|
mk52
|
|
member
|
|
|
|
|
|
|
Рег.: 11.05.2007
|
|
Сообщений: 116
|
|
|
|
Рейтинг: 65
|
|
[closed] гармонический анализ: комплексные частоты
14.08.2009 01:47
|
|
|
Дано:
при решении задачи нахождения частот нормальных колебаний
![[math]$|M^{-1} H - \omega^2 1 | = 0 $[/math]](mathimg.php?math=%24%7CM%5E%7B-1%7D%20H%20-%20%5Comega%5E2%201%20%7C%20%3D%200%20%24) ,
![[math]M[/math]](mathimg.php?math=M) - диагональная матрица с массами
![[math]H[/math]](mathimg.php?math=H) - матрица Гесса
в наборе собственных значений ![[math]$\omega^2$[/math]](mathimg.php?math=%24%5Comega%5E2%24) помимо действительных величин присутствуют комплексные величины (попарно комплексносопряженные), которым соответствуют комплексные же собственные вектора.
Вопросы:
Дают ли они вклад в спектр нормальных колебаний?
... например путем их линейного комбинирования.
Если да, то как быть с затухающей/возрастающей экспонентой вылезающей после подстановки комплексной величины в ![[math]$e^{i \omega t}$[/math]](mathimg.php?math=%24e%5E%7Bi%20%5Comega%20t%7D%24) ?
Если эти решения нефизичны, то о чем говорит их наличие в спектре?
Какие такие особенности поверхности потенциальной энергии приводят к таким эффектам?
Редактировал mk52 (14.08.2009 02:47)
|
|
|
Gimli
|
|
Raudskjegg
|
|
|
|
|
|
|
Рег.: 12.10.2004
|
|
Сообщений: 45621
|
|
|
|
Рейтинг: 16768
|
|
Re: гармонический анализ: комплексные частоты
[re: mk52]
14.08.2009 01:56
|
|
|
|
|
|
Noord
|
|
cardinal direction
|
|
|
|
|
|
|
Рег.: 25.11.2006
|
|
Сообщений: 6581
|
|
|
|
Рейтинг: 9250
|
|
Re: гармонический анализ: комплексные частоты
[re: mk52]
14.08.2009 02:02
|
|
|
Вообще-то решаемая задача не совсем "традиционная".
Для нахождения частот нормальных колебаний нужно диагонализовать матрицу
![[math]$M^{-\frac{1}{2}} H M^{-\frac{1}{2}}$ [/math]](mathimg.php?math=%24M%5E%7B-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D%20H%20M%5E%7B-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7D%24%20)
|
|
|
Gimli
|
|
Raudskjegg
|
|
|
|
|
|
|
Рег.: 12.10.2004
|
|
Сообщений: 45621
|
|
|
|
Рейтинг: 16768
|
|
Re: гармонический анализ: комплексные частоты
[re: Noord]
14.08.2009 02:08
|
|
|
у него M диагональная, так что его уравнение ты и получишь при диагонализации твоей матрицы
|
|
|
mk52
|
|
member
|
|
|
|
|
|
|
Рег.: 11.05.2007
|
|
Сообщений: 116
|
|
|
|
Рейтинг: 65
|
|
Re: гармонический анализ: комплексные частоты
[re: Noord]
14.08.2009 02:08
|
|
|
вот видел я такую штуку и подозреваю что это произведение есть симметричная матрица в которой собственные значения действительные, но из каких соображений она так записывается?
|
|
|
Gimli
|
|
Raudskjegg
|
|
|
|
|
|
|
Рег.: 12.10.2004
|
|
Сообщений: 45621
|
|
|
|
Рейтинг: 16768
|
|
Re: гармонический анализ: комплексные частоты
[re: mk52]
14.08.2009 02:09
|
|
|
|
|
|
Noord
|
|
cardinal direction
|
|
|
|
|
|
|
Рег.: 25.11.2006
|
|
Сообщений: 6581
|
|
|
|
Рейтинг: 9250
|
|
Re: гармонический анализ: комплексные частоты
[re: Gimli]
14.08.2009 02:12
|
|
|
Quote:
Какая разница из каких?
Матрица H и M^{-1/2} не коммутрируют в общем случае, потэтому результат диагонализации несомненно другой
|
|
|
mk52
|
|
member
|
|
|
|
|
|
|
Рег.: 11.05.2007
|
|
Сообщений: 116
|
|
|
|
Рейтинг: 65
|
|
Re: гармонический анализ: комплексные частоты
[re: Gimli]
14.08.2009 02:12
|
|
|
Quote:
Не должно быть их имхо.
