Полиномы, теорема Сильвестра - Public forum of MSU united student networks

Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.fds-net.ru/showflat.php?Number=4593414&src=arc&showlite=l
Дата изменения: Unknown
Дата индексирования: Tue Feb 26 22:29:26 2013
Кодировка: Windows-1251

General Discussion >> Study (Archive) Страницы: 0 \| (14) \| 20 \| показать все \| след. страница
Mef : Re: Полиномы, теорема Сильвестра [re:_nobody_] 19.05.2006 05:39 \| Reply \| Edit \|	0
Что такое "Лемма об отборе кривых"? Просто для вещественного случая доказательство существования кусочно-гладкой кривой (и только кусочно-гладкой) сказали, что вытекает из этой леммы.
Mef [re:_nobody_] 19.05.2006 05:40 \| Reply \| Edit \|	0
Буду очень признателен за ответы! Особенно по вопросам существования кривых.
Mef [re:_nobody_] 19.05.2006 13:38 \| Reply \| Edit \|	0
Заранее прощу прощения, если вопросы по сути тупые.
Mef [re:Mef] 20.05.2006 00:21 \| Reply \| Edit \|	0
up
_nobody_ [re:Mef] 20.05.2006 02:36 \| Reply \| Edit \|	0
В ответ на: 1-ый вопрос возникает сразу - кроме теоремы Штурма, теоремы Сильвестра и теорем, связанных с дискриминантом не существует возможности определения наличия вещественного корня у некоторого полинома из R[x]? Существуют ли какие-нибудь теоремы, которые бы по коэффициентам многочлена указывали, что есть хотя бы 1 корень у многочлена (общего вида) из R[x]? Если честно, сходу я помню только один результат подобного рода: всякий многочлен нечетной степени с вещественными коэффициентами имеет (хотя бы один) вещественный корень В ответ на: 2-й вопрос - по идее, аффинное многообразие в C^n является комплексно-аналитическим множеством? Что-то туплю. Да, насколько я помню определения. Ведь многочлены --- аналитические функции. См. например Гриффитс, Харрис "Принципы алгебраической геометрии", том 1. В ответ на: Исходя из теорем: Теорема. Множество регулярных точек произвольного аналитического множества А всюду плотно в А, а множество его особых точек замкнуто и нигде не плотно в А. Предложение Аналитическое множество А неприводимо тогда и только тогда, когда множество регулярных точек А (reg A) связно. можно ли сказать, что существует гладкая кривая, соединяющая две любые точки неприводимого комплексного аналитического множества А? Если нет, то что еще надо добавить? Как лучше доказывать? Насколько я понимаю, в случае неприводимого A множество reg A - неособое связное комплексное многообразие, в частности, дифференцируемое многообразие. Любые две точки связного дифференцируемого многообразия можно соединить гладкой кривой (т.к. в данном случае понятия связности и линейной связности совпадают и любую непрерывную кривую на гладком многообразии можно "сгладить" в ее гомотопическом классе). Т.е. любые две регулярные точки можно соединить гладкой кривой. Если точки не обязательно регулярны, то, думаю, что их можно соединить кривой, гладкой в любой своей внутренней точке (хотя с особыми многообразиями я, честно говоря, не очень знаком). В ответ на: Что такое "Лемма об отборе кривых"? Просто для вещественного случая доказательство существования кусочно-гладкой кривой (и только кусочно-гладкой) сказали, что вытекает из этой леммы. Понятия не имею. Гугление (на русском и английском) не помогает? Редактировал _nobody_ (20.05.2006 03:29)
Mef [re:_nobody_] 20.05.2006 12:49 \| Reply \| Edit \|	0
Хм... Просто думал, что если одна точка лежит в множестве особых точек, то для нее, в силу нигде неплотности множества особых точек в А следует, что можно выбрать сходящуюся последовательность в reg A. Тогда мы для каждой точки последовательности построим гладкую кривую. И будем сколь угодно близко подбираться к нашей точке. В силу того, что Замыкание reg A совпадает а А (это, вроде, так?), наша последовательность сойдется именно к искомой точке особого многообразия. Это верно или нет? Если нет, то почему?
