Как решить УРЧП? - Public forum of MSU united student networks

Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.fds-net.ru/showflat.php?Number=8192773&src=arc&showlite=
Дата изменения: Unknown
Дата индексирования: Wed Apr 13 00:13:24 2016
Кодировка: Windows-1251

Как решить УРЧП? - Public forum of MSU united student networks

Root \| Google \| Yandex \| Mail.ru \| Kommersant \| Afisha \| LAN Support

Список форумов | Поиск | Новый пользователь | Вход | Кто в онлайне | FAQ | Пользователи

General Discussion >> Study (Archive)

Страницы: 1

Зверюга

Рег.: 27.09.2003

Сообщений: 1758

Рейтинг: 148

Как решить УРЧП?
22.12.2008 22:42

1

На плоскости в треугольнике ABC задана функция F(x,y)

В треугольнике выполняется УРЧП:
$[math][res=150]$F'''_{xxy}+F'''_{xyy}-cF''_{xy}-c^3Fe^{-c}=0$[/math]$ ,
где c - некоторый строго положительный параметр.
Граничные условия выглядят следующим образом:
на AB, $[math][res=150]$F=c^2e^{-c}$[/math]$ ,
на BC, $[math][res=150]$F'_x=-c^3e^{-(2-x)c}$[/math]$ ,
на CA, $[math][res=150]$F''_{xy}=c^4e^{-2c}$[/math]$ .

Про F известно, что это положительная, ограниченная выпуклая вверх функция, монотонно невозрастающая по обоим аргументам. Кроме того, известен ее интеграл по треугольнику.

Как можно решать такое уравнение?

KI

Рег.: 14.11.2003

Сообщений: 7908

Из: МГУ ГЗ V-806л

Рейтинг: 3333

Re: Как решить УРЧП? [re: Unit]
22.12.2008 22:52

Оно линейное. может метод разделения переменных покатит?

Единоличник с безграничной безответственностью

Зверюга

Рег.: 27.09.2003

Сообщений: 1758

Рейтинг: 148

Re: Как решить УРЧП? [re: KI]
22.12.2008 23:10

Попробовать можно, но, по-моему, он катит в основном для уравнений степени 2 или 1.
Уравниние действительно линейное, поэтому есть надежда на какой-нибудь простой метод.

Зверюга

Рег.: 27.09.2003

Сообщений: 1758

Рейтинг: 148

Re: Как решить УРЧП? [re: Unit]
08.02.2009 18:34

Вернемся к нашим баранам.

1) Верно ли, что решением уравнения $[math]$F'''_{xxy}+F'''_{xyy}-cF'''_{xy}-ce^{-c}=0$[/math]$ в общем виде является некоторая континульная сумма слагаемых вида $[math]$e^{a_tx+b_ty}$[/math]$ , где каждая пара $[math]$(a_t,b_t)$[/math]$ удовлетворяет характеристическому уравнению $[math]$a_t^2b_t+a_tb_t^2-ca_tb_t-ce^{-c}=0$[/math]$ . Если это так, то получается некоторый парадокс с граничными условиями.
Вообще, как представлять континуальные суммы такого рода?

2) Существуют ли матпакеты, умеющие символьно решать урчп третьей степени? В виденных мною все ограничивалось второй степенью или одномерным пространством.

русский

Рег.: 26.02.2005

Сообщений: 28318

Из: Волгоградской области

Рейтинг: -676

Re: Как решить УРЧП? [re: Unit]
08.02.2009 19:56

-1

1) У тебя тут не уравнение; 2) ты как комсомолец, сам придумываешь себе проблему, а потом жалуешься на парадоксы; 3) а методом Фурье или операционным методом ничего не получается?
P.S. О, все, появилось ур-ние

Правда, там порядок смешанной производной остался какой-то слишком большой. Чего-то пока ничего не придумывается

Редактировал ABC47 (08.02.2009 21:04)

Убить жида, чтобы купить пистолет,
Убить жида, чтобы ты был вооружен.
(С) ИПВ

русский

Рег.: 26.02.2005

Сообщений: 28318

Из: Волгоградской области

Рейтинг: -676

Re: Как решить УРЧП? [re: Unit]
09.02.2009 07:49

1

И что, ничего ни у кого не получается?
Я пробовал сделать замену типа x'=x-y, y'=x+y. Получил типа
$[math] $$ -2\frac{\partial}{\partial y'}\Bigl(\frac{\partial^2F}{\partial x'^2}-\frac{\partial^2F}{\partial y'^2}\Bigr)+c\Bigl(\frac{\partial^2F}{\partial x'^2}-\frac{\partial^2F}{\partial y'^2}\Bigr)-c^3e^{-c}F=0 $$ [/math]$
то-есть старшая производная по y' выразилась через младшие. Значит, чисто формально применима теорема Ковалевской. Можно попробовать искать решение в виде кратных рядов. :crazy:

