|
SerD
|
|
RIP
|
|
|
|
|
|
|
Рег.: 31.07.2005
|
|
Сообщений: 6074
|
|
|
|
Рейтинг: 375
|
|
[конечные поля] вопрос
24.12.2005 19:10
|
|
|
Верно ли, что для любого d, делящего q-1(q - характериситка поля), количество элементов мультипликативной группы поля порядка d небольше, чем фи(d), где фи(d) - функция Эйлера. И почему?
|
|
|
|
Serg
|
|
серегин
|
|
|
|
|
|
|
Рег.: 02.11.2002
|
|
Сообщений: 642
|
|
|
|
Рейтинг: 115
|
|
Re: [конечные поля] вопрос
[re: SerD]
24.12.2005 22:42
|
|
|
Верно. Верно даже равенство.
Вот доказательство неравенства. Все элементы порядка d будут корнями уравнения x^d = 1. Если у этого уравнения нет решений, все доказано. Если они есть, но среди них нет элемента порядка d, все доказано. Пусть есть элемент порядка d, обозначи его g. Тогда 1, g, g^2, ..., g^{d-1} тоже корни этого уравнения. Но многочлен степени d над полем имеет не более d корней. Значит, это все его корни. Т.е. все элементы порядка d содержатся среди выписанного множества. Далее, среди них есть ровно \phi(d), имеющих порядок d, т.к. g^k имеет порядок d если и только если (k,d) = 1. Снова все доказано.
|
|
|
SerD
|
|
RIP
|
|
|
|
|
|
|
Рег.: 31.07.2005
|
|
Сообщений: 6074
|
|
|
|
Рейтинг: 375
|
|
Re: [конечные поля] вопрос
[re: Serg]
25.12.2005 00:13
|
|
|
|
|
|
_nobody_
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рег.: 10.05.2005
|
|
Сообщений: 3368
|
|
|
|
Рейтинг: 722
|
|
Re: [конечные поля] вопрос *DELETED*
[re: Serg]
25.12.2005 03:45
|
|
|
Сообщение удалил _nobody_
|
Ушел из форума (уничтожил пароль). |
|
|
Serg
|
|
серегин
|
|
|
|
|
|
|
Рег.: 02.11.2002
|
|
Сообщений: 642
|
|
|
|
Рейтинг: 115
|
|
|
Что из чего вытекает, это еще вопрос  Вот я всегда думал, что из тождества для фукнции Эйлера вытекает нужное равенство. А тождество для функции Эйлера доказывается само по себе непосредственно из определения.
|
|
|
Vanger
|
|
Шрифф ХОЙТ
|
|
|
|
|
|
|
Рег.: 21.05.2005
|
|
Сообщений: 6993
|
|
Из: Щукино
|
|
Рейтинг: 4244
|
|
Re: [конечные поля] вопрос
[re: Serg]
25.12.2005 19:48
|
|
|
В ответ на:
Верно. Верно даже равенство.
Вот доказательство неравенства. Все элементы порядка d будут корнями уравнения x^d = 1. Если у этого уравнения нет решений, все доказано. Если они есть, но среди них нет элемента порядка d, все доказано. Пусть есть элемент порядка d, обозначи его g. Тогда 1, g, g^2, ..., g^{d-1} тоже корни этого уравнения. Но многочлен степени d над полем имеет не более d корней. Значит, это все его корни. Т.е. все элементы порядка d содержатся среди выписанного множества. Далее, среди них есть ровно \phi(d), имеющих порядок d, т.к. g^k имеет порядок d если и только если (k,d) = 1. Снова все доказано.
Я правильно понимаю, что если d - делитель (q-1), то ты доказываешь именно равенство, а не неравенство?
|
Drop that zero and get with the hero |
|
|
Serg
|
|
серегин
|
|
|
|
|
|
|
Рег.: 02.11.2002
|
|
Сообщений: 642
|
|
|
|
Рейтинг: 115
|
|
Re: [конечные поля] вопрос
[re: Vanger]
25.12.2005 22:06
|
|
|
нет, не правильно. Именно неравенство. Я не доказываю, что найдется корень уравнения x^d - 1, который будет элементом поля порядка d, а это нужно для доказательства равенства.
|
|
Список
Плоский
Дерево
