTX OSTALXNYH KLETOKZANIMA@T ODNA mY KA I DOSTATO^NOBOLX OE ^ISLOkO EK, vU^EK, wNU^EK, bABOKIdEDOKTAK, ^TO W KAVDOJKLETKENAHODITSQ NE BOLEE ODNOGO PERSONAVA, PRI^EM IM NE RAZRE AETSQ PEREHODITX W DRUGIE KLETKI WO WREMQ UBORKI UROVAQ. zATEM mY KA TQNET ZA WSEH SOSEDNIH (TO ESTX NAHODQ]IHSQ W SOSEDNIH KLETKAH) kO EK, KAVDAQ kO KA | ZA WSEH SOSEDNIH vU^EK I T. D. W UKAZANNOM WY E PORQDKE. nAKONEC, KAVDYJ dEDKA TQNET ZA WSE SOSEDNIE rEPKI. kAKOE NAIBOLX EE ^ISLO rEPOKMOVET BYTX WYTA]ENO? sOSEDNIMI S^ITATX KLETKI, IME@]IE OB]U@ STORONU. 3. kWADRATNYE URAWNENIQ. dOKAZATX, ^TOSU]ESTWUET BESKONE^NOMNOGO PAR WZAIMNO PROSTYH NATURALXNYH ^ISEL p I q TAKIH, ^TO KAVDOE IZ ^ETYREH KWADRATNYH URAWNENIJ x2 px q = 0 IMEET PODWA CELYH KORNQ. 4. pOSLEDOWATELXNOSTX CELYH ^ISEL. pOSLEDOWATELXNOSTX fa g ZADANA p USLOWIQMI: a1 = 2002, a +1 = 201a + 20 101a2 +5996 (n 2 N ). dOKAZATX, ^TO WSE \LEMENTY fa g | CELYE ^ISLA. 5. fUNKCIQ. iZWESTNO, ^TO FUNKCIQ f (x) DLQ L@BOGO x UDOWLETWORQET SOOTNO ENI@ f (x) = ;f (x2 ; 2): dOKAZATX: A) URAWNENIE f (x) = 0 IMEET BESKONE^NOE MNOVESTWO RAZLI^NYH KORNEJ, B) URAWNENIE f (x) = 0 IMEET KORENX NA INTERWALE (1 999 2). 6. oTOBRAVENIE. oBOZNA^IM ^EREZ E3 MNOVESTWO WSEH NABOROW WIDA (a1 a2 ::: a ), SOSTOQ]IH TOLXKO IZ ^ISEL 0, 1, 2. nABOR (a1 a2 ::: a ) PRED ESTWUET NABORU (b1 b2 ::: b ) TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA DLQ L@BOGO i (i = 1 n) a 6 b . 4 oTOBRAVENIE ' : E3 ! E32 NAZYWAETSQ MONOTONNYM TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA DLQ L@BOJ PARY NABOROW (a1 a2 a3 a4) I (b1 b2 b3 b4) TAKOJ, ^TO NABOR (a1 a2 a3 a4) PRED ESTWUET NABORU (b1 b2 b3 b4), WYPOLNENO: NABOR (c1 c2) = '(a1 a2 a3 a4) PREDESTWUET NABORU (d1 d2) = '(b1 b2 b3 b4). pRIWESTI PRIMER TAKOGOMONOTONNOGOOTOBRAVENIQ ' : E34 ! E32, DLQ KOTOROGOPRI L@BYH x y 2 E31 WERNO: '(x x y y)= (x y).
n n n n n n n n n i i

