как продолжить функцию? - Public forum of MSU united student networks

Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.fds-net.ru/showflat.php?Number=7137392&src=arc&showlite=l
Дата изменения: Unknown
Дата индексирования: Tue Feb 26 20:46:32 2013
Кодировка: Windows-1251

General Discussion >> Study (Archive) Страницы: 1 \| (5)
M_ : Re: как продолжить функцию? [re:Garfield] 26.01.2008 04:29 \| Reply \| Edit \|	2
На плоскости рассмотрим произвольную дифференцируемую функцию, равную x на полуоси Ox+ и равную y на полуоси Oy+ (например, \|x\| + \|y\|). Тогда квадрат модуля градиента функции в точке (0, 0) равен 2.
Garfield [re:M_] 26.01.2008 13:34 \| Reply \| Edit \|	1
Предполагать точный ответ по одному частному случаю было несколько опрометчиво. Аккуратнее было бы добавить множитель C(n), зависящий от размерности . Однако, если разрешить отрезкам пересекаться, то решения в C^1 может вообще не существовать. Например, отложить из нуля отрезки по четырем координатным направлениям с функцией \|x\|. Если же рассмотреть отрезки, получающиеся из указанных удалением части \|x\|<eps, то решение будет существовать с константой 1 и при eps->0 будет стремиться к f(x)=\|x\|. Таким образом, если разрешить отрезкам пересекаться то, с одной стороны, решения может не быть, а с другой - даже когда оно есть, сдвигая отрезки, в пределе можно получить ответ, отличающийся от предельного случая пересекающихся отрезков. Более адекватная постановка задачи получится, если заменить пространство C^1 на пространство липшицевых функций. Их можно дифференцировать почти всюду и теорема о среднем для них верна. Причина различий в полученных в примере результатов заключается в том, что производная оценивается по норме С, которая также является нормой в $[math]$L_\infty$ [/math]$ . В одномерном случае решением исходной задачи будет кусочно-линейная функция. Это показывает, что inf на C^1 может не достигаться. Связано это с тем, что пространство С не плотно в $[math]$L_\infty$ [/math]$ . Например, sign(x) нельзя приблизить гладкими функциями по норме С (sup\|sign(x)-f(x)\|>=1 из-за разрыва в нуле). Если же выкинуть отрезок [-eps,eps], то можно легко приблизить, причем так, чтобы \|f\|<=1. Однако производная \|x_i\|, i=1,2, равна как раз sign(x_i), что объясняет приведенный выше пример с четырьмя отрезками. При такой постановке inf будет равен f(x)=\|x\| с константой Липшица $[math]$$\sup_{x,y\in \mathbb R^3,\ x\not=y}\frac{\|f(x)-f(y)\|}{\|x-y\|}=1$$[/math]$ и примера, что постоянная C(2)>1 это не дает. А заодно показывает, что решений может очень много, поскольку при \|x\|>1 функцию можно изменять достаточно произвольно с сохранением нужных свойств. Вероятно, имеет смысл спрашивать об arg inf на выпуклой оболочке A, потому что далее ее можно продолжать многими способами. И то, как легко проверяется в одномерном случае, единственности может не быть.
FrauSoboleva [re:Garfield] 26.01.2008 13:43 \| Reply \| Edit \|	0
Нифига непонятная постановка, может просто я тупой. Убери воду и напиши конкретно предлагаемую постановку задачи, без пояснений почему, кто и где
Garfield [re:FrauSoboleva] 26.01.2008 14:06 \| Reply \| Edit \|	1
"Пусть имеется несколько отрезков в 3D и на них задана функция f, линейная на каждом из отрезков. Требуется продолжить функцию на выпуклую оболочку отрезков B, чтобы она была из пространства Липшица C^{0,1}(B) и такую, что f=arg inf_{f\in C^{0,1}(B)} sup_{x \in B} \| grad f(x)\|" Если ты без пояснений можешь понять, почему эта постановка более естественная чем исходная, то ты молодец
FrauSoboleva [re:Garfield] 26.01.2008 14:48 \| Reply \| Edit \|	0
Не могу понять в чем прелесть определения ее на выпуклой оболочке. По-моему, их все равно будет много. Пересекающиеся отрезки ты, я так понимаю, все равно хочешь выкинуть, так? А что там с константой размерности?
Garfield [re:FrauSoboleva] 26.01.2008 16:07 \| Reply \| Edit \|	0
Изменения в постановке как раз были внесены, чтобы учитывать пересекающиеся отрезки, а также потому, что inf на функциях из C^1 может не достигаться. Выпуклые множества рассматриваются, чтобы выделить существенное в задаче и поделить ее две. Иногда решение единственно: к примеру, при n=1 пусть f=0 на отрезках [0,1] и [4,5], и f=1 на отрезке [2,3]. A продолжить липшицеву функцию с выпуклого множества на R^n несложно. Известно, что это всегда можно сделать. Не помню только, с той же константой Липшица или нет. Вероятно, это надо смотреть в книжках по выпуклому анализу. Гипотеза с константой C(n): максимум производной у решения f на B не превосходит $[math]$$C(n)\max_{x,y\in A,\ x\not=y}\frac{\|f(x)-f(y)\|}{\|x-y\|}$$[/math]$ . Однако для приведенного M_ примера константа Липшица равна 1 (в новой постановке), так что неравенство C(2)>1 мне лично не очевидно.
msan [re:Garfield] 26.01.2008 21:02 \| Reply \| Edit \|	0
согласен, давайте рассматривать задачу над пространством липшицевых функций
Top