хотел было выложить матрицу, но обнаружил некий косяк. ща пофиксю и отпишусь.
|
|
|
Gimli
|
|
Raudskjegg
|
|
|
|
|
|
|
Рег.: 12.10.2004
|
|
Сообщений: 45621
|
|
|
|
Рейтинг: 16768
|
|
Re: гармонический анализ: комплексные частоты
[re: Noord]
14.08.2009 02:12
|
|
|
А ты уверен, что у тебя более общий случай? Я, например, понимаю, как его запись получается из Лагранжиана, а как твоя - не знаю.
|
|
|
Noord
|
|
cardinal direction
|
|
|
|
|
|
|
Рег.: 25.11.2006
|
|
Сообщений: 6581
|
|
|
|
Рейтинг: 9250
|
|
Re: гармонический анализ: комплексные частоты
[re: mk52]
14.08.2009 02:14
|
|
|
Quote:
вот видел я такую штуку и подозреваю что это произведение есть симметричная матрица в которой собственные значения действительные, но из каких соображений она так записывается?
А вот из каких: введем масс-взвешенные координаты r'_i = sqrt(m_i) x_i, тогда кинетическая энергия станет единичной матрицей, а элементы матрицы вторых производных станут
1/sqrt(m_i) H_ij 1/sqrt(m_j), что в матричной форме будет точно то, что я написал
|
|
|
Gimli
|
|
Raudskjegg
|
|
|
|
|
|
|
Рег.: 12.10.2004
|
|
Сообщений: 45621
|
|
|
|
Рейтинг: 16768
|
|
Re: гармонический анализ: комплексные частоты
[re: Noord]
14.08.2009 02:15
|
|
|
Ну то есть это для диагонального случая.
|
|
|
Noord
|
|
cardinal direction
|
|
|
|
|
|
|
Рег.: 25.11.2006
|
|
Сообщений: 6581
|
|
|
|
Рейтинг: 9250
|
|
Re: гармонический анализ: комплексные частоты
[re: Gimli]
14.08.2009 02:17
|
|
|
Quote:
А ты уверен, что у тебя более общий случай?
Да. См. объяснение выше. Более того, эта формула справедлива даже в случае криволинейных координат с положительно-определенной метрической матрицей.
А вообще, в линейной алгебре есть теорема об одновременной диагонализации двух квадратичных форм, одна из которых положительно-определенная.
|
|
|
Gimli
|
|
Raudskjegg
|
|
|
|
|
|
|
Рег.: 12.10.2004
|
|
Сообщений: 45621
|
|
|
|
Рейтинг: 16768
|
|
Re: гармонический анализ: комплексные частоты
[re: Noord]
14.08.2009 02:19
|
|
|
В твоем объяснении матрица кинетической энергии диагональна. В этом случае формулы одинаковы.
|
|
|
Noord
|
|
cardinal direction
|
|
|
|
|
|
|
Рег.: 25.11.2006
|
|
Сообщений: 6581
|
|
|
|
Рейтинг: 9250
|
|
Re: гармонический анализ: комплексные частоты
[re: Gimli]
14.08.2009 02:25
|
|
|
Quote:
В твоем объяснении матрица кинетической энергии диагональна. В этом случае формулы одинаковы.
Собственные числа, да, согласен, одинаковы, но собственные вектора нет.
|
|
|
mk52
|
|
member
|
|
|
|
|
|
|
Рег.: 11.05.2007
|
|
Сообщений: 116
|
|
|
|
Рейтинг: 65
|
|
Re: гармонический анализ: комплексные частоты
[re: Noord]
14.08.2009 02:34
|
|
|
2 gimli, noord
простите меня, я идиот ((((
я очепятался когда записывал матрицу обратных масс и случайно влепил единицу вне диагонали, что привело к отрицательному элементу на диагонали ![[math]$M^{-1}H$[/math]](mathimg.php?math=%24M%5E%7B-1%7DH%24)
огромное вам спасибо, что помогли заметить ошибку : D
|
|
|
Gimli
|
|
Raudskjegg
|
|
|
|
|
|
|
Рег.: 12.10.2004
|
|
Сообщений: 45621
|
|
|
|
Рейтинг: 16768
|
|
Re: гармонический анализ: комплексные частоты
[re: Noord]
14.08.2009 03:02
|
|
|
Потому что у векторов разный физический смысл: в твоем случае они на массы поделены. Поэтому чтобы сравнивать надо домножить обратно. И должно быть одинаково.
|
|
|
Noord
|
|
cardinal direction
|
|
|
|
|
|
|
Рег.: 25.11.2006
|
|
Сообщений: 6581
|
|
|
|
Рейтинг: 9250
|
|
Re: гармонический анализ: комплексные частоты
[re: Gimli]
14.08.2009 03:12
|
|
|
Да, согласен. "Моя" задача переходит в задачу топикстартера преобразованием подобия U{-1} <...> U, где U = M^{1/2}
|
|
Список
Плоский
Дерево
