спецкурс по комплексной геометрии - Public forum of MSU united student networks

Курс:

<h2> Основы кэлеровой геометрии </h2>

За последние 30 лет, взаимовлияние геометрии и физики было
главным источником новых идей в математике; алгебраическая
геометрия практически превратилась в раздел физики высоких
энергий.

Основным языком этого синтеза стал язык кэлеровой
геометрии. Кэлерова геометрия это наука, которая
излагается в учебнике Гриффитса-Харриса "Основы
алгебраической геометрии".

Гриффитс-Харрис писали свою книгу в начале 1980-х; с тех
пор многие вещи (даже элементарные) стали гораздо
понятнее, и изложить содержание их учебника можно гораздо
проще.

Под влиянием струнной физики, центральное значение в
математике приняли многообразия со специальной голономией
(гиперкэлеровы, Калаби-Яу и другие), про которые
Гриффитс-Харрис не рассказывают. Специальная геометрия
изучается методами алгебраической геометрии, и принадлежит
тому же кругу идей, что содержание "Основ алгебраической
геометрии".

На курсе будут определены основные понятия кэлеровой
геометрии, без которых ориентироваться в литературе
невозможно; и изложены элементы теории специальных
многообразий.

Примерный план курса.

0. Почти комплексные многообразия. Связность Леви-Чивита.
Теорема Ньюлендера-Ниенхойса.

1. Кэлеровы многообразия. Голономия. Теорема
Берже о классификации римановых многообразий
посредством группы голономий (без доказательства).

2. Теория Ходжа на римановых многообразиях (наборосок
доказательства).

3. Разложение Ходжа на кэлеровых многообразиях,
соотношения Кодаиры, теорема Лефшеца.

4. Теорема Кодаиры-Накано
о занулении когомологий, теорема Кодаиры о вложении.

5. Теорема Калаби-Яу и ее применения.
Набросок доказательства.

6. Структурная теорема для многообразий с $c_1=0$
(Богомолов, Бовилль).

7. Основы теории деформаций Кодаиры. Теорема
Богомолова-Тиана-Тодорова о деформации
многообразий Калаби-Яу.

От студентов предполагается интимное знакомство с
понятием гладкого многообразия. Также полезно
иметь представление о сущности когомологий де Рама,
основ алгебраической геометрии, и готовность быстро
изучить эрмитовы расслоения и связности.

Первое занятие в среду, 19:10, 20 февраля,
и дальше по средам.

Полезная литература:

1. Гриффитс-Харрис, "Основы алгебраической геометрии",
нулевая и первая глава.

2. А. С. Мищенко, "Векторные расслоения и их применения"

3. А. Бессе, "Многообразия Эйнштейна".

4. Д. Мамфорд "Алгебраическая геометрия.
Комплексные проективные многообразия."

P.S. если кто не будет успевать, то фактически спецкурс будет начинаться с 19.30