General Discussion >> Study (Archive) Страницы: 1 \| (5)
M_ : Re: как продолжить функцию? [re:Garfield] 26.01.2008 04:29 \| Reply \| Edit \|	2
На плоскости рассмотрим произвольную дифференцируемую функцию, равную x на полуоси Ox+ и равную y на полуоси Oy+ (например, \|x\| + \|y\|). Тогда квадрат модуля градиента функции в точке (0, 0) равен 2.
Garfield [re:M_] 26.01.2008 13:34 \| Reply \| Edit \|	1
Предполагать точный ответ по одному частному случаю было несколько опрометчиво. Аккуратнее было бы добавить множитель C(n), зависящий от размерности . Однако, если разрешить отрезкам пересекаться, то решения в C^1 может вообще не существовать. Например, отложить из нуля отрезки по четырем координатным направлениям с функцией \|x\|. Если же рассмотреть отрезки, получающиеся из указанных удалением части \|x\|<eps, то решение будет существовать с константой 1 и при eps->0 будет стремиться к f(x)=\|x\|. Таким образом, если разрешить отрезкам пересекаться то, с одной стороны, решения может не быть, а с другой - даже когда оно есть, сдвигая отрезки, в пределе можно получить ответ, отличающийся от предельного случая пересекающихся отрезков. Более адекватная постановка задачи получится, если заменить пространство C^1 на пространство липшицевых функций. Их можно дифференцировать почти всюду и теорема о среднем для них верна. Причина различий в полученных в примере результатов заключается в том, что производная оценивается по норме С, которая также является нормой в $[math]$L_\infty$ [/math]$ . В одномерном случае решением исходной задачи будет кусочно-линейная функция. Это показывает, что inf на C^1 может не достигаться. Связано это с тем, что пространство С не плотно в $[math]$L_\infty$ [/math]$ . Например, sign(x) нельзя приблизить гладкими функциями по норме С (sup\|sign(x)-f(x)\|>=1 из-за разрыва в нуле). Если же выкинуть отрезок [-eps,eps], то можно легко приблизить, причем так, чтобы \|f\|<=1. Однако производная \|x_i\|, i=1,2, равна как раз sign(x_i), что объясняет приведенный выше пример с четырьмя отрезками. При такой постановке inf будет равен f(x)=\|x\| с константой Липшица $[math]$$\sup_{x,y\in \mathbb R^3,\ x\not=y}\frac{\|f(x)-f(y)\|}{\|x-y\|}=1$$[/math]$ и примера, что постоянная C(2)>1 это не дает. А заодно показывает, что решений может очень много, поскольку при \|x\|>1 функцию можно изменять достаточно произвольно с сохранением нужных свойств. Вероятно, имеет смысл спрашивать об arg inf на выпуклой оболочке A, потому что далее ее можно продолжать многими способами. И то, как легко проверяется в одномерном случае, единственности может не быть.
FrauSoboleva [re:Garfield] 26.01.2008 13:43 \| Reply \| Edit \|	0
Нифига непонятная постановка, может просто я тупой. Убери воду и напиши конкретно предлагаемую постановку задачи, без пояснений почему, кто и где
Garfield [re:FrauSoboleva] 26.01.2008 14:06 \| Reply \| Edit \|	1
"Пусть имеется несколько отрезков в 3D и на них задана функция f, линейная на каждом из отрезков. Требуется продолжить функцию на выпуклую оболочку отрезков B, чтобы она была из пространства Липшица C^{0,1}(B) и такую, что f=arg inf_{f\in C^{0,1}(B)} sup_{x \in B} \| grad f(x)\|" Если ты без пояснений можешь понять, почему эта постановка более естественная чем исходная, то ты молодец
FrauSoboleva [re:Garfield] 26.01.2008 14:48 \| Reply \| Edit \|	0
Не могу понять в чем прелесть определения ее на выпуклой оболочке. По-моему, их все равно будет много. Пересекающиеся отрезки ты, я так понимаю, все равно хочешь выкинуть, так? А что там с константой размерности?
Garfield [re:FrauSoboleva] 26.01.2008 16:07 \| Reply \| Edit \|	0
Изменения в постановке как раз были внесены, чтобы учитывать пересекающиеся отрезки, а также потому, что inf на функциях из C^1 может не достигаться. Выпуклые множества рассматриваются, чтобы выделить существенное в задаче и поделить ее две. Иногда решение единственно: к примеру, при n=1 пусть f=0 на отрезках [0,1] и [4,5], и f=1 на отрезке [2,3]. A продолжить липшицеву функцию с выпуклого множества на R^n несложно. Известно, что это всегда можно сделать. Не помню только, с той же константой Липшица или нет. Вероятно, это надо смотреть в книжках по выпуклому анализу. Гипотеза с константой C(n): максимум производной у решения f на B не превосходит $[math]$$C(n)\max_{x,y\in A,\ x\not=y}\frac{\|f(x)-f(y)\|}{\|x-y\|}$$[/math]$ . Однако для приведенного M_ примера константа Липшица равна 1 (в новой постановке), так что неравенство C(2)>1 мне лично не очевидно.
msan [re:Garfield] 26.01.2008 21:02 \| Reply \| Edit \|	0
согласен, давайте рассматривать задачу над пространством липшицевых функций
Top