Mef [re:_nobody_] 20.05.2006 14:43 \| Reply \| Edit \|	0
Почему нужен такой критерий в отношении полиномов - просто нужно переписать шаг "продолжения" решения для исключающих идеалов над кольцом полиномов многих переменных. Это все связано с базисами Гребнера. По теореме об "исключении" при соответствующем lex-упорядочении они "исключают" 1, 2, 3... переменных, т.е. каждый последующий элемент базиса Гребнера (рассматриваем редуцированные базисы, хотя даже в случае обычного базиса это тоже имеет место), то бишь полином, содержит на 1 или более переменных меньше. Посему выстраивается цепочка полиномов, которые содержат все меньше и меньше переменных. Может случиться, что последний полином в эторм списке будет зависеть вообще от одной переменной. Очень удобно. Так вот, можно "продолжать" наши решения, начиная я последней переменной на предпоследнюю, потом с пары "последняя-предпоследняя" на, соответственно, тройку переменных (надеюсь, понятно излагаю, а то у меня с объяснениями не очень). Для того, чтобы продолжить решение, например, с (A(k),...A(n)) до (A(k-1),...,A(n)), нам необходимо найти общий корень полиномов базиса соответствующего исключающего идеала (т.е. некоторой системы полиномов, которая зависит от X(k-1),...,X(n)) при подстановке, соответственно, в X(k),...,X(n) соответствующих значений A(k),...,A(n). Теорема о продолжении, которая изложена в книге "Кокс, Литтл, О'Ши "Идеалы, многообразия и алгоритмы"", к сожалению, работает только в случае поля комплексных чисел. поля вещественных чисел она превращается в необходимое условие (согласитесь, тоже неплохо). Так вот, необходимо написать достаточные условия. А уж если придумать КРИТЕРИЙ, то я буду кипятком от радости писаться. Просто те теоремы и свойства, которые я описал, являются лишь достаточными условиями и не покрывают всех возможных вариантов, да и вычисление некоторых аспектов их довольно трудоемко. Единственный бонус - можно работать с НОД, а это куда приятнее, чем работать с кучей полиномов. Благо НОД(F1,...,Fn) = НОД(F1,НОД(F2,...)) У кого-нибудь какие-нибудь идеи есть? Буду оооочень благодарен.
Mef [re:Mef] 21.05.2006 00:40 \| Reply \| Edit \|	0
ап
Mef [re:Mef] 21.05.2006 15:15 \| Reply \| Edit \|	0
ап2
Mef [re:_nobody_] 21.05.2006 19:25 \| Reply \| Edit \|	0
Да, что-то туплю, ведь нигде не плотное в множестве G множество А не может быть связным, так ведь? Все, надо ноотропы пить, хоть поумнею чутку...
Mef [re:Mef] 21.05.2006 23:20 \| Reply \| Edit \|	0
И последний раз ап
_nobody_ [re:Mef] 22.05.2006 03:50 \| Reply \| Edit \|	0
В ответ на: нигде не плотное в множестве G множество А не может быть связным, так ведь? Почему? Нигде не плотное множество топ. пространства G - это подмножество, не плотное ни в каком открытом подмножестве G. Например, точка на прямой со стандартной топологией нигде не плотна.