rEPKA. nA BESKONE^NOM POLE W KLETKU W NEKOTORYH KLETKAH WYROSLO PO


KOSTI TAK, ^TO OKRUVNOSTX ! PERESEKAETSQ S OKRUVNOSTX@ ! +1 W TO^KAH A I B (\NESOSEDNIE" OKRUVNOSTI MOGUT PERESEKATXSQ), n = 1 2001 . pRQMAQ a PROHODIT ^EREZ WSE TO^KI A1 A2 ::: A2001 I PERESEKAET OKRUVNOSTI !1 I !2002 W TO^KAH A0 I A2002, SOOTWETSTWENNO. pRQMAQ b PROHODIT ^EREZ WSE TO^KI B1 B2 ::: B2001 I PERESEKAET OKRUVNOSTI !1 I !2002 WTO^KAH B0 I B2002, SOOTWETSTWENNO. dOKAZATX, ^TO SEREDINY OTREZKOW A0B0 I A2002B2002 ITO^KA PERESE^ENIQ PRQMYH A0B2002 I A2002B0 LEVAT NA ODNOJ PRQMOJ. 2. dELIMOSTX. pRI KAKIH CELYH n ^ISLO n10 DELITSQ BEZ OSTATKA NA ^ISLO 2 ; n ; 6? n 3. pOSLEDOWATELXNOSTX CELYH ^ISEL. pOSLEDOWATELXNOSTX fa g ZADANA p USLOWIQMI: a1 = 2002, a +1 = 201a + 20 101a2 +5996 (n 2 N ). dOKAZATX, ^TO WSE \LEMENTY fa g | CELYE ^ISLA. 4. fUNKCIQ. iZWESTNO, ^TO FUNKCIQ f (x) DLQ L@BOGO x UDOWLETWORQET SOOTNO ENI@ f (x) = ;f (x2 ; 2): dOKAZATX: A) URAWNENIE f (x) = 0 IMEET BESKONE^NOE MNOVESTWO RAZLI^NYH KORNEJ, B) URAWNENIE f (x) = 0 IMEET KORENX NA INTERWALE (1 999 2). 5. lIFT. w OLIMPIADEFAKULXTETA wmIk mgu U^ASTWU@T KOLXNIKI OB]EJ MASSOJ NE BOLEE 41400 KG. iZWESTNO, ^TO KAVDYJ KOLXNIK WESIT NE BOLEE 60 KG. gRUZOPOD_EMNOSTX LIFTA 900 KG. A) dOKAZATX, ^TOLIFTZA 49 POEZDOKMOVET PODNQTX WSEH KOLXNIKOWNA ESTOJ \TAV. B) mOVNO LI GARANTIROWATX, ^TO HWATIT 48 POEZDOK? 6. oTOBRAVENIE. oBOZNA^IM ^EREZ E3 MNOVESTWO WSEH NABOROW WIDA (a1 a2 ::: a ), SOSTOQ]IH TOLXKO IZ ^ISEL 0, 1, 2. nABOR (a1 a2 ::: a ) PRED ESTWUET NABORU (b1 b2 ::: b ) TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA DLQ L@BOGO i (i = 1 n) a 6 b . 4 oTOBRAVENIE ' : E3 ! E32 NAZYWAETSQ MONOTONNYM TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA DLQ L@BOJ PARY NABOROW (a1 a2 a3 a4) I (b1 b2 b3 b4) TAKOJ, ^TO NABOR (a1 a2 a3 a4) PRED ESTWUET NABORU (b1 b2 b3 b4), WYPOLNENO: NABOR (c1 c2) = '(a1 a2 a3 a4) PREDESTWUET NABORU (d1 d2) = '(b1 b2 b3 b4). pRIWESTI PRIMER TAKOGOMONOTONNOGOOTOBRAVENIQ ' : E34 ! E32, DLQ KOTOROGOPRI L@BYH x y 2 E31 WERNO: '(x x y y)= (x y).
n n n n n n n n n n n n n i i

1.

oLIMPIADA FAKULXTETA wmIk mguPOMATEMATIKE 24 MARTA 2002 GODA 11 KLASS 2002 OKRUVNOSTI. 2002 OKRUVNOSTI !1 !2 ::: !2002 RASPOLOVENY NA PLOS

-