|
whitewater
|
|
newby
|
|
|
|
|
|
|
Рег.: 13.10.2011
|
|
Сообщений: 1362
|
|
Из: Default
|
|
Рейтинг: 2757
|
|
Бросание иголки на разлинованный лист бумаги
12.01.2012 11:27
|
|
|
Помогите, пожалуйста.
Задача такая - на листе бумаги нарисованы параллельные прямые, расстояние между двумя соседними - d. На лист бросают иголку длиной l. Какая вероятность того, что иголка пересечет прямую.
Я так понимаю решение - мы рисуем две оси, на которых откладываем координату начала иголки (от 0 до d) и угол между иголкой и перпендикуляром ко всем прямым (от 0 до 2*pi). Получаем прямоугольник площадью 2*pi*d. Т.е. мы бросаем уже не иголку на бумагу, а точку в этот прямоугольник. И вот я никак не могу сообразить, как определить в общем случае множество точек, в которых иголка пересекает линию.
|
|
|
siliconec
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рег.: 02.04.2005
|
|
Сообщений: 13258
|
|
|
|
Рейтинг: 8773
|
|
Re: Бросание иголки на разлинованный лист бумаги
[re: whitewater]
12.01.2012 11:49
|
|
|
позвонил капитан, говорит, что нужно написать функциональное соотношение (неравенство) пересечения иголки с координалами (x,альфа) с линией, нарисовать эту линию на прямоугольнике и вычислить площадь области
|
|
|
whitewater
|
|
newby
|
|
|
|
|
|
|
Рег.: 13.10.2011
|
|
Сообщений: 1362
|
|
Из: Default
|
|
Рейтинг: 2757
|
|
Re: Бросание иголки на разлинованный лист бумаги
[re: siliconec]
12.01.2012 12:01
|
|
|
Блин, вот я этого и не могу сделать в общем случае.
Например, фиксируем координату х0. При каких углах будет пересечение? от -arccos{(d-x0)/l} до +arccos{(d-x0)/l} и от pi-arccos{х0/l} до pi+arccos{х0/l}. Правильно?
Ну и что дальше? Как площадь найти? Какую функцию интегрировать?
|
|
|
siliconec
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рег.: 02.04.2005
|
|
Сообщений: 13258
|
|
|
|
Рейтинг: 8773
|
|
Re: Бросание иголки на разлинованный лист бумаги
[re: whitewater]
12.01.2012 12:09
|
|
|
если знаете графики косинуса - то лучше рисовать альфа (который лучше всего варьировать от -пи до пи) по абсциссе, и x - по ординате. Тогда неравенство нужно выразить как x<>f(cos альфа). Дальше природа подскажет. Мне штаны понравились
|
|
|
FrauSoboleva
|
|
Don't Quixote
|
|
|
|
|
|
|
Рег.: 20.11.2004
|
|
Сообщений: 28501
|
|
|
|
Рейтинг: 9798
|
|
Re: Бросание иголки на разлинованный лист бумаги
[re: whitewater]
12.01.2012 12:10
|
|
|
Представьте себе, что у вас есть следующая система координат.
Координата x задает расстояние до ближайшей прямой от центра иглы, координата ![[math]$\phi$[/math]](mathimg.php?math=%24%5Cphi%24) - угол между ней и иглой.
Эти две координаты полностью фиксируют положение иглы с точностью до сдвигов вправо\влево, которые мы не учитываем. (формально мы могли бы считать, что есть еще третья координата - как бы y, но она все равно просто проинтегрируется как если ее и не вводить)
А дальше остается нарисовать в этих координатах искомое множество и посчитать отношение его площади к площади множества возможных положений.
|
How much wood would woodchuck chuck, if a woodchuck could chuck wood |
|
|
eiv
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рег.: 03.09.2009
|
|
Сообщений: 1137
|
|
|
|
Рейтинг: 2328
|
|
Re: Бросание иголки на разлинованный лист бумаги
[re: whitewater]
12.01.2012 12:19
|
|
|
|
|
|
Vlad
|
|
addict
|
|
|
|
|
|
|
Рег.: 18.09.2004
|
|
Сообщений: 446
|
|
|
|
Рейтинг: 236
|
|
Re: Бросание иголки на разлинованный лист бумаги
[re: whitewater]
12.01.2012 17:52
|
|
|
Не помню откуда, но мне нравится следующее решение (для случая l<d).