Mef [re:_nobody_] 22.05.2006 09:02 \| Reply \| Edit \|	0
Хм... Да, точно, действительно так. Что-то просто подумалось, что из того, что в любом шаре, множества содержится шар, не содержащий с данным ни одной общей точки, следует, что оно не может быть связно. А теперь, кажись, понимаю, что, например, прямая на плоскости с естественной топологией - нигде не плотное множество на плоскости. Так ведь? Но в моем случае для решения задачи не требуется, чтобы sng A не было связным, у меня есть то, что reg A связно + замыкание reg A есть само А. Этого хватает для доказательства существования гладкой кривой в произвольном неприводимом аффинном многообразии Редактировал Mef (22.05.2006 09:04)
siliconec [re:Mef] 22.05.2006 09:07 \| Reply \| Edit \|	0
Quote: А теперь, кажись, понимаю, что, например, прямая на плоскости с естественной топологией - нигде не плотное множество на плоскости. Так ведь? Извините за деструктивизм, Вы спрашиваете, понимаете ли Вы (кажись) что... - но это Вам должно быть намного виднее.
Mef [re:siliconec] 22.05.2006 16:57 \| Reply \| Edit \|	0
Бессонные ночи не способствуют нормальному изложению мыслей Просто спросил, верно ли я понимаю, что данное утверждение имеет место.
_nobody_ [re:Mef] 23.05.2006 01:13 \| Reply \| Edit \|	0
В ответ на: например, прямая на плоскости с естественной топологией - нигде не плотное множество на плоскости. Так ведь? Да, это так.
Mef [re:_nobody_] 23.05.2006 20:52 \| Reply \| Edit \|	0
О, тогда понятна теорема об аналитичности sng A. Жаль, тут нет смайла "тупой"
Mef [re:Mef] 24.05.2006 21:58 \| Reply \| Edit \|	0
Да, и таки самый последний вопрос из серии "Помогите тупому написать диплом". Как напрямую доказать, что из аналитичности reg A следует, что существует гладкая кривая, соединяющая данные 2 точки. Типа, следует из того, что подмножество аналитичного множества аналитично и кривая - такое подмножество? Как построже?
Mef [re:Mef] 25.05.2006 19:03 \| Reply \| Edit \|	0
Самый-самый последний раз ап. Больше беспокоить не буду тупыми вопросами, только подсобите еще разок. Плиз!
paco [re:Mef] 25.05.2006 19:06 \| Reply \| Edit \|	0
Quote: Жаль, тут нет смайла "тупой"
Top \| след. страница

General Discussion >> Study (Archive) Страницы: 0 \| (14) \| 20 \| показать все \| след. страница
Mef : Re: Полиномы, теорема Сильвестра [re:_nobody_] 19.05.2006 05:39 \| Reply \| Edit \|	0
Что такое "Лемма об отборе кривых"? Просто для вещественного случая доказательство существования кусочно-гладкой кривой (и только кусочно-гладкой) сказали, что вытекает из этой леммы.
Mef [re:_nobody_] 19.05.2006 05:40 \| Reply \| Edit \|	0
Буду очень признателен за ответы! Особенно по вопросам существования кривых.
Mef [re:_nobody_] 19.05.2006 13:38 \| Reply \| Edit \|	0
Заранее прощу прощения, если вопросы по сути тупые.