:crazy:

Можно получать аналитические решения, если записать в виде системы
$[math] $$ \left\{\begin{aligned} &\frac{\partial^2F}{\partial x'^2}-\frac{\partial^2F}{\partial y'^2}=G\\ &-2\frac{\partial G}{\partial y'}+cG=c^3e^{-c}F \end{aligned}\right. $$ [/math]$
а потом применить преобразование Лапласа по y'. Но тоже мало радости получается, когда доходишь до ответа.

Убить жида, чтобы купить пистолет,
Убить жида, чтобы ты был вооружен.
(С) ИПВ

русский

Рег.: 26.02.2005

Сообщений: 28318

Из: Волгоградской области

Рейтинг: -676

Re: Как решить УРЧП? [re: ABC47]
09.02.2009 22:40

А насчет твоей идеи про найти решения в виде exp(ax+by), то никакого противоречия тут нету, так как a и b могут принимать комплексные значения (на самом деле
$[math] $$ \left\{\begin{aligned} &a=r\cos^2\varphi\\ &b=r\sin^2\varphi \end{aligned}\right. $$ [/math]$
где r является корнями кубического уравнения, зависящего от \phi, среди которых один действительный положительный, то-есть F получается возрастающая по обоим переменным функция, и два комплексно-сопряженных корня, поэтому общее решение является для каждого \phi комбинацией трех решений, с экспонентами и тригонометрическими функциями, и не факт, что нельзя подобрать такую континуальную комбинацию этих бяк, чтобы получилась функция, удовлетворяющая твоим граничным условиям. Но писать интеграл по этому параметру \phi, да еще с неопределенными коэффициентами --- мрак! :grin:

:grin:

)

Убить жида, чтобы купить пистолет,
Убить жида, чтобы ты был вооружен.
(С) ИПВ

Зверюга

Рег.: 27.09.2003

Сообщений: 1758

Рейтинг: 148

Re: Как решить УРЧП? [re: ABC47]
10.02.2009 21:33

Если взять преобразование Лапласа только по y', то в первом уравнении еще останется дифференцирование по x', что с ним делать? И вообще, как использовать граничные условия?
Т.е. что вообще может дать преобразование Лапласа кроме той самой суммы экспонент?

Зверюга

Рег.: 27.09.2003

Сообщений: 1758

Рейтинг: 148

Re: Как решить УРЧП? [re: ABC47]
10.02.2009 21:48

Тут вот какая проблема.
Так как у главного уравнения коэффициенты постоянные, то можно линейный сдвиг $[math]$y_1 = y - 1$[/math]$ , не влияющий на общий вид решения.

Тогда на границе $[math]$y_1 = 0$[/math]$ решение является суммой экспонент $[math]$e^{ax}$[/math]$ , являясь при этом ненулевой константой, т.е. как минимум несколько экспонент в ней участвуют. Однако, $[math]$a=0$[/math]$ не является решением хар. уравнения. И тогда возникает совершенно непонятный для меня момент - как такая сумма может быть равна константе?

русский

Рег.: 26.02.2005

Сообщений: 28318

Из: Волгоградской области

Рейтинг: -676

Re: Как решить УРЧП? [re: Unit]
11.02.2009 07:53

1

Если сумма континуальная, то может. Получают же как-то преобразование Лапласа для постоянных функций.
Насчет "останется дифференцирование по x'" да, надо еще решать диффур по x', потом только восстанавливать оригинал по изображению. Но что-то там мрачно получается, и непонятно как к твоей области привязать и с граничными условиями разобраться. Кроме как численных методов, пока ничего не вижу.

Убить жида, чтобы купить пистолет,
Убить жида, чтобы ты был вооружен.
(С) ИПВ

Зверюга

Рег.: 27.09.2003

Сообщений: 1758

Рейтинг: 148

Re: Как решить УРЧП? [re: ABC47]
12.02.2009 23:48

Что ж, жаль.
Понятно, что если аналитическое решение существует, то оно очень некислое, но все же оно лучше численного.

Страницы: 1

General Discussion >> Study (Archive)

Дополнительная информация
2 зарегистрированных и 0 анонимных пользователей просматривают этот форум. Модераторы: Basilio, The_Nameless_One Печать темы	Права Вы можете создавать новые темы Вы можете отвечать на сообщения HTML отключен UBBCode включен	Рейтинг: Просмотров темы:
		Переход в