|
KIM
|
|
addict
|
|
|
|
|
|
|
Рег.: 12.11.2002
|
|
Сообщений: 691
|
|
|
|
Рейтинг: 3
|
|
Вопрос по действительному анализу
28.09.2006 19:19
|
|
|
Верно ли что всякое несчетное множество на прямой содержит замкнутое несчетное подмножество?
Редактировал KIM (28.09.2006 19:38)
|
|
|
Robin
|
|
Sheldon Cooper
|
|
|
|
|
|
|
Рег.: 06.09.2004
|
|
Сообщений: 16228
|
|
|
|
Рейтинг: 2138
|
|
Re: Вопрос по действительному анализу
[re: KIM]
28.09.2006 19:23
|
|
|
Неверно. Например, множество иррациональных чисел на отрезке [0,1] - несчетно, но не содержит замкнутого несчетного подмножества, т.к. в противном случае в него обязательно попали бы рациональные точки.
|
Münchhausen's Trilemma. Either the reason is predicated on a series of sub-reasons leading to an infinite regression, or it tracks back to arbitrary axiomatic statements, or it's ultimately circular, i.e. I'm moving out because I'm moving out. |
|
|
kaiafa
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рег.: 17.05.2004
|
|
Сообщений: 13390
|
|
Из: Strasbourg, FR
|
|
Рейтинг: 4
|
|
Re: Вопрос по действительному анализу
[re: KIM]
28.09.2006 19:23
|
|
|
может, я туплю, но имхо множество иррациональных чисел:
а) является несчетным;
б) не содержит замкнутых несчетных подмножеств.
|
|
|
|
KIM
|
|
addict
|
|
|
|
|
|
|
Рег.: 12.11.2002
|
|
Сообщений: 691
|
|
|
|
Рейтинг: 3
|
|
Re: Вопрос по действительному анализу
[re: Robin]
28.09.2006 19:36
|
|
|
|
|
|
payalnik
|
|
member
|
|
|
|
|
|
|
Рег.: 29.03.2004
|
|
Сообщений: 159
|
|
|
|
Рейтинг: 87
|
|
Re: Вопрос по действительному анализу
[re: Robin]
28.09.2006 19:38
|
|
|
Quote:
множество иррациональных чисел на отрезке [0,1] - несчетно, но не содержит замкнутого несчетного подмножества, т.к. в противном случае в него обязательно попали бы рациональные точки.
Неверно. Один из сдвигов канторовского множества $\alpha+K$ замкнут, несчетен и не содержит рац. точек.
Действительно, рассмотрим все сдвиги $K$. Сдвиги, которые задевают точку $q$, образуют в точности множество $q-K$, т.е. множество лебеговой меры ноль. Соотвественно, объединение по всем рациональным $q$ тоже имеет меру ноль. Значит, сдвиг $K$ в иррациональные точки существует, более того, таких сдвигов вагон.
Редактировал payalnik (28.09.2006 19:39)
|
|
|
SerD
|
|
RIP
|
|
|
|
|
|
|
Рег.: 31.07.2005
|
|
Сообщений: 6074
|
|
|
|
Рейтинг: 375
|
|
Re: Вопрос по действительному анализу
[re: payalnik]
28.09.2006 19:42
|
|
|
В ответ на:
более того, таких сдвигов вагон.
|
|
|
|
KIM
|
|
addict
|
|
|
|
|
|
|
Рег.: 12.11.2002
|
|
Сообщений: 691
|
|
|
|
Рейтинг: 3
|
|
Re: Вопрос по действительному анализу
[re: Robin]
28.09.2006 19:42
|
|
|
Quote:
иррациональных чисел на отрезке [0,1] - несчетно, но не содержит замкнутого несчетного подмножества, т.к. в противном случае в него обязательно попали бы рациональ
Почему в несчетное замкнутое множетсво попадают рациональные точки?
Например зарумеруем все рациональные точки на отрезке [0,1]. Окружим каждую интервалом длины 1/(2^(n+2)) (n - номер точки).
Объединение этих интервалов открыто, его мера меньше 1/2. Дополнение замкнуто и несчетно, кроме того не содежит рациональных точек.
Или я опять затупил? 
|
|
|
kaiafa
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рег.: 17.05.2004
|
|
Сообщений: 13390
|
|
Из: Strasbourg, FR
|
|
Рейтинг: 4
|
|
Re: Вопрос по действительному анализу
[re: payalnik]
28.09.2006 19:44
|
|
|
хотел спросить, где же ошибка в наших рассуждениях, но сам вижу слабое место
если множество иррациональных чисел нигде не замкнуто, о | |
Список
Плоский
Дерево