Mef [re:Mef] 20.05.2006 00:21 \| Reply \| Edit \|	0
up
_nobody_ [re:Mef] 20.05.2006 02:36 \| Reply \| Edit \|	0
В ответ на: 1-ый вопрос возникает сразу - кроме теоремы Штурма, теоремы Сильвестра и теорем, связанных с дискриминантом не существует возможности определения наличия вещественного корня у некоторого полинома из R[x]? Существуют ли какие-нибудь теоремы, которые бы по коэффициентам многочлена указывали, что есть хотя бы 1 корень у многочлена (общего вида) из R[x]? Если честно, сходу я помню только один результат подобного рода: всякий многочлен нечетной степени с вещественными коэффициентами имеет (хотя бы один) вещественный корень В ответ на: 2-й вопрос - по идее, аффинное многообразие в C^n является комплексно-аналитическим множеством? Что-то туплю. Да, насколько я помню определения. Ведь многочлены --- аналитические функции. См. например Гриффитс, Харрис "Принципы алгебраической геометрии", том 1. В ответ на: Исходя из теорем: Теорема. Множество регулярных точек произвольного аналитического множества А всюду плотно в А, а множество его особых точек замкнуто и нигде не плотно в А. Предложение Аналитическое множество А неприводимо тогда и только тогда, когда множество регулярных точек А (reg A) связно. можно ли сказать, что существует гладкая кривая, соединяющая две любые точки неприводимого комплексного аналитического множества А? Если нет, то что еще надо добавить? Как лучше доказывать? Насколько я понимаю, в случае неприводимого A множество reg A - неособое связное комплексное многообразие, в частности, дифференцируемое многообразие. Любые две точки связного дифференцируемого многообразия можно соединить гладкой кривой (т.к. в данном случае понятия связности и линейной связности совпадают и любую непрерывную кривую на гладком многообразии можно "сгладить" в ее гомотопическом классе). Т.е. любые две регулярные точки можно соединить гладкой кривой. Если точки не обязательно регулярны, то, думаю, что их можно соединить кривой, гладкой в любой своей внутренней точке (хотя с особыми многообразиями я, честно говоря, не очень знаком). В ответ на: Что такое "Лемма об отборе кривых"? Просто для вещественного случая доказательство существования кусочно-гладкой кривой (и только кусочно-гладкой) сказали, что вытекает из этой леммы. Понятия не имею. Гугление (на русском и английском) не помогает? Редактировал _nobody_ (20.05.2006 03:29)
Mef [re:_nobody_] 20.05.2006 12:49 \| Reply \| Edit \|	0
Хм... Просто думал, что если одна точка лежит в множестве особых точек, то для нее, в силу нигде неплотности множества особых точек в А следует, что можно выбрать сходящуюся последовательность в reg A. Тогда мы для каждой точки последовательности построим гладкую кривую. И будем сколь угодно близко подбираться к нашей точке. В силу того, что Замыкание reg A совпадает а А (это, вроде, так?), наша последовательность сойдется именно к искомой точке особого многообразия. Это верно или нет? Если нет, то почему?
Mef [re:_nobody_] 20.05.2006 14:43 \| Reply \| Edit \|	0
Почему нужен такой критерий в отношении полиномов - просто нужно переписать шаг "продолжения" решения для исключающих идеалов над кольцом полиномов многих переменных. Это все связано с базисами Гребнера. По теореме об "исключении" при соответствующем lex-упорядочении они "исключают" 1, 2, 3... переменных, т.е. каждый последующий элемент базиса Гребнера (рассматриваем редуцированные базисы, хотя даже в случае обычного базиса это тоже имеет место), то бишь полином, содержит на 1 или более переменных меньше. Посему выстраивается цепочка полиномов, которые содержат все меньше и меньше переменных. Может случиться, что последний полином в эторм списке будет зависеть вообще от одной переменной. Очень удобно. Так вот, можно "продолжать" наши решения, начиная я последней переменной на предпоследнюю, потом с пары "последняя-предпоследняя" на, соответственно, тройку переменных (надеюсь, понятно излагаю, а то у меня с объяснениями не очень). Для того, чтобы продолжить решение, например, с (A(k),...A(n)) до (A(k-1),...,A(n)), нам необходимо найти общий корень полиномов базиса соответствующего исключающего идеала (т.е. некоторой системы полиномов, которая зависит от X(k-1),...,X(n)) при подстановке, соответственно, в X(k),...,X(n) соответствующих значений A(k),...,A(n). Теорема о продолжении, которая изложена в книге "Кокс, Литтл, О'Ши "Идеалы, многообразия и алгоритмы"", к сожалению, работает только в случае поля комплексных чисел. поля вещественных чисел она превращается в необходимое условие (согласитесь, тоже неплохо). Так вот, необходимо написать достаточные условия. А уж если придумать КРИТЕРИЙ, то я буду кипятком от радости писаться. Просто те теоремы и свойства, которые я описал, являются лишь достаточными условиями и не покрывают всех возможных вариантов, да и вычисление некоторых аспектов их довольно трудоемко. Единственный бонус - можно работать с НОД, а это куда приятнее, чем работать с кучей полиномов. Благо НОД(F1,...,Fn) = НОД(F1,НОД(F2,...)) У кого-нибудь какие-нибудь идеи есть? Буду оооочень благодарен.