1. Замечаем, что вероятность пересечения равна матожиданию количества пересечений.
2. Замечаем, что матожидание количества пересечений не меняется если иголка гнутая (но той же длины). Не меняется потому что это сумма матожиданий для маленьких фрагментов иголки.
3. Рассматриваем иголку в форме окружности диаметра l/pi. Вероятность пересечения получается l/(d*pi), пересечений почти всегда два, поэтому 2l/(d*pi).
(EDIT: fix typo)
Редактировал Vlad (12.01.2012 20:04)
|
|
|
porcupine
|
|
Carpal Tunnel
|
|
|
|
|
|
|
Рег.: 09.09.2008
|
|
Сообщений: 6598
|
|
|
|
Рейтинг: 7627
|
|
Re: Бросание иголки на разлинованный лист бумаги
[re: Vlad]
12.01.2012 18:12
|
|
|
Quote:
Не меняется потому что это сумма матожиданий для маленьких фрагментов иголки.
А ты можешь это доказать? Падения двух маленьких фрагментов это не независимые события, потому что фрагменты жестко связаны.
|
And then my master flew to the moon in a rocket of flamin' cheese! I like cheese! |
|
|
reincarnation
|
|
knight
|
|
|
|
|
|
|
Рег.: 12.09.2006
|
|
Сообщений: 719
|
|
|
|
Рейтинг: 666
|
|
Re: Бросание иголки на разлинованный лист бумаги
[re: porcupine]
12.01.2012 18:16
|
|
|
Quote:
А ты можешь это доказать? Падения двух маленьких фрагментов это не независимые события, потому что фрагменты жестко связаны.
Это неважно, матожидания для зависимых величин тоже складываются.
|
|
|
siliconec
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рег.: 02.04.2005
|
|
Сообщений: 13258
|
|
|
|
Рейтинг: 8773
|
|
Re: Бросание иголки на разлинованный лист бумаги
[re: Vlad]
12.01.2012 18:40
|
|
|
т.е. если иголку согнуть почти пополам, на угол пи/2 минус "очень мало", то Вы говорите, что вероятность для гнутой будет исходная, хотя фактическая длина объекта будет в два раза меньше?
Учитывая то, что вероятность может быть функцией только отношения l/d - я рыдаю!
upd Не, я невнимательно прочитал переформулированную задачу, и считал согнутую пополам . как "просто пересекает", без учета кратности пересечения
Скорее всего, меня смутил заведомо неправильный ответ
Quote:
Вероятность пересечения получается d/(l*pi),
Редактировал siliconec (12.01.2012 19:51)
|
|
|
Vlad
|
|
addict
|
|
|
|
|
|
|
Рег.: 18.09.2004
|
|
Сообщений: 446
|
|
|
|
Рейтинг: 236
|
|
Re: Бросание иголки на разлинованный лист бумаги
[re: siliconec]
12.01.2012 20:02
|
|
|
А, да, описался. Вероятность пересечения - диаметр делить на расстояние между полосками, т.е. l/(d*pi), ну и ответ получается 2l/(d*pi).
|
|
|
Aruno
|
|
journeyman
|
|
|
|
|
|
|
Рег.: 14.01.2005
|
|
Сообщений: 59
|
|
|
|
Рейтинг: -9
|
|
Re: Бросание иголки на разлинованный лист бумаги
[re: Vlad]
12.01.2012 22:35
|
|
|
А если согнуть иголку строго в центре на угол pi, получим "двойную" иголку длинны d/2, и результат согнуть по центру еще n раз - получится иголка длинны d/n, где n - колличество сгибов, у нее вероятность пересечь линии должна быть значительно меньше, а по приведенному решению - такая же? Нет ли в этом противоречия?
