Re: Какое известно самое простое доказательство, что простых чисел мно - Public forum of MSU united student networks

Quote:

Посмотрим, например, на произведение вида (1+1/2+1/4)(1+1/3)(1+1/5)=1+1/2+1/4+1/3+1/2/3+1/4/3+1/5+.... При раскрытии скобок мы как минимум по разу получим все слагаемые от 1 до 1/6, потому что никаких других степеней простых в числах от 1 до 6 не бывает. Аналогично
в сумме по n от 1 до N слагаемых вида 1/n каждое число хотя бы одним способом разлагается на простые, значит все такие слагаемые получатся раскрытием скобок в произведении выражений вида (1+1/p+1/p^2+1/p^3+...), причем достаточно взять до p^k не большего N. Ну а следовательно, бесконечное произведение тоже будет больше, и таким образом будет расходиться.

Тут все понятно.

Quote:

Ну а раз оно расходится, значит простых достаточно много - например, если бы их было <n^c для какого-нибудь с<1, то произведение еще сходилось бы, это тоже можно доказать.

А тут я что-то не догнал до конца.

Если для некоторого c<1 количество будет меньше n^c ДЛЯ ЛЮБОГО n, то действительно произведение будет сходиться. А что, если для оно будет меньше только для некоторых n? Например, отрезок из последовательных чисел дает большой вклад в произведение. Возможно, что простые числа распределены как-то отрезками, в которых их очень много, а сами отрезки встречаются достаточно редко. Например, простые числа могут представлять из себя отрезки [2; 2^2], [2^2^2; 2^2^2^2],.... Тогда оценка на произведение будет выполняться (или почти выполняться), а простых чисел будет в некоторых случаях только log n (для некоторой возрастающей последовательности n).