Mef [re:Mef] 21.05.2006 00:40 \| Reply \| Edit \|	0
ап
Mef [re:Mef] 21.05.2006 15:15 \| Reply \| Edit \|	0
ап2
Mef [re:_nobody_] 21.05.2006 19:25 \| Reply \| Edit \|	0
Да, что-то туплю, ведь нигде не плотное в множестве G множество А не может быть связным, так ведь? Все, надо ноотропы пить, хоть поумнею чутку...
Mef [re:Mef] 21.05.2006 23:20 \| Reply \| Edit \|	0
И последний раз ап
_nobody_ [re:Mef] 22.05.2006 03:50 \| Reply \| Edit \|	0
В ответ на: нигде не плотное в множестве G множество А не может быть связным, так ведь? Почему? Нигде не плотное множество топ. пространства G - это подмножество, не плотное ни в каком открытом подмножестве G. Например, точка на прямой со стандартной топологией нигде не плотна.
Mef [re:_nobody_] 22.05.2006 09:02 \| Reply \| Edit \|	0
Хм... Да, точно, действительно так. Что-то просто подумалось, что из того, что в любом шаре, множества содержится шар, не содержащий с данным ни одной общей точки, следует, что оно не может быть связно. А теперь, кажись, понимаю, что, например, прямая на плоскости с естественной топологией - нигде не плотное множество на плоскости. Так ведь? Но в моем случае для решения задачи не требуется, чтобы sng A не было связным, у меня есть то, что reg A связно + замыкание reg A есть само А. Этого хватает для доказательства существования гладкой кривой в произвольном неприводимом аффинном многообразии Редактировал Mef (22.05.2006 09:04)
siliconec [re:Mef] 22.05.2006 09:07 \| Reply \| Edit \|	0
Quote: А теперь, кажись, понимаю, что, например, прямая на плоскости с естественной топологией - нигде не плотное множество на плоскости. Так ведь? Извините за деструктивизм, Вы спрашиваете, понимаете ли Вы (кажись) что... - но это Вам должно быть намного виднее.
Mef [re:siliconec] 22.05.2006 16:57 \| Reply \| Edit \|	0
Бессонные ночи не способствуют нормальному изложению мыслей Просто спросил, верно ли я понимаю, что данное утверждение имеет место.
_nobody_ [re:Mef] 23.05.2006 01:13 \| Reply \| Edit \|	0
В ответ на: например, прямая на плоскости с естественной топологией - нигде не плотное множество на плоскости. Так ведь? Да, это так.
Mef [re:_nobody_] 23.05.2006 20:52 \| Reply \| Edit \|	0
О, тогда понятна теорема об аналитичности sng A. Жаль, тут нет смайла "тупой"
Mef [re:Mef] 24.05.2006 21:58 \| Reply \| Edit \|	0
Да, и таки самый последний вопрос из серии "Помогите тупому написать диплом". Как напрямую доказать, что из аналитичности reg A следует, что существует гладкая кривая, соединяющая данные 2 точки. Типа, следует из того, что подмножество аналитичного множества аналитично и кривая - такое подмножество? Как построже?
Mef [re:Mef] 25.05.2006 19:03 \| Reply \| Edit \|	0
Самый-самый последний раз ап. Больше беспокоить не буду тупыми вопросами, только подсобите еще разок. Плиз!
paco [re:Mef] 25.05.2006 19:06 \| Reply \| Edit \|	0
Quote: Жаль, тут нет смайла "тупой"
Top \| след. страница