|
|
|
Vlad
|
|
addict
|
|
|
|
|
|
|
Рег.: 18.09.2004
|
|
Сообщений: 446
|
|
|
|
Рейтинг: 236
|
|
Re: Бросание иголки на разлинованный лист бумаги
[re: Aruno]
12.01.2012 22:44
|
|
|
|
|
|
FrauSoboleva
|
|
Don't Quixote
|
|
|
|
|
|
|
Рег.: 20.11.2004
|
|
Сообщений: 28501
|
|
|
|
Рейтинг: 9798
|
|
Re: Бросание иголки на разлинованный лист бумаги
[re: Aruno]
12.01.2012 23:10
|
|
|
Там не вероятность, а матожидание.
Вообще главный недостаток решения в том, что задачу Бюффона исторически, да обычно и фактически решают до введения матожидания.
Редактировал FrauSoboleva (13.01.2012 08:20)
|
How much wood would woodchuck chuck, if a woodchuck could chuck wood |
|
|
porcupine
|
|
Carpal Tunnel
|
|
|
|
|
|
|
Рег.: 09.09.2008
|
|
Сообщений: 6598
|
|
|
|
Рейтинг: 7627
|
|
Re: Бросание иголки на разлинованный лист бумаги
[re: reincarnation]
13.01.2012 03:53
|
|
|
Quote:
матожидания для зависимых величин тоже складываются.
Я и забыл, стыдно 
|
And then my master flew to the moon in a rocket of flamin' cheese! I like cheese! |
|
|
whitewater
|
|
newby
|
|
|
|
|
|
|
Рег.: 13.10.2011
|
|
Сообщений: 1362
|
|
Из: Default
|
|
Рейтинг: 2757
|
|
Re: Бросание иголки на разлинованный лист бумаги
[re: Vlad]
16.01.2012 09:32
|
|
|
Скажите, правильно ли я понял, что если мы прямую иглу изогнем в виде окружности, то это не повлияет на вероятность пересечения?
Если да, то мне непонятно, как быть в случае длинных игл, т.е. если диаметр окружности будет больше, чем расстояние между прямыми. В этом случае, очевидно будет 4 пересечения вне зависимости от положения центра окружности. А в исходной формулировке даже очень длинная игла имеет вероятность не пересечь ни одной прямой, если угол между иглой и прямыми будет достаточно мал.
|
|
|
FrauSoboleva
|
|
Don't Quixote
|
|
|
|
|
|
|
Рег.: 20.11.2004
|
|
Сообщений: 28501
|
|
|
|
Рейтинг: 9798
|
|
Re: Бросание иголки на разлинованный лист бумаги
[re: whitewater]
16.01.2012 09:50
|
|
|
На вероятность повлияет. На матожидание числа пересечений - нет.
Окружность будет всегда пересекать линии, а прямая не всегда, зато она будет иногда пересекать целую кучу. Матожидание останется тем же.
Просто для иглы с l<d матожидание числа пересечений отрезком равно вероятности пересечения отрезком, поскольку игла пересекает либо 1, либо 0.
А для игл с l>d мы уже посчитаем другую вещь, с задачей не связанную. Поэтому Влад и написал что решение только для l<d
|
How much wood would woodchuck chuck, if a woodchuck could chuck wood |
|
|
whitewater
|
|
newby
|
|
|
|
|
|
|
Рег.: 13.10.2011
|
|
Сообщений: 1362
|
|
Из: Default
|
|
Рейтинг: 2757
|
|
Re: Бросание иголки на разлинованный лист бумаги
[re: FrauSoboleva]
16.01.2012 10:02
|
|
|
|
|
Список
Плоский
Дерево
